第2课时 含参数函数的单调性问题及单调性的简单应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:f(x)=aln x+x2-(a+2)x(a>0),该函数的定义域为(0,+∞),
可得f'(x)=+2x-(a+2)==.
由f'(x)=0得x=或x=1.
①当=1,即a=2时,f'(x)≥0对任意的x>0恒成立,且f'(x)不恒为零,
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当>1,即a>2时,由f'(x)>0得0
;
由f'(x)<0得1此时函数f(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减.
③当0<<1,即00得01;
由f'(x)<0得此时函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,函数f(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减;当0变式 解:f'(x)=m+1-=,x∈(0,+∞).
①当m+1=0,即m=-1时,f'(x)=>0,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
②当m+1<0,即m<-1时,
令f'(x)>0,得0令f'(x)<0,得x>,
所以f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
③当m+1>0,即m>-1时,若-10,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
若m>0,令f'(x)<0,得00,得x>,
所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.
综上,当m<-1时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减;当-1≤m≤0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.
探究点二
例2 解: (1)因为f(x)在R上为增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,
所以a≤3x2对任意x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f(x)=x3-1,此时f(x)在R上为增函数,所以a的取值范围是(-∞,0].
(2)因为f'(x)=3x2-a,且f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2对任意x∈(1,+∞)恒成立,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].
(3)因为f'(x)=3x2-a,且f(x)在(-1,1)上单调递减,所以f'(x)≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2对任意x∈(-1,1)恒成立.因为x∈(-1,1),所以3x2∈[0,3),则a≥3,所以a的取值范围是[3,+∞).
(4)f'(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f'(x)≥0,此时f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,不满足题意.
②当a>0时,由f'(x)<0得3x2-a<0,所以x2<,可得-(5)f'(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f'(x)≥0,故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,不满足题意.
②当a>0时,因为f(x)在(-1,1)上不单调,所以方程f'(x)=0在(-1,1)内有解,由f'(x)=0,得x=±,所以0<<1,解得0变式 (1)C (2)D [解析] (1)因为函数f(x)=(x+k)ex,所以f'(x)=(x+k+1)ex,因为函数f(x)=(x+k)ex在区间(1,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,则x+k+1≥0当x∈(1,+∞)时恒成立, 即k≥-x-1当x∈(1,+∞)时恒成立,所以k≥-2,故选C.
(2)∵f(x)=ln x+ax2-2,∴f'(x)=+2ax,∵f(x)在区间内存在增区间,∴f'(x)>0在内有解,故a>-当x∈时有解.令g(x)=-,则易知g(x)=-在上单调递增,∴g(x)>g=-2,故a>-2.故选D.
拓展 A [解析] 根据题意,不妨取x1-1可转化为f(x2)-f(x1)>x1-x2,即f(x2)+x2>f(x1)+x1,则ln x1++x10,得探究点三
例3 (1)C (2)A [解析] (1)由f(x)=-+ln 2求导得f'(x)=-=,则当x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,因为<<1,所以f>f.故选C.
(2)对于不等式xf'(x)≤0,当-变式 B [解析] ∵f(x)=2x+sin x(x∈R),∴f'(x)=2+cos x,∵当x∈R时,-1≤cos x≤1,∴f'(x)=2+cos x>0,则f(x)是R上的增函数,则f(1)拓展 D [解析] 易知a==,b=,c==.令f(x)=(x>0),则f'(x)=,由f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,又因为e<3<π,所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b.故选D.(共60张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第2课时 含参数函数的单调性问题
及单调性的简单应用
探究点一 含参数函数的单调性
探究点二 根据函数的单调性求参数值
（范围）
探究点三 函数单调性的简单应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.
2.能求简单的含参函数的单调区间及根据函数单调性求参数的取
值范围.
3.利用导数研究函数的单调性，并解决一些简单问题.
知识点一 含参函数单调性讨论的依据
讨论含参函数的单调性，其本质是讨论导函数符号的变化情况，讨
论的具体对象是导函数解析式中符号可能变化的部分.讨论时要考虑
参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般依据以下四
个方面来讨论：
（1）最高次幂的系数是否为0,即“是不是”;
（2）导函数是否有变号零点，即“有没有”;
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”;
（4）导函数有多个零点时，零点间的大小关系，即“大不大”.
知识点二 根据函数单调性求参数值（范围）的一般思路
（1）利用集合间的包含关系处理：在 上单调，则区间
是相应单调区间的子集.
（2）在 上单调递增（减）的充要条件是对任意的
都有,且在 内的任意一个非空子区
间上， 不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会
漏解.
（3）将函数在某个区间上存在单调区间转化为不等式有解问题处理.
探究点一 含参数函数的单调性
例1 已知函数，讨论函数
的单调性.
解： ，该函数的定义域为
，
可得 .
由得或 .
①当，即时，对任意的恒成立，且 不
恒为零，
此时函数在 上单调递增.
②当，即时，由得或 ；
由得 .
此时函数在，上单调递增，在 上单调递减.
③当，即时，由得或 ；
由得 .
此时函数在，上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增；当 时，
函数在，上单调递增，在 上单调递减；当
时，函数在，上单调递增，在 上单
调递减.
变式 已知函数 ，
讨论 的单调性.
解：， .
①当，即时，，则 在区间
上单调递增．
②当，即 时，
令，得 ，令，得 ，
所以在区间上单调递增，在区间 上单调递减．
③当，即时，若，则当
时，，所以在区间 上单调递增．
若，令，得，令，得 ，
所以在区间上单调递减，在区间 上单调递增．
综上,当时,在区间 上单调递增,在区间上
单调递减；当时，在区间 上单调递增；
当时,在区间上单调递减,在区间 上单调递增.
［素养小结］
在分类讨论此类问题时，只需讨论不确定的因式的符号，在讨论参
数的取值范围时，也要注意函数的定义域.
探究点二 根据函数的单调性求参数值（范围）
例2 已知函数 .
（1）若在上为增函数，求 的取值范围；
解：因为在上为增函数，所以在 上恒成立，
所以对任意恒成立．因为，所以只需 .
又因为时，，此时在上为增函数，所以 的取
值范围是 ．
（2）若在上单调递增，求 的取值范围；
解：因为，且在 上单调递增，所以
在上恒成立，所以对任意 恒成
立，所以，即的取值范围是 ．
（3）若在上单调递减，求 的取值范围；
解：因为，且在 上单调递减，所以
在上恒成立，所以对任意 恒成立．
因为，所以，则,
所以 的取值范围是 ．
（4）若的减区间为，求 的值；
解： .
①当时，，此时在 上单调递增，不满
足题意．
②当时，由得，所以 ，可得
，故的减区间为.
由题意得 ，解得 .
（5）若在上不单调，求 的取值范围．
解： .
①当时，，故在 上单调递增，不满足
题意．
②当时，因为在上不单调，所以方程 在
内有解，由,得，所以 ，解得
，所以的取值范围是 ．
变式（1）［2025·江苏淮阴中学高二质检］若函数
在区间上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数，所以 ，因
为函数在区间上单调递增，所以
在上恒成立，
则当 时恒成立，
即当时恒成立，所以 ，故选C.
√
（2）［2025· 山东莱芜一中高二调研］若函数
在区间内存在增区间，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] ，， 在区间
内存在增区间，在内有解，故 当
时有解.
令，则易知在 上单调递增，
，故 .故选D.
√
［素养小结］
1.已知函数在区间上单调递增或单调递减，求参数的取值范围时，通
常转化为导函数恒大于等于零或恒小于等于零求解.求解过程中需要
结合导函数的形式及图象特点，如一次函数在给定闭区间上的最值
落在区间端点，图象开口向上的二次函数在给定闭区间上的最大值
落在区间端点等．
2.已知函数在区间上不单调，求参数的取值范围时，通常转化为导函
数在区间内存在变号零点，进而用分离变量法求解参数的取值范围．
拓展 ［2025·江苏苏州中学高二调研］ 已知函数 .
若对任意，，且，都有 ，则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，不妨取，则 可转化为
，即 ，则
.
√
上单调递增，
即在 上恒成立，
即当时恒成立.
令， ，则，.
令，得 ，令，得，所以在
上单调递减，在 上单调递增，所以，
所以，即实数 的取值范围是 ，故选A.
探究点三 函数单调性的简单应用
例3（1）已知函数 ，则( )
A. B.
C. D., 的大小关系无法确定
√
[解析] 由求导得 ，则当
时，，所以在 上单调递减，
因为，所以 .故选C.
（2）［2025·湖北襄樊一中高二质检］
已知函数在定义域 内可导，
其图象如图所示．记 的导函数为
，则不等式 的解集为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于不等式 ，当
时，需满足 ，即
单调递增，则结合题中图可知，原
不等式的解集为；
当 时,需满足,即 单调递减,则结合题中图可知，
原不等式的解集为 ．
综上，原不等式的解集为 ．故选A.
变式 设函数 ，则( )
A. B.
C. D.以上都不正确
[解析] ，，
当 时，，，
则是 上的增函数，则 .故选B.
√
［素养小结］
常常利用导数研究函数的单调性，进而来解决比较大小、求抽象函
数不等式的解集等问题.
拓展 ［2025·江苏靖江中学高二质检］ 设，， ，
则( )
A. B. C. D.
[解析] 易知，， .
令，则，
由，得 ，所以在上单调递减，
又因为 ，所以，即 ．故选D.
√
一、解决含参函数的单调性问题需要依次注意以下问题：
1.确定函数的定义域.
2.确定题干对参数有没有限定条件.
3.分类讨论的标准：
（1）方程 是否有根；
（2）若方程 有根，求根后判断根是否在定义域内；
（3）若根在定义域内有两个，比较根的大小.
二、记忆口诀
导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需
知晓.
因式分解见两解，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零
正负.
首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在
其中.
讨论含参数的函数的单调性
例（1）［2024·浙江宁波高二期末］已知函数 ,讨
论函数 的单调性;
解：因为 ,
所以, .
①当时,,所以在 上单调递减;
②当时,由得 ,
由得 ,
所以在上单调递减,在 上单调递增.
综上,当时,在上单调递减;当时,在
上单调递减,在 上单调递增.
（2）已知函数,当时,讨论
的单调性.
解：的定义域为 ,
.
若，则 ,
当时,, 单调递减,
当时,, 单调递增.
若，则 ,
当,即时,在 上恒成立,
所以在 上单调递减.
当时, ,
此时当时,, 单调递减,
当时,, 单调递增.
综上,当时,在上单调递减,在 上单调递增;
当时,在,上单调递减,在 上
单调递增;
当时,在 上单调递减.
练习册
1.［2025·江苏徐州一中高二月考］已知函数
在上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] ，因为在 上单调递增，
所以在上恒成立，所以，解得 ，
故选A.
√
2.［2025·福建莆田一中高二月考］已知函数
在上是单调函数，则实数 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
因为函数在 上是单调函数，所
以或恒成立.
因为 的图象开口向下,所以不恒成立，
所以 恒成立,所以，
解得 ，
故选B.
3.若的减区间是，则正数 的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，令，解得 ，
因为的减区间是，所以，即 .故选A.
√
4.［2025·江苏南通中学高二月考］已知函数 在
上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，因为函数
在上单调递增，所以
在上恒成立，即当时恒成立，
因为 ，所以，因此，
要满足在 上恒成立，只需满足，
即的取值范围为 ,故选D.
√
5.［2025·湖南湘潭一中高二月考］已知函数
在，上单调递增，在
上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ．
因为在，上单调递增，在 上单调递减，
所以方程的两个根分别位于区间和上，
所以 即解得 .故选A.
6.（多选题）［2025·江苏江都中学高二月考］
已知定义在上的函数 ，其导函数
的大致图象如图所示，则下列叙述正
确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题图可得，当时， ，当
时，，故在， 上单调递增，在
上单调递减，所以，， ，
与的大小关系不确定.故选 .
√
√
√
7.［2025·江苏山东泰安一中高二质检］已知
满足, 为其导函数，且导函
数的图象如图所示，则 的解集是
_______.
[解析] 由的导函数的图象知，在 上单调递减，
在上单调递增.
当时，由 ，得；
当时，由，得 .
综上所述，的解集为 ．
8.［2025·湖南长沙一中高二期中］已知函数
存在减区间，则 的取值范围为__________.
[解析] 由，得其定义域为 ，
，
因为函数 存在减区间，
所以关于的不等式在 上有解.
当时，不等式为，解得 ，符合题意.
令，则当时，函数 的图象为开口向下
的抛物线，则关于的不等式在 上必定有
解，符合题意.
当时，函数 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线
，显然，此时还需满足 ，
可得.
综上可得，的取值范围为 .
9.（13分）已知函数，，讨论
的单调区间.
解：的定义域为， .
若，则当时，， 单调递增；
当时，， 单调递减；
当时，， 单调递增.
若，则恒成立，在 上单调递增.
综上,当时,的增区间为, ,减区间为 ；
当时，的增区间为 ，无减区间.
10.（13分）证明： ．
证明:令 ，则 ，
在 上单调递增，，
又 ，，即 .
令 ，则 ，
在上单调递增，，
又 , ,即 ， .
综上， .
11.［2025·江苏兴化中学高二月考］已知定义域为 的函数
且，且的导函数满足 ，
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由可知，设 ，则
，是上的增函数．
由 且，可知
且， .故选B.
√
12.［2025·河北保定一中高二月考］已知，，则“ ”
是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 设，则 ，
令，可得，令,可得,所以函数 在
上单调递增,在上单调递减.
当 时,可得,即 ,充分性成立.
当时，有，与 所在区间不确定，所以
,的大小关系不确定，即必要性不成立.
所以“ ”是“ ”的充分且不必要条件.故选A.
13.［2025·河南洛阳一中高二调研］若函数 恰有3个单
调区间，则 的取值范围为________．
[解析] 由，得.若 ，则
恒成立，此时在 上为增函数，不满足题意.
若，由得，由 ，得
或，故当时， 的增区间为
,减区间为, ,满足题意．
故的取值范围为 .
14.已知定义在上的函数的导函数为， ,且对任意
的满足，则不等式 的解集是
________.
[解析] 由得.令 ，则
，
因为对任意的 满足,所以，
所以在 上单调递减.
因为,所以,又,所以，
所以，即不等式的解集是 .
15.（多选题）［2025·湖南师大附中高二月考］ 素数分布问题是研究素
数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想： ，其
中表示不大于的素数的个数，即随着的增大， 的值近似接近
的值．从猜想出发，下列推断正确的是 ( )
A.当很大时，随着的增大， 的增长速度变慢
B.当很大时，随着的增大， 减小
C.当很大时，在区间是一个较大常数内，素数的个数随
的增大而减少
D.因为 （4），所以 （4）
√
√
[解析] 设函数,且，则 ，可得当
时，,所以在上单调递增，则当 很大时，
随着的增大，增大，B错误.
令 ,则,可得当时，
,所以在 上单调递减，又当时，,
所以当时， ,但的值逐渐变小，则当很大时，
随着的增大， 的增长速度变慢，A正确.
结合A选项的分析可知，当 很大时，在区间是一个较大
常数内，函数 的增长速度变慢，素数的个数随的增大而减少，
故C正确
，故D错误．
故选 .
16.（15分）［2025·江苏盐城中学高二调研］ 已知函数
.
（1）若在其定义域内是增函数，求 的取值范围.
解：因为 ，
所以 .
令，则 .
由，得 ；
由，得 .
则在上单调递减，在 上单调递增.
故 ，
所以 .
因为在其定义域内是增函数，所以，解得 .
（2）定义：若在其定义域内单调递增，且 在其定义
域内也单调递增，则称为 的“协同增函数”.
已知函数，若是 的“协同
增函数”，求 的取值范围.
解：由（1）可得 .
设 ，
则 .
因为在其定义域内是增函数，所以在 上恒成立，
即当 时恒成立，
即当 时恒成立.
设，则 .
由，得 ；
由，得 .
所以在上单调递减，在 上单调递增，
则 .
故，解得 .
因为，所以，即的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课中探究
例1 当时，函数在上单调递增；当时，函数
在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数
在，上单调递增，在上单调递减.
变式 当时，在区间上单调递增，在区间上单调
递减；当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
例2 （1）（2） （3） （4)（5）
变式 （1）C （2）D 拓展 A
例3 （1）C （2）A 变式 B 拓展 D
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.A 4.D 5.A 6.ABD 7. 8.
9. 当时，的增区间为，，减区间为；
当时，的增区间为，无减区间.
10.略 11.B 12.A 13. 14. 15.AC
16.（1） （2）>第2课时 含参数函数的单调性问题及单调性的简单应用
1.A [解析] f'(x)=3x2+2x-a,因为f(x)在R上单调递增,所以f'(x)≥0在R上恒成立,所以Δ=4+12a≤0,解得a≤-,故选A.
2.B [解析] 由f(x)=-x3+ax2-x-1,得f'(x)=-3x2+2ax-1,因为函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,所以f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立.因为f'(x)=-3x2+2ax-1的图象开口向下,所以f'(x)≥0不恒成立,所以f'(x)≤0恒成立,所以Δ=4a2-4×(-3)×(-1)=4a2-12≤0,解得-≤a≤,故选B.
3.A [解析] f'(x)=x2-2ax(a>0),令f'(x)<0,解得04.D [解析] 由f(x)=2x+acos x,得f'(x)=2-asin x,因为函数f(x)=2x+acos x在(0,π)上单调递增,所以f'(x)=2-asin x≥0在(0,π)上恒成立,即a≤当x∈(0,π)时恒成立,因为x∈(0,π),所以sin x∈(0,1],因此≥2,要满足a≤在(0,π)上恒成立,只需满足a≤2,即a的取值范围为(-∞,2],故选D.
5.A [解析] 由f(x)=x3+x2+x+1,得f'(x)=x2+ax+1.因为f(x)在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以方程f'(x)=0的两个根分别位于区间[0,1]和[2,3]上,所以即解得-≤a≤-.故选A.
6.ABD [解析] 由题图可得,当x∈(-∞,c)∪(e,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(c,e)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,c),(e,+∞)上单调递增,在(c,e)上单调递减,所以f(b)>f(a),f(d)>f(e),f(c)>f(e),f(a)与f(d)的大小关系不确定.故选ABD.
7.(-2,4) [解析] 由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-20时,由f(x)<1=f(4),得08.(-1,+∞) [解析] 由h(x)=ln x-ax2-2x,得其定义域为(0,+∞),h'(x)=-ax-2=,因为函数h(x)=ln x-ax2-2x存在减区间,所以关于x的不等式-ax2-2x+1<0在(0,+∞)上有解.当a=0时,不等式为-2x+1<0,解得x>,符合题意.令p(x)=-ax2-2x+1,则当a>0时,函数p(x)的图象为开口向下的抛物线,则关于x的不等式-ax2-2x+1<0在(0,+∞)上必定有解,符合题意.当a<0时,函数p(x)的图象为开口向上的抛物线,其对称轴为直线x=-,显然->0,此时还需满足Δ=4+4a>0,可得0>a>-1.综上可得,a的取值范围为(-1,+∞).
9.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
若a>0,则当x∈(0,a)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(a,2a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
若a<0,则f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
综上,当a>0时,f(x)的增区间为(0,a),(2a,+∞),减区间为(a,2a);
当a<0时,f(x)的增区间为(0,+∞),无减区间.
10.证明:令f(x)=ex-x-1(x≥0),
则f'(x)=ex-1≥0,
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴f(x)≥f(0),又f(0)=0,
∴f(x)≥0,即ex≥x+1.
令g(x)=x-sin x(x≥0),
则g'(x)=1-cos x≥0,
∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(0),又g(0)=0,∴g(x)≥0,即x-sin x≥0,
∴x+1≥sin x+1(x≥0).
综上,ex≥x+1≥sin x+1.
11.B [解析] 由f'(x)>2可知f'(x)-2>0,设F(x)=f(x)-2x,则F'(x)>0,∴F(x)是R上的增函数.由f(x)=2x+ax(a>0且a≠1),可知F(x)=f(x)-2x=ax(a>0且a≠1),∴a>1.故选B.
12.A [解析] 设f(x)=x-ln x,则f'(x)=1-=(x>0),令f'(x)>0,可得x>1,令f'(x)<0,可得0y>1时,可得f(x)>f(y),即x-ln x>y-ln y,充分性成立.当x-ln x>y-ln y时,有f(x)>f(y),x与y所在区间不确定,所以x,y的大小关系不确定,即必要性不成立.所以“x>y>1”是“x-ln x>y-ln y”的充分且不必要条件.故选A.
13.(-∞,0) [解析] 由f(x)=ax3+x,得f'(x)=3ax2+1.若a≥0,则f'(x)>0恒成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不满足题意.若a<0,由f'(x)>0得-,故当a<0时,f(x)的增区间为,减区间为,,满足题意.故a的取值范围为(-∞,0).
14.(-∞,1) [解析] 由f(x)>xex得-x>0.令g(x)=-x,则g'(x)=-1=,因为对任意的x∈R满足f'(x)-f(x)0,所以g(x)>g(1),所以x<1,即不等式f(x)>xex的解集是(-∞,1).
15.AC [解析] 设函数f(x)=,x>0且x≠1,则f'(x)=,可得当x>e时,f'(x)>0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递增,则当x很大时,随着x的增大,π(x)增大,B错误.令g(x)=f'(x)=-,则g'(x)=,可得当x>e2时,g'(x)<0,所以f'(x)在(e2,+∞)上单调递减,又当x>e时,f'(x)>0,所以当x>e2时,f'(x)>0,但f'(x)的值逐渐变小,则当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,A正确.结合A选项的分析可知,当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数π(x)的增长速度变慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确.=>2,故D错误.故选AC.
16.解:(1)因为f(x)=(6ln x-3)x2+12ax,
所以f'(x)=·x2+2x(6ln x-3)+12a=12xln x+12a.
令h(x)=xln x,则h'(x)=ln x+1.
由h'(x)>0,得x>;
由h'(x)<0,得0则h(x)在上单调递减,在上单调递增.
故h(x)≥h=-,
所以f'(x)≥12a-.
因为f(x)在其定义域内是增函数,所以12a-≥0,解得a≥.
(2)由(1)可得a≥.
设F(x)=f(x)+g(x)=4x3+(6ln x-18a-3)x2+24x,
则F'(x)=12x2+12xln x-36ax+24.
因为F(x)在其定义域内是增函数,所以F'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
即12x2+12xln x-36ax+24≥0当x∈(0,+∞)时恒成立,
即x+ln x+≥3a当x∈(0,+∞)时恒成立.
设Q(x)=x+ln x+,则Q'(x)=1+-=(x>0).
由Q'(x)>0,得x>1;
由Q'(x)<0,得0所以Q(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
则Q(x)≥Q(1)=3.
故3a≤3,解得a≤1.
因为a≥,所以≤a≤1,即a的取值范围是.第2课时 含参数函数的单调性问题及单调性的简单应用
【学习目标】
1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.
2.能求简单的含参函数的单调区间及根据函数单调性求参数的取值范围.
3.利用导数研究函数的单调性,并解决一些简单问题.
◆ 知识点一 含参函数单调性讨论的依据
讨论含参函数的单调性,其本质是讨论导函数符号的变化情况,讨论的具体对象是导函数解析式中符号可能变化的部分.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响,一般依据以下四个方面来讨论:
(1)最高次幂的系数是否为0,即“是不是”;
(2)导函数是否有变号零点,即“有没有”;
(3)导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内,即“在不在”;
(4)导函数有多个零点时,零点间的大小关系,即“大不大”.
◆ 知识点二 根据函数单调性求参数值(范围)的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任意一个非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.
(3)将函数在某个区间上存在单调区间转化为不等式有解问题处理.
◆ 探究点一 含参数函数的单调性
例1 已知函数f(x)=aln x+x2-(a+2)x(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
变式 已知函数f(x)=(m+1)x-mln x-m,
讨论f(x)的单调性.
[素养小结]
在分类讨论此类问题时,只需讨论不确定的因式的符号,在讨论参数的取值范围时,也要注意函数的定义域.
◆ 探究点二 根据函数的单调性求参数值(范围)
例2 已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)在(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)若f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围;
(4)若f(x)的减区间为(-1,1),求a的值;
(5)若f(x)在(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
变式 (1)[2025·江苏淮阴中学高二质检] 若函数f(x)=(x+k)ex在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 ( )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C.[-2,+∞) D.[2,+∞)
(2)[2025·山东莱芜一中高二调研] 若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在增区间,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-2,+∞)
B.
C.
D.(-2,+∞)
[素养小结]
1.已知函数在区间上单调递增或单调递减,求参数的取值范围时,通常转化为导函数恒大于等于零或恒小于等于零求解.求解过程中需要结合导函数的形式及图象特点,如一次函数在给定闭区间上的最值落在区间端点,图象开口向上的二次函数在给定闭区间上的最大值落在区间端点等.
2.已知函数在区间上不单调,求参数的取值范围时,通常转化为导函数在区间内存在变号零点,进而用分离变量法求解参数的取值范围.
拓展 [2025·江苏苏州中学高二调研] 已知函数f(x)=+ln x.若对任意x1,x2∈(0,2],且x1≠x2,都有>-1,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,2]
C. D.(-∞,8]
◆ 探究点三 函数单调性的简单应用
例3 (1)已知函数f(x)=-+ln 2,则 ( )
A.f=f
B.fC.f>f
D.f,f的大小关系无法确定
(2)[2025·湖北襄樊一中高二质检] 已知函数f(x)在定义域内可导,其图象如图所示.记f(x)的导函数为f'(x),则不等式xf'(x)≤0的解集为 ( )
A.∪[0,1]∪[2,3)
B.∪[1,2]∪
C.∪[2,3)
D.∪∪
变式 设函数f(x)=2x+sin x,则 ( )
A.f(1)>f(2)
B.f(1)C.f(1)=f(2)
D.以上都不正确
[素养小结]
常常利用导数研究函数的单调性,进而来解决比较大小、求抽象函数不等式的解集等问题.
拓展 [2025·江苏靖江中学高二质检] 设a=,b=,c=,则 ( )
A.b>c>a
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b第2课时 含参数函数的单调性问题及单调性的简单应用
1.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知函数f(x)=x3+x2-ax+1在R上单调递增,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2025·福建莆田一中高二月考] 已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-) B.[-,]
C.(,+∞) D.(-,)
3.若f(x)=x3-ax2的减区间是(0,2),则正数a的值是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.[2025·江苏南通中学高二月考] 已知函数f(x)=2x+acos x在(0,π)上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.(-2,2)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
5.[2025·湖南湘潭一中高二月考] 已知函数f(x)=x3+x2+x+1在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.(-∞,-2]
C. D.
6.(多选题)[2025·江苏江都中学高二月考] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数y=f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 ( )
A.f(b)>f(a) B.f(d)>f(e)
C.f(a)>f(d) D.f(c)>f(e)
7.[2025·江苏山东泰安一中高二质检] 已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .
8.[2025·湖南长沙一中高二期中] 已知函数h(x)=ln x-ax2-2x存在减区间,则a的取值范围为 .
9.(13分)已知函数f(x)=x2-3ax+2a2ln x,a≠0,讨论f(x)的单调区间.
10.(13分)证明:ex≥x+1≥sin x+1(x≥0).
11.[2025·江苏兴化中学高二月考] 已知定义域为R的函数f(x)=2x+ax(a>0且a≠1),且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>2,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.
12.[2025·河北保定一中高二月考] 已知x,y∈R,则“x>y>1”是“x-ln x>y-ln y”的( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
13.[2025·河南洛阳一中高二调研] 若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则a的取值范围为 .
14.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(1)=e,且对任意的x∈R满足f'(x)-f(x)xex的解集是 .
15.(多选题)[2025·湖南师大附中高二月考] 素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近的值.从猜想出发,下列推断正确的是 ( )
A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢
B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小
C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少
D.因为π(4)=2,所以π(4)>
16.(15分)[2025·江苏盐城中学高二调研] 已知函数f(x)=(6ln x-3)x2+12ax(a∈R).
(1)若f(x)在其定义域内是增函数,求a的取值范围.
(2)定义:若f(x)在其定义域内单调递增,且f(x)+g(x)在其定义域内也单调递增,则称g(x)为f(x)的“协同增函数”.
已知函数g(x)=4x3-18ax2+12(2-a)x,若g(x)是f(x)的“协同增函数”,求a的取值范围.