(共58张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第1课时 不含参数的函数单调性
探究点一 函数图象与导函数图象的关系
探究点二 求函数的单调区间
探究点三 判断不含参数的函数单调性
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
知识点一 函数的单调性与导函数的关系
1.在区间内函数的单调性与导函数 的正负之间的关系
如表所示:
单调递____
单调递____
增
减
如:函数，当时,， 单
调递增；当时,, 单调递减，如
图所示.
知识点二 利用导数求函数的单调区间的一般步骤
第1步,确定函数 的________;
第2步,求出导数 的______;
第3步,用的零点将 的定义域划分为若干个______,列表给出
在各区间上的______,由此得出函数 在定义域内的
___________.
定义域
零点
区间
正负
单调区间
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在某个区间内,如果,那么函数 在这个区间内
单调递增.( )
√
（2）在某个区间内,如果,那么函数 在这个区间内
单调递减.( )
√
（3）函数的增区间为 .( )
×
（4）“对任意,都有”是“在 内单调递增”
的充要条件.( )
×
2.一般地，可导函数在区间 内单调递增（减）的充要
条件是什么？
解：对任意的，都有，且在
的任何子区间内都不恒等于0.
探究点一 函数图象与导函数图象的关系
例1 已知函数和 的图象分别如图①②所示,试分别
画出其导函数的大致图象.
①
②
解：分别画出函数和的导函数 和
的大致图象如图（1）（2）所示.
（1）
（2）
变式 已知的导函数 的图象如
图所示,则 的图象最有可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得在和上单调递减,在 上
单调递增,故选A.
√
［素养小结］
函数图象的变化可以通过导数的正负来分析判断,即导数的符号为正,
函数图象上升,导数的符号为负,函数图象下降.看导函数的图象时,主
要是看图象在轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调
性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
探究点二 求函数的单调区间
例2 ［2025·江苏宿迁中学高二月考］函数 ( )
A.是增函数
B.在上单调递增，在 上单调递减
C.是减函数
D.在上单调递减，在 上单调递增
√
[解析] 由，，得，
令 ，即，解得，
则当时，，当 时，，
所以已知函数在上单调递减，在 上单调递增，
故选D.
变式 ［2025·山东青岛二中高二月考］函数 的增区间
为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为， ，
则.
令，解得 ，则函数的增区间为 .故选D.
√
［素养小结］
求可导函数单调区间的一般步骤
1.确定函数的定义域；
2.求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
3.把函数的“间断点”（使无定义的数值）和方程的
各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定
义域分成若干个小区间；
4.确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在
每个相应小区间内的单调性．
拓展（1）［2025·江苏锡山中学高二质检］已知函数
在区间上单调递减，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] ,由 ,可得，
由题意可知，所以
解得 .故选B.
√
（2）［2025·湖南长沙一中高二质检］若函数
在其定义域的一个子区间 内
不单调，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数的定义域为，所以，即 ，
可得，
令 ，得或（舍去），
因为 在定义域的一个子区间内不单调，
所以，得 .
综上可得 ，故选D.
探究点三 判断不含参数的函数单调性
例3 已知函数，判断 的单调性，并说明
理由.
解：由，得 ，
，
令，则 ，
可得在上单调递增，， ，
则在 上单调递增.
变式 已知函数.试判断函数在 上
的单调性并证明你的结论.
解：函数在 上为减函数，证明如下.
因为，所以 ，
又因为，所以，，所以 ，
所以函数在 上为减函数.
［素养小结］
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤求解即可，
但应注意两点：（1）不能漏掉求函数的定义域；（2）函数的单调
区间不能用并集，要用“，（逗号）”或“和”隔开．
1.在区间上,是在 上单调递增的充分不必要条
件.例如:若,则,满足 ,
,而函数在 上单调递增.
学生易误认为只要在上有,则在 上是常函数,
要明白个别导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在这个区
间上恒有,函数 在这个区间上才为常函数.
2.利用导数研究函数单调性的注意事项
（1）在利用导数研究函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,在
定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调性.
（2）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单
调区间中间不能用“ ”连接,可用“,”隔开或用“和”连接.
（3）在对函数划分单调区间时,除了注意使导数等于零的点外,还要
注意在定义域内不连续的点和不可导的点.
（4）区间的端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间,对结论
没有影响.
单调性简单的综合问题补充
例1 已知函数是上的偶函数，且在上有 ，若
，则关于的不等式 的解集是________________．
[解析] 因为在上，所以 在
上单调递增，又 为偶函数，所以
，且在 上单调递减，
作出 的大致图象，如图所示，
等价于或 由图可知不等式的解集为
．
例2 已知函数为常数，为自然对数的底数 ，曲线
在点处的切线与 轴平行．
（1）求实数 的值；
解：由，可得.
曲线 在点处的切线与轴平行，
，即，解得 .
（2）求函数 的单调区间．
解：由（1）知， ，
设 ，
则 .
可知在 上单调递减，
由知，当时，，即 ；
当时，，即 .
综上，的增区间是，减区间是 ．
练习册
1.如图是函数的导函数 的图象，则下列判断中正确的是
( )
A.函数在区间 上单调递减
B.函数在区间 上单调递减
C.函数在区间 上单调递减
D.函数在区间 上单调
√
[解析] 对于A，当时，，函数 单调递减，故
A正确；
对于B，当时，或或 ，
所以函数 先单调递减，再单调递增，故B错误；
对于C，当时，，函数 单调递增，故C错误；
对于D，由选项B的分析可知,函数在 上不单调,故D错误.
故选A.
2.函数 的减区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以，
令，得 ，所以的减区间为 ，故选B.
√
3.函数 的增区间是( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
令,得，
所以函数 的增区间是 .故选D.
√
4.［2025·山东菏泽一中高二月考］下列函数中，在 上单调递
增的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，是周期函数，当 ，即
时，函数单调递减，不满足题意.
对于B， ，，可得当时，
， 在上单调递增，满足题意.
√
， 当时，
, 单调递减,当时,, 单调递增，
不满足题意.
对于D，，，
当 时，，单调递增，当时，
， 单调递减，不满足题意．
故选B.
5.［2025·江苏徐州一中高二质检］函数 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知的定义域是， ，
则当时，当时，，所以 的减
区间是，
由题意知，所以 解得 ．故选B.
√
6.（多选题）［2025· 江苏启东中学高二月考］已知函数 的定义
域为，其导函数的图象如图所示，则对于任意 ,
，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题中图可知，导函数的图象在
轴下方，即 ，且其绝对值越来越小，
因此在函数 图象上任一点处的切线的斜率
为负数，并且从左到右切线的倾斜角是越来越
大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．
A选项表示 与 异号，
即图象的割线斜率 为负数，故A正确；
B选项表示与 同号， 即图象的割线斜率
为正数，故B不正确；
表示 对应的函数值，即
图中点的纵坐标，表示当 和
时所对应的函数值的平均数，即图中点
的纵坐标，显然有 ，故C
不正确，D正确．
故选 .
7.［2025·安徽安庆一中高二月考］函数 ，
， 的增区间是________________.
和
[解析] ，当时， ，；
当时，, ；
当时，,；
当 时，,，
故函数的增区间是和 .
8.已知函数 的图象如图所示，
则不等式 的解集为_________________.
[解析] 由函数的图象可知当或时， ;
当时，
等价于 或
故不等式的解集为 .
9.（13分）已知函数, .
（1）求曲线在点 处的切线方程;
解：因为, ,
所以,,所以 ,
又,所以曲线在点 处的切线方程为
,即 .
（2）求证:在 上单调递增.
证明:由（1）知,则 ，
当时，, ,
所以 ,
所以在 上恒成立，
则在 上单调递增.
9.（13分）已知函数, .
10.［2025· 江苏江宁高级中学高二质检］已知函数 的图象如
图所示（其中是函数 的导函数），下面四个图象中可能是
图象的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由的图象知，当
时，，故， 单调递增；
当时，，故 ，
当时，，故 ，等号仅有可
能在处取得，所以当时， 单调递减；
当时，，故， 单调递增.
结合选项知只有C符合题意.故选C.
11.［2025·福建福州一中高二月考］若函数 在其定义
域的子区间上不单调，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的定义域为 ，且
，由得 ,由
得,所以的减区间为，增区间为 .
因为在其定义域的子区间 上不单调，
所以 解得 ，故选B.
12.［2025·江苏海安中学高二月考］已知在上可导的函数 的图
象如图所示，则不等式 的解集为____________________
_______．
[解析] 由函数的图象可知,当 时，；当
或时， .
当或时，；当 时，.
，则；
当 时，,,，则 ；
当时，,, ，则；
当时，, , ，则;
当时, ,,,则 .
综上的解集为 .
13.［2025·江苏盐城中学高二质检］已知函数
与的图象如图所示，则函数 的减
区间为______________．
，
[解析] 由题中图可知，不等式 的解集为
， ，由，
可得 ，解得.
因此函数 的减区间为， ．
14.（15分）设函数, .
（1）求的图象在 处的切线方程；
解：因为,所以 ,
所以, ,
所以的图象在处的切线方程为 .
（2）若在上单调递增，求实数 的取值范围.
解：因为在 上单调递增，
所以恒成立，即 恒成立.
令 ,可得 ,
则当时， ，
当时， ,
所以在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，所以 .
所以,即实数的取值范围为 .
15.［2025·江苏泰州中学高二调研］已知函数 ，则
是 的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 由题意可得，则 恒成立，所以函数
在 上单调递增，
又,所以函数 是奇函数.
当，即时，可得 ，
即；
当，即 时，可得，
即.
所以“”是“ ”的充要条件.故选C.
16.（15分）已知函数 ．
（1）求曲线在点 处的切线方程；
解：由题意知， ，
则，
又 ，
所以曲线在点 处的切线方程是
，
即 .
（2）求证：在 上单调递减．
证明：令 ，则，
易知在 上单调递减,且, ，
所以存在，使，即 ，
当时， ，
当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，所以
，
，
当且仅当，即 时，等号成立，
因为,所以等号不成立，则 ，
所以在 上单调递减．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.增 减
知识点二 定义域 零点 区间 正负 单调区间
【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）× （4）×
2.解：对任意的，都有，且在的任何子
区间内都不恒等于0.
课中探究 例1 略
变式 A 例2 D 变式 D 拓展 （1）B （2）D
例3 在上单调递增.
变式 函数在上为减函数
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.AD 7.和 8.
9.（1）（2）略
10.C 11.B 12. 13.，
14.（1）（2） 15.C
16.（1）（2）略5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第1课时 不含参数的函数单调性
【课前预习】
知识点一
增 减
知识点二
定义域 零点 区间 正负 单调区间
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.解:对任意的x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.
【课中探究】
探究点一
例1 解:分别画出函数y=f(x)和y=g(x)的导函数y=f'(x)和y=g'(x)的大致图象如图(1)(2)所示.
(1) (2)
变式 A [解析] 由题意可得f(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递减,在(-2,0)上单调递增,故选A.
探究点二
例2 D [解析] 由y=xln x,x>0,得y'=ln x+x·=ln x+1,令y'=0,即ln x+1=0,解得x=,则当0时,y'>0,所以已知函数在上单调递减,在上单调递增,故选D.
变式 D [解析] 函数的定义域为(0,+∞),y=+ln x=x++ln x,则y'=1-+==.令y'>0,解得x>1,则函数的增区间为(1,+∞).故选D.
拓展 (1)B (2)D [解析] (1)f'(x)=x-=(x>0),由f'(x)≤0,可得0解得≤a≤.故选B.
(2)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以2k-1≥0,即k≥,可得f'(x)=2x+1-==,令f'(x)=0,得x=或x=-1(舍去),因为f(x)在定义域的一个子区间(2k-1,2k+1)内不单调,所以2k-1<<2k+1,得-探究点三
例3 解:由ex-1>0,x>0得x>0,f'(x)=-==,令g(x)=(x-1)ex+1(x>0),则g'(x)=ex+(x-1)ex=xex>0,可得g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴g(x)>g(0)=0,∴f'(x)>0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增.
变式 解:函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,证明如下.
因为f(x)=(x>0),所以f'(x)=,
又因为x>0,所以>0,ln(1+x)>0,所以f'(x)<0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第1课时 不含参数的函数单调性
1.A [解析] 对于A,当x∈(-3,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故A正确;对于B,当x∈(-3,2)时,f'(x)<0或f'(x)=0或f'(x)>0,所以函数f(x)先单调递减,再单调递增,故B错误;对于C,当x∈(0,2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故C错误;对于D,由选项B的分析可知,函数f(x)在(-3,2)上不单调,故D错误.故选A.
2.B [解析] 因为f(x)=x2-ln x,所以f'(x)=x-=(x>0),令f'(x)<0,得03.D [解析] f(x)=(x-3)ex,f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,令f'(x)=(x-2)ex>0,得x>2,所以函数f(x)=(x-3)ex的增区间是(2,+∞).故选D.
4.B [解析] 对于A,f(x)=sin 2x是周期函数,当2x∈,即x∈时,函数单调递减,不满足题意.对于B,∵f(x)=xex,∴f'(x)=(1+x)ex,可得当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足题意.对于C,∵f(x)=x3-x,∴f'(x)=3x2-1,∴当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,不满足题意.对于D,∵f(x)=-x+ln x,∴f'(x)=-1+=(x>0),∴当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,不满足题意.故选B.
5.B [解析] 由题意知f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=x-=,则当03时,f'(x)>0,所以f(x)的减区间是(0,3),由题意知(m,m+1) (0,3),所以解得0≤m≤2.故选B.
6.AD [解析] 由题中图可知,导函数f'(x)的图象在x轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此在函数f(x)图象上任一点处的切线的斜率为负数,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率为负数,故A正确;B选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x)图象的割线斜率为正数,故B不正确;f表示对应的函数值,即图中点B的纵坐标,表示当x=x1和x=x2时所对应的函数值的平均数,即图中点A的纵坐标,显然有f<,故C不正确,D正确.故选AD.
7.和 [解析] y'=xcos x,当-π0;当-0,∴y'=xcos x<0;当00,∴y'=xcos x>0;当8.∪(2,+∞) [解析] 由函数f(x)(x∈R)的图象可知当x<或x>2时,f'(x)>0;当0等价于
或故不等式xf'(x)>0的解集为∪(2,+∞).
9.解:(1)因为f(x)=ex+cos x,x≥0,
所以f'(x)=ex-sin x,x≥0,所以f'(0)=1,
又f(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-2=x,即x-y+2=0.
(2)证明:由(1)知f'(x)=ex-sin x,则f'(0)=e0-0=1>0,
当x>0时,ex>1,-1≤sin x≤1,
所以f'(x)=ex-sin x>1-sin x≥0,
所以f'(x)>0在[0,+∞)上恒成立,
则f(x)在[0,+∞)上单调递增.
10.C [解析] 由y=xf'(x)的图象知,当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,故f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,故f'(x)<0,当x∈[0,1)时,xf'(x)≤0,故f'(x)≤0,等号仅有可能在x=0处取得,所以当x∈(-1,1)时,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,故f'(x)>0,f(x)单调递增.结合选项知只有C符合题意.故选C.
11.B [解析] 函数f(x)=-ln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x-==,由f'(x)<0得00得x>1,所以f(x)的减区间为(0,1),增区间为(1,+∞).因为f(x)在其定义域的子区间上不单调,所以
解得12.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,+∞)
[解析] 由函数f(x)的图象可知,当x<-2时,f(x)<0;当-20时,f(x)>0.当x<-1或x>0时,f'(x)>0;当-10,则>0;当-20,f'(x)>0,则<0;当-10,f'(x)<0,则>0;当00,f'(x)>0,则<0;当x>1时,x-1>0,f(x)>0,f'(x)>0,则>0.综上>0的解集为(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,+∞).
13.(0,1),(4,+∞) [解析] 由题中图可知,不等式f'(x)-f(x)<0的解集为(0,1)∪(4,+∞).∵g(x)=,∴g'(x)==,由g'(x)<0,可得f'(x)-f(x)<0,解得x∈(0,1)∪(4,+∞).因此函数g(x)=的减区间为(0,1),(4,+∞).
14.解:(1)因为f(x)=(a+ex)x,所以f'(x)=xex+a+ex=(x+1)ex+a,
所以f'(0)=1+a,f(0)=0,
所以f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=(1+a)x.
(2)因为f(x)在R上单调递增,
所以f'(x)=(x+1)ex+a≥0恒成立,即a≥-(x+1)ex恒成立.
令h(x)=-(x+1)ex,
可得h'(x)=-(x+2)ex,
则当x∈(-∞,-2)时,h'(x)>0,
当x∈(-2,+∞)时,h'(x)<0,
所以h(x)=-(x+1)ex在区间(-∞,-2)上单调递增,
在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(-2)=e-2.
所以a≥e-2,即实数a的取值范围为[e-2,+∞).
15.C [解析] 由题意可得f'(x)=3x2+1,则f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)=x3+x在R上单调递增,又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.当a+b>0,即a>-b时,可得f(a)>f(-b)=-f(b),即f(a)+f(b)>0;当f(a)+f(b)>0,即f(a)>-f(b)=f(-b)时,可得a>-b,即a+b>0.所以“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的充要条件.故选C.
16.解:(1)由题意知,f'(x)=ln x+1-ex,
则f'(1)=1-e,又f(1)=1-e,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y-1+e=(1-e)(x-1),
即y=(1-e)x.
(2)证明:令g(x)=f'(x)=ln x+1-ex(x>0),
则g'(x)=-ex,易知g'(x)在(0,+∞)上单调递减,且g'=2->0,g'(1)=1-e<0,
所以存在x0∈,使g'(x0)=-=0,即ln x0=-x0,
当x∈(0,x0)时,g'(x0)>0,
当x∈(x0,+∞)时,g'(x0)<0,
所以f'(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以f'(x)≤f'(x0)=ln x0+1-=-+1,x0+≥2=2,
当且仅当x0=,即x0=1时,等号成立,
因为x0∈,所以等号不成立,则f'(x)<-2+1=-1<0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第1课时 不含参数的函数单调性
【学习目标】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
◆ 知识点一 函数的单调性与导函数的关系
1.在区间(a,b)内函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系如表所示:
f'(x)的正负 f(x)的单调性
f'(x)>0 单调递
f'(x)<0 单调递
如:函数f(x)=x2,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,如图所示.
◆ 知识点二 利用导数求函数的单调区间的一般步骤
第1步,确定函数y=f(x)的 ;
第2步,求出导数f'(x)的 ;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个 ,列表给出f'(x)在各区间上的 ,由此得出函数y=f(x)在定义域内的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增. ( )
(2)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减. ( )
(3)函数f(x)=x3-x的增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞). ( )
(4)“对任意x∈(a,b),都有f'(x)>0”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充要条件. ( )
2.一般地,可导函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件是什么
◆ 探究点一 函数图象与导函数图象的关系
例1 已知函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别如图①②所示,试分别画出其导函数的大致图象.
① ②
变式 已知y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是 ( )
A B C D
[素养小结]
函数图象的变化可以通过导数的正负来分析判断,即导数的符号为正,函数图象上升,导数的符号为负,函数图象下降.看导函数的图象时,主要是看图象在x轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
◆ 探究点二 求函数的单调区间
例2 [2025·江苏宿迁中学高二月考] 函数y=xln x ( )
A.是增函数
B.在上单调递增,在上单调递减
C.是减函数
D.在上单调递减,在上单调递增
变式 [2025·山东青岛二中高二月考] 函数y=+ln x的增区间为 ( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,+∞) D.(1,+∞)
[素养小结]
求可导函数单调区间的一般步骤
1.确定函数f(x)的定义域;
2.求f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出它在定义域内的一切实数;
3.把函数f(x)的“间断点”(使f(x)无定义的数值)和方程f'(x)=0的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;
4.确定f'(x)在各小区间内的符号,根据f'(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小区间内的单调性.
拓展 (1)[2025·江苏锡山中学高二质检] 已知函数f(x)=x2-16ln x在区间(2a-1,2a+1)上单调递减,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·湖南长沙一中高二质检] 若函数f(x)=x2+x-ln x-2在其定义域的一个子区间(2k-1,2k+1)内不单调,则实数k的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
◆ 探究点三 判断不含参数的函数单调性
例3 已知函数f(x)=ln(ex-1)-ln x,判断f(x)的单调性,并说明理由.
变式 已知函数f(x)=(x>0).试判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明你的结论.
[素养小结]
确定不含参的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤求解即可,但应注意两点:(1)不能漏掉求函数的定义域;(2)函数的单调区间不能用并集,要用“,(逗号)”或“和”隔开.5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第1课时 不含参数的函数单调性
1.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断中正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(-3,0)上单调递减
B.函数f(x)在区间(-3,2)上单调递减
C.函数f(x)在区间(0,2)上单调递减
D.函数f(x)在区间(-3,2)上单调
2.函数f(x)=x2-ln x的减区间为 ( )
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
3.函数f(x)=(x-3)ex的增区间是 ( )
A.(-∞,2)
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,+∞)
4.[2025·山东菏泽一中高二月考] 下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.f(x)=sin 2x
B.f(x) =xex
C.f(x)=x3-x
D.f(x)=-x+ln x
5.[2025·江苏徐州一中高二质检] 函数f(x)=x2-9ln x在区间(m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.[0,2]
C.[0,1)
D.(0,2)
6.(多选题)[2025·江苏启东中学高二月考] 已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是 ( )
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f>
D.f<
7.[2025·安徽安庆一中高二月考] 函数y=xsin x+cos x,x∈(-π,π)的增区间是 .
8.已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为 .
9.(13分)已知函数f(x)=ex+cos x,x≥0.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:f(x)在[0,+∞)上单调递增.
10.[2025·江苏江宁高级中学高二质检] 已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中可能是y=f(x)图象的是 ( )
A B C D
11.[2025·福建福州一中高二月考] 若函数f(x)=-ln x在其定义域的子区间上不单调,则实数m的取值范围为 ( )
A.0C.≤m≤1 D.m>1
12.[2025·江苏海安中学高二月考] 已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则不等式>0的解集为 .
13.[2025·江苏盐城中学高二质检] 已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的减区间为 .
14.(15分)设函数f(x)=(a+ex)x,a∈R.
(1)求f(x)的图象在x=0处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
15.[2025·江苏泰州中学高二调研] 已知函数f(x)=x3+x,则a+b>0是f(a)+f(b)>0的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
16.(15分)已知函数f(x)=xln x-ex+1.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递减.
