(共51张PPT)
5.1 导数的概念
5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线、瞬
时速度与瞬时加速度
探究点一 求曲线上某一点处的切线
探究点二 求瞬时速度
探究点三 求瞬时加速度
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解瞬时变化率的含义.
2.理解切线与割线的关系.
3.会求曲线上某点处的切线斜率，运动物体的瞬时速度、瞬时加速度.
知识点一 切线的斜率与割线的斜率
割线的斜率 切线的斜率
设曲线上一点 ， 过点的一条割线交曲线 于 另一点，则割线的斜率 _ ___________ 当点沿曲线向点 运动，并无限逼
近点时，割线逼近点的切线 ，
从而割线的斜率逼近切线 的斜率，
即当无限趋近于0时，
无限趋近于点 处的
________斜率
切线的
提醒：一条直线与一条曲线有两个公共点， ，我们就说这条直线
是这条曲线的割线.当点无限靠近点时，割线无限趋近于直线 ，
直线称为曲线在点 处的切线.
知识点二 瞬时速度与瞬时加速度
1.一般地，如果当无限趋近于___时，运动物体位移 的平均变
化率 无限趋近于一个______，那么这个______称为物体
在 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率.
0
常数
常数
2.一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体速度 的平均变化
率 无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在
时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.
常数
常数
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在计算物体运动的瞬时速度时, .( )
×
（2）瞬时速度是刻画物体在区间 上变化快慢的
物理量.( )
×
（3）在计算当无限趋近于0时， 无限趋近的常
数时， 一定为正.( )
×
2.如图，过作曲线的割线，当点
沿曲线逐渐向 靠近时，有何现象出现？
解：割线在点 附近越来越逼近该曲线，当点
无限逼近点时，直线最终就成为在点 处最
逼近曲线的直线，此时称这条直线为曲线在点
处的切线.
探究点一 求曲线上某一点处的切线
例1 已知直线为曲线在点处的切线， 为该曲
线的另一条切线，且，求直线 的方程.
解：，则当 无限趋
近于0时，无限趋近于 ，
直线的斜率， 直线的方程为 ，即
.
设直线与曲线相切于点 ，
则直线的方程为 ．
，，解得. 直线 的方程为
，即 .
变式 求曲线在点 处的切线方程．
解：点在曲线上，由题意知 ，
当无限趋近于0时，无限趋近于，
曲线在点 处的切线的斜率为 ，
曲线在点处的切线方程为 ，即
.
［素养小结］
1.解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想，即求曲线在一点
处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当
无
限趋近于0时，可得到割线逼近的切线的斜率.然后利用直线的点斜式
方程可求出相应的切线方程.
2.注意函数
的图象在
处的切线，就是函数图象（曲线）上
以点
为切点的切线，过点
也能作曲线
的切
线，但点
不一定是切点.
探究点二 求瞬时速度
例2 一个物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位： ）
的关系是 ．
（1）求此物体在到 时的平均速度；
解：此物体在到 时的平均速度
（2）求此物体在 时的瞬时速度．
解： .
当无限趋近于0时，无限趋近于 ，所以该物体在
时的瞬时速度为 .
例2 一个物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位： ）
的关系是 ．
变式 某小球做自由落体运动，其运动方程为 为重力加
速度，该小球在到时的平均速度为，在 时的瞬时
速度为，则和 的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
[解析] 由题意知 .
，则当 无限趋近于0
时，无限趋近于，所以.所以 .故选C.
√
［素养小结］
求运动物体瞬时速度的三个步骤：
（1）求时间改变量
和位移改变量
；
（2）求平均速度
；
（3）求瞬时速度，当
无限趋近于0时，
无限趋近的常数
即为瞬
时速度.
探究点三 求瞬时加速度
例3 已知一辆轿车在公路上做加速直线运动，速度与时间 的关系
为，求时轿车的瞬时加速度 .
解：由题意知,当
无限趋近于0时，无限趋近于 ,
所以时轿车的瞬时加速度 .
变式 火车开出车站一段时间内，速度 （单位：米/秒）与行驶时间
（单位：秒）之间的关系是 ，则加速度为2.8米/
秒 时，对应的时间为( )
A.秒 B.2秒 C.秒 D. 秒
[解析] 由题意可知，
，当 无限趋
近于0时，无限趋近于，由题意得 ，可得
（秒）．
√
［素养小结］
瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时
间的瞬时变化率．
1.割线斜率与切线斜率的几何意义
由函数的图象（如图）可知,
函数 的图象的割线斜率
的几何意义是函数 图象上的两点
, 所在直线的斜率,可以看作是曲线陡峭程度
的“数量化”,曲线陡峭程度是割线斜率的“视觉化”.利用割线斜率可以
刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙不精确的”,只有
当 无限变小,即转化为切线斜率时,这种量化才由“粗糙”
逐渐变得“精确”.
2.平均速度
设跳高运动员在跳高过程中,离地面的高度与时间 的关系是
,则在到 这段时间内,运动员的平均速度
.
注意:在匀速直线运动中,比值 是恒定的;在非匀速直线运动中,比值
不是恒定的.要想精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一
时刻运动的快慢程度,即瞬时速度.
3.对于瞬时速度的理解
（1）瞬时速度的实质是平均速度在 无限趋近于0时的极限值.
（2）瞬时速度的计算必须先求出平均速度 ,再对平均速度取极限.
（3）无限趋近于0,是指时间间隔 越来越小,能比任意小的时间间
隔更小,但始终不能为零.
（4）, 在变化中都无限趋近于0,但它们的比值却无限趋近于一个
确定的常数.
瞬时变化率的延伸运用
例1 某人拉动一个物体前进，他所做的功是时间 的函数
，则当无限趋近于0时， 表示( )
A.时做的功 B. 时的速度
C.时的位移 D. 时的功率
[解析] 由题意知当无限趋近于0时，表示 时的
功率．
√
例2 若一物体的位移（单位：）与时间（单位： ）之间的关系
为则物体的初速度 ______
____，物体在 时的瞬时速度为_________．
[解析] 物体在附近位移的平均变化率为
，当 无限趋近于0时，
无限趋近于，所以物体在 时位移的瞬时变化率即
为物体的初速度.
物体在 时的瞬时速度即为物体在时位移的瞬时变化率，
因为物体在 附近位移的平均变化率为
，当 无限趋近于0时，
无限趋近于,所以物体在 时位移的瞬时变化率为，
即物体在时的瞬时速度为 .
练习册
1.函数的图象在 处的切线斜率为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 设，因为 ，
所以，
所以当无限趋近于0时，无限趋近于 ，
故函数的图象在处的切线斜率为 .故选B.
√
2.一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在前5秒内速度
单位：与时间单位： 的关系可近似地表示为
，则汽车在 时的加速度为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，当 无限
趋近于0时，无限趋近于8，则汽车在时的加速度为 .
故选C.
√
3.质点按运动方程做直线运动位移单位： ，时间
单位：，若质点在时的瞬时速度为，则常数 的值为
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] ， ，
当无限趋近于0时，无限趋近于 ，
由题意得，解得 .故选A.
√
4.汽车在笔直的公路上行驶，如果表示 时刻汽车的速度，则当
无限趋近于0时， 的意义是( )
A.表示当 时汽车的加速度
B.表示当 时汽车的瞬时速度
C.表示当 时汽车路程的变化率
D.表示当 时汽车与起点的距离
[解析] 表示时刻汽车的速度，由题意可知，当 无限趋近于0
时，表示当 时汽车的加速度．故选A.
√
5.某堆雪在融化过程中，其体积单位： 与融化
时间单位： 之间的函数图象如图所示.记此堆雪从
融化开始到结束的平均融化速度为 ，那么瞬时
融化速度等于 的时刻是图中的( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，平均融化速度 ，反
映的是函数图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可
知 处的瞬时融化速度（即切线的斜率）等于平均
融化速度．故选C.
6.（多选题）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度
单位：是 ，则下列说法中正确的是
( )
A.运动员在时的瞬时速度是
B.运动员在时的瞬时速度是
C.运动员在附近以 的速度上升
D.运动员在附近以 的速度下降
√
√
[解析] ，则 时
，
当 无限趋近于0时，无限趋近于,
因此运动员在 时的瞬时速度是，
即运动员在附近以 的速度下降，
故选 .
7.已知曲线上一点，则曲线在点 处的切线的倾
斜角为____.
[解析] ，当 无限趋近于0时，
无限趋近于1，所以曲线在点 处的切线的斜率为1，倾斜角
为 .
8.如果一个物体的运动方程为 则该物体
在时的瞬时速度为___，在 时的瞬时速度为___．
2
6
[解析] 当时，，则当 时，
，当无限趋近于0时， 无
限趋近于2， 该物体在时的瞬时速度为2.
当 时，，则当 时，
，当
无限趋近于0时，无限趋近于6， 该物体在 时的瞬时速度为6.
9.（13分）子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程
为，如果它的加速度 ，子弹在枪筒中的运
动时间为 ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解：因为运动方程为 ，
所以 ，
所以 ．所以当无限趋近于0时，无限趋近于 .
由题意知， ，
所以 ，即子弹射出枪口时的瞬时速度为 .
10.（多选题）甲、乙的速度与时间的关系如图，是 时的
加速度，是从到 的路程，则下列说法正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 加速度是速度关于 的函数图象的切线斜率，由题中图可得
在 处，甲的速度曲线的切线斜率小于乙的速度曲线的切线斜率，即
甲在处的加速度小于乙在 处的加速度，A错误，B正确.
由题中图知从到，甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从
到的路程大于乙从到的路程，C正确，D错误.
故选 .
11.［2025·北京朝阳区高二期末］建设大型水库可实现水资源的合理分配
和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲、乙两个
水库的蓄水量与时间 的关系如图所示.则下列叙述中正确的是( )
A.在 这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B.在 这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于
乙水库蓄水量的平均变化率
C.甲水库蓄水量在 时刻的瞬时变化率大于乙水
库蓄水量在 时刻的瞬时变化率
D.乙水库蓄水量在 时刻的瞬时变化率大于乙水
库蓄水量在 时刻的瞬时变化率
√
[解析] 对于A，在 这段时间内，甲水库的蓄水量减少，其平均变
化率小于0，A错误；
对于B，在 这段时间内，甲水库蓄水量的平
均变化率小于0，乙水库蓄水量的平均变 化率大于0，
则在 这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率
小于乙水库蓄水量的平均变化率，B错误；
对于C，甲水库蓄水量在 时刻的瞬时变化率小于0，乙水库蓄水量
在 时刻的瞬时变化率大于0，则甲水库蓄水量在时刻的瞬时变化率
小于乙水库蓄水量在 时刻的瞬时变化率，C错误；
对于D，乙水库蓄水量曲线在 时刻切线的斜
率大于乙水库蓄水量曲线在 时刻切线的斜率，
所以乙水库蓄水量在 时刻的瞬时变化率大于
乙水库蓄水量在 时刻的瞬时变化率，D正确.
故选D.
12.已知曲线在点处的切线斜率为16，则点 的坐标为
_______．
[解析] 设点 ，则
，
当 无限趋近于0时，无限趋近于，
由题意得，所以 ，
，则点的坐标为 ．
13.［2025·江苏江宁中学高二月考］如图，在平面直角
坐标系中，直线，， 围
成的的面积为，则在 时的瞬时变
化率是_____．
[解析] 对于，当时，，则 ，则
，所以 ，所以
,
当无限趋近于0时， 无限趋近于，
即在时的瞬时变化率为 .
14.如图，函数的图象在点 处的切线方程是
，则当 无限趋近于0时，
无限趋近于( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 函数的图象在点 处的切线方程是
， 切线的斜率为，则当 无限趋
近于0时，无限趋近于 ,则
无限趋近于 ，
易知,
当 无限趋近于0时，无限趋近于 .故选D.
15.（15分）某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润
（单位：元）与生产量 （单位：台）之间的关系式为
.
（1）求产量为1000台时的总利润与平均利润；
解：产量为1000台时的总利润为
（元），
平均利润为 （元）．
（2）求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；
解：当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为
（元/台）．
（3）当无限趋近于0时，分别求 与
无限趋近的数值，并说明它们的实际意义．
解：易知当无限趋近于0时，无限趋近于 ，
则无限趋近于3000， 无限趋近于
1000，
它们指的是当产量为1000台时，生产一台机械可多获利3000元；
当产量为1500台时，生产一台机械可多获利1000元．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
切线的
知识点二 1.0 常数 常数 2.常数 常数
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）×
2.解：割线
在点
附近越来越逼近该曲线，当点
无限逼近点
时，直线
最
终就成为在点
处最逼近曲线的直线
，此时称这条直线
为曲线在点
处的切线.
课中探究 例1 变式
例2 （1） 变式 C
例3
变式 B
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.BD 7.
8.2 6
9.
10.BC 11.D 12.
13.
14.D
15.（1）（元） （2）（元/台）
（3）易知当
无限趋近于0时，
无限趋近于
，
则
无限趋近于3000，
无限趋近于1000，
它们指的是当产量为1000台时，生产一台机械可多获利3000元；
当产量为1500台时，生产一台机械可多获利1000元．5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度
【课前预习】
知识点一
切线的
知识点二
1.0 常数 常数 2.常数 常数
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线,当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,此时称这条直线l为曲线在点P处的切线.
【课中探究】
探究点一
例1 解:==2x+1+Δx,则当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x+1,
∴直线l1的斜率k1=3,∴直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0,+x0-2),
则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).
∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,解得x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-,即3x+9y+22=0.
变式 解:点(1,1)在曲线y=上,由题意知==,
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于,∴曲线y=在点(1,1)处的切线的斜率为,
∴曲线y=在点(1,1)处的切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.
探究点二
例2 解:(1)此物体在t=0 s到t=2 s时的平均速度===1(m/s).
(2)=
=-Δt-1.
当Δt无限趋近于0时,无限趋近于-1,所以该物体在t=2 s时的瞬时速度为-1 m/s.
变式 C [解析] 由题意知===2g.===gΔt+2g,则当Δt无限趋近于0时,无限趋近于2g,所以v2=2g.所以=v2.故选C.
探究点三
例3 解:由题意知===2t0+Δt,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于2t0,
所以t=t0时轿车的瞬时加速度a=2t0.
变式 B [解析] 由题意可知,==0.4+1.2t+0.6Δt,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于0.4+1.2t,由题意得0.4+1.2t=2.8,可得t=2(秒).5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度
1.B [解析] 设y=f(x),因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-=,所以=-,所以当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-1,故函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为-1.故选B.
2.C [解析] 由题意得==8-Δt,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于8,则汽车在t=1 s时的加速度为8 m/s2.故选C.
3.A [解析] ∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,∴=4a+aΔt,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于4a,由题意得4a=8,解得a=2.故选A.
4.A [解析] v(t)表示t时刻汽车的速度,由题意可知,当Δt无限趋近于0时,表示当t=t0时汽车的加速度.故选A.
5.C [解析] 如图所示,平均融化速度=,反映的是函数图象与坐标轴交点连线的斜率,观察可知t3处的瞬时融化速度(即切线的斜率)等于平均融化速度.故选C.
6.BD [解析] h(1)=-4.9+6.5+10=11.6,则t=1时=
=
-4.9Δt-3.3,当Δt无限趋近于0时,-4.9Δt-3.3无限趋近于-3.3,因此运动员在t=1 s时的瞬时速度是-3.3 m/s,即运动员在t=1 s附近以3.3 m/s的速度下降,故选BD.
7.45° [解析] ==1+Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于1,所以曲线在点P处的切线的斜率为1,倾斜角为45°.
8.2 6 [解析] 当0≤t<3时,S(t)=t2+2,则当t=1时,===2+Δt,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于2,∴该物体在t=1时的瞬时速度为2.当t≥3时,S(t)=29+3(t-3)2=3t2-18t+56,则当t=4时,==
=3·Δt+6,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于6,∴该物体在t=4时的瞬时速度为6.
9.解:因为运动方程为S=at2,
所以ΔS=a(t0+Δt)2-a=at0(Δt)+a(Δt)2,
所以=at0+a·Δt.
所以当Δt无限趋近于0时,无限趋近于at0.
由题意知a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,
所以at0=8×102=800(m/s),即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
10.BC [解析] 加速度是速度v关于t的函数图象的切线斜率,由题中图可得在b处,甲的速度曲线的切线斜率小于乙的速度曲线的切线斜率,即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度,A错误,B正确.由题中图知从t=0到t=b,甲的速度总大于等于乙的速度,所以甲从t=0到t=b的路程大于乙从t=0到t=b的路程,C正确,D错误.故选BC.
11.D [解析] 对于A,在[0,t3]这段时间内,甲水库的蓄水量减少,其平均变化率小于0,A错误;对于B,在[t1,t2]这段时间内,甲水库蓄水量的平均变化率小于0,乙水库蓄水量的平均变化率大于0,则在[t1,t2]这段时间内,甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率,B错误;对于C,甲水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率小于0,乙水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率大于0,则甲水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率小于乙水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率,C错误;对于D,乙水库蓄水量曲线在t1时刻切线的斜率大于乙水库蓄水量曲线在t2时刻切线的斜率,所以乙水库蓄水量在t1时刻的瞬时变化率大于乙水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率,D正确.故选D.
12.(3,30) [解析] 设点P(x0,2+4x0),则=
=
2Δx+4x0+4,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于4x0+4,由题意得4x0+4=16,所以x0=3,2+4x0=30,则点P的坐标为(3,30).
13.2 [解析] 对于y=x,当x=t时,y=t,则B(t,t),则AB=t,所以S(t)=·OA·AB=t·t=t2,所以==(4+Δt),当Δt无限趋近于0时,无限趋近于2,即S(t)在t=2时的瞬时变化率为2.
14.D [解析] ∵函数f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,∴切线的斜率为-1,则当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-1,则无限趋近于-1,易知=2·,∴当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-2.故选D.
15.解:(1)产量为1000台时的总利润为c(1000)=-2×10002+7000×1000+600=5 000 600(元),平均利润为=5000.6(元).
(2)当产量由1000台提高到1500台时,总利润的平均改变量为==2000(元/台).
(3)易知当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4x+7000,
则无限趋近于3000,无限趋近于1000,
它们指的是当产量为1000台时,生产一台机械可多获利3000元;
当产量为1500台时,生产一台机械可多获利1000元.5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度
【学习目标】
1.理解瞬时变化率的含义.
2.理解切线与割线的关系.
3.会求曲线上某点处的切线斜率,运动物体的瞬时速度、瞬时加速度.
◆ 知识点一 切线的斜率与割线的斜率
割线的斜率 切线的斜率
设曲线C上一点P(x,f(x)),过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+Δx,f(x+Δx)),则割线PQ的斜率kPQ= 当点Q沿曲线C向点P运动,并无限逼近点P时,割线PQ逼近点P的切线l,从而割线的斜率逼近切线l的斜率,即当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处的 斜率
提醒:一条直线与一条曲线有两个公共点P,Q,我们就说这条直线是这条曲线的割线.当点Q无限靠近点P时,割线无限趋近于直线l0,直线l0称为曲线在点P处的切线.
◆ 知识点二 瞬时速度与瞬时加速度
1.一般地,如果当Δt无限趋近于 时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个 ,那么这个 称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
2.一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个 ,那么这个 称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在计算物体运动的瞬时速度时,S(t0+Δt)>S(t0). ( )
(2)瞬时速度是刻画物体在区间[t0,t0+Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量. ( )
(3)在计算当Δt无限趋近于0时,S(t0+Δt)-S(t0)无限趋近的常数时,Δt一定为正. ( )
2.如图,过P作曲线C:y=f(x)的割线PQ,当点Q沿曲线C逐渐向P靠近时,有何现象出现
◆ 探究点一 求曲线上某一点处的切线
例1 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程.
变式 求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.
[素养小结]
1.解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想,即求曲线在一点处切线的斜率时,先表示出曲线在该点处的割线的斜率,则当Δx无限趋近于0时,可得到割线逼近的切线的斜率.然后利用直线的点斜式方程可求出相应的切线方程.
2.注意函数f(x)的图象在x=x0处的切线,就是函数图象(曲线)上以点(x0,f(x0))为切点的切线,过点(x0,y0)也能作曲线y=f(x)的切线,但点(x0,y0)不一定是切点.
◆ 探究点二 求瞬时速度
例2 一个物体做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2.
(1)求此物体在t=0 s到t=2 s时的平均速度;
(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度.
变式 某小球做自由落体运动,其运动方程为s(t)=gt2(g为重力加速度),该小球在t=1到t=3时的平均速度为,在t=2时的瞬时速度为v2,则和v2的大小关系为 ( )
A.>v2 B.
C.=v2 D.不能确定
[素养小结]
求运动物体瞬时速度的三个步骤:
(1)求时间改变量Δt和位移改变量ΔS=S(t0+Δt)-S(t0);
(2)求平均速度=;
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近的常数v即为瞬时速度.
◆ 探究点三 求瞬时加速度
例3 已知一辆轿车在公路上做加速直线运动,速度v与时间t的关系为v(t)=t2+3,求t=t0时轿车的瞬时加速度a.
变式 火车开出车站一段时间内,速度v(单位:米/秒)与行驶时间t(单位:秒)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,则加速度为2.8米/秒2时,对应的时间为 ( )
A.秒 B.2秒
C.秒 D.秒
[素养小结]
瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率;瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率.5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度
1.函数f(x)=的图象在x=1处的切线斜率为 ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.一辆汽车从停止时开始加速行驶,并且在前5秒内速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系可近似地表示为v=f(t)=-t2+10t,则汽车在t=1 s时的加速度为 ( )
A.9 m/s B.9 m/s2
C.8 m/s2 D.7 m/s2
3.质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,则常数a的值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
4.汽车在笔直的公路上行驶,如果v(t)表示t时刻汽车的速度,则当Δt无限趋近于0时,的意义是 ( )
A.表示当t=t0时汽车的加速度
B.表示当t=t0时汽车的瞬时速度
C.表示当t=t0时汽车路程的变化率
D.表示当t=t0时汽车与起点的距离
5.某堆雪在融化过程中,其体积V(单位:m3)与融化时间t(单位:h)之间的函数图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h,那么瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是图中的 ( )
A.t1 B.t2 C.t3 D.t4
6.(多选题)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则下列说法中正确的是 ( )
A.运动员在t=1 s时的瞬时速度是3.3 m/s
B.运动员在t=1 s时的瞬时速度是-3.3 m/s
C.运动员在t=1 s附近以3.3 m/s的速度上升
D.运动员在t=1 s附近以3.3 m/s的速度下降
7.已知曲线y=x2-2上一点P,则曲线在点P处的切线的倾斜角为 .
8.如果一个物体的运动方程为S(t)=则该物体在t=1时的瞬时速度为 ,在t=4时的瞬时速度为 .
9.(13分)子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动,运动方程为S=at2,如果它的加速度a=5×105 m/s2,子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10-3 s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.
10.(多选题)甲、乙的速度v与时间t的关系如图,a(b)是t=b时的加速度,S(b)是从t=0到t=b的路程,则下列说法正确的是 ( )
A.a甲(b)>a乙(b)
B.a甲(b)C.S甲(b)>S乙(b)
D.S甲(b)11.[2025·北京朝阳区高二期末] 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用,提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内,甲、乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示.则下列叙述中正确的是 ( )
A.在[0,t3]这段时间内,甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B.在[t1,t2]这段时间内,甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C.甲水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率大于乙水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率
D.乙水库蓄水量在t1时刻的瞬时变化率大于乙水库蓄水量在t2时刻的瞬时变化率
12.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为 .
13.[2025·江苏江宁中学高二月考] 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x,y=0,x=t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t),则S(t)在t=2时的瞬时变化率是 .
14.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则当Δx无限趋近于0时,无限趋近于 ( )
A.- B.2
C.-1 D.-2
15.(15分)某机械厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c(单位:元)与生产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7000x+600.
(1)求产量为1000台时的总利润与平均利润;
(2)求产量由1000台提高到1500台时,总利润的平均改变量;
(3)当Δx无限趋近于0时,分别求与无限趋近的数值,并说明它们的实际意义.