滚动习题(八)
1.B [解析] 对于A,f'(x)=(3sin x)'=3cos x,当x∈(2,π)时,f'(x)<0,故A错误;对于B,g'(x)=[(x-3)ex]'=(x-3)'ex+(x-3)(ex)'=(x-2)ex,在(2,+∞)内,g'(x)>0恒成立,故B正确;对于C,h'(x)=(x3-15x)'=3x2-15=3(x2-5),当x∈(2,)时,h'(x)<0,故C错误;对于D,m'(x)=(ln x-x)'=-1=,在(2,+∞)内,m'(x)<0恒成立,故D错误.故选B.
2.D [解析] 对于A选项,由导函数的图象可知3是函数f(x)的极小值点,f(x)的极小值为f(3),A选项错误;对于B选项,f'(-1)<0,则-1不是f(x)的极大值点,B选项错误;对于C选项,由导函数图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(-3,3)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,C选项错误;对于D选项,f'(2)<0,即曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率小于零,D选项正确.故选D.
3.B [解析] 由题知a≠1且(a-1)x+1>0在(2,3)上恒成立,则a≠1且a>1-在(2,3)上恒成立,故a≥且a≠1.因为函数f(x)在(2,3)上单调递减,所以f'(x)=<0在(2,3)上恒成立,所以a<1.综上,实数a的取值范围为,故选B.
4.C [解析] 由f(x)=2sin x-x,得f'(x)=2cos x-1,则当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)max=f=-.故选C.
5.D [解析] 由题意知f(x)在(1,2)上存在极值,则f'(x)在(1,2)上存在变号零点,可得f'(x)=3x+(a+4)-,因为函数y=3x+a+4,y=-在(1,2)上均单调递增,所以f'(x)在(1,2)上单调递增,所以f'(1)·f'(2)<0,则(a+5)(a+9)<0,解得-9
6.B [解析] 因为f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,所以f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).若a>1,则当x<1时,f'(x)>0,当1a时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,此时1是f(x)的极大值点,不符合题意.若a=1,则f'(x)=6(x-1)2≥0,当且仅当x=1时等号成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时f(x)没有极值点,不符合题意.若a<1,则当x0,当a1时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时1是f(x)的极小值点,符合题意.综上所述,符合题意的a的取值范围是a<1.故选B.
7.BC [解析] 对于A,D选项,f'(x)==,则当x∈(-∞,3)时,f'(x)≥0,当x∈(3,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,故f(x)有最大值但没有最小值且f(x)只有一个极值点,A,D错误;对于B,C选项,因为ex>0恒成立,所以当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,令f(x)=0,得x=0,所以函数f(x)仅有一个零点,B,C正确.故选BC.
8.ACD [解析] 由得函数f(x)的定义域为(0,e)∪(e,+∞).对于A,f(x)=,当x∈(0,)时,2ln x-1<0,ln x-1<0,所以f(x)=>0,所以A正确.对于B,C,D,由f(x)=x+,得f'(x)=.由f'(x)>0,得0;由f'(x)<0,得19.(-∞,-)∪(,+∞)
[解析] f(x)=x3-ax2+2x-1,则f'(x)=3x2-2ax+2,因为函数f(x)有极值,所以f'(x)=3x2-2ax+2有变号零点,所以(-2a)2-4×3×2>0,解得a<-或a>,即a的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).
10. [解析] 由f(x)=ex+e1-x,得f'(x)=ex-e1-x,易知f'(x)在R上单调递增,令f'(x)=0,得x=,则当x< 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x> 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=时,函数f(x)=ex+e1-x取得最小值,最小值为f,因为f(x)≥f(x0)对一切x∈R都成立,所以x0=.
11.(-2e,0]∪
[解析] 由f(x)=mex-x2+3有两个零点,可得方程mex-x2+3=0有两个实根,即方程m=有两个实数根.记g(x)=,则g'(x)='=,则当x<-1和x>3时,g'(x)<0,当-10,故g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递减,在(-1,3)上单调递增,可求得g(-1)=-2e,g(3)=,当x→-∞时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→0,当x>时,g(x)>0,由以上性质可作出函数g(x)的大致图象,如图所示.由图可知,当0≥m>-2e或m=时,直线y=m与g(x)的图象有两个交点,即函数f(x)有两个零点,故实数m的取值范围为(-2e,0]∪.
12.解:(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-4+=,
令f'(x)>0,得03,
令f'(x)<0,得1故函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的增区间为(0,1),(3,+∞),减区间为(1,3).
(2)由(1)得,当当1所以f(x)max =f(1)=-.
13.解:(1)由题意知f'(x)=ex-a,
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,
此时f(x)的增区间为R,无减区间.
当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a,可得在(-∞,ln a)上f'(x)<0,在(ln a,+∞)上f'(x)>0,
所以f(x)的减区间为(-∞,ln a),增区间为(ln a,+∞).
(2)证明:由(1)知,当a≤0时,f(x)在R上单调递增,没有极值;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,
此时f(x)的极小值M=f(ln a)=a-aln a-1.
令g(a)=a-aln a-1(a>0),
则g'(a)=-ln a,
可得g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则g(a)的最大值为g(1)=0,
所以g(a)≤0恒成立,即M≤0.
14.解:(1)当m=1时,f(x)=x3+x2-x+,
所以f'(x)=x2+x-1.
设切点为(x0,y0),可得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
因为f'(x0)=+x0-1,
y0=f(x0)=+-x0+,
所以切线方程为y-=(+x0-1)(x-x0)(*),
将点(1,0)的坐标代入上式,化简可得4-3-6x0+5=(x0-1)2(4x0+5)=0,
解得x0=-或x0=1,
代入(*)式可得切线方程为y=-x+或y=x-1,
即11x+16y-11=0或x-y-1=0.
(2)f'(x)=x2+mx-1.
若选①,函数f(x)在区间(m,m+1)上单调递减,
则f'(x)≤0在区间(m,m+1)上恒成立,且等号不恒成立,
即x2+mx-1≤0在(m,m+1)上恒成立,
由
解得-≤m≤0,
即实数m的取值范围是.
若选②,函数f(x)在上存在减区间,
则f'(x)<0在区间上有解,即m<-x在区间上有解.
令g(x)=-x,
因为g(x)在区间上单调递减,
所以当x∈时,g(x)故需满足m<,
即实数m的取值范围是.
若选③,函数在区间(m,+∞)上存在极小值,
则函数f(x)的极小值点落在(m,+∞)内.
令f'(x)=x2+mx-1=0,
则Δ=m2+4>0恒成立,可得x1=,x2=.
令f'(x)>0,解得xx2;
令f'(x)<0,解得x1可得f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,
所以x=x2是函数f(x)的极小值点,
则>m,
可得>3m.
所以当m≤0时,不等式恒成立;
当m>0时,可得m2+4>9m2,
解得0综上可得,m<,
即实数m的取值范围是.滚动习题(八)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2025·江苏南京一中高二月考] 下列函数中,在(2,+∞)内单调递增的是 ( )
A.f(x)=3sin x
B.g(x)=(x-3)ex
C.h(x)=x3-15x
D.m(x)=ln x-x
2.[2025·广东深圳中学高二月考] 函数y=f(x)的定义域为R,其导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.3是f(x)的极小值
B.-1是f(x)的极大值点
C.f(x)在区间(-∞,3)上单调递减
D.曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率小于零
3.若函数f(x)=ln[(a-1)x+1]在(2,3)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.
C. D.
4.[2025·河北张家口中学高二调研] 函数f(x)=2sin x-x在区间上的最大值为 ( )
A.1 B.2-
C.- D.-
5.[2025·河北承德一中高二质检] 函数f(x)=x2+(a+4)x-2ln x在区间(1,2)上存在最值,则实数a的取值范围为 ( )
A.(5,9) B.(-5,9)
C.(-9,5) D.(-9,-5)
6.[2025·湖南湘潭一中高二质检] 已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax的极小值点为1,则实数a的取值范围为 ( )
A.a>1 B.a<1
C.a≥1 D.a≤1
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·江苏宿迁中学高二质检] 对于函数f(x)=,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)有最小值但没有最大值
B.对于任意的x∈(-∞,0),恒有f(x)<0
C.f(x)仅有一个零点
D.f(x)有两个极值点
8.已知函数f(x)=x+,则 ( )
A.对任意x∈(0,),不等式f(x)>0恒成立
B.函数f(x)在区间(e,+∞)上单调递增
C.函数f(x)的极大值为1
D.当函数f(x)取得极小值时,x=
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.[2025·山东菏泽一中高二质检] 已知函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是 .
10.[2025·湖南长沙一中高二质检] 已知f(x)=ex+e1-x,若f(x)≥f(x0)对一切x∈R都成立,则x0= .
11.[2025·湖北襄樊一中高二调研] 已知函数f(x)=mex-x2+3有两个零点,则实数m的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2025·福建泉州一中高二月考] 已知函数f(x)=x2-4x+3ln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间上的最大值.
13.(15分)已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)存在极值M,求证:M≤0.
14.(15分)[2025·江苏扬州中学高二质检] 已知函数f(x)=x3+x2-x+.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)的过点(1,0)的切线方程.
(2)若f(x) ,求实数m的取值范围.
①在区间(m,m+1)上单调递减;
②在上存在减区间;
③在区间(m,+∞)上存在极小值.
从这三个条件中任选一个,将序号补充在上面问题中并作答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(共30张PPT)
滚动习题（八）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.［2025·江苏南京一中高二月考］下列函数中，在 内单调递
增的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，，当 时，
，故A错误；
对于B， ，
在内， 恒成立，故B正确；
对于C，，当 时，
，故C错误；
对于D， ，在内，
恒成立，故D错误.
故选B.
2.［2025·广东深圳中学高二月考］函数的定义域为 ，其导
函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.3是 的极小值
B.是 的极大值点
C.在区间 上单调递减
D.曲线在 处的切线斜率小于零
√
[解析] 对于A选项，由导函数的图象可知3是函数
的极小值点，的极小值为 ，A选项错误；
对于B选项，，则 不是 的极大值点，
B选项错误；
对于C选项，由导函数图象可知，当时，，
单调递增,当时,, 单调递减,C选项错误；
对于D选项，，即曲线在 处切线的斜率小于零，
D选项正确.
故选D.
3.若函数在上单调递减，则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知且在上恒成立，则 且
在上恒成立，故且.
因为函数在 上单调递减，所以在上
恒成立，所以 .
综上，实数的取值范围为 ，故选B.
√
4.［2025·河北张家口中学高二调研］函数 在区间
上的最大值为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 由，得，则当
时，，当时，,所以在 上单调递
增，在上单调递减，故 ．故选C.
√
5.［2025·河北承德一中高二质检］函数
在区间上存在最值，则实数 的
取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知在上存在极值，则在 上存在变号
零点，可得，
因为函数 ，在上均单调递增，
所以在 上单调递增，所以，
则，解得 ，故选D.
√
6.［2025·湖南湘潭一中高二质检］已知函数
的极小值点为1，则实数 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
.
若 ，则当时，，当时，，
当 时，，所以在上单调递增，在 上
单调递减,在上单调递增,此时1是的极大值点,不符合题意.
√
若 ，则，当且仅当时等号成立，
此时 在上单调递增，此时没有极值点,不符合题意.
若 ，则当时，，当时，，
当 时，，所以在上单调递增，在 上
单调递减，在上单调递增,此时1是 的极小值点,符合题意.
综上所述，符合题意的的取值范围是 .故选B.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.［2025·江苏宿迁中学高二质检］对于函数 ，下列说法正
确的是( )
A. 有最小值但没有最大值
B.对于任意的，恒有
C. 仅有一个零点
D. 有两个极值点
√
√
[解析] 对于A，D选项，，则当
时，，当时，，故在 上单
调递增，在上单调递减，故 有最大值但没有最小值且
只有一个极值点，A，D错误；
对于B，C选项，因为 恒成立，所以当时，，
令，得 ，所以函数仅有一个零点，B，C正确.
故选 .
8.已知函数 ，则( )
A.对任意，不等式 恒成立
B.函数在区间 上单调递增
C.函数 的极大值为1
D.当函数取得极小值时，
[解析] 由得函数的定义域为 ．
对于A，,当时,, ，
所以 ，所以A正确.
√
√
√
，得．
由，得 或；
由，得或.
所以 在，上单调递增，在，上单调递减，
所以 的极大值为，极小值为 ，
所以B错误，C，D正确．
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.［2025·山东菏泽一中高二质检］已知函数
有极值，则实数 的取值范围是 ________
_____________ ．
[解析] ，则 ，
因为函数有极值，所以 有变号零点，
所以，解得或，
即 的取值范围为 .
10.［2025·湖南长沙一中高二质检］已知 ，若
对一切都成立，则 __.
[解析] 由，得，易知在 上
单调递增，
令，得，则当 时，， 单调递减，
当 时，，单调递增，所以当 时，函数
取得最小值，最小值为 ，
因为对一切都成立，所以 .
[解析] 由 有两个零点，可得方
程有两个实根，即方程 有
两个实数根.
记 ，则，则当和
11.［2025·湖北襄樊一中高二调研］已知函数 有
两个零点，则实数 的取值范围是______________.
时，，当时，，故在 ,
上单调递减，在上单调递增，
，当 时， ，当
时，，当时， ，
由以上性质可作出函数 的大致图象，如图所示.
由图可知，当或时，直线
与的图象有两个交点，即函数 有两个零点，
故实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）［2025·福建泉州一中高二月考］ 已知函数
.
（1）求 的单调区间；
解：易知函数的定义域为, ，
令，得或，令，得 ，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在 上单
调递增，所以函数的增区间为,，减区间为 .
（2）求在区间 上的最大值．
解：由（1）得，当时，函数 单调递增，
当时，函数 单调递减，
所以 .
12.（13分）［2025·福建泉州一中高二月考］ 已知函数
.
13.（15分）已知函数 .
（1）求 的单调区间;
解：由题意知 ，
当时， 恒成立，
此时的增区间为 ，无减区间.
当时，令，得，可得在上 ，
在上 ，
所以的减区间为，增区间为 .
（2）若存在极值，求证： .
证明：由（1）知，当时，在 上单调递增，没有极值；
当时，在上单调递减，在 上单调递增，
此时的极小值 .
令 ，
则 ，
可得在上单调递增，在上单调递减，则 的最大
值为 ，
所以恒成立，即 .
14.（15分）［2025·江苏扬州中学高二质检］ 已知函数
.
（1）当时，求曲线的过点 的切线方程.
解：当时， ，
所以 .
设切点为，可得切线方程为 .
因为 ，
，
所以切线方程为
，
将点 的坐标代入上式，化简可得
，
解得或 ，
代入式可得切线方程为或 ，
即或 .
（2）若 ___，求实数 的取值范围.
①在区间 上单调递减；
②在 上存在减区间；
③在区间 上存在极小值.
从这三个条件中任选一个，将序号补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解： .
若选①，函数在区间 上单调递减，
则在区间 上恒成立，且等号不恒成立，
即在 上恒成立，
由
解得 ，
即实数的取值范围是 .
若选②，函数在 上存在减区间，
则在区间上有解，即在区间 上有解.
令 ，
因为在区间 上单调递减，
所以当时， ，
故需满足 ，即实数的取值范围是 .
若选③，函数在区间 上存在极小值，
则函数的极小值点落在 内.
令 ，
则恒成立，可得, .
令，解得或 ；
令，解得 .
可得在,上单调递增，在 上单调递减，
所以是函数 的极小值点，
则 ，
可得 .
所以当 时，不等式恒成立；
当时，可得 ，
解得 .
综上可得， ，
即实数的取值范围是 .
快速核答案
1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B
7.BC 8.ACD
9. 10. 11.
12.（1）的增区间为,，减区间为.（2）
13.（1）当时，的增区间为，无减区间.
当时，的减区间为，增区间为.
（2）略
14.（1） m>或
（2）若选①，.若选②， >.若选③， 