(共75张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 极大值与极小值
探究点一 函数极值概念的理解
探究点二 求函数的极值
探究点三 已知函数极值（点）求参数的
值或取值范围
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,极大值、
极小值与导数的关系.
2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三
次）.
知识点一 函数极值的定义
1.极大值与极大值点： 一般地，若存在，函数 在
内有定义，且当, 时，都有
___，则称为函数的一个极大值， 称为函数
的极大值点.
2.极小值与极小值点： 一般地，若存在，函数 在
内有定义，且当, 时，都有
___，则称为函数的一个极小值， 称为函数
的极小值点.
函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统
称为极值点.
知识点二 求函数极值的步骤
一般地,可按如下方法求函数 的极值:
解方程,当 时:
（1）如果在附近的左侧,右侧,那么 是极
____值;
大
（2）如果在附近的左侧,右侧,那么 是极
____值.
可将变化时,, 的变化情况列成如下表格:
0 -
单调递增 极大值 单调递减
- 0
单调递减 极小值 单调递增
小
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点.( )
×
（2）一个函数的极大值一定大于极小值.( )
×
（3）一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值.
( )
×
2.已知可导，那么是 为极值点的什么条件？
解：是为极值点的必要且不充分条件.
如 ，满足，但0不是极值点．
另外，为可导函数 的极值点 ．
探究点一 函数极值概念的理解
例1（1）函数的定义域为开区间,导函数在 内的
图象如图所示,则函数在开区间 内的极大值点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
[解析] 依题意,记函数的图象与 轴的交点
的横坐标从小到大依次为,,, .
当时,;当 时,
;当时,;当时, ;当
时, .
所以为极小值点,为极大值点, 为极小值点,故函数在开区间
内的极大值点有1个.故选A.
（2）设函数在上可导,其导函数为,且函数 的图
象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A.函数有极大值和极小值
B.函数有极大值和极小值
C.函数有极大值和极小值
D.函数有极大值和极小值
√
[解析] 由题图可知,当时, ;当
时,;当 时,
;当时,.
所以函数 在处取得极大值,在
处取得极小值,即函数有极大值和极
小值 .
故选D.
变式 已知是函数的导函数,函数 的图象如图所示,
则 的极大值点为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题中图可知,当时, ,所
以;当时,,所以 ;
当时,,所以 ;当
时,,所以.
所以 的 增区间为和,减区间为.故 的
极大值点为 .故选A.
［素养小结］
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的.对于
导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,在哪个
点处与
轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若是由正值变为
负值,则原函数在该点处取得极大值,若是由负值变为正值,则原函数在
该点处取得极小值.
探究点二 求函数的极值
角度1 求不含参数函数的极值
例2 求下列函数的极值：
（1） ；
解：因为 ，
所以 ．
令，得，.
当变化时， 与 的变化情况如表：
0 3
- 0 - 0
不是极值 极小值
故当时函数取得极小值，极小值为 ,无极大值.
（2） .
解：函数的定义域为，且 .
令，得 .
当变化时，与 的变化情况如表：
0 -
极大值
故当时函数取得极大值，极大值为 ，无极小值.
变式 ［2025·江苏靖江中学高二月考］ 已知函数 ，则
下列结论正确的是( )
A.在处取得极大值
B.在处取得极大值
C.在处取得极小值
D.在处取得极小值
√
[解析] 由题意得，且 ，
所以当时，，单调递减，当
时，，单调递增，
所以在 处取得极小值，极小值为 .
故选C.
角度2 求含参数函数的极值
例3 已知函数，，当实数
时，求函数 的单调区间与极值．
解： .
令，解得或，由，得 .
以下分两种情况讨论：
①若，则.当变化时，， 的变化情况如
表：
0 - 0
极大值 极小值
所以在，上单调递增，在 上
单调递减，即的增区间为， ，减区间为
，
则函数在 处取得极大值，极大值为，
函数在 处取得极小值,极小值为 .
②若，则.当变化时，， 的变化情况如
表：
0 - 0
极大值 极小值
所以在，上单调递增，在 上
单调递减，即的增区间为， ，减区间为
，
则函数在 处取得极大值，极大值为
，
函数在处取得极小值，极小值为 .
变式 已知函数,其中 ，求函数
的极值.
解： ,
令,解得， ,
因为,所以,则当变化时，， 的变化
情况如表：
0 - 0
极大值 极小值
所以的极大值为, 的极小值为
.
［素养小结］
1.在求可导函数极值的过程中，一定要检验方程
的根左右
的符号是否相反，舍去不符合题意的情况.
2.原函数处于极值点时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导
零．这个零点必须穿越
轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找
穿越（导函数与
轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
探究点三 已知函数极值（点）求参数的值或取值范围
例4（1）［2025·江苏海门中学高二质检］若函数
，在处取得极小值，则实数
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函数,的定义域为 ，
可得 ，.
当，即时，令 ，可得，
令，可得，所以函数在 , 上单调递增，
在 上单调递减，此时函数在 处
取得极大值，不满足题意.
上单调递增，函数不存在极值，不满足题意.
当 ，即时，令，可得，
令 ，可得，所以函数在,上单调递增，
在 上单调递减，此时函数在 处
取得极小值，满足题意.
综上可得，实数的取值范围是 ．
（2）［2025·山东胜利一中高二调研］若函数
无极值，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ，所以
，
因为无极值，所以 无变号零点，
则，解得，
所以 的取值范围为 ．故选A.
√
变式 ［2025· 广东湛江中学高二月考］若函数
在处取得极值，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为，所以 ，
又函数在 处取得极值，所以
，可得 .
此时，则当或
时，，当时，，故是 的
极大值点，故 符合题意．故选D.
√
［素养小结］
已知函数的极值点,确定函数解析式中的参数时,需要注意以下两点:
1.根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数
法求解;
2.因为“
”不是“
为极值点”的充要条件,所以利用待定系数
法求解后应注意验证.
1.在函数的极值的定义中,一定要明确函数在 及其附近
有定义,否则无从比较.
2.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概
念,在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值,而且极小值
未必小于极大值.仅是可导函数在 处有极值的必
要条件,当且仅当在附近的左、右两侧 的符号产生变化时,
才可以是 的极值点.
3.由定义可知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值相比较,
该点的函数值是最大的或最小的,并不意味着在函数的整个定义域内,
该点的函数值是最大的或最小的.
4.若函数有极值,且在极值点处 的图象有切线,则切线
为水平直线.
分类讨论思想在极值中的应用
例 已知函数, .
（1）若函数在处取得极值,求 的值;
解：因为 ,所以,
又在 处取得极值,所以,解得.
当时, .
由,得或;由,得.
故 在,上单调递增,在上单调递减,
所以 是函数的极小值点, 符合题意.
（2）讨论函数 的极值.
解：由(1)得 ,
令,得或 .
①若,则,此时在 上单调递增,函数
无极值.
②若,则 .
当时,;当 时,
.故的增区间为, ,减区间为.
所以的极小值为 ,
极大值为 .
③若,则.当时, ;
当时, .
故的增区间为,,减区间为 .
所以的极小值为 ,极大值为
.
综上所述,当时,的极小值为 ,极大值为
;
当时, 无极值;
当时,的极小值为,极大值为 .
练习册
1.关于函数的极值，下列说法正确的是( )
A.导数为零的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D.函数的极小值可能大于它的极大值
√
[解析] 对于A选项，取，则， ，但是
当时，，故不是函数 的极值点，故A
不正确；
极值是函数的局部性质,极大值与极小值之间一般没有必然的大小关系，
故B不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；
由对B的分析可知D正确.
故选D.
2.已知函数的定义域为,导函数 的
图象如图所示,则函数 的极小值点的个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 根据导函数的图象可知, 有3个变号零点,则可得函数
在上的单调性为先增再减,再增又减,所以函数 的极小
值点的个数为1.故选A.
√
3.函数 的极值情况是( )
A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值
C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值
[解析] ,,由,得 或
.
可得当时,;当时, ;当时,
函数 的减区间是, ,增区间是,
当 时,函数取得极小值,当时, 函数取得极大值,
函数 既有极大值又有极小值.故选D.
√
4.［2025·湖北郧阳一中高二月考］已知函数
为自然对数的底数，则函数 的极小值为( )
A. B. C. D.1
[解析] 因为， ，所以
.
则当或时 ，当时，
所以在 上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以在 处取得极小值，极小值为 .故选D.
√
5.［2025·江苏苏州中学高二质检］已知函数
在处取得极小值，则实数 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 ，
所以，
要使函数在 处取得极小值，则 ，故选B.
√
6.（多选题）下列函数中,存在极值点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A,由,得该函数的定义域是 ,
,所以函数在, 上单调递增,该
函数没有极值点,故A错误.
对于B,,当 时, ，当时,，
函数单调递减；当 时，，函数单调递增，
所以函数在 处取得极小值，故B正确.
√
√
对于C,由,得,所以函数
在上单调递减,没有极值点,故C错误.
对于D,由 ,得该函数的定义域是,,则当
时, ,函数单调递减, 当时,,函数单调递增,
所以当 时,函数取得极小值,故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏扬州中学高二月考］若 的极小值为0，
则 __．
[解析] 的定义域为，.
当 时，，在上单调递增，所以无极值．
当 时，令，得，此时函数单调递增；
令 ，得，此时函数单调递减.
所以 的极小值为，
所以 ，即 .
8.［2025·广东惠州中学高二月考］已知函数
既存在极大值，又存在极小值，则
实数 的取值范围是___________________.
[解析] ，
，
函数 既存在极大值，又存在极小值， 导函数 有两个不相
等的变号零点，，即，
解得 或， 实数的取值范围是 .
9.（13分）若，讨论函数 的极值点的个数．
解： ，
当时， 单调递增，无极值点.
当时，可求得 .
由，得 不是极值点．
令，得 .
令，则 .
当时， ，
当时，，且 ，
当时，关于的方程有唯一小于零的解，可得函数
存在一个极值点.
当时， ，
当时， ，
故函数在上单调递减，在 上单调递增，
则的极小值为 ，
所以当时，方程无解，函数 无极值点；
当时，方程有一个解，但当时， ，
，
当时，，，故函数 无极值点．
当时，方程有两解，函数 存在两个极值点
（一个极大值点和一个极小值点）．
综上，当时，函数 存在一个极值点，
当时，函数 无极值点，
当时，函数 存在两个极值点(一个极大值点和一个极小值点).
10.［2025·江苏淮阴中学高二调研］已知可导函数 的导函数为
，则“在上有两个零点”是“在 上有两个极值
点”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 只有当在上有两个变号零点时，在 上才有
两个极值点，故充分性不成立.
若在 上有两个极值点，则在上有两个变号零点，
则在 上至少有两个零点，故必要性不成立.
综上，“在上有两个零点”是“在 上有两个极值点”的
既不充分又不必要条件，故选D.
11.［2025·江苏南通中学高二质检］若函数 存在一个极大值
与一个极小值满足，则 的单调区间至
少有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
[解析] 若函数存在一个极大值与一个极小值 ，则
至少有3个单调区间.
若有3个单调区间,不妨设 的定义域为,若，
其中可以为 ，可以为 ，
则在,上单调递增，在 上单调递减，故
，不合题意.
√
上单调递减，在上
单调递增，则 ，不合题意.
若有4个单调区间,例如,定义域为 ,
则，
令，可得或，令 ,可得或
,则在, 上单调递增,在,上单调递减，
故函数存在一个极大值 与一个极小值，
且，满足题意，此时 有4个单调区间.
综上所述， 至少有4个单调区间.故选B.
12.（多选题）［2025·山东莱芜一中高二调研］ 若函数
既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 函数的定义域为 ，求导得
，
因为函数 既有极大值也有极小值，所以函数在上有
两个变号零点，
又 ，所以方程有两个不等的正根, ，于是
即有，， ，显然
，则，所以A错误，B，C，D正确，故选 .
13.［2025·江苏如东中学高二质检］已知函数
，若是函数 唯一的极值点，则实数
的取值范围是_ __________.
[解析] .
由题意可得是唯一的变号零点，故在
上没有变号零点.
令，，则，则当 时，，
单调递增，当时，， 单调递减，
所以.故，则，
即 的取值范围为 .
14.（15分）［2025·江苏常州一中高二质检］ 已知 是函数
的极小值点.
（1）求实数 的取值范围；
解: ，令，解得
或 .当，即时，，可知此时在 上单调递
增，无极值点，不合题意.
当，即时，令，解得或 ，
令，解得 ，
则在，上单调递增，在 上单调递减，
所以是函数 的极大值点，不符合题意.
当，即时，令，解得或 ,
令，解得 ，
则在，上单调递增，在 上单调递减，
所以是函数的极小值点，符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
（2）求 的极大值.
解:由（1）可知，在，上单调递增，在 上
单调递减，
所以的极大值为 .
14.（15分）［2025·江苏常州一中高二质检］ 已知 是函数
的极小值点.
15.材料:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,在现行的高
等数学与数学分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数
和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成
的,且能用一个式子表示的函数,如函数 ,我们可以做变
形:,所以 可
看作是由函数和复合而成的,即 为初等
函数.根据以上材料可知，初等函数 的极大值为___.
[解析] ,所以
.
令得.当时,,函数 单调递增;
时,,函数单调递减.所以 有极大值,且极大值为
.
16.（15分）［2025·江苏启东中学高二月考］ 若可导函数
和同时在处取得极小值，则称 和
为一对“ 函数”.
（1）试判断与是否是一对“ 函数”，
并说明理由；
解：由题意可设， ，
则， ，
所以， .
假设与是一对“ 函数”，
则解得
此时，则 无极小值，
故与不是一对“ 函数”.
（2）若与是一对“函数”，求实数
和 的值.
解：由题意可设 ，
，
则 ，
.
由题意知与是一对“ 函数”，
可令，解得 ，
.
0 - 0
极大值 极小值
因为在处取得极小值，所以 ，从而
，解得 .
经验证可知在 处取得极小值，
所以
①若，则当变化时, 的变化情况如表，
②若，则当变化时，, 的变化情况如表，
0 - 0
极大值 极小值
因为在处取得极小值，所以 ，从而
.
令， ，
则 ，
则在 上单调递减，
又，所以方程的解为，从而
经验证可知在 处取得极小值，所以
③若，则，即 在定义域内单调
递增，
则 无极小值，不满足题意.
综上所述，或
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
2.
知识点二（1）大 （2）小
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）×
2.
是
为极值点的必要且不充分条件
课中探究 例1 （1）A （2）D 变式 A
例2 （1）极小值为
,无极大值（2）极大值为
，无极小值
变式 C
例3 若
，的增区间为
，
，减区间为
，
极大值为
，极小值为
.
若
，的增区间为
，
，减区间为
，
极大值为
，极小值为
.
变式 极大值为
,
极小值为.
例4 （1）A （2）A 变式 D
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.D 4.D 5.B 6.BD 7. 8.
9. 当时，函数存在一个极值点，当时，函数无极值点，当时，函数存在两个极值点（一个极大值点和一个极小值点）．
10.D 11.B 12.BCD 13.
14.（1）（2） 15.
16.（1）
与
不是一对“
函数”.
（2）>或
5.3.2 极大值与极小值
【课前预习】
知识点一
1.< 2.>
知识点二
(1)大 (2)小
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解: f'(x0)=0是x0为极值点的必要且不充分条件.如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但0不是极值点.另外,x0为可导函数f(x)的极值点 f'(x0)=0.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)D [解析] (1)依题意,记函数f'(x)的图象与x轴的交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4.当a
0;当x20.所以x1为极小值点,x2为极大值点,x4为极小值点,故函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有1个.故选A.
(2)由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-22时,f'(x)>0.所以函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值,即函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).故选D.
变式 A [解析] 由题中图可知,当x∈(-∞,x1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0;当x∈(x1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0;当x∈(0,x4)时,xf'(x)<0,所以f'(x)<0;当x∈(x4,+∞)时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0.所以f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x4,+∞),减区间为(x1,x4).故f(x)的极大值点为x1.故选A.
探究点二
例2 解:(1)因为f(x)=x4-4x3+5,所以f'(x)=4x3-12x2=4x2(x-3).
令f'(x)=4x2(x-3)=0,得x1=0,x2=3.当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表:
x (-∞,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞)
f'(x) - 0 - 0 +
f(x) ↘ 不是极值 ↘ 极小值 ↗
故当x=3时函数取得极小值,极小值为f(3)=-22,无极大值.
(2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),且f'(x)=.
令f'(x)==0,得x=e.
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表:
x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故当x=e时函数取得极大值,极大值为f(e)=,无极小值.
变式 C [解析] 由题意得f'(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),且x∈(0,+∞),所以当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=处取得极小值,极小值为f=ln= -.故选C.
例3 解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,由a≠,得-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a>,则-2ax (-∞,-2a) -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上单调递增,在(-2a,a-2)上单调递减,即f(x)的增区间为(-∞,-2a),(a-2,+∞),减区间为(-2a,a-2),则函数f(x)在x=-2a处取得极大值,极大值为f(-2a)=3ae-2a,函数f(x)在x=a-2处取得极小值,极小值为f(a-2)=(4-3a)·ea-2.
②若a<,则-2a>a-2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上单调递增,在(a-2,-2a)上单调递减,即f(x)的增区间为(-∞,a-2),(-2a,+∞),减区间为(a-2,-2a),
则函数f(x)在x=a-2处取得极大值,极大值为f(a-2)=(4-3a)ea-2,
函数f(x)在x=-2a处取得极小值,极小值为f(-2a)=3ae-2a.
变式 解:f'(x)=x-+=(x>0),
令f'(x)=0,解得x1=a,x2=,
因为0x (0,a) a
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)的极大值为f(a)=-a2+ln a-1,f(x)的极小值为f=--ln a-1.
探究点三
例4 (1)A (2)A [解析] (1)函数y=ln x+ax2-(2a+1)x,a>0的定义域为(0,+∞),可得y'=+2ax-(2a+1)==,x>0.当>1,即00,可得x∈(0,1)∪,令y'<0,可得x∈,所以函数在(0,1),上单调递增,在上单调递减,此时函数y=ln x+ax2-(2a+1)x在x=1处取得极大值,不满足题意.当=1,即a=时,可得y'=≥0恒成立,可得函数在(0,+∞)上单调递增,函数不存在极值,不满足题意.当0<<1,即a>时,令y'>0,可得x∈∪(1,+∞),令y'<0,可得x∈,所以函数在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,此时函数y=ln x+ax2-(2a+1)x在x=1处取得极小值,满足题意.综上可得,实数a的取值范围是.
(2)因为f(x)=x3+ax2+(a+6)x,所以f'(x)=3x2+2ax+a+6,因为f(x)无极值,所以f'(x)无变号零点,则(2a)2-4×3×(a+6)≤0,解得-3≤a≤6,所以a的取值范围为[-3,6].故选A.
变式 D [解析] 因为f(x)=x3+ax2+3x-9,所以f'(x)=3x2+2ax+3,又函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,所以f'(-3)=27-6a+3=0,可得a=5.此时f'(x)=3x2+10x+3=(3x+1)(x+3),则当x<-3或x>-时,f'(x)>0,当-31.D [解析] 对于A选项,取f(x)=x3,则f'(x)=3x2,f'(0)=0,但是当x≠0时,f'(x)>0,故x=0不是函数f(x)=x3的极值点,故A不正确;极值是函数的局部性质,极大值与极小值之间一般没有必然的大小关系,故B不正确;一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值,故C不正确;由对B的分析可知D正确.故选D.
2.A [解析] 根据导函数f'(x)的图象可知,f'(x)有3个变号零点,则可得函数f(x)在(a,b)上的单调性为先增再减,再增又减,所以函数f(x)的极小值点的个数为1.故选A.
3.D [解析] ∵y=-x3-x2+2,∴y'=-3x2-2x,由y'=0,得x=0或x=-.可得当x∈时,y'<0;当x∈时,y'>0;当x∈(0,+∞)时,y'<0.∴函数y=-x3-x2+2的减区间是,(0,+∞),增区间是,∴当x=-时,函数取得极小值,当x=0时,函数取得极大值,∴函数y=-x3-x2+2既有极大值又有极小值.故选D.
4.D [解析] 因为f(x)=(x2-x+1)ex,x∈R,所以f'(x)=(x2+x)ex=x(x+1)ex.则当x>0或x<-1时f'(x)>0,当-15.B [解析] 因为函数f(x)=x2-(1+a)x+aln x,所以f'(x)=x-(1+a)+=,要使函数f(x)在x=a处取得极小值,则a>1,故选B.
6.BD [解析] 对于A,由y=x-,得该函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),y'=1+>0,所以函数y=x-在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,该函数没有极值点,故A错误.对于B,y'=sin x+xcos x,当x=0时,y'=0,当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增,所以函数在x=0处取得极小值,故B正确.对于C,由y=-2x3-x,得y'=-6x2-1<0,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点,故C错误.对于D,由y=xln x,得该函数的定义域是(0,+∞),y'=ln x+1,则当x∈时,y'<0,函数单调递减,当x∈时,y'>0,函数单调递增,所以当x=时,函数取得极小值,故D正确.故选BD.
7.e [解析] f(x)=ex-kx的定义域为R,f'(x)=ex-k.当k≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值.当k>0时,令f'(x)>0,得x>ln k,此时函数单调递增;令f'(x)<0,得x8.(-∞,-3)∪(6,+∞) [解析] ∵f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1,∴f'(x)=3x2+2mx+m+6,∵函数f(x)既存在极大值,又存在极小值,∴导函数f'(x)有两个不相等的变号零点,∴Δ=4m2-12(m+6)>0,即m2-3m-18>0,解得m<-3或m>6,∴实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞).
9.解:f(x)=ex-ax2-2,
当a=0时,f(x)=ex-2单调递增,无极值点.
当a≠0时,可求得f'(x)=ex-2ax.
由f'(0)=1,得x=0不是极值点.
令ex-2ax=0(x≠0),得2a=.
令h(x)=,则h'(x)=.
当x>0时,h(x)>0,
当x<0时,h(x)<0,且h'(x)<0,
当a<0时,关于x的方程2a=有唯一小于零的解,可得函数f(x)存在一个极值点.
当0当x>1时,h'(x)>0,
故函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
则h(x)的极小值为h(1)=e,
所以当0当a=时,方程2a=有一个解,但当02a,f'(x)=ex-2ax>0,
当x>1时,>2a,f'(x)=ex-2ax>0,故函数f(x)无极值点.
当a>时,方程2a=有两解,函数f(x)存在两个极值点(一个极大值点和一个极小值点).
综上,当a<0时,函数f(x)存在一个极值点,
当0≤a≤时,函数f(x)无极值点,
当a>时,函数f(x)存在两个极值点(一个极大值点和一个极小值点).
10.D [解析] 只有当f'(x)在(0,2)上有两个变号零点时,f(x)在(0,2)上才有两个极值点,故充分性不成立.若f(x)在(0,2)上有两个极值点,则f'(x)在(0,2)上有两个变号零点,则f'(x)在(0,2)上至少有两个零点,故必要性不成立.综上,“f'(x)在(0,2)上有两个零点”是“f(x)在(0,2)上有两个极值点”的既不充分又不必要条件,故选D.
11.B [解析] 若函数f(x)存在一个极大值f(x1)与一个极小值f(x2),则f(x)至少有3个单调区间.若f(x)有3个单调区间,不妨设f(x)的定义域为(a,b),若a0,可得x>1或x<-1,令f'(x)<0,可得-112.BCD [解析] 函数f(x)=aln x++的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=--=,因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,又a≠0,所以方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x1,x2,于是即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a2bc<0,则bc<0,所以A错误,B,C,D正确,故选BCD.
13. [解析] f'(x)=-+k=(x>0).由题意可得x=2是f'(x)唯一的变号零点,故h(x)=ex+kx2在(0,+∞)上没有变号零点.令g(x)=,x>0,则g'(x)=,则当x>2时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当014.解:(1)f'(x)=2x(x-k)+x2=x(3x-2k),
令f'(x)=0,解得x=0或x=.
当=0,即k=0时,f(x)=x3,可知此时f(x)在R上单调递增,无极值点,不合题意.
当>0,即k>0时,令f'(x)>0,解得x<0或x>,
令f'(x)<0,解得0则f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减,
所以x=0是函数f(x)的极大值点,不符合题意.
当<0,即k<0时,令f'(x)>0,解得x>0或x<,
令f'(x)<0,解得则f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减,
所以x=0是函数f(x)的极小值点,符合题意.综上所述,实数k的取值范围为(-∞,0).
(2)由(1)可知,f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)的极大值为f=-.
15. [解析] h(x)==(eln x=(x>0),所以h'(x)=·'=·=(1-ln x).令h'(x)=0得x=e.当00,函数h(x)单调递增;当x>e时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减.所以h(x)有极大值,且极大值为h(e)=.
16.解:(1)由题意可设h1(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)·g(x),
则h1(x)=x+x2+ax+b,h2(x)=x·(x2+ax+b),
所以h'1(x)=2x+a+1,h'2(x)=3x2+2ax+b.
假设f(x)=x与g(x)=x2+ax+b是一对“P(1)函数”,
则解得
此时h'2(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,则h2(x)无极小值,
故f(x)=x与g(x)=x2+ax+b不是一对“P(1)函数”.
(2)由题意可设h1(x)=f(x)+g(x)=ex+x2+ax+1,h2(x)=f(x)·g(x)=ex·(x2+ax+1),
则h'1(x)=ex+2x+a,
h'2(x)=ex·[x2+(a+2)x+a+1]=ex·(x+1)(x+a+1).
由题意知f(x)=ex与g(x)=x2+ax+1是一对“P(t)函数”,
可令h'2(x)=ex·(x+1)(x+a+1)=0,解得x1=-1,x2=-a-1.
①若a>0,则当x变化时h'2(x),h2(x)的变化情况如表,
x (-∞,-a-1) -a-1 (-a-1,-1) -1 (-1,+∞)
h'2(x) + 0 - 0 +
h2(x) ↗ 极大 值 ↘ 极小 值 ↗
因为h2(x)在x=t处取得极小值,所以t=-1,从而h'1(-1)=e-1-2+a=0,
解得a=2-.
经验证可知h1(x)=ex+x2+x+1在x=-1处取得极小值,
所以
②若a<0,则当x变化时,h'2(x),h2(x)的变化情况如表,
x (-∞,-1) -1 (-1,-a-1) -a-1 (-a-1,+∞)
h'2(x) + 0 - 0 +
h2(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因为h2(x)在x=t处取得极小值,所以t=-a-1,从而h'1(-a-1)=e-a-1-a-2=0(*).
令φ(a)=e-a-1-a-2,a<0,
则φ'(a)=-e-a-1-1<0,
则φ(a)在(-∞,0)上单调递减,
又φ(-1)=0,所以方程(*)的解为a=-1,从而
经验证可知h1(x)=ex+x2-x+1在x=0处取得极小值,所以
③若a=0,则h'2(x)=ex·(x+1)2≥0,即h2(x)在定义域内单调递增,
则h2(x)无极小值,不满足题意.
综上所述,或5.3.2 极大值与极小值
【学习目标】
1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,极大值、极小值与导数的关系.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).
◆ 知识点一 函数极值的定义
1.极大值与极大值点: 一般地,若存在δ>0,函数f(x)在(x1-δ,x1+δ)内有定义,且当x∈(x1-δ,x1+δ),x≠x1时,都有f(x) f(x1),则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1 称为函数y=f(x)的极大值点.
2.极小值与极小值点: 一般地,若存在δ>0,函数f(x)在(x2-δ,x2+δ)内有定义,且当x∈(x2-δ,x2+δ),x≠x2时,都有f(x) f(x2),则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2 称为函数y=f(x)的极小值点.
函数的极大值、极小值统称为函数的极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
◆ 知识点二 求函数极值的步骤
一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:
解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极 值;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极 值.
可将x变化时,f'(x),f(x)的变化情况列成如下表格:
x x0左侧 x0 x0右侧
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
x x0左侧 x0 x0右侧
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极小值点就是函数图象上相对最低的点. ( )
(2)一个函数的极大值一定大于极小值. ( )
(3)一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值. ( )
2.已知f(x)可导,那么f'(x0)=0是x0为极值点的什么条件
◆ 探究点一 函数极值概念的理解
例1 (1)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
变式 已知f'(x)是函数f(x)的导函数,函数y=xf'(x)的图象如图所示,则f(x)的极大值点为 ( )
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
[素养小结]
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的.对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若是由正值变为负值,则原函数在该点处取得极大值,若是由负值变为正值,则原函数在该点处取得极小值.
◆ 探究点二 求函数的极值
角度1 求不含参数函数的极值
例2 求下列函数的极值:
(1)f(x)=x4-4x3+5;(2)f(x)=.
变式 [2025·江苏靖江中学高二月考] 已知函数f(x)=x2ln x,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)在x=处取得极大值-
B.f(x)在x=处取得极大值
C.f(x)在x=处取得极小值-
D.f(x)在x=处取得极小值
角度2 求含参数函数的极值
例3 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex,x∈R,当实数a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.
变式 已知函数f(x)=x2-x+ln x,其中0[素养小结]
1.在求可导函数极值的过程中,一定要检验方程f'(x)=0的根左右的符号是否相反,舍去不符合题意的情况.
2.原函数处于极值点时,导函数正处于零点,归纳起来一句话:原极导零.这个零点必须穿越x轴,否则不是极值点.判断口诀:从左往右找穿越(导函数与x轴的交点);上坡低头找极小,下坡抬头找极大.
◆ 探究点三 已知函数极值(点)求参数的值
或取值范围
例4 (1)[2025·江苏海门中学高二质检] 若函数y=ln x+ax2-(2a+1)x,a>0在x=1处取得极小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.∪
(2)[2025·山东胜利一中高二调研] 若函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x无极值,则a的取值范围为 ( )
A.[-3,6]
B.(-3,6)
C.(-∞,-3]∪[6,+∞)
D.(-∞,-3)∪(6,+∞)
变式 [2025·广东湛江中学高二月考] 若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[素养小结]
已知函数的极值点,确定函数解析式中的参数时,需要注意以下两点:
1.根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
2.因为“f'(x0)=0”不是“x0为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后应注意验证.5.3.2 极大值与极小值
1.关于函数的极值,下列说法正确的是 ( )
A.导数为零的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D.函数的极小值可能大于它的极大值
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的极小值点的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.函数y=-x3-x2+2的极值情况是 ( )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值又有极小值
4.[2025·湖北郧阳一中高二月考] 已知函数f(x)=(x2-x+1)ex(e为自然对数的底数),则函数f(x)的极小值为 ( )
A. B.e
C.e2 D.1
5.[2025·江苏苏州中学高二质检] 已知函数f(x)=x2-(1+a)x+aln x在x=a处取得极小值,则实数a的取值范围为 ( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,1] D.(0,1)
6.(多选题)下列函数中,存在极值点的是 ( )
A.y=x- B.y=xsin x
C.y=-2x3-x D.y=xln x
7.[2025·江苏扬州中学高二月考] 若f(x)=ex-kx的极小值为0,则k= .
8.[2025·广东惠州中学高二月考] 已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值,又存在极小值,则实数m的取值范围是 .
9.(13分)若f(x)=ex-ax2-2,讨论函数f(x)的极值点的个数.
10.[2025·江苏淮阴中学高二调研] 已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x)在(0,2)上有两个零点”是“f(x)在(0,2)上有两个极值点”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
11.[2025·江苏南通中学高二质检] 若函数f(x)存在一个极大值f(x1)与一个极小值f(x2)满足f(x2)>f(x1),则f(x)的单调区间至少有 ( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
12.(多选题)[2025·山东莱芜一中高二调研] 若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
13.[2025·江苏如东中学高二质检] 已知函数f(x)=-2kln x+kx,若x=2是函数f(x)唯一的极值点,则实数k的取值范围是 .
14.(15分)[2025·江苏常州一中高二质检] 已知x=0是函数f(x)=x2(x-k)的极小值点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)求f(x)的极大值.
15.材料:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,在现行的高等数学与数学分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且能用一个式子表示的函数,如函数y=xx(x>0),我们可以做变形:y=xx=(eln x)x=ex·ln x=et(t=xln x),所以y=xx(x>0)可看作是由函数y=et和t=xln x复合而成的,即y=xx(x>0)为初等函数.根据以上材料可知,初等函数h(x)=(x>0)的极大值为 .
16.(15分)[2025·江苏启东中学高二月考] 若可导函数f(x)+g(x)和f(x)·g(x)同时在x=t处取得极小值,则称f(x)和g(x)为一对“P(t)函数”.
(1)试判断f(x)=x与g(x)=x2+ax+b是否是一对“P(1)函数”,并说明理由;
(2)若f(x)=ex与g(x)=x2+ax+1是一对“P(t)函数”,求实数a和t的值.