(共81张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.3 最大值与最小值
第2课时 函数最大值与最小值的应用
探究点一 面积、体积的最值问题
探究点二 用料最省、费用最少问题
探究点三 利润最大、效率最高问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
会运用函数在某闭区间上的最值来解决实际问题中的最值问题．
知识点 导数的实际应用
1.导数在实际生活中有着广泛的应用.用料最省、利润最大、效率最
高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.
2.用导数解决实际生活问题的基本思路
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问
题．( )
√
（2）生活中的优化问题都必须利用导数解决．( )
×
（3）生活中的优化问题中若函数只有一个极值点则它就是最值
点．( )
×
（4）方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为4.( )
√
探究点一 面积、体积的最值问题
例1 ［2025·江苏靖江中学高二质检］一个等腰三
角形的周长为10，四个这样的等腰三角形的底边
围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋
转，使这四个顶点重合在一起，构成一个正四棱
锥，则该正四棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 正四棱锥如图，设底面正方形边长的一
半为 ，则正四棱锥的高
，
所以正四棱锥的体积
．
设，则 ，
由，解得（舍）或（舍）或．
所以当时，,单调递增，单调递增；
当 时，，单调递减，单调递减.
则当 时,取得最大值，最大值为． 故选A.
变式 ［2025·山东临沂一中高二月考］有一个帐篷，它的下部是高
为的正六棱柱，上部是侧棱长为 的正六棱锥
（如图所示）．当帐篷的顶点到底面中心的距离为___ 时，该
帐篷的体积最大．
2
[解析] 设，其中 ，底面正六边形的面积为，帐
篷的体积为 .则由题意可得正六棱锥底面的边长为
，
于是底面正六边形的面积
．
帐篷的体积 ，则．
令，解得 或（不合题意，舍去）．所以当时， ；当时，. 所以当时， 最大．
［素养小结］
解决面积、体积最值问题的一般思路是正确引入变量，将面积或体
积表示为变量的函数，再结合实际问题的意义，利用导数求解函数
的最值.
探究点二 用料最省、费用最少问题
例2 ［2025·湖北郧阳一中高二月考］为了在夏季降温和冬季供暖时
减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要
建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该
建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度
单位：之间满足关系： ，若不建隔热
层，每年能源消耗费用为8万元，设 为隔热层建造费用与20年的
能源消耗费用之和（单位：万元）．
（1）求的值及 的表达式；
解：由，得，则，所以 .
则 ．
（2）隔热层修建多厚时，总费用 取得最小值，并求最小值．
解：由（1）知 ，
令，得 ，
解得或 （舍去）．
可得当时， ，
当时， ，
故是 的最小值点，对应的最小值为
.
所以当隔热层修建 厚时，总费用取得最小值70万元．
变式 如图所示，位于点处的甲村与位于 点处的乙村合用一个变
压器，若两村用同型号电线架设输电线路，问变压器设在输电干线
何处时，所需电线总长最短？
解：设，其中 ，则 ，
则所需电线总长 单位： 为
可得 .令，则 ，
解得或 （舍去）.
因为在区间上满足 的点只有 ，所以根据实际意义，
知 就是我们所求的最小值点，即变压器设在，之间到点
的距离为 处时，所需电线总长最短.
，
［素养小结］
利用导数求解优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，
解题中要特别注意以下几点：
（1）当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变
量之间的关系式；
（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；
（3）所得的结果要符合问题的实际意义.
探究点三 利润最大、效率最高问题
例3 ［2025·江苏宿迁中学高二质检］某公司为了获得更大的收益，
每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费
百万元，可增加销售额 百万元．
（1）若该公司将当年的广告费控制在4百万元之内（含4百万元），
则应该投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
解：设投入百万元的广告费后由此获得的收益为 百万元，
则 ，
所以当时， 取得最大值9，
即投入3百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
（2）现该公司准备共投入6百万元，用于广告促销和技术改造，经
预测，每投入技术改造费 百万元，可增加的销售额为
百万元.请设计一个资金分配方案，使该公司由此
获得的收益最大.（注：收益 销售额-投入资金）
解：设用于技术改造的资金为 百万元，
则用于广告促销的资金为百万元，设由此获得的收益是
百万元，
则，则，
（舍去）或 ，
所以当时， 取得最大值，
即将3百万元用于技术改造，3百万元用于广告促销，该公司由此获
得的收益最大．
变式 ［2025·河北冀州中学高二月考］某经销商计划经营一种商品，
经市场调查发现，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格
单位：元/千克，之间满足：当 时，
，为常数；当 时，
.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该商品
800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该商品150千克.
（1）求，的值，并确定关于 的函数解析式；
解： 当时，，，又 当 时，
，，可得 .
（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格 的值，使
经销商每日销售该商品所获利润最大
解：由题意得
当 时，
，则 ，
由，得 ，
由，得或 .
在，上单调递增，在 上单调递减.
，
当时 取得最大值1800.
，当且仅当，即 时取等号，
当时 取得最大值1840.
，
当时 取得最大值1840，即当销售价格约为5.3元/千克时，
经销商每日销售该商品所获利润最大.
［素养小结］
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入-成本”
建立函数关系式，再利用导数求最大值.
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；
②销量要大于0，否则不会获利.
1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，构建数学模型，写出实际问
题中变量之间的函数关系式 ；
（2）求函数的导数，解方程 ；
（3）比较函数在区间端点和 的零点处的函数值的大小，最大
（小）者为最大（小）值；
（4）回归实际问题，给出优化问题的答案.
2.利用导数解优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，解
题中要特别注意以下几点：
（1）当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变
量之间的关系式；
（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；
（3）所得的结果要符合问题的实际意义.
例1 如图所示,圆形纸片的圆心为 ,半径
为5,该纸片上的正方形 的中心为
,,,为圆上的点,, ,
A. B. C. D.
,分别是以,,, 为底边的等腰三角形.沿虚线剪
开后,分别以,,,为折痕折起,使得,,, 重合于一点,记为
,得到正四棱锥.当底面 的边长变化时,四棱锥
的体积的最大值为( )
√
[解析] 如图,取的中点,连接,, ,设
正方形的边长为,则 ,
,所以 ,
所以正四棱锥 的体积
.
设,,得.由 ,
得,由,得,所以在 上单调递增,
在上单调递减.
所以当时, 取得最大值,体积 也取得最大值,
体积的最大值为 .
例2 （多选题）如图，在四面体中，点，， 分别在棱
，，上，且平面平面，为 内一点，
记三棱锥的体积为，设，对于函数 ，
下列结论正确的是( )
A.当时，函数 取到最大值
B.函数在 上单调递减
C.函数的图象关于直线 对称
D.不存在，使得（其中 为
四面体 的体积）
√
√
√
[解析] 因为在四面体中，点，， 分别在
棱，，上，且平面平面 ，所以
由题意可知，
因为 ，所以，,棱锥
与棱锥的高之比为.
设 ，则，
所以 ，
由，得，由，得，
所以 在上单调递增，在上单调递减，所以当 时，函数取到最大值，故A正确；
函数 在上单调递减，故B正确；
由 的单调性可知的图象不关于直线对称，故C错误；
的最大值为，所以不存在，使得，故D正确.
故选 .
例3 ［2020·江苏卷］某地准备在山谷中建一座桥
梁，桥址位置的竖直截面图如图所示.谷底 在水平
线上，桥与平行， 为铅垂线
（在上）.经测量，左侧曲线上任一点 到
的距离（米）与到的距离 （米）之间
（1）求桥 的长度.
满足关系式;右侧曲线上任一点到的距离 （米）
与到的距离（米）之间满足关系式 .已知点
到 的距离为40米.
解：如图，设,,,都与垂直，, ,
, 是相应垂足.
由条件知，当 时，
,则 .
答：桥 的长度为120米；
由,得 .
所以 （米）.
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩
和，且为80米，其中，在 上
（不包括端点）.桥墩每米造价 （万元），
桥墩每米造价（万元）,问 为
多少米时，桥墩与 的总造价最低？
解：以为原点，为轴建立平面直角坐标系
（如图所示）.
设,,则 ,
.
因为,所以 .
设,则 ,
所以 .
记桥墩和的总造价为 ,
则 ，
,
令,得 .
当变化时，， 的变化情况如下：
20
- 0
极小值
所以当时， 取得最小值.
答：当为20米时，桥墩和 的总造价最低.
练习册
1.某方底无盖水箱的容积为256，高不小于1，则该水箱最省材料时，
它的高为( )
A.4 B.6 C.4.5 D.8
√
[解析] 设底面边长为，高为 ，则水箱的体积
，，由得, 该水箱所
用材料的面积 ，
.
由,得 ,由,得,在上单
调递减，在 上单调递增，则当时，取得最小值，
此时 .
2.某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量 （单位：万件）
的函数关系式为 ，则该生产厂家可获取的最大
年利润为( )
A.16万元 B.18万元 C.19万元 D.21万元
[解析] 由题意知，，则当时， ，函
数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以当时， 取得最大值，最大值为19万元，故选C.
√
3.某工厂需要建一个面积为 的矩形堆料场，一边可以利用原
有的墙壁，要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为
( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 如图所示，设堆料场一边长为 ，则另
一边长为 ，因此新墙总长度
，则
，
令，得,令,得,所以在 上
单调递减，在上单调递增，则是 的最小值点，
此时，
故当堆料场的长为,宽为 时，可使砌墙所用的材料最省.
故选B.
4.［2025·福建厦门一中高二月考］小李准备向某银行申请一笔贷款
全部用于农产品土特产的加工与销售（根据当地的规定，小李的这
笔贷款符合免息政策），据测算每年所获利润 （单位：万元）与贷
款额度,单位：万元满足关系式 ，
要使年利润最大，小李应向银行贷款( )
A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元
√
[解析] 因为，且 ，
所以，
所以在上, ,函数单调递增，在上,,函数单调递减.
所以当 万元时，函数取得最大值，故选B.
5.［2025·江苏苏州中学高二调研］ 地组织物流企业的汽车运输队通
过高速公路向上海运送物资.已知地距离上海，设车队从
地匀速行驶到上海，高速公路限定的速度（单位： ）为
.已知车队每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固
定部分组成，可变部分与速度的立方成正比，比例系数为 ，固
定部分为元，为了使全程运输成本最低，速度 应为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设全程的运输成本为 元，依题意可得
，则
,
所以当时，当时 ，当
时，则函数在 上单调递减，在
上单调递增，
所以当 时函数取得极小值即最小值，
所以当 时全程运输成本最低，故选C.
6.（多选题）［2025·山东德州一中高二质检］ 已知一家公司生产某
种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.
设该公司一年内生产该品牌服装 千件并全部销售完，每千件的销售
收入为万元，且 当该公司在这
一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则( )
A.年产量为9千件 B.年产量为10千件
C.年利润的最大值为38万元 D.年利润的最大值为38.6万元
√
√
[解析] 设年利润为.当 时，
，则 .
令，得（负值舍去），可得当时， ；当
时，.所以当时，年利润 取得最大值38.6.
当时， ，则
.令，得 （负值舍去），可得当
时，;当时，.
所以当 时，年利润取得最大值38.因为 ，
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中，
所获得的年利润最大，且年利润的最大值为38.6万元.故选 .
7.［2025·江苏泰州中学高二月考］某厂生产件产品的总成本为
万元，产品单价为万元，且满足 ，
，则总利润最大时， ____.
25
[解析] 设总利润为 万元，则
，可
得.令，得;令 ，得
．
所以在上单调递增，在 上单调递减，
故当 时，总利润最大．
8.［2025·安徽合肥一中高二月考］用长为 的钢条围成一个长方
体形状的框架（即12条棱长总和为 ），要求长方体的长与宽之
比为，则该长方体体积的最大值是____ .
15
[解析] 设该长方体的宽是米，由题意知，其长是 米，高是
米，则该长方体的体积
，
可得，由，得，则当 时，
，当时，.
所以在 处取得极大值，
该值也是函数 在定义域上的最大值，
所以该长方体体积的最大值是 ．
9.（13分）［2025·江苏淮安中学高二月考］ 某个体户计划经销，
两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销， 商
品中所获得的收益分别为万元与 万元，其中
， ，已知投资额
为零时收益为零．
（1）求, 的值；
解：根据问题的实际意义，可知， ，
则，，解得， .
（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制订
一个资金投入方案，使他能获得最大收益．
（参考数据： ）
解：由（1）可得，，设投入经销 商品
的资金为万元， ，
则投入经销商品的资金为万元，设所获得的收益为 万元，
则， ，
可得，令，得 ，
则当时，，单调递增；当 时，
，单调递减.
所以 ，
当投入经销商品3万元， 商品2万元时，可获得最大收益，收益的
最大值约为12.6万元．
10.［2025·江苏南京中华中学高二月考］已知某旧水渠的横截面是一
段抛物线（如图所示），顶点在水渠的最底端，渠宽为 ，
渠深为 ，欲在旧水渠内填充混凝土加固，改造成横截面为等腰梯
形 的新水渠，且新水渠的底面与地面平行（不改变渠宽），若
要使所填充的混凝土量最小，则 的长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，则
，设抛物线的方程为 ，
因为点在抛物线上，所以 ,可得
，所以抛物线的方程为 .
要使所填充的混凝土量最小，则等腰梯形的面积最大，
设点 ，则此时梯形的面积
，
所以 ，
令，可得.
当 时，，在 上单调递增，
当时，，在 上单调递减，
所以当时，取得最大值，此时 的长为 .
故选B.
11.［2025·浙江绍兴中学高二调研］菱形 的边长为2，现将
沿对角线折起使平面 平面 ，则此时所成空间四
面体 体积的最大值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 取的中点，连接，则.又平面 平面
,平面 平面, 平面,所以 平面.
设 ， ，则
， ，
√
，设，则 ，且 ，
所以，所以当 时，
，当时，，所以当 时，
取得最大值 ．故选A.
12.（多选题）［2025·江苏盐城中学高二月考］ 某粮食加工企业设计
了一种容积为 立方米的粮食储藏容器，已知该容器分上下两
部分，上部分是底面半径和高都为 米的圆锥，下部分是底面
半径为米、高为 米的圆柱，如图所示.经测算，圆锥的侧面每平方
米的建造费用为元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为
元，设每个容器的制造总费用为 元，则下面说法正确的是 ( )
A.
B.的最大值为
C.当时，
D.当时，取得最小值，最小值为
√
√
√
[解析] 由题意可得 ，所
以，由 ，得
，解得 ，所以
，故A不正确.
易知随着 的增大而减小，所以当时，取得最大值，且最大值为 ，故B正确.
圆锥的母线长，故圆锥的侧面积 ，圆柱的侧面积 ，
圆柱的底面积 ，所以总费用
.
当 时， ，
C正确.
时，，函数 单调递增，所以当时， 取得最小值，
最小值为 ，D正确.
故选 .
13.（15分）某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客
深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计
栈道观景台和栈道，，，，观景台 在半圆的中轴线
上与直径垂直，与,不重合 ，通过栈道把荷花池连接
起来，使人行其中有置身花海之感.已知米， ，
栈道总长度（单位：米）为 .
（1）求 的解析式.
解：因为在半圆的中轴线上， ，
米， ，
所以 （米），
（米），所以
（米），
所以， .
（2）若栈道的造价为每米5千元，则栈道 的长度
是多少时，栈道的建设费用最小？并求出最小值.
解：由（1）得， ，
由，得 ,
由，得 ,
所以在上单调递减，在上单调递增，所以当 ，
即 （米）时，栈道的建设费用最小，
最小值为 （千元）.
14.（多选题）［2025·江苏扬州中学高二调研］ 如图所
示，某几何体的形状类似于“甜筒冰淇淋”，其上部分是体
积为 的半球，下部分是高为6的圆锥，且圆锥的
底面与半球的大圆重合.在该封闭的几何体内倒放一个圆
A. B. C. D.
锥，使该圆锥的底面在半球内，该圆锥的底面平行于外层圆锥的底
面，且该圆锥的顶点与外层圆锥的顶点重合，则内部圆锥的体积可
以为( )
√
√
√
[解析] 令上部分半球的半径为 ，可得
， 解得 .设内部圆锥的底面半
径为，内部圆锥底面中心到球心的距离为 ，可知
，内部圆锥体积．
令 ，则
，可知在 上单调递增，
在上单调递减，
所以当时， 最大，
，又， ，所
以，则 ，则选项A，B，C都满足
题意．故选 .
15.（15分）［2025·江苏淮阴中学高二质检］ 环保生活，低碳出行，
新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车在一
段限速（不含 ）的平坦国道上进行测试，得到该汽
车每小时耗电量（单位：）与速度（单位： ）之间有下
列数据：
0 20 40 60
0 3000 5600 9000
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种
函数模型供选择：， ，
.
（1）当 时，请选出符合表格所列数据的函数模型，并求
出相应的函数解析式.
解：对于 ，
当 时，它无意义，所以不符合题意.
对于 ，这显然是个减函数，所以不符合题意.
故选择 ．
根据提供的数据，可得
解得
则当时， ．
（2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是 的国道，
后一段是的高速路．已知高速路上该汽车每小时耗电量
（单位：）与速度 的关系是
，则如何行驶才能使得总耗
电量最小，最小值为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）
，
因为，所以当时， .
高速路段长为，所用时间为 ，
所耗电量为
，
可得，则当时， ，
所以在 上单调递增，
所以 .
故当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度
为时，该车从地到 地的总耗电量最小，最小值为
．
快速核答案（导学案）
课前预习【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
课中探究 例1 A 变式 2
例2 （1），．
（2）当隔热层修建厚时，总费用取得最小值70万元．
变式 解：变压器设在，之间到点的距离为处时，所需电线总长最短.
例3 （1）投入3百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
（2）将3百万元用于技术改造，3百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
变式 （1），,
（2）当销售价格约为5.3元/千克时，经销商 每日销售该商品所获利润最大
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.AD 7.25 8.15
9.（1），（2）当投入经销商品3万元，商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
10.B 11.A 12.BCD
13.（1），
（2）当(米)时,栈道的建设费用最小,最小值为(千元).
14.ABC
15.（1）选择．m>．
（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为
时，该车从地到地的总耗电量最小，最小值为．第2课时 函数最大值与最小值的应用
【课前预习】
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 A [解析] 正四棱锥如图,设底面正方形边长的一半为x,则正四棱锥的高AO==,所以正四棱锥的体积V=·x2·=.设y=-x6-10x5+25x4,则y'=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),由y'=0,解得x=0(舍)或x=-10(舍)或x=.所以当x∈时,y'>0,y单调递增,V单调递增;当x∈时,y'<0,y单调递减,V单调递减.则当x=时,V取得最大值,最大值为.故选A.
变式 2 [解析] 设OO1=x m,其中10;当2探究点二
例2 解:(1)由C(0)=8,得=8,则k=40,所以C(x)=.
则f(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)由(1)知f'(x)=6-,
令f'(x)=0,得=6,
解得x=5或x=-(舍去).
可得当0≤x<5时,f'(x)<0,
当50,
故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+=70.
所以当隔热层修建5 cm厚时,总费用取得最小值70万元.
变式 解:设CD=x km,其中0≤x≤3,则CE=(3-x)km,则所需电线总长(单位:km)为l=AC+BC=+(0≤x≤3),
可得l'=-.
令l'=0,则-=0,解得x=1.2或x=-6(舍去).
因为在区间[0,3]上满足l'=0的点只有x=1.2,所以根据实际意义,知x=1.2就是我们所求的最小值点,即变压器设在D,E之间到点D的距离为1.2 km处时,所需电线总长最短.
探究点三
例3 解:(1)设投入x百万元的广告费后由此获得的收益为f(x)百万元,
则f(x)=(-x2+7x)-x=-x2+6x=-(x-3)2+9(0≤x≤4),
所以当x=3时,f(x)取得最大值9,
即投入3百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.
(2)设用于技术改造的资金为p百万元,
则用于广告促销的资金为(6-p)百万元,设由此获得的收益是g(p)百万元,
则g(p)=+[-(6-p)2+7(6-p)]-6=-p3+9p(0≤p≤6),则g'(p)=-p2+9,令g'(p)=0,解得p=-3(舍去)或p=3,
所以当p=3时,g(p)取得最大值,
即将3百万元用于技术改造,3百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.
变式 解:(1)∵当x=2时,y=800,∴a+b=800,又∵当x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.
∴y=
(2)由题意得f(x)=y(x-1)=
当1由f'(x)<0,得由f'(x)>0,得1∴f(x)在,(3,4]上单调递增,在上单调递减.
∵f=+300∴当x=4时f(x)取得最大值1800.
当4∴当x≈5.3时f(x)取得最大值1840.
∵1800<1840,
∴当x≈5.3时f(x)取得最大值1840,即当销售价格约为5.3元/千克时,经销商每日销售该商品所获利润最大.第2课时 函数最大值与最小值的应用
1.A [解析] 设底面边长为x,高为h(h≥1),则水箱的体积V(x)=x2·h=256,∴h=,由h≥1得x∈(0,16],∴该水箱所用材料的面积S(x)=x2+4xh=x2+4x·=x2+,∴S'(x)=2x-=.由S'(x)>0,得82.C [解析] 由题意知,y'=-3x2+27,则当00,函数单调递增;当x>3时,y'<0,函数单调递减.所以当x=3时,y取得最大值,最大值为19万元,故选C.
3.B [解析] 如图所示,设堆料场一边长为x m,则另一边长为 m,因此新墙总长度f(x)=2x+(x>0),则f'(x)=2-==,令f'(x)<0,得00,得x>16,所以f(x)在(0,16)上单调递减,在(16,+∞)上单调递增,则x=16是f(x)的最小值点,此时=32,故当堆料场的长为32 m,宽为16 m时,可使砌墙所用的材料最省.故选B.
4.B [解析] 因为y=ln x-x-+9,且00,函数单调递增,在(4,10]上,y'<0,函数单调递减.所以当x=4万元时,函数取得最大值,故选B.
5.C [解析] 设全程的运输成本为y元,依题意可得y=·=v2+,则y'=5v-===
,所以当v=102时y'=0,当60≤v<100时y'<0,当1000,则函数在[60,100)上单调递减,在(100,110]上单调递增,所以当v=100时函数取得极小值即最小值,所以当v=100 km/h时全程运输成本最低,故选C.
6.AD [解析] 设年利润为W.当00;当x∈(9,10]时,W'<0.所以当x=9时,年利润W取得最大值38.6.当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,则W'=-2.7.令W'=0,得x=(负值舍去),可得当x∈时,W'>0;当x∈时,W'<0.所以当x=时,年利润W取得最大值38.因为38.6>38,所以当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中,所获得的年利润最大,且年利润的最大值为38.6万元.故选AD.
7.25 [解析] 设总利润为L(x)万元,则L(x)=x·-1200-x3=-x3+500-1200(x>0),可得L'(x)=-x2+.令L'(x)>0,得025.所以L(x)在(0,25)上单调递增,在(25,+∞)上单调递减,故当x=25时,总利润最大.
8.15 [解析] 设该长方体的宽是x米,由题意知,其长是米,高是=(00,当29.解:(1)根据问题的实际意义,可知f(0)=0,g(0)=0,
则-a+2=0,6ln b=0,解得a=2,b=1.
(2)由(1)可得f(x)=2x,g(x)=6ln(x+1),设投入经销B商品的资金为x万元,x∈[0,5],
则投入经销A商品的资金为5-x万元,设所获得的收益为S(x)万元,
则S(x)=2(5-x)+6ln(x+1)=6ln(x+1)-2x+10,x∈[0,5],可得S'(x)=-2,令S'(x)=0,得x=2,
则当0≤x<2时,S'(x)>0,S(x)单调递增;当210.B [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,则A,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),因为点A在抛物线上,所以=2p×1,可得p=,所以抛物线的方程为y=x2.要使所填充的混凝土量最小,则等腰梯形ABCD的面积最大,设点C,则此时梯形ABCD的面积S(t)=(2t+3)=-t3-t2+t+,所以S'(t)=-t2-t+1=-(2t+3)(2t-1),令S'(t)=0,可得t=.当00,S(t)在上单调递增,当11.A [解析] 取AC的中点O,连接DO,则DO⊥AC.又平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DO 平面ACD,所以DO⊥平面ABC.设∠ABC=∠ADC=α,α∈(0,π),则DO=ADcos=2cos,S△ABC=×2×2sin α=2sin α,又DO⊥平面ABC,所以VD-ABC=S△ABC×DO=sin αcos=sincos2=sin,设t=sin,则VD-ABC=(t-t3),且00,当12.BCD [解析] 由题意可得πr2×r+πr2h=63 000π,所以h==-r,由h>0,得-r>0,解得r<30,所以10≤r<30,故A不正确.易知h随着r的增大而减小,所以当r=10时,h取得最大值,且最大值为,故B正确.圆锥的母线长l=r,故圆锥的侧面积S1=πrl=πr×r=πr2,圆柱的侧面积S2=2πrh=2πr=-r2,圆柱的底面积S3=πr2,所以总费用y=aS1+a(S2+S3)=a×πr2+a=r2+.当r=21时,y=×212+=7029aπ,C正确.y'=r-=,当10≤r<30时,y'<0,函数y=r2+单调递减,当300,函数y=r2+单调递增,所以当r=30时,y取得最小值,最小值为×302+=6300aπ,D正确.故选BCD.
13.解:(1)因为P在半圆的中轴线OC上,OC⊥AB,AB=200米,∠PAB=θ,
所以PA=PB==(米),PO=ABtan θ=100tan θ(米),所以PC=OC-PO=100-100tan θ(米),
所以f(θ)=PA+PB+PC+AB=++100-100tan θ+200=-100tan θ+300,θ∈.
(2)由(1)得f'(θ)=,θ∈,
由f'(θ)<0,得0<θ<,
由f'(θ)>0,得<θ<,
所以f(θ)在上单调递减,在上单调递增,所以当θ=,即PC=100-100tan=(米)时,栈道的建设费用最小,最小值为5×=500+1500(千元).
14.ABC [解析] 令上部分半球的半径为R,可得πR3=10π,解得R=.设内部圆锥的底面半径为r,内部圆锥底面中心到球心的距离为h,可知r2+h2=R2=15,内部圆锥体积V=πr2(h+6)=π(15-h2)(h+6)(00,则015.解:(1)对于M(v)=500logav+b,
当v=0时,它无意义,所以不符合题意.
对于M(v)=800+a,这显然是个减函数,所以不符合题意.
故选择M(v)=v3+bv2+cv.
根据提供的数据,
可得
解得则当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+180v.
(2)国道路段长为200 km,所用时间为 h,
所耗电量为f(v)=·M(v)=·(0.025v3-2v2+180v)=5×(v2-80v+7200)=5×(v-40)2+28 000,
因为0≤v<80,所以当v=40时,f(v)min=28 000(Wh).
高速路段长为100 km,所用时间为 h,
所耗电量为g(v)=·N(v)=·(2v2-10v+200)=200×=200×-1000,
可得g'(v)=200,则当v>10时,g'(v)>0,
所以g(v)在[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=200×-1000=15 250(Wh).
故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,该车从A地到B地的总耗电量最小,最小值为28 000+15 250=43 250(Wh).第2课时 函数最大值与最小值的应用
【学习目标】
会运用函数在某闭区间上的最值来解决实际问题中的最值问题.
◆ 知识点 导数的实际应用
1.导数在实际生活中有着广泛的应用.用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题,从而可用导数来解决.
2.用导数解决实际生活问题的基本思路
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题. ( )
(2)生活中的优化问题都必须利用导数解决. ( )
(3)生活中的优化问题中若函数只有一个极值点则它就是最值点. ( )
(4)方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为4. ( )
◆ 探究点一 面积、体积的最值问题
例1 [2025·江苏靖江中学高二质检] 一个等腰三角形的周长为10,四个这样的等腰三角形的底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,使这四个顶点重合在一起,构成一个正四棱锥,则该正四棱锥的体积的最大值为 ( )
A. B.
C.5 D.15
变式 [2025·山东临沂一中高二月考] 有一个帐篷,它的下部是高为1 m的正六棱柱,上部是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为 m时,该帐篷的体积最大.
[素养小结]
解决面积、体积最值问题的一般思路是正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,再结合实际问题的意义,利用导数求解函数的最值.
◆ 探究点二 用料最省、费用最少问题
例2 [2025·湖北郧阳一中高二月考] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)之间满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(单位:万元).
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)取得最小值,并求最小值.
变式 如图所示,位于A点处的甲村与位于B点处的乙村合用一个变压器,若两村用同型号电线架设输电线路,问变压器设在输电干线何处时,所需电线总长最短
[素养小结]
利用导数求解优化问题,往往归结为函数的最大值或最小值问题,解题中要特别注意以下几点:
(1)当问题涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量之间的关系式;
(2)确定函数关系式中自变量的取值范围;
(3)所得的结果要符合问题的实际意义.
◆ 探究点三 利润最大、效率最高问题
例3 [2025·江苏宿迁中学高二质检] 某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费x(0≤x≤7)百万元,可增加销售额(-x2+7x)百万元.
(1)若该公司将当年的广告费控制在4百万元之内(含4百万元),则应该投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大
(2)现该公司准备共投入6百万元,用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费p百万元,可增加的销售额为百万元.请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入资金)
变式 [2025·河北冀州中学高二月考] 某经销商计划经营一种商品,经市场调查发现,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,1(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使经销商每日销售该商品所获利润f(x)最大.(≈2.65)
[素养小结]
利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润=收入-成本”建立函数关系式,再利用导数求最大值.
解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.第2课时 函数最大值与最小值的应用
1.某方底无盖水箱的容积为256,高不小于1,则该水箱最省材料时,它的高为 ( )
A.4 B.6
C.4.5 D.8
2.某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+27x-35,则该生产厂家可获取的最大年利润为 ( )
A.16万元 B.18万元
C.19万元 D.21万元
3.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽分别为 ( )
A.16 m,16 m B.32 m,16 m
C.32 m,8 m D.16 m,8 m
4.[2025·福建厦门一中高二月考] 小李准备向某银行申请一笔贷款全部用于农产品土特产的加工与销售(根据当地的规定,小李的这笔贷款符合免息政策),据测算每年所获利润y(单位:万元)与贷款额度x(0A.3万元 B.4万元
C.5万元 D.6万元
5.[2025·江苏苏州中学高二调研] A地组织物流企业的汽车运输队通过高速公路向上海运送物资.已知A地距离上海500 km,设车队从A地匀速行驶到上海,高速公路限定的速度(单位:km/h)为[60,110].已知车队每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v的立方成正比,比例系数为,固定部分为104元,为了使全程运输成本最低,速度v应为 ( )
A.80 km/h B.90 km/h
C.100 km/h D.110 km/h
6.(多选题)[2025·山东德州一中高二质检] 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则 ( )
A.年产量为9千件
B.年产量为10千件
C.年利润的最大值为38万元
D.年利润的最大值为38.6万元
7.[2025·江苏泰州中学高二月考] 某厂生产x件产品的总成本为C(x)万元,产品单价为P(x)万元,且满足C(x)=1200+x3,P(x)=,则总利润最大时,x= .
8.[2025·安徽合肥一中高二月考] 用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 cm),要求长方体的长与宽之比为3∶2,则该长方体体积的最大值是
cm3.
9.(13分)[2025·江苏淮安中学高二月考] 某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元,其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0),已知投资额为零时收益为零.
(1)求a,b的值;
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制订一个资金投入方案,使他能获得最大收益.
(参考数据:ln 3≈1.1)
10.[2025·江苏南京中华中学高二月考] 已知某旧水渠的横截面是一段抛物线AOB(如图所示),顶点O在水渠的最底端,渠宽AB为3 m,渠深为1 m,欲在旧水渠内填充混凝土加固,改造成横截面为等腰梯形ABCD的新水渠,且新水渠的底面与地面平行(不改变渠宽),若要使所填充的混凝土量最小,则CD的长为 ( )
A. m B.1 m
C. m D.2 m
11.[2025·浙江绍兴中学高二调研] 菱形ABCD的边长为2,现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD⊥平面ABC,则此时所成空间四面体D-ABC体积的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.
12.(多选题)[2025·江苏盐城中学高二月考] 某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器,已知该容器分上下两部分,上部分是底面半径和高都为r(r≥10)米的圆锥,下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱,如图所示.经测算,圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元,圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元,设每个容器的制造总费用为y元,则下面说法正确的是 ( )
A.10≤r<40
B.h的最大值为
C.当r=21时,y=7029aπ
D.当r=30时,y取得最小值,最小值为6300aπ
13.(15分)某公园有一个半圆形荷花池(如图所示),为了让游客深入花丛中体验荷花美景,公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P和栈道PA,PB,PC,AB,观景台P在半圆的中轴线OC上(OC与直径AB垂直,P与O,C不重合),通过栈道把荷花池连接起来,使人行其中有置身花海之感.已知AB=200米,∠PAB=θ,栈道总长度(单位:米)为f(θ).
(1)求f(θ)的解析式.
(2)若栈道的造价为每米5千元,则栈道PC的长度是多少时,栈道的建设费用最小 并求出最小值.
14.(多选题)[2025·江苏扬州中学高二调研] 如图所示,某几何体的形状类似于“甜筒冰淇淋”,其上部分是体积为10π的半球,下部分是高为6的圆锥,且圆锥的底面与半球的大圆重合.在该封闭的几何体内倒放一个圆锥,使该圆锥的底面在半球内,该圆锥的底面平行于外层圆锥的底面,且该圆锥的顶点与外层圆锥的顶点重合,则内部圆锥的体积可以为 ( )
A.10π B.18π
C.30π D.40π
15.(15分)[2025·江苏淮阴中学高二质检] 环保生活,低碳出行,新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段限速80 km/h(不含80 km/h)的平坦国道上进行测试,得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)之间有下列数据:
v 0 20 40 60
M 0 3000 5600 9000
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=800+a,M(v)=500logav+b.
(1)当0≤v<80时,请选出符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是100 km的高速路.已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v的关系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何行驶才能使得总耗电量最小,最小值为多少 (假设在两段路上分别匀速行驶)
