第一章 预备知识（单元测试.含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第一章 预备知识
一、选择题
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|﹣4＜x＜6}，则（ RA）∩B＝（　　）
A．{x|4＜x＜6} B．{x|﹣4＜x＜﹣3}∪{x|4＜x＜6}
C．{x|4≤x＜6} D．{x|﹣4＜x≤﹣3}∪{x|4≤x＜6}
2．x2﹣3x+2≠0是x≠1的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|2a﹣1＜x＜a+3}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，0] B．（﹣1，0） C．[4，+∞） D．（4，+∞）
4．关于x的不等式ax2﹣|x|+2a≥0的解集是（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．∪
5．若x＞1，则x+1的最小值等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[5.5]＝5，[﹣5.5]＝﹣6），则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为（　　）
A．（2，3） B．[2，4） C．[2，3] D．（2，3]
二、填空题
7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），该花园相邻两边的边长分别为x和y，则矩形花园面积的最大值为 　 　 ．
8．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x（2﹣y），若不等式（x+m）⊙2x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是 　 　 ．
三、多选题
（多选）9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b，则
D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
（多选）10．已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，则（　　）
A．b＝﹣1
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．b+c＝5
D．不等式cx2﹣bx+1＜0的解集是{x|x或x}
四、解答题
11．在①A∪B＝B；②A （A∩B）；③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|2a﹣1＜x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．
（1）当时，求A∩（ RB）；
（2）若_____，求实数a的取值范围．
12．已知二次函数y＝x2+2ax+2，a∈R．
（1）若1≤x≤5时，不等式y＞3ax恒成立，求a的取值范围．
（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞y．
第一章 预备知识
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|﹣4＜x＜6}，则（ RA）∩B＝（　　）
A．{x|4＜x＜6} B．{x|﹣4＜x＜﹣3}∪{x|4＜x＜6}
C．{x|4≤x＜6} D．{x|﹣4＜x≤﹣3}∪{x|4≤x＜6}
【答案】D
【分析】根据题意，求出结合A的补集，进而由交集的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，则（ RA）＝{x|x≤﹣3或x≥4}，
又由B＝{x|﹣4＜x＜6}，则（ RA）∩B＝{x|﹣4＜x≤﹣3或4≤x＜6}＝{x|﹣4＜x≤﹣3}∪{x|4≤x＜6}；
故选：D．
【点评】本题集合的混合运算，注意集合中交并补的定义，属于基础题．
2．x2﹣3x+2≠0是x≠1的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】x2﹣3x+2≠0 x≠1且x≠2，由此易判断“x2﹣3x+2≠0 x≠1”和“x≠1 x2﹣3x+2≠0”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．
【解答】解：当x2﹣3x+2≠0时，x≠1且x≠2，此时x≠1成立，
故x2﹣3x+2≠0是x≠1的充分条件；
当x≠1时，x2﹣3x+2≠0不一定成立，
故x2﹣3x+2≠0是x≠1的不必要条件；
x2﹣3x+2≠0是x≠1的充分不必要条件；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中分别判断“x2﹣1＝0 x3﹣x＝0”与“x3﹣x＝0 x2﹣1＝0”的真假，是解答本题的关键．
3．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|2a﹣1＜x＜a+3}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，0] B．（﹣1，0） C．[4，+∞） D．（4，+∞）
【答案】A
【分析】根据“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，转化为A B，利用集合之间的包含关系，即可求出a的取值范围．
【解答】解：x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2，即A＝{x|﹣1＜x＜2}，
若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A B，
∴且等号不同时成立，解得﹣1≤a≤0，
所以a的取值范围为[﹣1，0]，
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4．关于x的不等式ax2﹣|x|+2a≥0的解集是（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．∪
【答案】A
【分析】由题意可得a（x2+2）≥|x|恒成立，由参数分离和基本不等式的运用：求最值，可得所求范围．
【解答】解：关于x的不等式ax2﹣|x|+2a≥0的解集是（﹣∞，+∞），
即为a（x2+2）≥|x|恒成立，
即a恒成立，
当x＝0时，a≥0；
当x≠0时，，
当且仅当|x|，即x＝±时，取得等号，
所以a，
综上可得，a的取值范围是[，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
5．若x＞1，则x+1的最小值等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：若x＞1，则x﹣1＞0，
则x﹣12≥22＝4，
当且仅当x＝2时取等号，
∴的最小值等于4．
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
6．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[5.5]＝5，[﹣5.5]＝﹣6），则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为（　　）
A．（2，3） B．[2，4） C．[2，3] D．（2，3]
【答案】B
【分析】先将[x]看成整体，利用不等式[x]2﹣5[x]+6≤0求出[x]的范围，然后根据新定义[x]表示不超过x的最大整数，得到x的范围．
【解答】解：不等式[x]2﹣5[x]+6≤0可化为：
（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0
解得：2≤[x]≤3，
所以解集为2≤[x]≤3，
根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为：2≤x＜4
故选：B．
【点评】考查学生理解新定义的能力，一元二次不等式，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查整体思想、化归与转化思想．属于基础题．
二、填空题
7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），该花园相邻两边的边长分别为x和y，则矩形花园面积的最大值为 　400　 ．
【答案】400．
【分析】根据已知条件，结合三角形相似，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，0＜x＜40，0＜y＜40，
由三角形相似可得，，即40＝x+y，
当且仅当x＝y＝20时，等号成立，
故矩形花园面积的最大值为400．
故答案为：400．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
8．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x（2﹣y），若不等式（x+m）⊙2x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是 　（1，1）　 ．
【答案】（1，1）．
【分析】根据运算的定义得到不等式的具体形式：（x+m）（2﹣2x）＜1，进而整理不等式得到：2x2+2（m﹣1）x+（1﹣2m）＞0，由该不等式对一切实数均成立，所以该一元二次不等式所对应的一元二次方程的判别式Δ＜0，便可解得m的范围．
【解答】解：由题意得：（x+m）⊙2x＝（x+m）（2﹣2x）＜1，
变形整理得：2x2+2（m﹣1）x+（1﹣2m）＞0，
因为对任意的实数x不等式都成立，
所以其对应的一元二次方程：2x2+2（m﹣1）x+（1﹣2m）＝0的根的判别式Δ＝4（m﹣1）2﹣8（1﹣2m）＜0，解得：1＜m1．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
三、多选题
（多选）9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b，则
D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
【答案】BD
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解：A．不一定成立；
B．由ac2＞bc2，则c2＞0，可得：a＞b．
C．不一定成立，例如a＝2，b＝﹣1．
D．a＞b，c＞d，即﹣d＞﹣c，则a﹣d＞b﹣c，成立．
故选：BD．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）10．已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，则（　　）
A．b＝﹣1
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6}
C．b+c＝5
D．不等式cx2﹣bx+1＜0的解集是{x|x或x}
【答案】ABD
【分析】由已知可得﹣2，3是方程x2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得b，c的值，然后对应各个选项逐个判断即可．
【解答】解：由已知可得﹣2，3是方程x2+bx+c＝0的两根，
则由韦达定理可得：，解得c＝﹣6，b＝﹣1，所以A正确；
选项B：bx+c＞0化简为﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣6，B正确；
选项C：b+c＝﹣7，C错误；
选项D：cx2﹣bx+1＜0化简为：6x2﹣x﹣1＞0，解得x或x，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
四、解答题
11．在①A∪B＝B；②A （A∩B）；③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|2a﹣1＜x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．
（1）当时，求A∩（ RB）；
（2）若_____，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A∩（ RB）＝{x|﹣2＜x＜﹣1}；
（2）选①，{a|a≥0}；
选②，{a|a≥0}；
选③，{a|a≥2或a＜﹣2}．
【分析】（1）根据已知条件，结合补集以及交集的定义，即可求解；
（2）选①，由已知条件，推得A B，再分A是否为空集讨论，即可求解；
选②由已知条件，推得A B，再分A是否为空集讨论，即可求解；
选③分A是否为空集讨论，即可求解；
【解答】解：（1）∵当时，集合，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴ RB＝{x|x＞3或x＜﹣1}，
∴A∩（ RB）＝{x|﹣2＜x＜﹣1}；
（2）若选择①A∪B＝B，则A B，
当A＝{x|2a﹣1＜x≤a+1}，A＝ 时，2a﹣1≥a+1，即a≥2，A B，
当A≠ 时，，解得0≤a＜2，
故实数a的取值范围是{a|a≥0}；
若选择②，A （A∩B），
∵A （A∩B），
∴A B，
∵当A＝{x|2a﹣1＜x≤a+1}，A＝ 时，2a﹣1≥a+1，即a≥2，A B，
当A≠ 时，，0≤a＜2，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0}；
若选择③，A∩B＝ ，
∵当A＝{x|2a﹣1＜x≤a+1}，A＝ 时，2a﹣1≥a+1，即a≥2，A∩B＝ ，
当A≠ 时，或，解得a＜﹣2或 ，
故实数a的取值范围是{a|a≥2或a＜﹣2}．
【点评】本题主要考查交、并、补集的混合运算，考查转化能力，属于中档题．
12．已知二次函数y＝x2+2ax+2，a∈R．
（1）若1≤x≤5时，不等式y＞3ax恒成立，求a的取值范围．
（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞y．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）不等式化为x2+2ax+2＞3ax，利用分离常数法得出ax，求出右边函数的最小值，即可得出实数a的取值范围；
（2）不等式化为（x﹣2）（ax+1）＞0，讨论a的取值，从而求出对应不等式的解集．
【解答】解：（1）不等式f（x）＞3ax即为：x2﹣ax+2＞0，
当x∈[1，5]时，可变形为：ax，
即a＜（x）min，又x22，
当且仅当x，即x∈[1，5]时，等号成立，
∴（x）min＝2，
即a＜2，
∴实数a的取值范围是：{a|a＜2}；
（2）不等式（a+1）x2+x＞f（x），即（a+1）x2+x＞x2+2ax+2，
等价于ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0，即（x﹣2）（ax+1）＞0，
①当a＝0时，不等式整理为x﹣2＞0，解得：x＞2；
当a≠0时，方程（x﹣2）（ax+1）＝0的两根为：x1，x2＝2，
②当a＞0时，可得0＜2，解不等式（x﹣2）（ax+1）＞0得：x或x＞2；
③当a＜0时，因为2，解不等式（x﹣2）（ax+1）＞0得：2＜x；
④当a时，因为2，不等式（x﹣2）（ax+1）＞0的解集为 ；
⑤当a时，因为2，解不等式（x﹣2）（ax+1）＞0得：x＜2；
综上所述，不等式的解集为：
①当a＝0时，不等式解集为（2，+∞）；
②当a＞0时，不等式解集为（﹣∞，）∪（2，+∞）；
③当a＜0时，不等式解集为（2，）；
④当a时，不等式解集为 ；
⑤当a时，不等式解集为（，2）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，以及转化法和分类讨论思想，是中档题．
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