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第二节 运动的合成与分解
第2课时 运动的合成与分解常见模型
学习任务一 小船过河模型
学习任务二 关联速度问题
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 小船过河模型
［模型建构］
(1)渡河时间问题
①渡河时间取决于河宽及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即.
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时.
请记住：要渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即与水流方向垂直，渡河时间与无关.
(2)最短位移问题
①若，最短的位移为河宽，船头与上游河岸夹角满足，如图甲所示.
②若，如图乙所示，从出发点开始作矢量，再以末端为圆心，以的大小为半径画圆弧，自出发点向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角 满足，最短位移.
例1 已知某船在静水中的速度为,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为,水流速度为且方向与河岸平行.
(1) 欲使船以最短时间渡河,船头应朝什么方向 最短时间是多少 船发生的位移是多大
[答案] 船头垂直于河岸; ;
[解析] 由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为，如图甲所示,当船到达对岸时,船沿水流方向也发生了位移,船的位移大
小为,由题意可得,代入得.
(2) 欲使船以最小位移渡河,船头应朝什么方向 渡河所用时间是多少
[答案] 船头与上游河岸夹角的余弦为;
[解析] 因船在静水中的速度为,大于水流速度,故可以使船的实际速度方向垂直于河岸，如图乙所示,设船头斜指向对岸上游,且与上游河岸所成夹角为 ,则有,,所用的时间为.
变式1 [2024·深圳中学期中] 一小船在静水中的速度大小为，它在一条宽为、流速为的河流中渡河，则下列说法正确的是( )
C
A.小船渡河时间不少于
B.小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为
C.小船以最短位移渡河时，位移大小为
D.小船以最短位移渡河时，时间为
[解析] 当船头垂直河岸时渡河时间最短，，故A错误；船以最短时间渡河时沿河岸的位移，即它沿水流方向的位移大小为，故B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能沿垂直于河岸的方向渡河，如图所示，当合速度与船在静水中的速度方向垂直时，渡河位移最小，则，则渡河的最小位移，故C正确；若船以最短位移渡河时，时间为，故D错误.
变式2 (多选)[2024·华师大附中月考] 在民族运动会上,运动员弯弓放箭射击同高度侧向的固定目标(如图所示).假设运动员骑马奔驰的速度大小为,运动员静止时射出的弓箭速度大小为,跑道离固定目标的最近距离为.下列说法中正确的是( )
CD
A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
B.只要击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度大小一定是
C.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
D.箭射到固定目标的最短时间为
[解析] 放出的箭垂直于马运动方向发射时,箭运动时间最短,最短时间,则箭在沿马运动方向上的位移为
,所以放箭处到目标的距离为,故A错误,C、D正确;只有箭垂直于马运动方向发射且击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度的大小才是,故B错误.
【要点总结】
1.解决小船渡河问题的关键是：正确区分合运动与分运动.沿船头指向方向的运动，是分运动，船的实际运动是合运动，一般情况下与船头指向不共线.
2.小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境,时间最短时,位移不是最短.
3.渡河最短时间与船随水漂流的速度大小无关,只要船头指向与河岸垂直,渡河时间即为最短.
学习任务二 关联速度问题
［物理建模］ “关联速度”模型
(1)“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动.一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度.
(2)“关联”速度分解的步骤
①确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向.
②确定合运动的两个效果.
用轻绳或可自由
③画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系.
(3)常见的模型(如图所示)
例2 如图所示，在以的速度匀速拉船靠岸的过程中，拉绳的速度与船的速度有何关系？船的速度如何变化？
[答案] ; 增大
[解析] 船向左运动，对绳产生了两个效果，一是沿绳使绳与滑轮的距离变短，二是垂直于绳使绳绕滑轮旋转，将船速在沿绳和垂直于绳两个方向上进行分解，设绳与水面的夹角为 ，由图可得 ，船在靠岸时，夹角 增大，不变，则船速增大.
例3 如图所示，一根长直轻杆在墙角沿竖直墙和水平地面滑动(假设端不脱离墙面).当杆和墙的夹角为 时，杆的端沿墙下滑的速度大小为，端沿地面滑动的速度大小为，则、的关系是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 将A、B两点的速度分解为沿方向与垂直于方向的分速度，沿方向的速度分别为和，沿方向的速度分量应相同， ，，由，可得 ，故选项C正确.
1.小船横渡一条河，船头航行方向始终与河岸垂直.若小船相对静水的速度大小不变，小船的一段运动轨迹如图所示，则( )
B
A.由到，水速一直增大 B.由到，水速一直减小
C.由到，水速先增大后减小 D.由到，水速先减小后增大
[解析] 从轨迹曲线的弯曲形状可知，加速度的方向水平向左，所以越靠近B则水速越小，故B正确.
2.如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，细线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动细线紧贴着桌子的边缘以水平速度匀速运动，当光盘由位置运动到图中虚线所示的位置时，细线与竖直方向的夹角为 ，此时铁球( )
B
A.竖直方向速度大小为
B.竖直方向速度大小为
C.竖直方向速度大小为
D.相对于地面速度大小为
[解析] 线与光盘交点参与两个运动，一是逆着线方向的运动，二是垂直于线方向的运动，合运动的速度大小为，由几何关系知 ，而线的速度大小即为铁球在竖直方向的速度大小，故B正确，A、C错误；铁球相对于地面的速度大小为，故D错误.
3.如图所示,以速度沿竖直杆匀速下滑的物体用轻绳通过光滑定滑轮拉物体,当绳与水平面夹角为 时,物体的速度为(物体一直在水平方向上运动)( )
D
A. B. C. D.
[解析] 将A的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，如图所示，根据平行四边形定则得，,故D正确.
4.如图所示为发动机活塞连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且正好在竖直方向上，连杆一端连接活塞，另一端与曲柄上点相连，活塞沿直线往复运动并带动连杆使点绕过圆心的水平轴沿顺时针方向做圆周运动，某时刻刚好水平， ，活塞的速率为，曲柄上点的速率为，则此时( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由速度合成和分解图可知，当刚好水平时，曲柄上B点的速率为，方向刚好竖直，则有 ，可得，故A、B、D错误，C正确.
1.(小船渡河问题)小明同学遥控小船做过河实验,并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示.图中实线为河岸,河水的流动速度不变,方向水平向右,虚线为小船从河岸驶向对岸的实际航线,小船相对于静水的速度不变.下列说法正确的是 ( )
A
A.航线图甲是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
B.航线图乙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
C.航线图丙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河位移最短
D.航线图丁是不正确的,如果船头保持图中的方向,那么船的轨迹应该是曲线
[解析] 根据图甲可知,小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸,合速度的方向偏向下游,且过河时间最短,故A正确;根据图乙可知,船头指向对岸上游,且合速度的方向正好垂直于河岸,过河的位移最小,但过河的时间不是最短,故B错误;由于河水的流动,不可能出现航线图丙,故C错误;由平行四边形定则知,合速度方向应在船头指向与水流方向之间,且合速度大小及方向不变,船的轨迹应是直线,故D错误.
2.(小船过河轨迹分析)1934年10月，红军为突破第五次反“围剿”，从宁化湖村等地集结出发，途经于都，强渡于都河(贡江).若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大.设木船相对静水的速度大小恒定.以最短的时间过河，则木船在出发点与登陆点之间的运动轨迹是图中的( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行河岸向右，后平行河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误.
3.(关联速度问题)[2024·惠州一中期中] 生活中人们通常利用定滑轮来升降物体.如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，绳的一端系着质量为的重物，绳的另一端由人握着向左以速度匀速移动，经过图示位置时绳与水平方向的夹角为 ，下列说法正确的是( )
D
A.重物匀加速上升
B.重物以速度匀速上升
C.绳对重物的拉力始终小于它的重力
D.经过图示位置 时人与重物的速度大小之比为
[解析] 将人的速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向，如图，人沿绳方向的分速度大小等于重物A上升的分速度大小，则有 ，人运动过程中，不变， 减小， 增大，则重物的速度增大，即重物做加速运动，但不是匀加速运动，故A、B错误；重物做加速运动，则绳上的拉力大于重力，故C错误； 时，
人与重物的速度大小之比为，故D正确.
知识点一 小船渡河问题
1.[2023·仲元中学月考] 某渡船在横渡闽江时从江岸边的位置出发，保持船头方向始终与对岸垂直，已知船在静水中的速度大小恒定，江水的流速不变.该渡船渡江的轨迹可能是图中的( )
C
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 依题意，渡船参与两个分运动，沿船头方向的匀速直线运动和沿水流方向的匀速直线运动，根据运动的合成与分解可知，其合运动为匀速直线运动，所以渡江的轨迹可能为图中的③，故选C.
2.[2023·深圳中学月考] 如图为救生员正在湍流的洪水中向对岸被困人员实施救援的场景.假设救生员的游泳速度大小不变，且始终比水流速度大，当救生员游至河流中央时，水流速度开始缓慢变大，则 ( )
B
A.如果救生员仍按原方向前进，则到对岸的时间将变长
B.为了能游到被困人员处，救生员游速方向应该向上游调整
C.虽然水流速度变大，但救生员的轨迹仍为原来的直线
D.因为水流速度变大，救生员将无法到达对岸
[解析] 如果救生员仍按原方向前进，由分运动的独立性和分运动与合运动的同时性可知到对岸的时间不变，故A、D错误；为了能游到被困人员处，要消除水流的影响，救生员游速方向应该向上游调整，故B正确；水流速度变大，救生员的合速度方向改变，救生员的轨迹不再是原来的直线，故C错误.
3.(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为，皮划艇在静水中的速度为，河宽为，小刘和小张划动皮划艇过河，则下列说法正确的是( )
AD
A.若皮划艇过河时间最短，则皮划艇船头应对着河正对岸
B.调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对岸
C.若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间变长
D.若皮划艇能到达河正对岸，则皮划艇过河时间为
[解析] 皮划艇船头对着河正对岸时，皮划艇垂直河岸的分速度最大，河宽一定，由可知此时过河时间最短，故A正确；当时，由三角形定则可知皮划艇不能到达河的正对岸，故B错误；当船头方向不变时，根据运动的独立性可知，若水流速度增大，过河时间不变，故C错误；若皮划艇能到达河的正对岸，则合速度为，过河时间为
，故D正确.
知识点二 关联速度问题
4.(多选)[2023·韶关北江中学月考] 如图所示，平台上的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引重物上升，平台足够长，汽车始终保持速度匀速向左沿直线运动，某时刻绳与水平方向夹角为 ，在重物到达定滑轮高度之前，下列说法正确的是( )
BC
A.重物减速上升 B.重物加速上升
C.重物上升的速度为 D.重物上升的速度为
[解析] 对汽车的速度进行分解，可知重物上升的速度为 ，汽车运动过程中 逐渐减小，可知重物上升的速度逐渐增大，故选B、C.
5.人用绳子通过定滑轮拉物体，穿在光滑的竖直杆上，当人竖直向下拉绳使物体匀速上升时，在匀速上升的过程中，人拉绳的速度
将( )
B
A.增大 B.减小 C.不变 D.不能确定
[解析] 由速度的分解可知，在A匀速上升的过程中， 角变大，则人拉绳的速度将减小，故B正确.
6.(多选)如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为，货物的质量为，货车以速度向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是( )
CD
A.货箱向上运动的速度大于 B.缆绳中的拉力等于
C.货箱向上运动的速度等于 D.货物处于超重状态
[解析] 将货车的速度进行正交分解，如图所示，由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故 ,所以货箱向上运动的速度小于，故A错误，C正确；根据前面选项的分析可知 ,不变， 不断减小，故货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，则拉力大于，且货物处于超重状态，故B错误，D正确.
7.(多选)[2023·南海中学月考] 如图所示，某一段河流的两岸相互平行，各处的水流速度相同且平稳，小船以大小为(在静水中的速度)、方向与上游河岸成角 的速度从处渡河，经过一段时间
AB
A.河中水流速度为
B.由已知条件可知河宽为
C.小船渡河的最短时间为
D.小船以最短的时间渡河的位移是
正好到达正对岸的处，则下列说法中正确的是( )
[解析] 小船垂直河岸渡河，由平行四边形定则得，A正确；由小船在垂直河岸方向做匀速直线运动可知，河宽为，B正确；小船船头指向正对岸时，渡河时间最短，最短时间为，C错误；小船以最短的时间渡河的位移为
，D错误.
8.[2023·河北石家庄一中月考] 如图所示，一个小型侦察气球未打开驱动系统时，恰能相对空气静止，现需要避开前方一个长方形监控区，该区域为南北方向点在北，长，为的中点.现气球恰好在点，与垂直且，而此时刚好有风，风速向东，大小为，为使气球避开监控区，则其驱动速度至少为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，要恰好避开监控区，气球可能沿着运动.根据三角形定则可知，最小的驱动速度 ，而，解得，故A正确，B、C、D错误.
9.有一条两岸平直且互相平行、河水均匀流动、流速恒为的大河.小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直，去程与回程所用时间之比为,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设河宽为,船速为,则根据渡河时间关系得,解得,选项B正确.
10.如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标.假设运动员骑马奔驰的速度为，运动员静止时射出的箭的速度为，跑道到固定目标的最近距离.若不计空气阻力的影响，要想命中目标(靶心)且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑箭的竖直运动)，则( )
B
A.运动员放箭处到目标的距离为 B.运动员放箭处到目标的距离为
C.箭射到靶的最短时间为 D.箭射到靶的最短时间为
[解析] 要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则运动员射出的箭的速度的方向与线段平行，运动员骑马奔驰的速度和运动员静止时射出的箭的速度的合速度的方向指向固定目标(如图所示)，箭射到靶的最短时间为，选项C、D错误；运动员放箭处到目标的距离为
，选项B正确，A错误.
*11.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球和，竖直放置，两球质量均为，两球半径忽略不计，杆的长度为.由于微小的扰动，球沿竖直光滑槽向下运动，球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为 时(图中未标出)，关于两球速度和的关系，下列说法正确的是( )
C
A.若 ，则、两球的速度大小相等
B.若 ，则、两球的速度大小相等
C.
D.
[解析] 当杆与竖直方向的夹角为 时，根据运动的分解，如图所示，沿杆方向两分速度大小相等，则 ，即 ，当 时，可得，故选C.
12.[2023·浙江杭州二中月考] 如图所示，一条小船位于宽的河正中央点处，从这里向下游处有一危险区，水流速度为.
(1) 若小船在静水中速度为，小船到对岸的最短时间是多少？
[答案]
[解析] 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，则最短时间为
(2) 若小船在静水中速度为，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间为多少？
[答案] ;
[解析] 水速大于船速，小船不能垂直河岸过河，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为， 则位移
则 角越大，位移越短，当 角最大时，位移最短，船头指向如图所示
根据几何关系可知
则
则船头的方向与河岸成 角，此时小船航行的位移为
船航行的速度
所用时间为
(3) 为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？
[答案]
[解析] 小船恰好避开危险区沿直线到达对岸时，设合速度与水流速度的夹角为 ，即有
则
小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小，为
第2课时 运动的合成与分解常见模型
例1 (1)船头垂直于河岸 25 s 125 m (2)船头与上游河岸夹角的余弦为 s
[解析] (1)由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为t== s=25 s,如图甲所示,当船到达对岸时,船沿水流方向也发生了位移,船的位移大小为s=,由题意可得s1=v2t=3 m/s×25 s=75 m,代入得s=125 m.
(2)因船在静水中的速度为v1=4 m/s,大于水流速度v2=3 m/s,故可以使船的实际速度方向垂直于河岸,如图乙所示,设船头斜指向对岸上游,且与上游河岸所成夹角为θ,则有cos θ==,v== m/s,所用的时间为t1== s= s.
变式1 C [解析] 当船头垂直河岸时渡河时间最短,tmin== s=50 s,故A错误;船以最短时间50 s渡河时沿河岸的位移x=v水tmin=5×50 m=250 m,即它沿水流方向的位移大小为250 m,故B错误;因为水流速度大于船在静水中的速度,所以船不能沿垂直于河岸的方向渡河,如图所示,当合速度与船在静水中的速度方向垂直时,渡河位移最小,则sin θ==,则渡河的最小位移s== m=250 m,故C正确;若船以最短位移渡河时,时间为t== s=62.5 s,故D错误.
变式2 CD [解析] 放出的箭垂直于马运动方向发射时,箭运动时间最短,最短时间t=,则箭在沿马运动方向上的位移为x=v1t=,所以放箭处到目标的距离为s==,故A错误,C、D正确;只有箭垂直于马运动方向发射且击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度的大小才是v=,故B错误.
例2 v0=vcos θ v增大
[解析] 船向左运动,对绳产生了两个效果,一是沿绳使绳与滑轮的距离变短,二是垂直于绳使绳绕滑轮旋转,将船速v在沿绳和垂直于绳两个方向上进行分解,设绳与水面的夹角为θ,由图可得v0=vx=vcos θ,船在靠岸时,夹角θ增大,v0不变,则船速v增大.
例3 C [解析] 将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度,沿AB方向的速度分别为和,沿AB方向的速度分量应相同,=v1cos θ,=v2sin θ,由=,可得v1=v2tan θ,故选项C正确.
随堂巩固
1.A [解析] 根据图甲可知,小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸,合速度的方向偏向下游,且过河时间最短,故A正确;根据图乙可知,船头指向对岸上游,且合速度的方向正好垂直于河岸,过河的位移最小,但过河的时间不是最短,故B错误;由于河水的流动,不可能出现航线图丙,故C错误;由平行四边形定则知,合速度方向应在船头指向与水流方向之间,且合速度大小及方向不变,船的轨迹应是直线,故D错误.
2.D [解析] 以最短的时间过河,则木船的船头垂直于河岸,木船渡河同时参与了两个运动,垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动,其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度,保持不变;平行河岸的分速度等于水速,根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小,故木船的加速度先平行河岸向右,后平行河岸向左,木船做曲线运动,根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知,D正确,A、B、C错误.
3.D [解析] 将人的速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向,如图,人沿绳方向的分速度大小等于重物A上升的分速度大小,则有vA=vcos α,人运动过程中,v不变,α减小,cos α增大,则重物的速度增大,即重物做加速运动,但不是匀加速运动,故A、B错误;重物做加速运动,则绳上的拉力大于重力,故C错误;α=60°时,人与重物的速度大小之比为v∶vA=v∶vcos 60°=2∶1,故D正确.第2课时 运动的合成与分解常见模型
1.C [解析] 依题意,渡船参与两个分运动,沿船头方向的匀速直线运动和沿水流方向的匀速直线运动,根据运动的合成与分解可知,其合运动为匀速直线运动,所以渡江的轨迹可能为图中的③,故选C.
2.B [解析] 如果救生员仍按原方向前进,由分运动的独立性和分运动与合运动的同时性可知到对岸的时间不变,故A、D错误;为了能游到被困人员处,要消除水流的影响,救生员游速方向应该向上游调整,故B正确;水流速度变大,救生员的合速度方向改变,救生员的轨迹不再是原来的直线,故C错误.
3.AD [解析] 皮划艇船头对着河正对岸时,皮划艇垂直河岸的分速度v垂最大,河宽d一定,由t=可知此时过河时间最短,故A正确;当v4.BC [解析] 对汽车的速度进行分解,可知重物上升的速度为v1=vcos θ,汽车运动过程中θ逐渐减小,可知重物上升的速度逐渐增大,故选B、C.
5.B [解析] 由速度的分解可知vAcos θ=v0,在A匀速上升的过程中,θ角变大,则人拉绳的速度将减小,故B正确.
6.CD [解析] 将货车的速度进行正交分解,如图所示,由于绳子不可伸长,货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等,故 v1=vcos θ,所以货箱向上运动的速度小于v,故A错误,C正确;根据前面选项的分析可知 v1=vcos θ,v不变,θ不断减小,故货箱和货物整体向上做加速运动,加速度向上,则拉力T大于(m0+m)g,且货物处于超重状态,故B错误,D正确.
7.AB [解析] 小船垂直河岸渡河,由平行四边形定则得v水=v1cos θ=3 m/s,A正确;由小船在垂直河岸方向做匀速直线运动可知,河宽为d=v1sin θ·t=240 m,B正确;小船船头指向正对岸时,渡河时间最短,最短时间为tmin==48 s,C错误;小船以最短的时间渡河的位移为s=vtmin=·tmin=48 m,D错误.
8.A [解析] 如图所示,要恰好避开监控区,气球可能沿着PA运动.根据三角形定则可知,最小的驱动速度v驱=v风sin α,而sin α==,解得v驱=2 m/s,故A正确,B、C、D错误.
9.B [解析] 设河宽为d,船速为v1,则根据渡河时间关系得∶=k,解得v1=,选项B正确.
10.B [解析] 要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短,则运动员射出的箭的速度v2的方向与OA线段平行,运动员骑马奔驰的速度v1和运动员静止时射出的箭的速度v2的合速度v3的方向指向固定目标(如图所示),箭射到靶的最短时间为,选项C、D错误;运动员放箭处到目标的距离为s=t=d,选项B正确,A错误.
*11.C [解析] 当杆与竖直方向的夹角为θ时,根据运动的分解,如图所示,沿杆方向两分速度大小相等,则vAcos θ=vBsin θ,即vA=vBtan θ,当θ=45°时,可得vA=vB,故选C.
12.(1)25 s (2)37° 41.7 s (3)2.5 m/s
[解析] (1)当船头方向垂直河岸时,渡河时间最短,则最短时间为t==25 s
(2)水速大于船速,小船不能垂直河岸过河,设船航行的速度方向与下游河岸夹角为β,则位移s=
则β角越大,位移越短,当β角最大时,位移最短,船头指向如图所示
根据几何关系可知sin β==
则β = 53°
则船头的方向与河岸成37°角,此时小船航行的位移为s==125 m
船航行的速度v合==3 m/s
所用时间为t==41.7 s
(3)小船恰好避开危险区沿直线到达对岸时,设合速度与水流速度的夹角为α,即有tan α=
则α = 30°
小船在河水中运动时,当小船在静水中的速度与合速度垂直时,小船在静水中的速度最小,为
vmin = v1sin α = 2.5 m/s第2课时 运动的合成与分解常见模型
学习任务一 小船过河模型
[模型建构]
(1)渡河时间问题
①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小,即t=.
②若要渡河时间最短,只要使船头垂直于河岸航行即可,如图所示,此时t=.
请记住:要渡河时间最短,船头应垂直指向河对岸,即v船与水流方向垂直,渡河时间与v水无关.
(2)最短位移问题
①若v水< v船,最短的位移为河宽d,船头与上游河岸夹角满足cos θ=,如图甲所示.
②若> v船,如图乙所示,从出发点A开始作矢量v水,再以v水末端为圆心,以v船的大小为半径画圆弧,自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ=,最短位移x短=.
例1 已知某船在静水中的速度为v1=4 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,水流速度为v2=3 m/s且方向与河岸平行.
(1)欲使船以最短时间渡河,船头应朝什么方向 最短时间是多少 船发生的位移是多大
(2)欲使船以最小位移渡河,船头应朝什么方向 渡河所用时间是多少
变式1 [2024·深圳中学期中] 一小船在静水中的速度大小为3 m/s,它在一条宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河,则下列说法正确的是 ( )
A.小船渡河时间不少于60 s
B.小船以最短时间渡河时,它沿水流方向的位移大小为150 m
C.小船以最短位移渡河时,位移大小为250 m
D.小船以最短位移渡河时,时间为60 s
[反思感悟]
变式2 (多选)[2024·华师大附中月考] 在民族运动会上,运动员弯弓放箭射击同高度侧向的固定目标(如图所示).假设运动员骑马奔驰的速度大小为v1,运动员静止时射出的弓箭速度大小为v2,跑道离固定目标的最近距离为d.下列说法中正确的是 ( )
A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
B.只要击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度大小一定是v=
C.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
D.箭射到固定目标的最短时间为
[反思感悟]
【要点总结】
1.解决小船渡河问题的关键是:正确区分合运动与分运动.沿船头指向方向的运动,是分运动,船的实际运动是合运动,一般情况下与船头指向不共线.
2.小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境,时间最短时,位移不是最短.
3.渡河最短时间与船随水漂流的速度大小无关,只要船头指向与河岸垂直,渡河时间即为最短.
学习任务二 关联速度问题
[物理建模] “关联速度”模型
(1)“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起,或直接挤压在一起的物体,它们的运动简称为关联运动.一般情况下,在运动过程中,相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的,即二者的速度通常不同,但却有某种联系,我们称二者的速度为“关联”速度.
(2)“关联”速度分解的步骤
①确定合运动的方向:物体实际运动的方向就是合运动的方向,即合速度的方向.
②确定合运动的两个效果.
用轻绳或可自由
转动的轻杆连接
的物体的问题
相互接触的
物体的问题
③画出合运动与分运动的平行四边形,确定它们的大小关系.
(3)常见的模型(如图所示)
例2 如图所示,在以v0的速度匀速拉船靠岸的过程中,拉绳的速度v0与船的速度v有何关系 船的速度如何变化
例3 如图所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动(假设A端不脱离墙面).当AB杆和墙
的夹角为θ时,杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1,B端沿地面滑动的速度大小为v2,则v1、v2的关系是 ( )
A.v1=v2
B.v1=v2cos θ
C.v1=v2tan θ
D.v1=v2sin θ
[反思感悟]
1.(小船渡河问题)小明同学遥控小船做过河实验,并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示.图中实线为河岸,河水的流动速度不变,方向水平向右,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线,小船相对于静水的速度不变.下列说法正确的是 ( )
A.航线图甲是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
B.航线图乙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
C.航线图丙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河位移最短
D.航线图丁是不正确的,如果船头保持图中的方向,那么船的轨迹应该是曲线
2.(小船过河轨迹分析)1934年10月,红军为突破第五次反“围剿”,从宁化湖村等地集结出发,途经于都,强渡于都河(贡江).若渡河区域内的河岸平直,水流速度方向处处与河岸平行,越靠近河中央,水流速度越大.设木船相对静水的速度大小恒定.以最短的时间过河,则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹是图中的 ( )
A B
C D
3.(关联速度问题)[2024·惠州一中期中] 生活中人们通常利用定滑轮来升降物体.如图所示,一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮,绳的一端系着质量为m的重物A,绳的另一端由人握着向左以速度v匀速移动,经过图示位置时绳与水平方向的夹角为α,下列说法正确的是 ( )
A.重物匀加速上升
B.重物以速度v匀速上升
C.绳对重物的拉力始终小于它的重力
D.经过图示位置α=60°时人与重物的速度大小之比为2∶1第2课时 运动的合成与分解常见模型建议用时:40分钟
◆ 知识点一 小船渡河问题
1.[2023·仲元中学月考] 某渡船在横渡闽江时从江岸边的P位置出发,保持船头方向始终与对岸垂直,已知船在静水中的速度大小恒定,江水的流速不变.该渡船渡江的轨迹可能是图中的( )
A.① B.② C.③ D.④
2.[2023·深圳中学月考] 如图为救生员正在湍流的洪水中向对岸被困人员实施救援的场景.假设救生员的游泳速度大小不变,且始终比水流速度大,当救生员游至河流中央时,水流速度开始缓慢变大,则 ( )
A.如果救生员仍按原方向前进,则到对岸的时间将变长
B.为了能游到被困人员处,救生员游速方向应该向上游调整
C.虽然水流速度变大,但救生员的轨迹仍为原来的直线
D.因为水流速度变大,救生员将无法到达对岸
3.(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为v0,皮划艇在静水中的速度为v,河宽为d,小刘和小张划动皮划艇过河,则下列说法正确的是 ( )
A.若皮划艇过河时间最短,则皮划艇船头应对着河正对岸
B.调整皮划艇船头方向,一定能够到达河的正对岸
C.若水流速度增大,则皮划艇过河最短时间变长
D.若皮划艇能到达河正对岸,则皮划艇过河时间为
◆ 知识点二 关联速度问题
4.(多选)[2023·韶关北江中学月考] 如图所示,平台上的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引重物上升,平台足够长,汽车始终保持速度v匀速向左沿直线运动,某时刻绳与水平方向夹角为θ,在重物到达定滑轮高度之前,下列说法正确的是( )
A.重物减速上升
B.重物加速上升
C.重物上升的速度为vcos θ
D.重物上升的速度为
5.人用绳子通过定滑轮拉物体A, A穿在光滑的竖直杆上,当人竖直向下拉绳使物体A匀速上升时,在A匀速上升的过程中,人拉绳的速度将 ( )
A.增大
B.减小
C.不变
D.不能确定
6.(多选)如图所示,一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物,已知货箱的质量为m0,货物的质量为m,货车以速度v向左做匀速直线运动,在将货物提升到图示的位置时,下列说法正确的是 ( )
A.货箱向上运动的速度大于v
B.缆绳中的拉力T等于(m0+m)g
C.货箱向上运动的速度等于vcos θ
D.货物处于超重状态
7.(多选)[2023·南海中学月考] 如图所示,某一段河流的两岸相互平行,各处的水流速度相同且平稳,小船以大小为v1=5 m/s(在静水中的速度)、方向与上游河岸成角θ=53°的速度从A处渡河,经过一段时间t=60 s正好到达正对岸的B处,则下列说法中正确的是(sin 53°=0.8) ( )
A.河中水流速度为3 m/s
B.由已知条件可知河宽为240 m
C.小船渡河的最短时间为60 s
D.小船以最短的时间渡河的位移是s=240 m
8.[2023·河北石家庄一中月考] 如图所示,一个小型侦察气球未打开驱动系统时,恰能相对空气静止,现需要避开前方一个长方形监控区ABCD,该区域为南北方向(A点在北),长200 m, O为AD的中点.现气球恰好在P点,PO与AD垂直且PO=150 m,而此时刚好有风,风速向东,大小为 m/s,为使气球避开监控区,则其驱动速度至少为 ( )
A.2 m/s B.3 m/s
C.4 m/s D.5 m/s
9.有一条两岸平直且互相平行、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直,去程与回程所用时间之比为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为 ( )
A. B.
C. D.
10.如图所示,民族运动会上有一个骑射项目,运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动,拉弓放箭射向他左侧的固定目标.假设运动员骑马奔驰的速度为v1,运动员静止时射出的箭的速度为v2,跑道到固定目标的最近距离OA=d.若不计空气阻力的影响,要想命中目标(靶心)且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑箭的竖直运动),则 ( )
A.运动员放箭处到目标的距离为d
B.运动员放箭处到目标的距离为d
C.箭射到靶的最短时间为
D.箭射到靶的最短时间为
*11.如图所示,一个长直轻杆两端分别固定小球A和B,竖直放置,两球质量均为m,两球半径忽略不计,杆的长度为L.由于微小的扰动,A球沿竖直光滑槽向下运动,B球沿水平光滑槽向右运动,当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出),关于两球速度vA和vB的关系,下列说法正确的是 ( )
A.若θ=30°,则A、B两球的速度大小相等
B.若θ=60°,则A、B两球的速度大小相等
C.vA=vBtan θ
D.vA=vBsin θ
12.[2023·浙江杭州二中月考] 如图所示,一条小船位于d=200 m宽的河正中央A点处,从这里向下游100 m处有一危险区,水流速度为v1=5 m/s.
(1)若小船在静水中速度为v2=4 m/s,小船到对岸的最短时间是多少
(2)若小船在静水中速度为v2=4 m/s,小船以最短的位移到岸,小船船头与河岸夹角及所用时间为多少
(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少是多少
