(共55张PPT)
5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
探究点一 复合函数的概念
探究点二 复合函数的导数
探究点三 复合函数导数的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解简单复合函数的导数,能求简单复合函数的导数.
知识点一 复合函数
一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量, 可以
表示成的函数,那么称这个函数为函数和 的复合函
数,记作 .
知识点二 复合函数的求导法则
一般地,对于由函数和复合而成的函数 ,
它的导数与函数, 的导数间的关系为_____________,
即对的导数等于对的导数与对 的导数的______.
乘积
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数是函数, 的复合函数.
( )
√
（2）函数的导数是 .( )
×
（3）函数的导数为 .( )
√
（4）函数的导数是 .
( )
√
探究点一 复合函数的概念
例1（1）（多选题）下列函数是复合函数的有( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,是由及 相乘得到的,不是复合函数;
对于B,函数是由与 经过复合得到的,
是复合函数;
对于C,函数是由与 经过复合得到的,是复合函数;
对于D,函数是由 与经过复合得到的,
是复合函数.
故选 .
√
√
√
（2）指出下列函数的复合关系:
;
解：是由和
或 经过复合得到的.
（2）指出下列函数的复合关系:
.
解：是由,和 经过复合得到的.
［素养小结］
若与均为基本初等函数,则函数和函数
均为复合函数.
探究点二 复合函数的导数
例2 求下列函数的导数:
（1） ;
解：原函数可看作, 的复合函数,
则 .
（2） ;
解：可看作, 的复合
函数,则 .
（3） ;
解：原函数可看作, 的复合函数,
则 .
例2 求下列函数的导数:
（4） ;
解：原函数可看作, 的复合函数,
则 .
（5） .
解：原函数可看作, 的复合函数,
则 .
例2 求下列函数的导数:
变式 求下列函数的导数:
（1） ;
解：设,,则 .
（2） ;
解：设, ,
则 .
（3） ;
解：设, ,
则 .
（4） ;
解：设, ,
则 .
变式 求下列函数的导数:
（5） .
解：设, ,
则 .
变式 求下列函数的导数:
［素养小结］
复合函数求导的一般步骤:
（1）正确分清复合关系,选定中间变量;
（2）分步计算对应变量的导数;
（3）把中间变量回代,将导函数写成关于自变量的函数.
探究点三 复合函数导数的应用
例3 设函数.若曲线在点 处的
切线方程为，求， 的值．
解：由 ，得
.
显然切点既在曲线上，又在切线 上，将
代入切线方程得 ，
所以切点坐标为，可求得，则 .
由题意知，所以 .
变式 已知直线与曲线相切，则 ___.
1
[解析] 设切点坐标为，
因为 ，所以，
所以切线的斜率，
又 ，
所以，所以，又，所以 .
［素养小结］
求解与复合函数的图象有关的切线问题时,首先要牢记复合函数的求
导方法,准确求出函数的导数,其次利用导数的几何意义求解.
1.求复合函数的导数需处理好以下环节:
（1）中间变量的选择应是基本初等函数结构;
（2）正确分析函数的复合层次;
（3）一般是从最外层开始,由外及里,一层层进行求导;
（4）善于把一部分表达式作为一个整体;
（5）最后要把中间变量换成自变量的函数.
2.利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤:
1.求复合函数的导数,关键是搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,再
由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导.同时应注意不能遗漏求
导环节并及时化简计算结果.
例1（1）已知函数,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,
所以 .故选D.
√
（2）［2024·杭州二中高二期末］已知,则
____________.
[解析] .
2.复合函数求导法则的应用
利用复合函数的求导法则可以求抽象函数的导数.
例2 求证:（1）可导的奇函数的导函数是偶函数;
证明：设 是可导的奇函数,
则 ,
两边对求导,得 ,
即,得 ,
从而 为偶函数,故原命题成立.
例2 求证:（2）可导的周期函数的导函数是周期函数.
证明： 设 是可导的周期函数,
为 的一个周期,
则对定义域内的每一个,都有 ,
两边对求导,得 ,
即,从而也是以 为周期的周期函数,故原命题成立.
练习册
1.下列函数不可以看成复合函数的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 选项A是两函数积的形式，不是复合函数，选项B，C，D均
可以看成复合函数．故选A.
√
2.已知，则其导函数 ( )
A. B.
C. D.
[解析] ,故选D.
√
3.曲线 在原点处的切线的斜率为( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 令，则，所以 ，
故所求切线的斜率为 ，故选D.
√
4.下列函数求导正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
√
[解析] 对于A， ，故A错误;
对于B， ，故B错误；
对于C， ,
故C正确;
对于D， ，故D错误.
故选C.
5.［2025·江苏金陵中学高二月考］已知函数
，则 ( )
A.1 B. C.2 D.3
[解析] 因为 ，
所以，令，可得 ，
解得 .故选B.
√
6.（多选题）给出定义:若函数在上可导,即 存在,且导函数
在上也可导,则称在 上存在二阶导函数,记
,若在上恒成立,则称在 上为凸函数.
以下四个函数在 上为凸函数的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,由,得 ,则
,则在上恒有 ,故A符合题意;
对于B,由,得，则,则在
上恒有,故B符合题意;
对于C,由 ,得,则,则在
上恒有 ,故C不符合题意;
对于D,由,得 ,则,
则在上恒有 ,故D符合题意.
故选 .
7.［2025·江苏苏州中学高二质检］已知函数 ，
则曲线在点 处的切线方程为____________________.
[解析] 由题知, ，
所以，则曲线在点 处的切线方程为
，即 .
8.［2025·湖南长沙一中高二调研］已知
的图象在点处的切线与 轴平行，
则一个符合要求的 的值为__________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为的图象在点 处的切
线与轴平行，所以
解得，则为符合要求的 的一个值.
9.（13分）求下列函数的导数:
（1） ;
解: .
（2） ;
解:
.
（3） ;
解: .
（4） .
解: .
9.（13分）求下列函数的导数:
10.（13分）函数的图象在点 处的切线与直线
的距离为，求直线 的方程．
解:， ．
的图象在点处的切线方程为 ，即
．
设直线的方程为 ，
根据题意，得 ，可得或 ．
直线的方程为或 ．
11.若直线是曲线与的公切线，则直线 的
方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得，由，得 .
设直线与曲线相切于点,与曲线
相切于点，则，故 ,
又，所以,，所以直线过点 ，
斜率为1，则直线的方程为 .故选A.
12.［2025·江苏兴化中学高二质检］函数 的图象与
直线 相切，则以下结论中错误的是( )
A.若，则 B.若，则
C. D.
√
[解析] 设的图象与直线 相切于点
，则,，则 ,可得
,即，所以切点为.
又切线斜率为 ，所以切线方程为,
即 ，则,可得.
由①②得,则 ，则，选项C中结论错误，
选项D中结论正确.
所以当 时，，选项A中结论正确.
当时， ，选项B中结论正确.
故选C.
13.（多选题）［2025·江苏苏州中学高二月考］ 若曲线
为自然对数的底数，为常数 有两条过坐标原点的
切线，则 的取值可以是( )
A. B. C.0 D.1
√
√
[解析] 设切点为 ，由题意知
，所以切线的斜率
，则此曲线在点 处的切线方程为
，
又此切线过坐标原点，所以 ，
由此推出有两个不等的实根，所以，
解得 或，故选 .
14.直线与函数和 的图象都相切，
则 _______.
[解析] 由题意知,.设直线 与函数
的图象的切点为，则
设直线与函数的图象的切点为 ，则
由,,可得，则 ，
又，，所以.
由 , ,得，所以.
可得 ，得 ，
所以
15.在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变
量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商
品的市场销售量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以
及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品销售量
的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是
计算二元函数在 处偏导数的全过
程：， ，所以
， .根据
上述过程，若二元函数 ，则
__.
[解析] 根据题意得， ，
则， ，
因此 .
16.（15分）求证:“可导函数的图象关于直线 对称”的充
要条件是“导函数的图象关于点 中心对称”.
证明:若可导函数的图象关于直线 对称,
则 恒成立,
所以 ,
故 ,
即 ,
因此导函数的图象关于点 中心对称,必要性成立.
若导函数的图象关于点 中心对称,
则 恒成立,
即 恒成立,
因此为常数 恒成立,
令,得 ,
所以 ,
因此可导函数的图象关于直线 对称,充分性成立.得证.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点二 乘积
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）√
课中探究 例1 （1）BCD
（2）是由和或
经过复合得到的.
是由,和经过复合得到的.
例2 （1） （2） （3）
（4） （5）
变式 （1） （2） （3）
（4）（5）
例3 , 变式 1
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 6.ABD 7. 8.（答案不唯一）
9.（1） （2）
（3） （4）
10. 或
11.A 12.C 13.AD 14.
15. 16.略5.2.3 简单复合函数的导数
【课前预习】
知识点二
y'x=y'u·u'x 乘积
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BCD [解析] 对于A,y=xln x是由u=x及v=ln x相乘得到的,不是复合函数;对于B,函数y=(3x+6)2是由y=u2与u=3x+6经过复合得到的,是复合函数;对于C,函数y=esin x是由y=eu与u=sin x经过复合得到的,是复合函数;对于D,函数y=sin是由y=sin u与u=x+经过复合得到的,是复合函数.故选BCD.
(2)解:①y=ln(x2+3x-4)是由y=ln u和u=x2+3x-4(x>1或x<-4)经过复合得到的.
②y=esin(x+2)是由y=eu,u=sin v和v=x+2经过复合得到的.
探究点二
例2 解:(1)原函数可看作y=u4,u=2x-1的复合函数,则y'x=y'u·u'x=(u4)'·(2x-1)'=4u3·2=8(2x-1)3.
(2)y==(1-2x可看作y=,u=1-2x的复合函数,则y'x=y'u·u'x=-·(-2)=(1-2x=.
(3)原函数可看作y=sin u,u=-2x+的复合函数,则y'x=y'u·u'x=-2cos u=-2cos=-2cos.
(4)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数,则y'x=y'u·u'x=10u×2×ln 10=(ln 100)102x+3.
(5)原函数可看作y=ln u,u=4x-1的复合函数,则y'x=y'u·u'x=·4=.
变式 解:(1)设y=eu,u=3x+2,则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2.
(2)设y=5log2u,u=2x+1,则y'x=5(log2u)'·(2x+1)'==.
(3)设y=u5,u=3x-,则y'x=(u5)''=5u4·=5.
(4)设y=cos u,u=2x+1,
则y'x=(cos u)'·(2x+1)'=-2sin u=-2sin(2x+1).
(5)设y=sin u,u=-3x,则y'x=(sin u)'·' =-3cos u=-3cos=3sin 3x.
探究点三
例3 解:由f(x)=aexln x+,得f'(x)=(aexln x)'+'=aexln x++.
显然切点既在曲线y=f (x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程得y=2,
所以切点坐标为(1,2),可求得f(1)=b,则b=2.
由题意知f'(1)=ae=e,所以a=1.
变式 1 [解析] 设切点坐标为(x0,3x0),因为y=ln(3x-a)+2,所以y'=,所以切线的斜率k==3,又3x0=ln(3x0-a)+2,所以3x0=ln 1+2,所以x0=,又3x0-a=1,所以a=1.5.2.3 简单复合函数的导数
1.A [解析] 选项A是两函数积的形式,不是复合函数,选项B,C,D均可以看成复合函数.故选A.
2.D [解析] f'(x)=3x2+cos 3x·(3x)'=3x2+3cos 3x,故选D.
3.D [解析] 令f(x)=ln[(x-1)2],则f'(x)=,所以f'(0)=-2,
故所求切线的斜率为-2,故选D.
4.C [解析] 对于A,f'(x)==,故A错误;对于B,f'(x)=e2x·2=2e2x,故B错误;对于C,f'(x)=[(2x-1]'=(2x-1×2=(2x-1=,故C正确;对于D,f'(x)=×2=-2sin,故D错误.故选C.
5.B [解析] 因为f(x)=ln(2x-1)+3xf'(1),所以f'(x)=+3f'(1),令x=1,可得f'(1)=+3f'(1),解得f'(1)=-1.故选B.
6.ABD [解析] 对于A,由f(x)=sin,得f'(x)=cos,则f″(x)=-sin,则在上恒有f″(x)<0,故A符合题意;对于B,由f(x)=ln(x-2),得f'(x)=,则f″(x)=-,则在上恒有f″(x)<0,故B符合题意;对于C,由f(x)=x3+2x-1,得f'(x)=3x2+2,则f″(x)=6x,则在上恒有f″(x)>0,故C不符合题意;对于D,由f(x)=xe-x,得f'(x)=(1-x)e-x,则f″(x)=(x-2)e-x,则在上恒有f″(x)<0,故D符合题意.故选ABD.
7.x·ln 2+y-ln 2=0 [解析] 由题知f(1)=0,f'(x)=-×ln(x+1)+×,所以f'(1)=-ln 2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=-ln 2(x-1),即x·ln 2+y-ln 2=0.
8.(答案不唯一) [解析] 因为f(x)=2sin(x+φ)-1(φ>0)的图象在点(π,1)处的切线与x轴平行,所以
解得φ=2kπ-(k∈Z),则为符合要求的φ的一个值.
9.解:(1)y'=(e-0.05x+1)'=e-0.05x+1·(-0.05x+1)'=-0.05e-0.05x+1.
(2)y'='=cos·'=2πcos.
(3)y'==
=.
(4)y'==
.
10.解:∵f'(x)=(e2x)'·cos 3x+e2x·(cos 3x)'=2e2x·cos 3x-3e2x·sin 3x,∴f'(0)=2.
∴f(x)的图象在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.
设直线l的方程为y=2x+b,
根据题意,得=,
可得b=6或b=-4.
∴直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.
11.A [解析] 由y=ln x-1,得y'=,由y=ln(x-1),得y'=.设直线l与曲线y=ln x-1相切于点(x1,ln x1-1),与曲线y=ln(x-1)相切于点(x2,ln(x2-1)),则=,故x1=x2-1,又=,所以x1=1,x2=2,所以直线l过点(1,-1),斜率为1,则直线l的方程为y=x-2.故选A.
12.C [解析] 设f(x)=ex+m-n的图象与直线y=ex相切于点(t,et+m-n),则f'(x)=ex+m,f'(t)=et+m,则et+m=e,可得t+m=1,即t=1-m①,所以切点为(t,e-n).又切线斜率为e,所以切线方程为y-(e-n)=e(x-t),即y=ex-et+e-n,则-et+e-n=0,可得t=1-②.由①②得1-m=1-,则m=,则n=em,选项C中结论错误,选项D中结论正确.所以当m=1时,n=e,选项A中结论正确.当n=1时,m=,选项B中结论正确.故选C.
13.AD [解析] 设切点为P(x0,(x0+a)),由题意知y'=e2x+(x+a)e2x·2=(2x+2a+1)e2x,所以切线的斜率k=(2x0+2a+1),则此曲线在点P处的切线方程为y-(x0+a)=(2x0+2a+1) (x-x0),又此切线过坐标原点,所以-(x0+a)=(2x0+2a+1)(-x0),由此推出2+2ax0-a=0有两个不等的实根,所以Δ>0,解得a<-2或a>0,故选AD.
14.-2ln 2 [解析] 由题意知f'(x)=ex-1,g'(x)=ex.设直线y=kx+b与函数f(x)=ex-1的图象的切点为(x1,y1),则设直线y=kx+b与函数g(x)=ex-2的图象的切点为(x2,y2),则由k=,k=,可得=,则x1-1=x2,又y1=,y2=-2,所以y1-y2=2.由y1=kx1+b,y2=kx2+b,得y1-y2=k(x1-x2),所以k=2.可得=2,得x2=ln 2,所以b=y2-kx2=-2-2x2=2-2-2ln 2=-2ln 2.
15. [解析] 根据题意得g'x(x,y)=,g'y(x,y)=,则g'x(1,2)==,g'y(1,2)==,因此g'x(1,2)+g'y(1,2)=.
16.证明:若可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,
则f(x)=f(2a-x)恒成立,
所以f'(x)=[f(2a-x)]',
故f'(x)=-f'(2a-x),
即f'(x)+f'(2a-x)=0,
因此导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称,必要性成立.
若导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称,
则f'(x)+f'(2a-x)=0恒成立,
即[f(x)-f(2a-x)]'=0恒成立,
因此f(x)-f(2a-x)=C(C为常数)恒成立,
令x=a,得C=0,所以f(x)=f(2a-x),
因此可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,充分性成立.得证.5.2.3 简单复合函数的导数
【学习目标】
理解简单复合函数的导数,能求简单复合函数的导数.
◆ 知识点一 复合函数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f[g(x)].
◆ 知识点二 复合函数的求导法则
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f[g(x)],它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=ln(2x2+x)是函数y=ln u,u=2x2+x的复合函数. ( )
(2)函数y=(2x+1)2的导数是y'=4x+2.( )
(3)函数y=e2x-1的导数为y'=2e2x-1. ( )
(4)函数y=cos(2x2+x)的导数是y'=-(4x+1)sin(2x2+x). ( )
◆ 探究点一 复合函数的概念
例1 (1)(多选题)下列函数是复合函数的有( )
A.y=xln x
B.y=(3x+6)2
C.y=esin x
D.y=sin
(2)指出下列函数的复合关系:
①y=ln(x2+3x-4);②y=esin(x+2).
[素养小结]
若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f[g(x)]和函数y=g[f(x)]均为复合函数.
◆ 探究点二 复合函数的导数
例2 求下列函数的导数:
(1)y=(2x-1)4;(2)y=;(3)y=sin;(4)y=102x+3;(5)y=ln(4x-1).
变式 求下列函数的导数:
(1)y=e3x+2 ;(2)y=5log2(2x+1);(3)y=;(4)y=cos(2x+1);(5)y=sin.
[素养小结]
复合函数求导的一般步骤:
(1)正确分清复合关系,选定中间变量;
(2)分步计算对应变量的导数;
(3)把中间变量回代,将导函数写成关于自变量的函数.
◆ 探究点三 复合函数导数的应用
例3 设函数f(x)=aexln x+.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
变式 已知直线y=3x与曲线y=ln(3x-a)+2相切,则a= .
[素养小结]
求解与复合函数的图象有关的切线问题时,首先要牢记复合函数的求导方法,准确求出函数的导数,其次利用导数的几何意义求解.5.2.3 简单复合函数的导数
1.下列函数不可以看成复合函数的是 ( )
A.y=xcos x B.y=
C.y=(2x+3)4 D.y=sin
2.已知f(x)=x3+sin 3x,则其导函数f'(x)= ( )
A.3x2+3cos x B.x3+3cos x
C.x3+3cos 3x D.3x2+3cos 3x
3.曲线y=ln[(x-1)2]在原点处的切线的斜率为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
4.下列函数求导正确的是 ( )
A.若f(x)=,则f'(x)=
B.若f(x)=e2x,则f'(x)=e2x
C.若f(x)=,则f'(x)=
D.若f(x)=cos,则f'(x)=-sin
5.[2025·江苏金陵中学高二月考] 已知函数f(x)=ln(2x-1)+3xf'(1),则f'(1)= ( )
A.1 B.-1
C.2 D.3
6.(多选题)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f'(x)]',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上为凸函数的是 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=ln(x-2)
C.f(x)=x3+2x-1
D.f(x)=xe-x
7.[2025·江苏苏州中学高二质检] 已知函数f(x)=ln(1+x),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 .
8.[2025·湖南长沙一中高二调研] 已知f(x)=2sin(x+φ)-1(φ>0)的图象在点(π,1)处的切线与x轴平行,则一个符合要求的φ的值为 .
9.(13分)求下列函数的导数:
(1)y=e-0.05x+1;
(2)y=sin;
(3)y=ln;
(4)y=.
10.(13分)函数f(x)=e2x·cos 3x的图象在点(0,1)处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程.
11.若直线l是曲线y=ln x-1与y=ln(x-1)的公切线,则直线l的方程为 ( )
A.y=x-2 B.y=x
C.y=x+1 D.y=ex
12.[2025·江苏兴化中学高二质检] 函数f(x)=ex+m-n的图象与直线y=ex相切,则以下结论中错误的是 ( )
A.若m=1,则n=e
B.若n=1,则m=
C.n=m+e
D.n=em
13.(多选题)[2025·江苏苏州中学高二月考] 若曲线y=(x+a)e2x(e为自然对数的底数,a为常数)有两条过坐标原点的切线,则a的取值可以是 ( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
14.直线y=kx+b与函数f(x)=ex-1和g(x)=ex-2的图象都相切,则b= .
15.在许多实际问题中,一个因变量往往与几个自变量有关,即因变量的值依赖于几个自变量,这样的函数称为多元函数.例如,某种商品的市场销售量不仅仅与其市场价格有关,而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关,即决定该商品销售量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数z=f(x,y)=2x2+y+3xy2在(1,2)处偏导数的全过程:f'x(x,y)=4x+3y2,f'y(x,y)=1+6xy,所以f'x(1,2)=4×1+3×22=16,f'y(1,2)=1+6×1×2=13.根据上述过程,若二元函数z=g(x,y)=ln(x2+y2),则g'x(1,2)+g'y(1,2)= .
16.(15分)求证:“可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称”的充要条件是“导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称”.
