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5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.3 最大值与最小值
第1课时 函数的最大值与最小值
探究点一 对函数最值的理解
探究点二 求函数最值
探究点三 已知函数最值求参数的值或取
值范围
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值．
3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的取值范围.
知识点一 函数最值的定义
1.一般地,如果在区间上函数 的图象是一条__________
的曲线,那么它必有最大值和最小值.
连续不断
2.最大值的定义：如果在函数定义域内存在,使得对任意的 ,
总有___,那么 为函数在定义域上的最大值.
注意：最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那
么最大值唯一.
知识点二 求函数最值的步骤
一般地,求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤如下:
（1）求函数在区间 上的______;
（2）将第一步中求得的极值与__________比较,得到 在区间
上的最大值与最小值.
极值
,
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. ( )
√
（2）函数在开区间内不存在最大值和最小值.( )
×
（3）定义在闭区间 上的图象连续不断的函数的极大（小）值可
以有多个,但最大（小）值只能有一个.( )
√
（4）若函数的图象在区间内连续不断,则在区间
内必有最大值与最小值,但不一定有极值. ( )
√
2.函数的最值必在极值点或区间端点处取得，这句话正确吗？函数
的图象的最高点和最低点的横坐标分别为函数 的最大
值点和最小值点.如果函数 存在最大值,那么其最大值是否唯一
最大值点是否唯一
解：这句话正确，函数的最大值唯一,最大值点不唯一.
探究点一 对函数最值的理解
例1 ［2025·江苏梁丰中学高二月考］已知定义在上的函数 ，
其导函数 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A.
B.函数在处取得最大值，在 处
取得最小值
C.函数在处取得极大值，在 处
取得极小值
D.函数的最小值为
√
[解析] 由题图可知，当时， ，所
以函数在上单调递增，又 ，
所以 ，故A不正确．
因为，，且当时， ，
当时，，当时，，所以函数 在
处取得极大值，但不一定取得最大值，在 处取得极小值，
不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当 时，，所以函数在上单
调递减，从而 ，所以D不正确．
故选C.
变式 （多选题）［2025·山东菏泽一中高二质检］
定义在上的函数的导函数 的图象如
图所示，函数 的部分对应值如下表．
0 2 4 5
1 2 0 2 1
下列关于函数 的结论正确的是( )
A.函数 的极值点的个数为3
B.函数的减区间为
C.若当时，的最大值是2，则 的最大值为4
D.当时，方程 有4个不同的实根
√
√
[解析] 对于A，由 的图象可知，当,2,4时，，
且当 时，，当时， ，
当时，，当 时，，所以0，2，4
是函数 的极值点，故A选项正确；
对于B，由导函数的正负与函数 之间的关系可知，当
时，，当时，，所以函数
的减区间为，故B选项错误；
对于C，当 时，函数的最大值是2，则 的最大值不是4，
故C选项错误；
对于D， 作出函数 的大致图象，如图所示，
由图可知，当时，直线 与函数
的图象有4个交点，故D选项正确．
故选 .
［素养小结］
最值与极值的区别与联系
（1）极值是对某一点附近（即局部）而言，最值是对函数的定义域
（即整体）而言．
（2）在函数的定义域内，极大（小）值可能有多个，但最大（小）
值只有一个（或者没有）．
（3）对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区
间端点处取得．
探究点二 求函数最值
角度1 求不含参数的函数最值
例2 ［2025·江苏苏州中学高二月考］函数
在区间 上的最小值、最大值分
别为( )
A.， B.， C.， D.，
√
[解析] ，所以
在区间和上，，单调递增，在区间
上，，单调递减，
又 ，，，
所以 在区间上的最小值为，最大值为 .
故选D.
变式 函数, 的最大值、最小值分别为
( )
A. ,0 B.,0 C. , D.0,
[解析] 由题意知,,,令 ,得
,令,得,
所以在 上单调递减,在上单调递增,
所以 ,
,}=, }= .故选C.
√
角度2 求含参数的函数的最值
例3 已知函数，，讨论函数 的最值.
解：函数的定义域为， .
当时，，则在 上单调递增，无最值.
当时，令，得，所以在 上单
调递减；令，得，所以在 上单调递增.
所以的最小值为 ，无最大值．
综上，当时，无最值；当时， 的最小值为
，无最大值．
变式 设,已知函数,讨论函数在 上
的最大值.
解：,令,解得或 .
①当时,，则在 上单调递增,所以
.
②当,即时,在 上单调递减,所以
.
③当,即时,在上单调递减,在
上单调递增,所以, .
若,即,则 ;
若,即,则 .
综上,当时,;
当 时, .
［素养小结］
1.求函数
在闭区间
上的最值时，在得到极值的基础上，将区间
端点的函数值
，
与
的各极值进行比较得到函数的最值．
2.含参数函数最值问题的两类情况
（1）能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题.
（2）对于不能求出参数值的函数最值问题,则要对参数进行讨论,其
实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数的值大
（小）于等于0且不恒等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在
端点处取得;若导函数的值有正有负,则求出极值点后求极值,再与区
间端点处的函数值比较后确定最值.
探究点三 已知函数最值求参数的值或取值范围
例4（1）已知函数，当时,在 上的最
小值为,求实数 的值.
解：因为,所以,令,解得 .
当,即时,在上恒成立,此时在
上单调递减,所以,所以 （舍去）;
当,即时,在 上,由可得
,由 可得,
所以函数在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,
所以 .
综上, .
（2）已知函数在区间 上既有最大值又
有最小值,求 的取值范围.
解：函数,求导得 ,
即,则当或时, ,
当时,,
则函数在, 上单调递增, 在上单调递减,
所以当时,函数 取得极大值,当时,函数
取得极小值 .
由,得,整理得 ,即
,解得或 .
由,得,
整理得 ,即,
解得或 .
作出函数的部分图象及直线, ,如图所示.
因为在区间 上既有最大值又有最小值,
所以解得,所以的取值范围是 .
变式 ［2025·浙江温州中学高二月考］ 若函数 在区
间上有最小值，则实数 的取值范围为________.
[解析] ，所以在 和
上，，函数单调递减；在上， ，
函数单调递增，且 .
由，得，整理得 ，
则，则，
解得 或，所以，
因为在区间 上有最小值，所以
解得，即 的取值范围为 .
［素养小结］
已知函数在某区间上的最值求参数的值（或取值范围）是求函数最
值的逆向问题.一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探
索最值点,根据已知最值列方程（或不等式）解决问题.
1.函数的最值表示函数在定义域内函数值的整体情况.连续函数
（图象连续不断）在闭区间 上必有一个最大值和一个最小
值,最大（小）值点可以不唯一;在开区间 上连续函数不一定有
最大值和最小值.特别地,如果函数的定义域为,且 在
上单调递减（增）,在上单调递增（减）,那么 的最小
（大）值为 .
2.函数极大、极小值与最大、最小值的区别与联系
区别:最值是一个整体的概念,一定是在整个区间上的函数值的最大者
或最小者;极值是一个局部概念,极大值和极小值是比较极值点附近函
数值得出的.函数最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得到
的.函数的最大、最小值不一定是极大、极小值.
联系:最大值在极大值和端点函数值中取得;最小值在极小值和端点函
数值中取得.
3.函数在区间 上的最值情况
在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线时, 在
上不一定有最值.常见的情况有以下几种:
图①中的函数在 上有最大值而无最小值;
图②中的函数在 上有最小值而无最大值;
图③中的函数在 上既无最大值也无最小值;
图④中的函数在 上既有最大值也有最小值.
1.分类讨论思想在求最值中的应用
例1 已知函数, .
（1）当时,求曲线在点 处的切线方程;
解：,的定义域为 ,
当时,,可得 ,
此时,
又 ,
所以曲线在点 处的切线方程为 ,
即 .
（2）求在区间 上的最小值.
解：易知 .
当时,,则在 上单调递增,
所以 .
当时,令,解得 ,
当,即时,在上恒成立,则在 上单
调递减,
所以 .
当,即 时,
当时,, 单调递增;
当时,, 单调递减.
, .
若,则,即 ,
;
若,则,即 ,所以
.
当,即时,在上恒成立,在 上
单调递增,
所以 .
综上,在区间上,当时, ;
当时, .
2.函数最值的综合应用
例2（1）已知,,若存在 ,
,使得成立,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为存在,,使得 成立,所以
.
由题得 ,
则当时,,当时,,所以函数在
上单调递增,在上单调递减,所以 ,
由题得,所以 .故选B.
√
（2）已知,若对于任意的 ,不等式
恒成立,则 的最小值为___.
[解析] 因为 ,所以
可化为 .
设,则 ,
所以在上单调递增.因为, ,
所以 , ,,
所以 可化为,
所以,所以对任意 恒成立,
所以,.
设, ,则,令,得,
令,得 ,所以在上单调递增,在 上单调递减,
所以,所以,即的最小值为 .
练习册
1.下列结论正确的是( )
A.若在上有极大值，则极大值一定是 上的最大值
B.若在上有极小值，则极小值一定是 上的最小值
C.若在上有极小值，则极小值一定是在和 处取得
D.若在上的图象连续不断，则在 上存在最大值和
最小值
√
[解析] 函数在 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极
值，A，B错误；
当在 上有极小值且不单调时，极小值不在区间端点处取得，
C错误；
若在 上的图象连续不断，则在 上一定存在最大值
和最小值，D正确．
故选D.
2.［2025·江苏盐城中学高二月考］已知函数在区间 上可导，
则“函数在区间上有最小值”是“存在 ，满足
”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 为开区间,在 上的最小值一定是极小值,又
在上有最小值，在 上存在极小值，即存在极小
值点， 存在,满足,充分性成立.
当 ，时，，结合的性质可知
无最小值，必要性不成立.
“函数在区间上有最小值”是“存在 ，满足
”的充分且不必要条件，故选A.
3.［2025·江苏徐州一中高二调研］函数 在区间
上的最大值和最小值分别是( )
A.1， B.1， C.3， D.9，
[解析] ，令，得 .
又， ，
,，所以函数 的最大值为3，
最小值为 .故选C.
√
4.［2025·山东青岛二中高二月考］当时，函数
取得最大值，则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 函数的定义域为， ，依题意知，
，，所以,，则, ，
所以，
因此函数在 上单调递增，在上单调递减，
当 时取最大值，满足题意.
所以 ．故选B.
√
5.已知函数的最小值恰为，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得的定义域为 , .
若,则,则函数 在上单调递减,无最小值,不符合题意.
若 ，则当时，，函数单调递减，当 时，
，函数单调递增，所以当时，函数 取得最小
值，最小值为，可得 .故选D.
6.（多选题）［2025·河南开封中学高二月考］ 设 ,
的最大值为 ，则( )
A.当时， B.当时，
C.当时， D.当时，
[解析] 对于选项A，当时， ，则
,由可得,则在区间 上
单调递减，所以 ，故选项A正确．
√
√
对于选项B,当时,，则 ，
由 ,可得,所以在区间 上单调递增，所以
，故选项B正确．
对于选项C，当 时，因为当时， 恒成立，所以
，所以 ，故选项C错误．
对于选项D，当时， ，则
，由,可得,所以 在区间上单调递增，
所以 ，故选项D错误．
故选 .
7.［2025·江苏泰州中学高二月考］设 ，则函数
的最小值是____．
[解析] .
因为 ，所以当 时，；
当时，.
所以当时， 取得最小值 .
8.［2025·河北衡水中学高二月考］已知函数
在区间上的最大值是28，则 的取值
范围为__________．
[解析] ， .
令，得，，
则当变化时，， 的变化情况如表，
1
0 - 0
28
当时，取得极大值28；当时， 取得极小值.
又，在区间 上的最大值为28，
，即的取值范围为 ．
9.（13分）已知函数,求 在
区间上的最小值 .
解:的定义域为 ,
.
①当,即时,在 上单调递增,
所以 .
②当,即时,在 上单调递减,
在上单调递增,所以 .
③当,即时,在 上单调递减,
所以 .
综上所述,
10.（13分）［2025·江苏如东中学高二调研］ 已知函数
的导数满足， .
（1）求 的单调区间；
解：由可得 ，
因为，，所以 ，
，解得， ，
所以 ，
，
由即，可得 ，
由即，可得或 ，
所以的增区间为，减区间为和 .
（2）若在区间上的最大值为20，求 的值;
解：由（1）知，在上单调递减，在 上单调递增，
由题意得 ，
，
则在区间上的最大值为，所以 .
10.（13分）［2025·江苏如东中学高二调研］ 已知函数
的导数满足， .
（3）若函数的图象与轴有三个交点，求 的取值范围.
解：由（1）知当时， 取得极小值
，
当时， 取得极大值
，
因为函数的图象与 轴有三个交点，
当 时， ,当 时， ,
所以解得 ，
即的取值范围是 .
11.［2025·福建福州一中高二质检］如图，已知点 ，直线
与函数的图象交于点，与 轴交于点
，记的面积为，则函数 的最大值为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
√
[解析] 由题意得， ，所以
， ，可得
，
由 得，当变化时，与 的变化情况如表，
3
0 -
极大值
所以当时，函数 取得极大值，也是最大值，最大值为8.故选B.
12.［2025·江苏镇江中学高二调研］已知函数
在上的最大值为2，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时， ，则
．当 时,;当时, ．
所以函数在 处取得极大值,也是最大值,最大值为．
当时，函数在 上单调递增，
由题意可知， ，
得，解得，此时；
当 ，且时，，符合题意；
当时，函数 在上单调递减，又当时
,所以 ，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是 ，故选D.
13.［2025·山东泰安一中高二调研］已知函数 在
区间上存在最小值，则整数 的取值可以是______________
______________．（填写一个符合题意的答案即可）
1（答案不唯一，2，3均可）
[解析] 因为，所以 .
由可得，由可得或 ，
所以函数的减区间为,增区间为, ，所以函
数的极大值为，极小值为 ，
作出的大致图象，如图所示.
令，其中 ，则，
可得，因为函数 在区间上存在最小值，
所以解得 ，
所以整数的取值集合为 .故答案为1（答案不唯一，2，3均可）.
14.（15分）［2025·江苏兴化中学高二月考］ 已知函数
.
（1）求函数 的极值.
解：函数的定义域为， ，其中 .
由，得 ；由，得 .
所以函数的增区间为，减区间为 ，
所以函数的极小值为 ，无极大值.
（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为 ？若
存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：①当，即时，函数在 上单调递增，
故函数的最小值为，显然 ，故不符合题意.
②当，即时，函数在 上单调递减，在
上单调递增,故函数的最小值为 .
令， ，
则，可知在 上单调递增，
所以 ,所以 ，不符合题意.
③当，即时，函数在 上单调递减，
故函数的最小值为 ，
由，得 ，符合题意.
综上所述，存在符合题意的实数,且 .
15.［2025·湖北武汉一中高二质检］如图，在平行四边形 中，
，点是边上一点，且，记为 的
面积，为的面积，则当取得最小值时， ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设 ，因为
，，所以 .
令 ,得,可得,即,故当时, ，
当时，，则在 上单调递减，在上单调递增，
所以当时， 取得最小值.故选C.
令 ，则 ，则.
16.（15分）［2025·广东深圳中学高二调研］ 已知函数
有两个极值点,， .
（1）当时，求 的值；
解：易知函数的定义域为 ，
.
当时，可得 ，
可知当或时, ；当时, .
所以在和上单调递增，在 上单调递减，
可得和是函数 的两个极值点，
又，所以, ，
所以，即当时， .
（2）若为自然对数的底数，求 的最大值.
解：易知 ，且
，
又，所以,是方程的两个实数根，
由根与系数的关系可得, ，
所以
.
设，由可得.令, ，
则，所以在 上单调递
减，可得 ，
故的最大值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.连续不断 2.
知识点二（1）极值 （2）
,
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√
2.解：这句话正确，函数的最大值唯一,最大值点不唯一.
课中探究 例1 C 变式 AD 例2 D 变式 C
例3 当
时，
无最值；当
时，
的最小值为
，
无最大值．
变式 当
时,
;当
时,
.
例4 （1） （2）
变式
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.AB 7.
8.
9.
10.（1）
的增区间为
，减区间为
和
（2）（3）
11.B 12.D 13.1（答案不唯一，2，3均可）
14.（1）
的极小值为
，无极大值（2）
15.C 16.（1） （2）5.3.3 最大值与最小值
第1课时 函数的最大值与最小值
1.下列结论正确的是 ( )
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a,b]上的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
2.[2025·江苏盐城中学高二月考] 已知函数f(x)在区间(a,b)上可导,则“函数f(x)在区间(a,b)上有最小值”是“存在x0∈(a,b),满足f'(x0)=0”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.[2025·江苏徐州一中高二调研] 函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是 ( )
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17 D.9,-19
4.[2025·山东青岛二中高二月考] 当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= ( )
A.-1 B.-
C. D.1
5.已知函数f(x)=mln x+的最小值恰为-m,则 m= ( )
A. B.
C.e D.e2
6.(多选题)[2025·河南开封中学高二月考] 设f(x)=xa·cos x,x∈的最大值为M,则 ( )
A.当a=-1时,M<
B.当a=2时,M<
C.当a=1时,M>
D.当a=3时,M<
7.[2025·江苏泰州中学高二月考] 设0
8.[2025·河北衡水中学高二月考] 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,则k的取值范围为 .
9.(13分)已知函数f(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R),求f(x)在区间[1,e]上的最小值h(a).
10.(13分)[2025·江苏如东中学高二调研] 已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c的导数f'(x)满足f'(-1)=0,f'(2)=9.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求c的值;
(3)若函数f(x)的图象与x轴有三个交点,求c的取值范围.
11.[2025·福建福州一中高二质检] 如图,已知点A(11,0),直线x=t(-1A.4 B.8
C.12 D.16
12.[2025·江苏镇江中学高二调研] 已知函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C.(-∞,0] D.
13.[2025·山东泰安一中高二调研] 已知函数f(x)=x3+x2-2在区间(a-4,a)上存在最小值,则整数a的取值可以是 .(填写一个符合题意的答案即可)
14.(15分)[2025·江苏兴化中学高二月考] 已知函数f(x)=aln x+(a>0).
(1)求函数f(x)的极值.
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
15.[2025·湖北武汉一中高二质检] 如图,在平行四边形ABCD中,BC=4AB=8,点E是AD边上一点,且EA=EB,记S1为△ABE的面积,S2为△EBC的面积,则当S1-S2取得最小值时,∠A= ( )
A. B. C. D.
16.(15分)[2025·广东深圳中学高二调研] 已知函数f(x)=ln x+x2-ax有两个极值点x1,x2(x1(1)当a=时,求f(x2)-f(x1)的值;
(2)若x2≥ex1(e为自然对数的底数),求f(x2)-f(x1)的最大值.5.3.3 最大值与最小值
第1课时 函数的最大值与最小值
【课前预习】
知识点一
1.连续不断 2.≤
知识点二
(1)极值 (2)f(a),f(b)
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.解:这句话正确,函数的最大值唯一,最大值点不唯一.
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 由题图可知,当x≤c时,f'(x)≥0,所以函数f(x)在(-∞,c]上单调递增,又a0,当ce时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=c处取得极大值,但不一定取得最大值,在x=e处取得极小值,不一定是最小值,故B不正确,C正确.由题图可知,当d≤x≤e时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[d,e]上单调递减,从而f(d)>f(e),所以D不正确.故选C.
变式 AD [解析] 对于A,由f'(x)的图象可知,当x=0,2,4时,f'(x)=0,且当-1≤x<0时,f'(x)>0,当00,当4探究点二
例2 D [解析] f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,所以在区间和上,f'(x)>0,f(x)单调递增,在区间上,f'(x)<0,f(x)单调递减,又f(0)=f(2π)=2,f=+2,f=-+1=-,所以f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-,最大值为+2.故选D.
变式 C [解析] 由题意知,f'(x)=1-cos x,x∈[0,π],令f'(x)>0,得例3 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+=.
当a≥0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最值.
当a<0时,令f'(x)<0,得00,得x>-2a,所以f(x)在(-2a,+∞)上单调递增.
所以f(x)的最小值为f(-2a)=aln(-2a)-2a,无最大值.
综上,当a≥0时,f(x)无最值;当a<0时,f(x)的最小值为aln(-2a)-2a,无最大值.
变式 解:f'(x)=3x2-2ax,令f'(x)=0,解得x=0或x=.
①当a=0时,f(x)=x3,则f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(x)max= f(2)=8.
②当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=-a.
③当0<<2,即0(i)若f(0)≥f(2),即2≤a<3,则f(x)max=f(0)=-a;
(ii)若f(0)探究点三
例4 解:(1)因为f(x)=ln x-,所以f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=-a.
(i)当-a≥e,即a≤-e时,f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)min=f(e)=1-=,所以a=-(舍去);
(ii)当1<-a0可得-a综上,a=-.
(2)函数f(x)=x3-4x+4,求导得f'(x)=x2-4,即f'(x)=(x-2)(x+2),则当x<-2或x>2时,f'(x)>0,当-2由f(x)=,得x3-4x+4=,整理得x3-12x-16=0,即(x+2)2(x-4)=0,解得x=-2或x=4.
由f(x)=-,得x3-4x+4=-,整理得x3-12x+16=0,即(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4.
作出函数f(x)的部分图象及直线y=,y=-,如图所示.
因为f(x)在区间(a,a+5)上既有最大值又有最小值,所以解得-3变式 [解析] f'(x)=12-3x2=3(2-x)(2+x),所以在(-∞,-2)和(2,+∞)上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;在(-2,2)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,且f(-2)=12×(-2)+23=-16.由f(x)=-16,得12x-x3=-16,整理得x3-12x-16=0,则(x+2)(x2-2x-8)=0,则(x+2)2(x-4)=0,解得x=-2或x=4,所以f(-2)=f(4)=-16,因为f(x)在区间(m-5,2m+1)上有最小值,所以解得-第1课时 函数的最大值与最小值
1.D [解析] 函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,A,B错误;当f(x)在[a,b]上有极小值且不单调时,极小值不在区间端点处取得,C错误;若f(x)在[a,b]上的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定存在最大值和最小值,D正确.故选D.
2.A [解析] ∵(a,b)为开区间,∴f(x)在(a,b)上的最小值一定是极小值,又f(x)在(a,b)上有最小值,∴f(x)在(a,b)上存在极小值,即存在极小值点,∴存在x0∈(a,b),满足f'(x0)=0,充分性成立.当f(x)=x3,x0=0时,f'(x0)=0,结合f(x)=x3的性质可知f(x)无最小值,必要性不成立.∴“函数f(x)在区间(a,b)上有最小值”是“存在x0∈(a,b),满足f'(x0)=0”的充分且不必要条件,故选A.
3.C [解析] f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1 [-3,0],所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.故选C.
4.B [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,依题意知,f(1)=-2,f'(1)=0,所以b=-2,a-b=0,则a=-2,b=-2,所以f'(x)=-+=,因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意.所以f'(2)=-1+=-.故选B.
5.D [解析] 由f(x)=mln x+,得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=.若m≤0,则f'(x)<0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,无最小值,不符合题意.若m>0,则当0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以当x=时,函数f(x)取得最小值,最小值为mln+m=-m,可得m=e2.故选D.
6.AB [解析] 对于选项A,当a=-1时,f(x)=,则f'(x)=,由x∈可得f'(x)<0,则f(x)在区间上单调递减,所以M==<,故选项A正确.对于选项B,当a=2时,f(x)=x2·cos x,则f'(x)=xcos x(2-xtan x),由x∈,可得f'(x)>0,所以f(x)在区间上单调递增,所以M=<,故选项B正确.对于选项C,当a=1时,因为当x∈时,x0,所以f(x)在区间上单调递增,所以M=·>,故选项D错误.故选AB.
7. [解析] y'==
.因为00;当08.(-∞,-3] [解析] ∵h(x)=x3+3x2-9x+1,∴h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1,则当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表,
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗
∴当x=-3时,h(x)取得极大值28;当x=1时,h(x)取得极小值-4.又h(2)=39.解:f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=+2x-(a+2)=
=.
①当≤1,即a≤2时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以h(a)=f(1)=-a-1.
②当1<在上单调递增,所以h(a)=f=aln-a2-a.
③当≥e,即a≥2e时,f(x)在[1,e]上单调递减,
所以h(a)=f(e)=(1-e)a+e2-2e.
综上所述,h(a)=
10.解:(1)由f(x)=-x3+ax2+bx+c可得f'(x)=-3x2+2ax+b,
因为f'(-1)=0,f'(2)=9,所以-3-2a+b=0,-12+4a+b=9,解得a=3,b=9,
所以f(x)=-x3+3x2+9x+c,f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3),
由f'(x)>0即x2-2x-3<0,可得-1由f'(x)<0即x2-2x-3>0,可得x<-1或x>3,
所以f(x)的增区间为(-1,3),减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).
(2)由(1)知,f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,
由题意得f(-2)=-(-2)3+3×(-2)2+9×(-2)+c=c+2,
f(2)=-23+3×22+9×2+c=c+22,
则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为f(2)=c+22=20,所以c=-2.
(3)由(1)知当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=-(-1)3+3×(-1)2+9×(-1)+c=c-5,
当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=-33+3×32+9×3+c=c+27,
因为函数f(x)的图象与x轴有三个交点,
当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→-∞,
所以解得-27即c的取值范围是(-27,5).
11.B [解析] 由题意得AH=11-t,PH=,所以f(t)=(11-t),-1t (-1,3) 3 (3,11)
f'(t) + 0 -
f(t) ↗ 极大值 ↘
所以当t=3时,函数f(t)取得极大值,也是最大值,最大值为8.故选B.
12.D [解析] 当-2≤x≤0时,f(x)=2x3+3x2+1,则f'(x)=6x2+6x=6x(x+1).当-2≤x<-1时,f'(x)>0;当-10时,函数f(x)=eax在(0,2]上单调递增,由题意可知,f(2)=e2a≤2,得2a≤ln 2,解得a≤ln 2,此时013.1(答案不唯一,2,3均可) [解析] 因为f(x)=x3+x2-2,所以f'(x)=x2+2x=x(x+2).由f'(x)<0可得-20可得x<-2或x>0,所以函数f(x)的减区间为(-2,0),增区间为(-∞,-2),(0,+∞),所以函数f(x)的极大值为f(-2)=-+4-2=-,极小值为f(0)=-2,作出f(x)的大致图象,如图所示.令f(m)=f(0)=-2,其中m≠0,则m3+m2-2=-2,可得m=-3,因为函数f(x)在区间(a-4,a)上存在最小值,所以解得1≤a<4,所以整数a的取值集合为{1,2,3}.故答案为1(答案不唯一,2,3均可).
14.解:(1)函数f(x)=aln x+的定义域为(0,+∞),f'(x)=,其中a>0.
由f'(x)>0,得x>;
由f'(x)<0,得0所以函数f(x)的增区间为,减区间为,
所以函数f(x)的极小值为f=aln+a=a-aln a,无极大值.
(2)①当0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在[1,e]上单调递增,
故函数f(x)的最小值为f(1)=1,显然1≠,故不符合题意.
②当1<故函数f(x)的最小值为f=aln+a=a-aln a.
令g(a)=a-aln a,a∈,
则g'(a)=-ln a>0,可知g(a)在上单调递增,
所以g(a)>g=,
所以f(x)min>,不符合题意.
③当≥e,即0故函数f(x)的最小值为f(e)=aln e+=a+,
由a+=,得a=,符合题意.
综上所述,存在符合题意的实数a,且a=.
15.C [解析] 设∠A=θ,因为EA=EB,AB=2,所以EA=EB=.令S=S1-S2,则S=×2××sin θ-×8×2×sin θ=-8sin θ,则S'=-8cos θ=.令S'=0,得1-8cos3θ=0,可得cos θ=,即θ=,故当θ∈时,S'<0,当θ∈时,S'>0,则S在上单调递减,在上单调递增,所以当∠A=时,S1-S2取得最小值.故选C.
16.解:(1)易知函数f(x)=ln x+x2-ax的定义域为(0,+∞),
f'(x)=+x-a=.
当a=时,可得f'(x)==,
可知当x∈或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0.
所以f(x)在和(2,+∞)上单调递增,在上单调递减,
可得x=和x=2是函数f(x)的两个极值点,
又x1所以f(x2)-f(x1)=f(2)-f=ln 2+2-5-=2ln 2-,即当a=时,f(x2)-f(x1)=2ln 2-.
(2)易知f(x2)-f(x1)=ln+(-)-a(x2-x1),且x2>x1>0,又f'(x)=,所以x1,x2是方程x2-ax+1=0的两个实数根,
由根与系数的关系可得x1+x2=a,x1x2=1,
所以f(x2)-f(x1)=ln+(-)-a(x2-x1)=ln+(-)-(x2+x1)(x2-x1)=ln-(-)=ln-·(-)=ln-.
设=t,由x2≥ex1可得=t≥e.令g(t)=ln t-,t≥e,
则g'(t)=-=-<0,所以g(t)在[e,+∞)上单调递减,可得g(t)≤g(e)=1-=1-+,故f(x2)-f(x1)的最大值为1-+.5.3.3 最大值与最小值
第1课时 函数的最大值与最小值
【学习目标】
1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
3.理解极值与最值的关系,并能利用其求参数的取值范围.
◆ 知识点一 函数最值的定义
1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.
2.最大值的定义:如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x) f(x0),那么f(x0)为函数在定义域上的最大值.
注意:最大值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最大值,那么最大值唯一.
◆ 知识点二 求函数最值的步骤
一般地,求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的 ;
(2)将第一步中求得的极值与 比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. ( )
(2)函数在开区间内不存在最大值和最小值.( )
(3)定义在闭区间[a,b]上的图象连续不断的函数的极大(小)值可以有多个,但最大(小)值只能有一个. ( )
(4)若函数f(x)的图象在区间[a,b]内连续不断,则f(x)在区间[a,b]内必有最大值与最小值,但不一定有极值. ( )
2.函数的最值必在极值点或区间端点处取得,这句话正确吗 函数y=f(x)的图象的最高点和最低点的横坐标分别为函数f(x)的最大值点和最小值点.如果函数f(x)存在最大值,那么其最大值是否唯一 最大值点是否唯一
◆ 探究点一 对函数最值的理解
例1 [2025·江苏梁丰中学高二月考] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 ( )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x=c处取得最大值,在x=e处取得最小值
C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
变式 (多选题)[2025·山东菏泽一中高二质检] 定义在[-1,5]上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,函数f(x)的部分对应值如下表.
x -1 0 2 4 5
f(x) 1 2 0 2 1
下列关于函数f(x)的结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的极值点的个数为3
B.函数f(x)的减区间为(0,2)∪(4,5]
C.若当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4
D.当1≤a<2时,方程f(x)=a有4个不同的实根
[素养小结]
最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义域(即整体)而言.
(2)在函数的定义域内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
◆ 探究点二 求函数最值
角度1 求不含参数的函数最值
例2 [2025·江苏苏州中学高二月考] 函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为 ( )
A.-, B.-,
C.-,+2 D.-,+2
变式 函数f(x)=x-sin x,x∈[0,π]的最大值、最小值分别为 ( )
A.π,0 B.-,0
C.π,-1 D.0,-1
角度2 求含参数的函数的最值
例3 已知函数f(x)=aln x+x-a,a∈R,讨论函数f(x)的最值.
变式 设a≥0,已知函数f(x)=x3-ax2-a,讨论函数f(x)在[0,2]上的最大值.
[素养小结]
1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,将区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
2.含参数函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的函数最值问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数的值大(小)于等于0且不恒等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数的值有正有负,则求出极值点后求极值,再与区间端点处的函数值比较后确定最值.
◆ 探究点三 已知函数最值求参数的值或取值范围
例4 (1)已知函数f(x)=ln x-,当a<-1时,f(x)在[1,e]上的最小值为,求实数a的值.
(2)已知函数f(x)=x3-4x+4在区间(a,a+5)上既有最大值又有最小值,求a的取值范围.
变式 [2025·浙江温州中学高二月考] 若函数f(x)=12x-x3在区间(m-5,2m+1)上有最小值,则实数m的取值范围为 .
[素养小结]
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或取值范围)是求函数最值的逆向问题.一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(或不等式)解决问题.