微突破(十) 不等式恒成立与能成立问题
例1 解:当x=0时,f(0)=1≥0,符合题意.
当x>0时,f(x)≥0等价于b≥,
由题意得b≥.
令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=.
令h(x)=-2x3+x2+1,x∈(0,+∞),则h'(x)=-6x2+2x.
令h'(x)>0,得x∈,则h(x)在上单调递增;
令h'(x)<0,得x∈,
则h(x)在上单调递减.
所以当x=时,h(x)取得最大值,最大值为h=.
令x=0,则h(0)=1,则当x∈时,h(x)>0.
令h(x)=0,得x=1,又h(x)在上单调递减,
所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.
则当x∈(0,1)时,g'(x)=>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
则g(x)max=g(1)=-1,所以b≥-1,即b的取值范围为[-1,+∞).
变式 C [解析] 存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,即a≤x-xln x(x>0)有解,即a≤(x-xln x)max,其中x>0,令g(x)=x-xln x,x>0,则g'(x)=1-(ln x+1)=-ln x,可得当x∈(0,1)时,g'(x)=-ln x>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=-ln x<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,所以a≤1,故选C.
例2 解:设g(x)=x3-x2+bx+1-ex,则由题意知,对任意x∈(-∞,0)都有g(x)≤0.
可得g'(x)=3x2-2x+b-ex.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=6x-2-ex,
可得当x<0时,h'(x)<0,则g'(x)在(-∞,0)上单调递减,
故g'(x)>g'(0)=b-1.
当b≥1时,g'(x)>0在(-∞,0)上恒成立,故g(x)在(-∞,0)上单调递增,
所以g(x)
当b<1时,g'(0)=b-1<0,因为g'(x)的图象不间断,所以存在x0∈(-∞,0),使得当x∈(x0,0),g'(x)<0,
故g(x)在(x0,0)上单调递减,故当x∈(x0,0)时,g(x)>g(0)=0,这与题意矛盾.综上,b的取值范围为[1,+∞).
变式 解:依题意,只需[f(x0)-g(x0)]min<0,x0∈[1,e]即可.
令h(x)=f(x)-g(x)=x-aln x+,x∈[1,e],则h'(x)=1--==.
令h'(x)=0,可得x=a+1.
①当a+1≤1,即a≤0时,h'(x)≥0在[1,e]上恒成立,则h(x)在[1,e]上单调递增,所以h(x)min=h(1)=a+2<0,得a<-2.
②当1h(x)在[1,a+1)上单调递减,在(a+1,e]上单调递增,
故h(x)min=h(a+1)=(a+1)-aln(a+1)+1=a[1-ln(a+1)]+2>2,a∈(0,e-1),不符合题意,舍去.
③当a+1≥e,即a≥e-1时,h'(x)≤0在[1,e]上恒成立,则h(x)在[1,e]上单调递减,则h(x)min=h(e)=e-a+<0,得a>,满足a>e-1.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪.
例3 解:(1)存在x1∈[1,4],对任意x2∈[1,4],使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,则f(x)min≤g(x)min.因为f(x)=x2-2ln x-m,所以f'(x)=2x-==≥0对任意的x∈[1,4]恒成立,
所以函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-m.函数g(x)=+m在区间[1,4]上单调递减,所以g(x)min=g(4)=m+.
所以1-m≤m+,解得m≥.
因此,实数m的取值范围是.
(2)存在x1,x2∈[1,4],使得f(x1)-f(x2)≥M成立,则M≤[f(x1)-f(x2)]max,则M≤f(x)max-f(x)min.
由(1)可知,函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,则f(x)min=f(1)=1-m,f(x)max=f(4)=16-4ln 2-m,
所以M≤f(x)max-f(x)min=15-4ln 2,可得满足条件的最大整数M的值为12.
变式 [解析] 由题意得f(x)max≤g(x)max.f'(x)=2-,当x∈[1,2]时f'(x)≥0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)max=f(2)=.g'(x)=,则当x∈时g'(x)>0,当x∈(e,e2]时g'(x)<0,故g(x)在上单调递增,在(e,e2]上单调递减,所以g(x)max=g(e)=-m.所以≤-m,解得m≤-,即m的取值范围为.微突破(十) 不等式恒成立与能成立问题
1. [解析] 由题知f(x)≤0恒成立即ln x-ax-1≤0当x∈(0,+∞)时恒成立,即a≥当x∈(0,+∞)时恒成立,则a≥.记g(x)=,所以g'(x)==,则当x∈(0,e2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e2)=,所以a的取值范围为.
2. [解析] ex(2x-x2)≥aex-x等价于ex(2x-x2)+x≥aex,∵ex>0,∴2x-x2+xe-x≥a.令f(x)=2x-x2+xe-x,∵关于x的不等式ex(2x-x2)≥aex-x有解,∴a≤f(x)max.f'(x)=2-2x+e-x-xe-x=2(1-x)+e-x(1-x)=(1-x)(2+e-x),∵2+e-x>0,∴当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,故当x∈(-∞,1)时,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减,则f(x)max=f(1)=2-1+e-1=1+,则a≤1+,即实数a的取值范围是.
3.解:由题意知,在给定区间上,f(x)min≤h(x)min.
f'(x)=2x+1-=,
则当x∈时,f'(x)<0,
当x∈(0,2]时,f'(x)>0,
所以f(x)在区间上单调递减,在区间[0,2]上单调递增,
则当x=0时,f(x)取得最小值,最小值为f(0)=0.
h'(x)==,
则当x∈时,h'(x)<0,
当x∈(1,2]时,h'(x)>0,
所以函数h(x)在区间上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,
则h(x)min=h(1)=e+n.
所以0≤e+n, 解得n≥-e,即n的取值范围为[-e,+∞).
4.解:f(x)=+ln x+a≤0,
即a≤--ln x.
令g(x)=--ln x,x∈[1,e2],
则a≤g(x)min.
求导得g'(x)=-=,
则当1≤x<2时,g'(x)>0,
当2所以g(x)在[1,2)上单调递增,在(2,e2]上单调递减.
因为g(1)=-2,g(e2)=--ln e2=--2,所以g(1)>g(e2),
所以g(x)min=g(e2)=--2.
所以a≤g(x)min=--2,即实数a的取值范围为.
5.解:f(x)=ax++2-2a,
因为f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立,所以f(x)-2ln x≥0在[1,+∞)上恒成立.
设g(x)=f(x)-2ln x=ax++2-2a-2ln x,x∈[1,+∞),
则g(1)=0,g'(x)=a--=.
①当01,
当x∈时,g'(x)≤0,
此时g(x)在上单调递减,
所以g(x)≤g(1)=0,
即f(x)≥2ln x在[1,+∞)上不恒成立,不符合题意.
②当a≥1时,≤1,当x∈[1,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)在[1,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,所以g(x)≥0恒成立,
即f(x)≥2ln x恒成立,满足题意.
综上所述,a的取值范围是[1,+∞).微突破(十) 不等式恒成立与能成立问题
一、不等式恒成立与能成立问题
解决不等式恒(能)成立问题有两种思路:
1.分离参数法解决恒(能)成立问题,根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,然后构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题求解.
2.分类讨论法解决恒(能)成立问题,将恒(能)成立问题转化为最值问题,此类问题关键是对参数进行分类讨论,在参数的每一段取值范围上求函数的最值,并判断是否满足题意,据此求解即可.
角度1 分离参数法
例1 已知函数f(x)=x3-x2+bx+1,对任意的x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立,求b的取值范围.
变式 [2025·江苏泰州中学高二月考] 已知函数f(x)=-1+ln x,存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(-∞,-3)
C.(-∞,1] D.[3,+∞)
角度2 分类讨论法
例2 已知函数f(x)=x3-x2+bx+1,对任意x∈(-∞,0)都有f(x)≤ex成立,求b的取值范围.
变式 已知函数f(x)=x-aln x,g(x)=-(a∈R).若在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)二、不等式恒成立与能成立的综合问题
含全称量词、存在量词的不等式恒(能)成立问题处理方法:
1.已知函数f(x),g(x),对任意的x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)min.
2.已知函数f(x),g(x),对任意的x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≤g(x2),则f(x)max≤g(x)max.
3.已知函数f(x),g(x),对任意的x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2),则f(x)在[a,b]上的取值范围M是g(x)在[c,d]上的取值范围N的子集,即M N.
4.已知函数f(x),g(x),存在x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2),则f(x)max≥g(x)min.
5.已知函数f(x),g(x),存在x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≤g(x2),则f(x)min≤g(x)max.
例3 [2025·江苏张家港中学高二月考] 已知函数f(x)=x2-2ln x-m,g(x)=+m.
(1)存在x1∈[1,4],对任意x2∈[1,4],使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,求实数m的取值范围;
(2)如果存在x1,x2∈[1,4],使得f(x1)-f(x2)≥M成立,求满足条件的最大整数M的值.
变式 [2025·山东菏泽一中高二月考] 已知函数f(x)=2x+-4,函数g(x)=-m,若对任意的x1∈[1,2],存在x2∈,使得f(x1)≤g(x2),则实数m的取值范围为 . 微突破(十) 不等式恒成立与能成立问题
1.已知函数f(x)=ln x-ax-1,若f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围为 .
2.若关于x的不等式ex(2x-x2)≥aex-x有解,则实数a的取值范围是 .
3.(13分)已知函数f(x)=x2+x-ln(x+1),函数h(x)=+n(n∈R),若存在x1∈,使得对任意x2∈,总有f(x1)≤h(x2)成立,求n的取值范围.
4.(15分)已知函数f(x)=+ln x+a,若对任意的x∈[1,e2],f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
5.(15分)已知f(x)=ax++2-2a,a>0,若f(x)≥2ln x在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.(共29张PPT)
微突破（十） 不等式恒成立与能成立问题
一、不等式恒成立与能成立问题
二、不等式恒成立与能成立的综合问题
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
一、不等式恒成立与能成立问题
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
1.分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离
出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，然后
构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题求解.
2.分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒（能）成立问题转化为最
值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段取
值范围上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此求解即可.
角度1 分离参数法
例1 已知函数，对任意的 ，
恒成立，求 的取值范围.
解：当时， ，符合题意.
当时，等价于 ，
由题意得 .
令，，则 .
令，，则 .
令，得，则在 上单调递增；
令，得 ，
则在 上单调递减.
所以当时，取得最大值，最大值为 .
令，则，则当时， .
令，得，又在 上单调递减，
所以当时， ，
当时， .
则当时，，当 时，
，所以在上单调递增，在 上
单调递减，
则，所以，即的取值范围为 .
变式 ［2025· 江苏泰州中学高二月考］ 已知函数
，存在，使得有解，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 存在，使得有解，即 有
解，即，其中，令, ，
则，
可得当 时，，单调递增，
当 时，，单调递减，
所以 ，所以 ，故选C.
√
角度2 分类讨论法
例2 已知函数，对任意 都有
成立，求 的取值范围.
解：设 ，则由题意知，对任意
都有 .
可得 .
令，则 ，
可得当时，，则在 上单调递减，
故 .
当时，在上恒成立，故在 上单调
递增，
所以 ，符合题意.
当时，，因为 的图象不间断，所以存在
，使得当， ，
故在上单调递减，故当时， ，
这与题意矛盾.
综上，的取值范围为 .
变式 已知函数，.若在 上
存在一点，使得成立，求 的取值范围.
解：依题意，只需， 即可.
令， ，则
.
令，可得 .
①当，即时，在上恒成立，则 在
上单调递增，所以，得 .
②当，即 时，
在上单调递减，在 上单调递增，
故， ，不符合题意，舍去.
③当，即时，在上恒成立，则
在上单调递减，则 ，得
，满足 .
综上所述，的取值范围为 .
二、不等式恒成立与能成立的综合问题
含全称量词、存在量词的不等式恒（能）成立问题处理方法：
1.已知函数，，对任意的，存在 ，使得
，则 .
2.已知函数，，对任意的，存在 ，使得
，则 .
3.已知函数，，对任意的，存在 ，使得
，则在上的取值范围是在 上的取
值范围的子集，即 .
4.已知函数，，存在，存在 ，使得
，则 .
5.已知函数，，存在，存在 ，使得
，则 .
例3 ［2025·江苏张家港中学高二月考］已知函数
， .
（1）存在，对任意，使得不等式
成立，求实数 的取值范围；
解：存在，对任意，使得不等式 成
立，则.
因为 ，所以
对任意的 恒成立，
所以函数在区间上单调递增,所以 .
函数在区间 上单调递减，所以
.
所以，解得 .
因此，实数的取值范围是 .
（2）如果存在，，使得 成立，求满
足条件的最大整数 的值.
解：存在，，使得 成立，则
，则 .
由（1）可知，函数在区间 上单调递增，则
， ，
所以 ，可得满足条件的最大整
数 的值为12.
变式 ［2025·山东菏泽一中高二月考］ 已知函数 ，
函数，若对任意的，存在 ，使
得，则实数 的取值范围为___________.
[解析] 由题意得，当 时
，故在上单调递增，所以 .
，则当时，当
时，故在上单调递增，在 上单调递
减，所以.所以,解得 ，即
的取值范围为 .
练习册
1.已知函数,若恒成立,则实数 的取值范
围为_ ________.
[解析] 由题知恒成立即当 时恒
成立,即当时恒成立,则 .
记,所以,则当 时,
,单调递增,当时,, 单调递减,
所以,所以的取值范围为 .
2.若关于的不等式有解，则实数 的取值范围
是___________.
[解析] 等价于 ，
，.
的不等式有解，
，, 当时,,当时, ，
故当时，单调递增，当时， 单调递
减，则，则 ，
即实数的取值范围是 .
3.（13分）已知函数 ，函数
，若存在，使得对任意 ，
总有成立，求 的取值范围.
解：由题意知，在给定区间上，
，
则当时， ，
当时， ，
所以在区间上单调递减，在区间 上单调递增，
则当时，取得最小值，最小值为 .
，
则当时， ，
当时， ，
所以函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，
则 .
所以，解得，即的取值范围为 .
4.（15分）已知函数，若对任意的 ，
恒成立，求实数 的取值范围.
解： ，
即 .
令， ，
则 .
求导得 ，
则当时， ，
当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减.
因为，，所以，
所以 .
所以，即实数的取值范围为 .
5.（15分）已知，，若 在
上恒成立，求 的取值范围.
解： ，
因为在上恒成立，所以 在
上恒成立.
设， ，
则， .
①当时， ，
当时， ，此时在 上单调递减，
所以 ,即在 上不恒成立,不符合题意.
②当时，，当时，， 在
上单调递增，
又，所以 恒成立,即 恒成立,满足题意.
综上所述，的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
例1 变式 C
例2 变式 >.
例3 （1） （2）12
变式
快速核答案（练习册）
1. 2.
3.
4. >
5. 