习题课:平抛运动规律的应用
[科学推理] (1)证明: 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解,设时间为t时,对应的水平位移和竖直位移分别为x和y,水平分运动是匀速直线运动,有x=v0t,竖直分运动是自由落体运动,有y=gt2, 由图可知tan θ=,联立解得tan θ=.将t时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为vx和vy.由图可知tan α==.故tan α=2tan θ,得证.
(2)证明:由图可知tan θ=,tan α=,tan α=2tan θ,联立解得x'=.
例1 A [解析] 由题意,假设2下落的高度为h,则1下落的高度为2h,竖直方向做自由落体运动,则由公式y=gt2得t=,即t1=、t2=,所以1、2在空中运动的时间之比为∶1;水平方向有x=v0t,则先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为1∶,故A正确,B错误.两飞镖落在O点的竖直速度分别为vy1=gt1=,vy2=gt2=,又有tan α==,tan β==,由以上整理得tan α=2tan β,则α≠2β,故C、D错误.
变式 AC [解析] 根据平抛运动的规律可知,末速度的反向延长线一定交于水平位移的中点,故A正确;因为两次末速度的反向延长线一定交于水平位移的中点,有tan 30°=,tan 60°=,得=,又y=gt2,得==,故C正确;由x=v0t得==,故B错误;根据cos α=,可得v合=,故两次末速度的大小之比为v合1∶v合2=∶=1∶1,故D错误.
例2 A [解析] 小球撞在斜面上,速度方向与斜面垂直,则速度方向与竖直方向的夹角为θ,故水平速度与竖直速度之比为=tan θ,选项A正确,B错误;水平位移与竖直位移之比===2tan θ,选项C、D错误.
例3 A [解析] 如图所示,由平抛运动的规律知tan θ=,由图知tan(α+θ)==,可得tan(α+θ)=2tan θ,所以α与抛出速度v0无关,故α1=α2,α1、α2的大小与斜面倾角有关,但α1、α2的关系与斜面倾角θ无关,选项A正确,B、C、D错误.
例4 A [解析] 分解面片在锅边缘的速度,有tan 60°=,解得t=0.3 s,故A正确;水平方向做匀速直线运动,则有x=v0t= m,故B错误;面片运动到锅边缘时的速度大小为v==2 m/s,故C错误;设面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为α,根据几何关系可知tan α===,可知该夹角不为30°,故D错误.
例5 B [解析] 小球P击中坑壁上的C点,根据自由落体运动公式有hP=Rcos 60°=g,解得tP=;小球Q击中最低点D,根据自由落体运动公式有hQ=R-Rcos 60°=g,解得tQ=,故B正确,A、C、D错误.
随堂巩固
1.B [解析] 小球离斜面距离最大时就是它的速度方向与斜面平行时,设经过的时间为t,小球的初速度为v0,则gt=v0tan α,又因为小球从斜面顶端水平抛出,落至斜面底端,则有h=gT2,=v0T,即=,联立得t=,故选项B正确.
2.AC [解析] 两小球做平抛运动,落到斜面上,竖直方向上做自由落体运动,运动时间t=,竖直位移之比为1∶4,则运动时间之比为1∶2,故A正确;两小球水平位移之比为1∶4,由x=v0t可知球1和球2抛出时初速度大小之比为1∶2,故B错误;根据平抛运动的规律可知,速度与水平方向夹角φ的正切值等于位移与水平方向夹角θ的正切值的二倍,即tan φ=2tan θ,两小球位移与水平方向夹角相同,则两小球落到斜面上时的速度方向相同,故C正确;速度与水平方向夹角为φ,则小球在落点处的速度v=,则球1和球2在落点处的速度大小之比为1∶2,故D错误.
3.A [解析] 在B点,小球的速度方向与水平方向成30°角,由速度的分解可知,竖直分速度大小vy=v0tan 30°=v0,而vy=gt,v0t=R+Rcos 60°,解得R= m,故A正确.习题课:平抛运动规律的应用
1.D [解析] 根据平抛运动推论可得,小球在P点速度的反向延长线过其在这段时间水平位移的中点,则有x=2QM=v0t,解得小球运动的时间为t== s=3 s,所以D正确.
2.D [解析] 小球到达竖直墙面时在竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy=gt,vx=vytan θ=gttan θ,所以小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ,故A错误;设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α,则tan α===== ,故B错误;由于小球初始位置与墙面的水平距离一定,初速度越大,则运动的时间越短,故C错误;若小球初速度增大,小球到达墙面的时间变短,由tan θ=,可知θ增大,故D正确.
3.C [解析] 根据平行四边形定则知tan θ=,解得竖直分速度为vy=,则平抛运动的时间为t=== s= s,选项C正确.
4.B [解析] 如图所示,过抛出点A作斜面的垂线,垂足为B点,当小球落在斜面上的B点时,位移最小,设运动的时间为t,则在水平方向上有x=v0t,在竖直方向上有y=gt2,根据几何关系知=tan θ,联立解得t=,小球的水平位移大小为 x=v0t=,竖直位移大小为 y=gt2=,由水平位移和竖直位移可求出位移的大小,故A、C、D错误,B正确.
5.C [解析] 只要选手落在Q右侧跑道上,其下落高度为一定值,所以下落时间也为一定值,与初速度无关,故A、B错误,C正确;若落在OQ圆弧上,初速度越大,选手落在OQ上的位置越靠右,下落的高度越小,在空中运动的时间越短,故D错误.
6.B [解析] 两球下落的高度相同,根据t=知,下落的时间相同,设圆弧的半径为R,根据几何关系可得∠COB=60°,则A点抛出的球平抛运动的水平位移s1=2R-Rcos 60°=1.5R,从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为s2=s1-R=0.5R,根据v=知v1∶v2=3∶1,故选B.
7.C [解析] 钢球在钢管内的运动可分解为水平面内的圆周运动和竖直方向的自由落体运动,则竖直方向上有h=gt2,解得t=,由于A管与B管高度相同,可知球在两管中的运动时间一样长.故选C.
8.C [解析] 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知,x=v0t,y=gt2,tan θ=,分别将θ=30°、θ=60°代入,可得两球平抛所经历的时间之比为1∶3,两球下落高度之比为1∶9,选项C正确.
9.AD [解析] 设水平距离为s,飞镖的初速度为v0,击中墙面的速度为v,速度与竖直方向的夹角为θ,则有tan θ==,s=v0t,联立解得v0=,由于从同一位置O抛出,s相同,所以有vB0>vA0,故A正确;击中墙面的速度为v====,由于sin 120°=sin 60°=,则有vA=vB,故B错误;竖直方向有h=gt2,可得t=,可知两只飞镖的运动时间一定不相等,故C错误;根据任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水平总位移的中点,可知插在墙上的两只飞镖的反向延长线与OO'一定交于同一点,故D正确.
10.(1)3 m/s (2) s
[解析] (1)设小球抛出后经时间t1落在C点,由平抛运动规律有
Rcos 53°=v1t1
Rsin 53°=g
联立解得v1=3 m/s
(2)设小球的水平位移和竖直位移分别为x、y,由平抛运动规律有
x=v2t2
y=g
由几何关系有x2+y2=R2
联立解得t2= s
11.(1) s (2)1.2 m (3) m/s
[解析] (1)由平抛运动公式有
vy=gt,vx=v0
x=v0t,h=gt2
又tan 30°=
可推导出=2tan 30°
解得t= s
(2)由(1)得s==1.2 m
(3)游客在B点的速度大小v=
解得v= m/s习题课:平抛运动规律的应用
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
[科学推理]
(1)如图所示,设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为α,
位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为θ,试证明tan α=2tan θ .
(2)如图所示,试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点,即x'=.
例1 [2024·汕头金山中学月考] 某同学玩飞镖时,先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的A、B 两点,将飞镖沿水平方向抛出后,飞镖均扎在靶心O处,两飞镖的轨迹如图中曲线1、2 所示,飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角分别为α、β.已知AB、BO的竖直高度相同,飞镖可视为质点,空气阻力忽略不计.则下列说法正确的是 ( )
A.先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为1∶
B.先后两次飞镖在空中的运动时间之比为2∶1
C.α=2β
D.tan β=2tan α
变式 (多选)飞镖游戏是一种非常有趣味性的娱乐活动.如图所示,某次飞镖比赛,某选手在同一位置向竖直墙面发射飞镖.每次飞镖均水平射出,某
两次射出的飞镖插入墙面时速度与水平方向夹角分别为30°(第一次)和60°(第二次),若不考虑所受的空气阻力,则 ( )
A.两次末速度的反向延长线一定交于水平位移的中点
B.第一次出手速度比第二次小
C.第一次与第二次运动的时间之比为1∶
D.两次末速度的大小之比为1∶2
【要点总结】
1.平抛运动在任意时刻瞬时速度方向与水平方向夹角α的正切值,是位移方向与水平方向夹角θ正切值的2倍,即tan α=2tan θ .
2.平抛运动在任意时刻的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点.
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
[模型建构] 斜面上的平抛运动常见的情景如下表:
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛,垂直落在斜面上,如图所示,即已知速度的方向垂直于斜面 分解速度 tan θ==
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上,如图所示,已知位移的方向沿斜面向下 分解位移 tan θ===
在斜面外平抛,落在斜面上位移最小,如图所示,已知位移方向垂直于斜面 分解位移 tan θ===
例2 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图中虚线所示,则下列说法正确的是( )
A.水平速度与竖直速度之比为tan θ
B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为
D.水平位移与竖直位移之比为
[反思感悟]
例3 [2024·执信中学月考] 如图所示,从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜面上.当抛出的速度为v1时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1;当抛出速度为v2时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2,则 ( )
A.无论v1、v2关系如何,均有α1=α2
B.当v1>v2时,α1>α2
C.当v1>v2时,α1<α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
[反思感悟]
【要点总结】
求解平抛运动与斜面相结合问题的方法
(1)解决平抛运动与斜面结合问题的切入点是位移方向,
即tan θ==,或者t=.
(2)在落点作出速度分解图,根据(1)中的时间,确定速度关系.
学习任务三 与圆弧面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从圆弧形轨道外平抛,恰好无碰撞地进入圆弧形轨道,如图所示,即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ==
利用位 移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上,如图所示,位移大小等于半径R
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上,如图所示,水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
例4 [2023·云浮期末] 我国的面食文化博大精深,种类繁多,其中“刀削面”堪称一绝,传统的操作手法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅
里,如图甲所示.某次削面的过程可简化为图乙,面片(可视为质点)以初速度v0= m/s水平飞出,正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中,锅的截面可视为圆心在O点的圆弧,锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为60°,不计空气阻力,重力加速度大小取10 m/s2,则 ( )
A.面片在空中运动的时间为0.3 s
B.面片在空中运动的水平位移为0.45 m
C.面片运动到锅边缘时的速度大小为4 m/s
D.面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为30°
[反思感悟]
例5 [2024·江门期中] 如图所示,水平地面上有一个大坑,其竖直截面为半圆,O为圆心,AB为沿水平方向的直径.若在A点水平向右抛出小球P,在C点水平向左抛出另一小球Q,小球P、Q分别击中坑壁上的C点和最低点D点.已知∠COD=60°,不计空气阻力,则对于两小球击中坑壁前的运动,下列说法正确的是 ( )
A.小球P在空中的飞行时间大于小球Q在空中的飞行时间
B.小球P在空中的飞行时间等于小球Q在空中的飞行时间
C.小球P在空中的飞行时间小于小球Q在空中的飞行时间
D.无法确定小球飞行时间的大小关系
[反思感悟]
1.(与斜面有关的平抛运动)如图所示,固定斜面的倾角为α,高为h,一小球从斜面顶端水平抛出,落至斜面底端,重力加速度为g,不计空气阻力,则小球从抛出到离斜面距离最大所用的时间为 ( )
A. B.
C. D.
2.(与斜面有关的平抛运动)(多选)[2023·佛山一中月考] 如图所示,A、E分别是斜面的顶端和底端,B、C、D 是斜面上的三个点,且AB=BC=CD=DE.从 A 点以不同的水平速度向左抛出两个小球(不计空气阻力),球 1 落在 B 点,球 2 落在 E点.两球从抛出到落在斜面上的运动过程中,下列说法正确的是( )
A.球1和球2运动的时间之比为1∶2
B.球1和球2抛出时初速度大小之比为1∶4
C.球1和球2在落点处的速度方向相同
D.球1和球2在落点处的速度大小之比为1∶4
3.(与圆弧面有关的平抛运动)如图所示,可视为质点的小球位于半径为R的半圆柱体左端点A的正上方某处,以5 m/s的初速度水平抛出该小球,其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点.过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则半径R的大小为 ( )
A. m
B.4 m
C.3 m
D. m习题课:平抛运动规律的应用建议用时:40分钟
◆ 知识点一 平抛运动的两个重要二级结论
1.[2024·大连二十四中期中] 如图所示,将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出,经过一段时间到达P点,M为P点在Ox轴上的投影, 作小球轨迹在P点的切线并反向延长,与Ox轴相交于Q点,已知QM=3 m,则小球运动的时间为 ( )
A.1 s B.1.5 s C.2.5 s D.3 s
2.如图所示,从某高度水平抛出一小球,经过时间t到达一竖直墙面时,速度与竖直方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为gt
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大,则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大,则θ增大
◆ 知识点二 与斜面有关的平抛运动
3.[2023·广州中学月考] 如图所示,以水平初速度v0=10 m/s抛出的物体飞行一段时间后垂直地撞在倾角为37°的斜面上,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,则物体飞行的时间为 ( )
A. s B. s
C. s D. s
4.[2023·石门高级中学月考] 如图所示,小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出,重力加速度为g,若小球到达斜面的位移最小,则以下说法正确的是( )
A.小球在空中运动的时间为
B.小球的水平位移大小为
C.由于不知道抛出点位置,位移大小无法求解
D.小球的竖直位移大小为
◆ 知识点三 与圆弧面有关的平抛运动
5.[2023·广州天河中学月考] 如图所示为某节目中一个环节的示意图.选手会遇到一个人造山谷POQ,PO是竖直峭壁,OQ是以P点为圆心的弧形坡,Q点右侧是一段水平跑道.选手助跑后从P点水平向右跳出,跃上Q点右侧的跑道.选手可视为质点,忽略空气阻力,下列说法正确的是 ( )
A.初速度越大,选手从P跳出至落在Q右侧跑道上的时间越长
B.初速度越大,选手从P跳出至落在Q右侧跑道上的时间越短
C.只要选手落在Q点右侧跑道上,下落时间为一定值与速度无关
D.若落在OQ圆弧上,初速度越大,选手在空中运动的时间越长
6.如图所示,AB是半圆弧的一条水平直径,O是圆弧的圆心,C是圆弧上一点,∠OAC=30°,在A、O两点分别以一定的初速度v1、v2水平抛出两个小球,结果都落在C点,则两个球抛出的初速度v1、v2的大小之比为 ( )
A.v1∶v2=2∶1
B.v1∶v2=3∶1
C.v1∶v2=3∶2
D.v1∶v2=4∶1
7.[2023·浙江金华一中月考] 如图所示,从一根内壁光滑的空心竖直钢管A的上端边缘,紧贴钢管管壁方向向管内水平抛入一钢球,球一直沿管壁做曲线运动直至落地.若换一根等高但内径更大的内壁光滑的空心竖直管B,用同样的方法抛入此钢球,下列说法正确的是 ( )
A.在A管中的球运动时间长
B.在B管中的球运动时间长
C.球在两管中的运动时间一样长
D.无法确定
8.相同高度的两斜面倾角分别为30°、60°,两小球分别从斜面顶端以大小相同的水平速度v0抛出,如图所示,假设两球均能落在斜面上,则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为 ( )
A.1∶2
B.3∶1
C.1∶9
D.9∶1
9.(多选)[2023·深圳期中] 如图,某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B,最后都插在竖直墙壁上,它们与墙面的夹角分别为30°、60°,图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向,不计空气阻力.则下列说法正确的有 ( )
A.两只飞镖的抛出速度满足vB0>vA0
B.两只飞镖击中墙面的速度满足vA>vB
C.两只飞镖的运动时间一定相等
D.插在墙上的两只飞镖的反向延长线与OO'一定交于同一点
10.如图所示为一半圆形的坑,其半径R=4 m,其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内.在圆心O点将一质量为m的小球水平抛出,不计空气阻力.(g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)
(1)若小球落在C点,θ=53°,求小球平抛运动的初速度v1;
(2)若小球平抛初速度v2= m/s,求小球平抛运动的时间t2.
11.[2023·番禺中学月考] 如图甲所示的“彩虹滑道”是一种较为受欢迎的新型娱乐项目,游客在滑道上某段的运动可简化如图乙所示. 游客(视为质点)以v0=3 m/s水平速度从A点滑出,然后落在倾角θ=30°的斜面上的B点.若不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)游客在空中运动的时间;
(2)A、B两点的距离;
(3)游客落到B前瞬间的速度大小.(共53张PPT)
习题课：平抛运动规律的应用
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
学习任务三 与圆弧面有关的平抛运动
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
［科学推理］
(1) 如图所示，设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为 ，位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为 ，试证明 .
证明： 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解，设时间为时，对应的水平位移和竖直位移分别为和，水平分运动是
匀速直线运动，有，竖直分运动是自由落体运动，有，由图可知，联立解得.将时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为和.由图可知.故 ，得证.
(2) 如图所示，试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点，即.
证明：由图可知，， ，联立解得.
例1 [2024·汕头金山中学月考] 某同学玩飞镖时，先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的、两点，将飞镖沿水平方向抛出后，飞镖均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图中曲线1、2 所示，飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角分别为 、
A
A.先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为
B.先后两次飞镖在空中的运动时间之比为
C.
D.
.已知、的竖直高度相同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计.则下列说法正确的是( )
[解析] 由题意，假设2下落的高度为，则1下落的高度为，竖直方向做自由落体运动，则由公式得,即、,所以1、2在空中运动的时间之比为；
水平方向有,则先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为，故A正确，B错误.两飞镖落在点的竖直速度分别为,,又有,,由以上整理得 ,则 ，故C、D错误.
变式 (多选)飞镖游戏是一种非常有趣味性的娱乐活动.如图所示，某次飞镖比赛，某选手在同一位置向竖直墙面发射飞镖.每 次飞镖均水平射出，某两次射出的飞镖插入墙面时速度与水平方向夹角分别为 (第一次)和 (第二次)，若不考虑所受的空气阻力，则( )
AC
A.两次末速度的反向延长线一定交于水平位移的中点
B.第一次出手速度比第二次小
C.第一次与第二次运动的时间之比为
D.两次末速度的大小之比为
[解析] 根据平抛运动的规律可知，末速度的反向延长线一定交于水平位移的中点，故A正确；因为两次末速度的反向延长线一定交于水平位移的中点，有,,得,又,得，故C正确；由得，故B错误；根据
，可得，故两次末速度的大小之比为，故D错误.
【要点总结】
.平抛运动在任意时刻瞬时速度方向与水平方向夹角 的正切值，是位移方向与水平方向夹角 正切值的2倍，即 .
.平抛运动在任意时刻的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点.
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
［模型建构］ 斜面上的平抛运动常见的情景如下表：
情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外平抛,垂直落在斜面上,如图所示,即已知速度的方向垂直于斜面 ______________________________________________________________________________
情景示例 解题策略
已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上,如图所示,已知位移的方向沿斜面向下 ______________________________________________________________________________
在斜面外平抛,落在斜面上位移最小,如图所示,已知位移方向垂直于斜面 ______________________________________________________________________________
续表
例2 一水平抛出的小球落到一倾角为 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示，则下列说法
正确的是( )
A
A.水平速度与竖直速度之比为 B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为 D.水平位移与竖直位移之比为
[解析] 小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角为 ，故水平速度与竖直速度之比为 ，选项A正确，B错误；水平位移与竖直位移之比 ，选项C、D错误.
例3 [2024·执信中学月考] 如图所示，从倾角为 的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上.当抛出的速度为时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，则( )
A
A.无论、关系如何，均有 B.当时，
C.当时， D.、的关系与斜面倾角 有关
[解析] 如图所示，由平抛运动的规律知，由图知，可得 ，所以 与抛出速度
无关，故，、的大小与斜面倾角有关，但、的关系与斜面倾角 无关，选项A正确，B、C、D错误.
【要点总结】
求解平抛运动与斜面相结合问题的方法
(1)解决平抛运动与斜面结合问题的切入点是位移方向，
即，或者.
(2)在落点作出速度分解图，根据(1)中的时间，确定速度关系.
学习任务三 与圆弧面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛,恰好无碰撞地进入圆弧形轨道,如图所示,即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 ________________________________________________________________________________________________________________________
情景示例 解题策略
利用位移关系
续表
情景示例 解题策略
利用位移关系
续表
例4 [2023·云浮期末] 我国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“刀削面”堪称一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里，如图甲所示.某次削面的过程可简化为图乙，面片(可视为质点)以初速度水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中，锅的截面可视为圆心在点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度大小取，则( )
A.面片在空中运动的时间为0.3
B.面片在空中运动的水平位移为
C.面片运动到锅边缘时的速度大小为
D.面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为
[解析] 分解面片在锅边缘的速度，有，解得，故A正确；水平方向做匀速直线运动，则有，故B错误；面片运动到锅边缘时的速度大小为，故C错误；设面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为 ，根据几何关系可知，可知该夹角不为 ，故D错误.
√
例5 [2024·江门期中] 如图所示，水平地面上有一个大坑，其竖直截面为半圆，为圆心，为沿水平方向的直径.若在点水平向右抛出小球，在点水平向左抛出另一小球，小球、分别击中坑
B
A.小球在空中的飞行时间大于小球在空中的飞行时间
B.小球在空中的飞行时间等于小球在空中的飞行时间
C.小球在空中的飞行时间小于小球在空中的飞行时间
D.无法确定小球飞行时间的大小关系
壁上的点和最低点点.已知 ，不计空气阻力，则对于两小球击中坑壁前的运动，下列说法正确的是( )
[解析] 小球击中坑壁上的C点，根据自由落体运动公式有，解得；小球击中最低点D，根据自由落体运动公式有，解得
，故B正确，A、C、D错误.
1.如图所示，是平面直角坐标系，水平、竖直，一质点从点开始做平抛运动，点是轨迹上的一点.质点在点的速度大小为，方向沿该点所在轨迹的切线方向.点为点在轴上的投影，点速度方向的反向延长线与轴相交于点.已知，，重力加速度取，则下列说法正确的是( )
A
A.平抛的初速度为
B.质点在点的速度大小为
C.、连线与水平方向的夹角为
D.若平抛初速度加倍，则质点下落到与点同一高度所用时间将减半
[解析] 设与轴之间的夹角为 ，则,由于,则,可得,根据平抛运动可知质点在竖直方向做自由落体运动有,解得,解
得,故A正确；质点在点的速度大小为,故B错误；由,可知 ,故C错误；平抛运动竖直方向上是自由落体运动，平抛初速度加倍，质点下落到与点同一高度所用时间不变，故D错误.
2.某实验小学运动会上推出一种亲子投掷游戏，大人和小孩站在同一位置，沿水平方向各投出一支箭，两支箭均插入地面上规定的点则获胜.某次比赛中，大人投出甲箭，箭尖插入地面上的点时与水平地面的夹角为 ；小孩投出乙箭，箭尖插入地面上的点时与水平地面的夹角为 ，如图所示.忽略空气阻力、箭长等因素的影响，已知，，下列说法正确的是( )
B
A.甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为
B.甲、乙两箭投出点到地面的高度之比为
C.甲、乙两箭在空中运动的时间之比为
D.甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为
[解析] 由题图可知，甲、乙两箭平抛运动的水平位移相等，设为，由落地前瞬间速度的反向延长线过水平位移的中点，有，可得甲、乙两箭投出点到地面的高度之比,故B正确；根据平抛运动竖直方向的运动规律，
有，可得甲、乙两箭在空中运动的时间之比为,故C错误；由甲乙，可得甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为甲乙,故A错误；箭落地前瞬间的速度大小为，甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为,故D错误.
故选B.
3.一滑雪运动员以一定的初速度从一平台上滑出，刚好落在一斜坡上的点，且与斜坡没有撞击，则、两点连线与竖直方向所成夹角 和斜坡倾角 的关系为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题知到达B点时，运动员的速度方向刚好沿斜面向下，根据平行四边形定则知，,则,即,故选B.
4.如图所示为竖直截面为半圆形的容器，为圆心，且为沿水平方向的直径.一物体在点以向右的水平初速度抛出，与此同时另一物体在点以向左的水平初速度抛出，两物体都落到容器的同一点.已知 ，不计空气阻力，,，下列说法正确的是( )
B
A.比先到达点
B.两物体一定同时到达点
C.抛出时，两物体的速度大小之比为
D.抛出时，两物体的速度大小之比为
[解析] 两物体同时抛出，都落到点，由平抛运动规律可知两物体下落了相同的竖直高度，由,可得,故两物体同时到达点，故A错误，B正确；设圆的半径为，连接
B、，由几何关系可知，由直角三角形可得在A点和B点平抛的物体的水平位移分别为，，物体平抛的水平分运动是匀速直线运动，有,故,故C、D错误.
1.(与斜面有关的平抛运动)如图所示,固定斜面的倾角为 ,高为,一小球从斜面顶端水平抛出,落至斜面底端,重力加速度为,不计空气阻力,则小球从抛出到离斜面距离最大所用的时间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 小球离斜面距离最大时就是它的速度方向与斜面平行时,设经过的时间为,小球的初速度为,则 ，又因为小球从斜面顶端水平抛出,落至斜面底端,则有,,即,联立得,故选项B正确.
2.(与斜面有关的平抛运动)(多选)[2023·佛山一中月考] 如图所示，、分别是斜面的顶端和底端，、、是斜面上的三个点，且.从点以不同的水平速度向左抛出两个小球(不计空气阻力)，球 1 落在点，球 2 落在点.两球从抛出到落在斜面上的运动过程中，下列说法正确的是( )
AC
A.球1和球2运动的时间之比为 B.球1和球2抛出时初速度大小之比为
C.球1和球2在落点处的速度方向相同 D.球1和球2在落点处的速度大小之比为
[解析] 两小球做平抛运动，落到斜面上，竖直方向上做自由落体运动，运动时间，竖直位移之比为，则运动时间之比为，故A正确；两小球水平位移之比为，由可知球1和球2
抛出时初速度大小之比为，故B错误；根据平抛运动的规律可知，速度与水平方向夹角 的正切值等于位移与水平方向夹角 的正切值的二倍，即 ，两小球位移与水平方向夹角相同，则两小球落到斜面上时的速度方向相同，故C正确；速度与水平方向夹角为 ，则小球在落点处的速度，则球1和球2在落点处的速度大小之比为，故D错误.
3.(与圆弧面有关的平抛运动)如图所示,可视为质点的小球位于半径为的半圆柱体左端点的正上方某处,以的初速度水平抛出该小球,其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于点.过点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为 ,不计空气阻力,重力加速度取,则半径的大小为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在B点,小球的速度方向与水平方向成 角,由速度的分解可知,竖直分速度大小,而, ,解得,故A正确.
知识点一 平抛运动的两个重要二级结论
1.[2024·大连二十四中期中] 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴以的速度抛出，经过一段时间到达点，为点在轴上的投影，作小球轨迹在点的切线并反向延长，与轴相交于点，已知，则小球运动的时间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据平抛运动推论可得，小球在点速度的反向延长线过其在这段时间水平位移的中点，则有,解得小球运动的时间为，所以D正确.
2.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间到达一竖直墙面时，速度与竖直方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为.下列说法正确的是( )
D
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则 增大
[解析] 小球到达竖直墙面时在竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为，，所以小球水平抛出时的初速度大小为 ，故A错误；设小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为 ，则 ，故B错误；由于小球初始位置与墙面的水平距离一定，初速度越大，则运动的时间越短，故C错误；若小球初速度增大，小球到达墙面的时间变短，由，可知 增大，故D正确.
知识点二 与斜面有关的平抛运动
3.[2023·广州中学月考] 如图所示，以水平初速度抛出的物体飞行一段时间后垂直地撞在倾角为 的斜面上，已知，，取，则物体飞行的时间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据平行四边形定则知，解得竖直分速度为，则平抛运动的时间为，选项C正确.
4.[2023·石门高级中学月考] 如图所示，小球以初速度正对倾角为 的斜面水平抛出，重力加速度为，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是( )
B
A.小球在空中运动的时间为
B.小球的水平位移大小为
C.由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D.小球的竖直位移大小为
[解析] 如图所示，过抛出点A作斜面的垂线，垂足为B点，当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为，则在水平方向上有，在竖直方向上有，根据几何关系知 ，联立解得，小球的水平位移大小为，竖直位移大小为，由水平位移和竖直位移可求出位移的大小，故A、C、D错误，B正确.
知识点三 与圆弧面有关的平抛运动
5.[2023·广州天河中学月考] 如图所示为某节目中一个环节的示意图.选手会遇到一个人造山谷，是竖直峭壁，是以点为圆心的弧形坡，点右侧是一段水平跑道.选手助跑后从点水平向右跳出，跃上点右侧的跑道.选手可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
C
A.初速度越大，选手从跳出至落在右侧跑道上的时间越长
B.初速度越大，选手从跳出至落在右侧跑道上的时间越短
C.只要选手落在点右侧跑道上，下落时间为一定值与速度无关
D.若落在圆弧上，初速度越大，选手在空中运动的时间越长
[解析] 只要选手落在右侧跑道上，其下落高度为一定值，所以下落时间也为一定值，与初速度无关，故A、B错误，C正确；若落在圆弧上，初速度越大，选手落在上的位置越靠右，下落的高度越小，在空中运动的时间越短，故D错误.
6.如图所示，是半圆弧的一条水平直径，是圆弧的圆心，是圆弧上一点， ，在、两点分别以一定的初速度、水平抛出两个小球，结果都落在点，则两个球抛出的初速度、的大小之比为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 两球下落的高度相同，根据知，下落的时间相同，
设圆弧的半径为，根据几何关系可得 ，则A点抛出的球平抛运动的水平位移，从点抛出
的球做平抛运动的水平位移为,根据知，故选B.
7.[2023·浙江金华一中月考] 如图所示，从一根内壁光滑的空心竖直钢管的上端边缘，紧贴钢管管壁方向向管内水平抛入一钢球，球一直沿管壁做曲线运动直至落地.若换一根等高但内径更大的内壁光滑的空心竖直管，用同样的方法抛入此钢球，下列说法正确的是( )
C
A.在管中的球运动时间长 B.在管中的球运动时间长
C.球在两管中的运动时间一样长 D.无法确定
[解析] 钢球在钢管内的运动可分解为水平面内的圆周运动和竖直方向的自由落体运动，则竖直方向上有，解得，由于A管与B管高度相同，可知球在两管中的运动时间一样长.故选C.
8.相同高度的两斜面倾角分别为 、 ，两小球分别从斜面顶端以大小相同的水平速度抛出，如图所示，假设两球均能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，,，，分别将 、 代入，可得两球平抛所经历的时间之比为，两球下落高度之比为，选项C正确.
9.(多选)[2023·深圳期中] 如图，某人从同一位置以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖、，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为 、 ，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力.则下列说法正确的有 ( )
AD
A.两只飞镖的抛出速度满足
B.两只飞镖击中墙面的速度满足
C.两只飞镖的运动时间一定相等
D.插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点
[解析] 设水平距离为，飞镖的初速度为，击中墙面的速度为，速度与竖直方向的夹角为 ，则有，，联立解得，由于从同一位置抛出，相同，所以有，故A正确；击中墙面的速度为
，由于，则有，故B错误；竖直方向有，可得，可知两只飞镖的运动时间一定不相等，故C错误；根据任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水平总位移的中点，可知插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点，故D正确.
10.如图所示为一半圆形的坑，其半径，其中坑边缘两点、与圆心等高且在同一竖直平面内.在圆心点将一质量为的小球水平抛出，不计空气阻力.取，，
(1) 若小球落在点， ，求小球平抛运动的初速度；
[答案]
[解析] 设小球抛出后经时间落在点，由平抛运动规律有
联立解得
(2) 若小球平抛初速度，求小球平抛运动的时间.
[答案]
[解析] 设小球的水平位移和竖直位移分别为、，由平抛运动规律有
由几何关系有
联立解得
11.[2023·番禺中学月考] 如图甲所示的“彩虹滑道”是一种较为受欢迎的新型娱乐项目，游客在滑道上某段的运动可简化如图乙所示. 游客(视为质点)以水平速度从点滑出，然后落在倾角 的斜面上的点.若不计空气阻力，重力加速度取
，求：
(1) 游客在空中运动的时间；
[答案]
[解析] 由平抛运动公式有
，
，
又
可推导出
解得
(2) 、两点的距离；
[答案]
[解析] 由(1)得
(3) 游客落到前瞬间的速度大小.
[答案]
[解析] 游客在点的速度大小
解得
