滚动习题(七)
1.A [解析] 由f(x)=,得f'(x)=[(1-x]'=(1-x×(-1)=-.故选A.
2.C [解析] 根据导数的定义,得=f'(1),又f'(x)=1+ln x,所以f'(1)=1.故选C.
3.D [解析] 依题意得f'(x)==,则f'==2+ln 2.故选D.
4.D [解析] 由题知切线的斜率k=tan=-1,设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-1,又f'(x)=-,所以-=-1,解得x0=1或x0=-1.当x0=1时,y0=1,当x0=-1时,y0=-1,所以切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选D.
5.A [解析] f'(x)=mex,设直线y=-2x+2与曲线y=f(x)的切点为(x0,m),则解得x0=2.将x0=2代入m=-2,解得m=-.故选A.
6.D [解析] 由题知g(0)=1,g'(x)=,g″(x)==,故g'(0)=0,g″(0)=1,所以g(x)=1+x2,故a=0,b=.故选D.
7.ABD [解析] 过点(2,f(2))和点(4,f(4))的直线的斜率为,由导数的几何意义,知f'(2)为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率,f'(4)为曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线的斜率,由题中图易得f'(2)<8.CD [解析] 对于A,f(x)=2x+1,其导数f'(x)=2,则f″(x)=0,不符合“凹函数”的定义,故A错误;对于B,f(x)=x3,定义域为R,其导数f'(x)=3x2,则f″(x)=6x,在定义域R上f″(x)>0不恒成立,不符合“凹函数”的定义,故B错误;对于C,f(x)=x2+1,定义域为R,其导数f'(x)=2x,则f″(x)=2,显然f″(x)>0在R上恒成立,符合“凹函数”的定义,故C正确;对于D,f(x)=-lg x,定义域为(0,+∞),其导数f'(x)=-,则f″(x)=,显然>0在(0,+∞)上恒成立,符合“凹函数”的定义,故D正确.故选CD.
9.10ln 2 [解析] 因为f(x)=22x=4x,所以f'(x)=4xln 4,所以f'(0)+f'(1)=ln 4+4ln 4=5ln 4=10ln 2.
10.3x-y-1=0 [解析] 由题意知y'=,设切线斜率为k,则当x=时,k=3,故切线方程为y=3,即3x-y-1=0.
11.1 [解析] 由y=x2,得y'=x,则切线斜率k=x,设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则kMA=x1,kMB=x2,又=2py1,=2py2,所以切线MA的方程为y-y1=x1(x-x1),即 y=x1x-y1.同理切线MB的方程为y=x2x-y2.因为两切线均过点M(2,-2p),所以
即所以(x1,y1),(x2,y2)均满足方程y=x+2p,即A(x1,y1),B(x2,y2)均在直线y=x+2p上,所以直线AB的方程为y=x+2p,所以直线AB的斜率为=2,故p=1.
12.解:(1)y'=cos x+x(-sin x)-=(1-ln x)cos x-sin x.
(2)y'=+
=
+=
+.
13.解:(1)由f(x)=x2+x-1,
可得f'(x)=2x+1,
所以f'(1)=3,
所以切线方程为y-1=3(x-1),
令y=0可得x=,即x1=.
(2)因为f'(x)=2x+1,所以f(x)的图象在点(xn,f(xn))处的切线斜率为2xn+1,
所以切线方程为y-f(xn)=(2xn+1)(x-xn),
令y=0,得--xn+1=(2xn+1)(x-xn),解得x=,
则xn+1=,
所以g(xn)=.
14.解:(1)设切点为(m,log2m)(m>0).因为f(x)=log2x,所以f'(x)=.
由题意可得=,解得m=e,所以切线方程为y-log2e=(x-e),即y=x.
(2)过点A,B(2,1)的直线的斜率kAB=.
假设存在点P,使得曲线在点P处的切线与直线AB平行,
设P(n,log2n),≤n≤2,
则=,得n=.
因为=ln所以<<,且易知点P不在直线AB上,
所以在曲线y=f(x)上存在点P,使得曲线在点P处的切线与直线AB平行,
且点P的横坐标为.滚动习题(七)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知函数f(x)=,则f'(x)= ( )
A.- B.
C.-2 D.2
2.[2025·江苏宿迁中学高二月考] 已知函数f(x)=xln x,则的值为 ( )
A.2e B.0 C.1 D.e
3.[2025·江苏海门中学高二月考] 已知f(x)=,则f'= ( )
A.-2-ln 2 B.-2+ln 2
C.2-ln 2 D.2+ln 2
4.[2025·山东潍坊一中高二期中] 在f(x)=的图象上切线的倾斜角为π的切点的坐标为 ( )
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)或(-1,-1)
5.[2025·广东梅州中学高二调研] 设函数f(x)=mex,若直线y=-2x+2是曲线y=f(x)的切线,则m= ( )
A.- B.
C.- D.
6.[2025·湖北黄冈中学高二月考] 泰勒定理是微分学的重要内容,是英国著名数学家布鲁克·泰勒于1712年在一封信中首次提出的,其核心思想是用函数在某个点的导数值作为系数构建一个多项式来近似表达该函数,设函数f(x)的导函数为f'(x),f'(x)的导函数为f″(x),则函数f(x)可用泰勒定理近似表达为f(x)=f(0)+f'(0)x+x2,若函数g(x)=可用泰勒定理近似表达为g(x)=1+ax+bx2,则 ( )
A.a=1,b=- B.a=1,b=
C.a=0,b=- D.a=0,b=
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·江苏淮安中学高二月考] 已知函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,a=2f'(2),b=2f'(4),c=f(4)-f(2),则下列结论正确的是 ( )
A.aC.b8.[2025·河南安阳一中高二调研] 小明通过查阅资料,发现以下内容:若函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),且f'(x)在(a,b)上也存在导函数,则称函数y=f(x)在(a,b)上存在二阶导函数,简记为y=f″(x).若在区间(a,b)上f″(x)>0恒成立,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”.请你根据以上信息和所学知识,判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有 ( )
A.f(x)=2x+1 B.f(x)=x3
C.f(x)=x2+1 D.f(x)=-lg x
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.设函数f(x)=22x,则f'(0)+f'(1)的值为 .
10.[2025·安徽蚌埠一中高二月考] 曲线y=ln(3x)在点P处的切线方程为 .
11.[2025·湖南长郡中学高二质检] 过M(2,-2p)引抛物线y=(p>0)的两条切线,切点分别为A,B.若直线AB的斜率等于2,则p= .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)求下列函数的导数:
(1)y=xcos x-(ln x)sin x;
(2)y=+.
13.(15分)[2025·江苏镇江中学高二质检] 令f(x)=x2+x-1,对抛物线y=f(x)持续实施下面牛顿切线法的步骤:
在点(1,1)处作抛物线的切线,交x轴于点(x1,0),
在点(x1,f(x1))处作抛物线的切线,交x轴于点(x2,0),
在点(x2,f(x2))处作抛物线的切线,交x轴于(x3,0),…,
由此能得到一个数列{xn}.解答下列问题:
(1)求x1的值;
(2)设xn+1=g(xn),求g(xn)的解析式.
14.(15分)[2025·山东莱芜一中高二月考] 已知点A,B(2,1),函数f(x)=log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,求切线方程.
(2)在曲线y=f(x)上是否存在点P,使得曲线在点P处的切线与直线AB平行 若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.(共25张PPT)
滚动习题（七）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知函数，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
得 ．故选A.
√
2.［2025·江苏宿迁中学高二月考］已知函数 ，则
的值为( )
A. B.0 C.1 D.
[解析] 根据导数的定义，得 ，
又，所以 .故选C.
√
3.［2025·江苏海门中学高二月考］已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得 ，
则 ．故选D.
√
4.［2025·山东潍坊一中高二期中］在 的图象上切线的倾斜
角为 的切点的坐标为( )
A. B.
C. D.或
[解析] 由题知切线的斜率，设切点为 ，则
，又，所以，解得 或.
当时，，当时， ，所以切点坐标为
或 ．故选D.
√
5.［2025·广东梅州中学高二调研］设函数 ，若直线
是曲线的切线，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，设直线与曲线 的切点为
，则解得．
将 代入，解得 ．故选A.
√
6.［2025·湖北黄冈中学高二月考］泰勒定理是微分学的重要内容，
是英国著名数学家布鲁克·泰勒于1712年在一封信中首次提出的，其
核心思想是用函数在某个点的导数值作为系数构建一个多项式来近
似表达该函数，设函数的导函数为,的导函数为 ，
则函数可用泰勒定理近似表达为 ，
若函数可用泰勒定理近似表达为 ，
则( )
A., B., C., D.,
√
[解析] 由题知， ,
，故, ，所
以，故, ．故选D.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.［2025·江苏淮安中学高二月考］已知函数
的图象如图所示，是函数 的导
函数，，， ，
则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 过点和点 的直线的斜率
为，由导数的几何意义，知 为曲线
在点处的切线的斜率， 为
曲线在点 处的切线的斜率，
由题中图易得 ，则
，即.故选 .
8.［2025·河南安阳一中高二调研］小明通过查阅资料，发现以下内
容：若函数在上的导函数为，且在 上
也存在导函数，则称函数在 上存在二阶导函数，简记
为．若在区间上恒成立，则称函数
在区间 上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以
下函数在其定义域上是“凹函数”的有( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，，其导数，则 ，不
符合“凹函数”的定义，故A错误；
对于B，，定义域为 ，其导数，则，
在定义域上 不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B错误；
对于C， ，定义域为，其导数，则，
显然在 上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C正确；
对于D， ，定义域为，其导数，
则 ,显然在 上恒成立，符合“凹函数”的
定义，故D正确．
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.设函数，则 的值为_______.
[解析] 因为，所以 ，
所以 ．
10.［2025·安徽蚌埠一中高二月考］曲线在点 处的
切线方程为______________.
[解析] 由题意知,设切线斜率为,则当时, ,
故切线方程为,即 .
11.［2025·湖南长郡中学高二质检］过 引抛物线
的两条切线，切点分别为，.若直线 的斜率等于2，
则 ___.
1
[解析] 由,得，则切线斜率 ，
设切点,，则,，
又 ,，所以切线的方程为 ，
即.同理切线的方程为 .
因为两切线均过点，所以 即
所以,均满足方程 ，
即,均在直线上，所以直线 的方程为
，所以直线的斜率为，故 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）求下列函数的导数：
（1） ；
解： .
（2） ．
解：
.
12.（13分）求下列函数的导数：
13.（15分）［2025·江苏镇江中学高二质检］ 令 ，
对抛物线 持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点处作抛物线的切线，交轴于点 ，
在点处作抛物线的切线，交轴于点 ，
在点处作抛物线的切线，交轴于， ，
由此能得到一个数列 .解答下列问题：
（1）求 的值；
解：由 ，
可得 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，
令可得，即 ．
（2）设，求 的解析式．
解：因为，所以的图象在点 处的切线
斜率为 ，
所以切线方程为 ，
令，得，解得 ，
则 ，
所以 ．
14.（15分）［2025·山东莱芜一中高二月考］ 已知点 ，
，函数 ．
（1）过坐标原点作曲线 的切线，求切线方程.
解：设切点为．因为 ，所以
．
由题意可得，解得 ，所以切线方程为
，即 ．
（2）在曲线上是否存在点，使得曲线在点 处
的切线与直线平行？若存在，求出点 的横坐标；若不存在，请
说明理由．
解：过点，的直线的斜率 ．
假设存在点，使得曲线在点处的切线与直线 平行，
设， ，
则，得 ．
因为 ，
所以，且易知点不在直线 上，
所以在曲线上存在点，使得曲线在点 处的切
线与直线 平行，
且点的横坐标为 ．
快速核答案
1.A 2.C 3.D 4.D 5.A 6.D
7.ABD 8.CD
9. 10. 11.1
12.（1）
（2）
13.（1）（2）
14.（1）
（2）点的横坐标为
