第3章 不等式（单元测试.含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第3章 不等式
一、选择题
1．（5分）已知a，b，m都是负数，且a＜b，则（　　）
A． B． C．a+m＞b+m D．
2．（5分）已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（5分）关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C． D．
4．（5分）若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是（　　）
A．6 B．4 C． D．
5．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣c，且不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y＝f（x）的图象为（　　）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x0）＞0，则实数m的值可能是（　　）
A．x0﹣2 B． C． D．x0+3
7．（5分）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式y＜c的解集为区间（m，m+6），则实数c的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．
8．（5分）已知a＞0，b＞0，则“2019a+2020b4”是“4”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
（多选）9．（5分）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（　　）
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt C．x＞|y| D．0
（多选）10．（5分）下列说法正确的有（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若，则a＞b
C．若a＞b，则 D．若a＞b，则a3＞b3
（多选）11．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，ab的最大值为t，不等式x2+3x﹣t＜0的解集为M，则（　　）
A．t＝2 B．t＝4 C．M＝{x|﹣4＜x＜1} D．M＝{x|﹣1＜x＜4}
（多选）12．（5分）已知x+y＝1，y＞0，x≠0，则的值可能是（　　）
A． B．1 C． D．
三、填空题
13．（5分）若﹣1＜a＜2，1＜b＜3，则a﹣2b的取值范围为 　 　 ．
14．（5分）已知符号函数，则不等式（x+1）sgnx＞2的解集是 　 　 ．
15．（5分）某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（q∈N*）的函数关系式为C＝100+4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25q．要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于 　 　 ．
16．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝ab﹣3，则a+b的最小值为 　 　 ．
17．（5分）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则m＝　 　 ．
18．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|0＜x﹣1＜2}，则A∩B＝　 　 ．
19．（5分）“x∈{3，a}”是不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是 　 　 ．
20．（5分）下列四个命题中，为真命题的是 　 　 （填序号）．
①若x≥y，则x2＞y2；
②两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
③若A∪B＝A，则B A；
④ x∈R，．
21．（5分）若两个正实数x，y满足x+4y＝1，且不等式m2﹣8m恒成立，则实数m的取值范围是 　 　 ．
第3章 不等式
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）已知a，b，m都是负数，且a＜b，则（　　）
A． B． C．a+m＞b+m D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：对于A，由题意a＜b＜0，则，选项A错误；
对于B，由a＜b，不等式两边同除ab，可得，即，选项B错误；
对于C，由不等式的可加性可知，由a＜b，可得a+m＜b+m，选项C错误；
对于D，由，所以，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
2．（5分）已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：，所以，
故：x+y＝x+（y+1）﹣1，
所以x+（y+1）（当且仅当y＝1，x＝6时等号成立），
所以x+y的最小值为8﹣1＝7．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
3．（5分）关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C． D．
【答案】D
【分析】由题意知﹣3和1是方程x2+ax﹣3＝0的两根，可求得a的值；
再代入不等式ax2+x﹣3＜0中求不等式的解集．
【解答】解：由题意知，x＝﹣3，x＝1是方程x2+ax﹣3＝0的两根，可得﹣3+1＝﹣a，解得a＝2；
所以不等式为2x2+x﹣3＜0，即（2x+3）（x﹣1）＜0，
解得，
所以不等式的解集为（，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
4．（5分）若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是（　　）
A．6 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式，根据xy≤（）2，把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得
【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2+xy＝1，即（x+y）2＝1+xy．
再由 xy≤（）2，当且仅当x＝y＝±时，取得等号，
可得（x+y）2＝1+xy≤1+（）2，
解得（x+y）2，
∴x+y，故 x+y的最大值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣c，且不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y＝f（x）的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得﹣2和1是方程ax2﹣x﹣c＝0的两个实根，且a＜0，结合二次函数的图象可得答案．
【解答】解：不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，
可得﹣2和1是方程ax2﹣x﹣c＝0的两个实根，且a＜0，
即函数f（x）＝ax2﹣x﹣c的两个零点分别为﹣2，1，图象为开口向下的抛物线．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查方程思想和数形结合思想，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x0）＞0，则实数m的值可能是（　　）
A．x0﹣2 B． C． D．x0+3
【答案】C
【分析】由题意可得a＜b＜c，则a＜0，c＞0，依题意可得：1，然后结合根的对称性分析得答案．
【解答】解：∵﹣1是函数f（x）＝ax2﹣bx+c的一个零点，
∴a+b+c＝0，
∵a＜b＜c，则a＜0，c＞0，
∵﹣1×m0，∴m＞0．
由a＜b，a＜0，得1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得，即②，
由①②得：1．
函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x，则．
∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），
另一零点为m＞0，∴m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），
因为f（x0）＞0，所以x0∈（﹣1，m），
故0＜m﹣x0＜（2d）min，
∴x0＜mx0，
综合四个选项，实数m的值可能是x0．
故选：C．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想及分类讨论的数学思想，特别考查逻辑思维能力，是难题．
7．（5分）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式y＜c的解集为区间（m，m+6），则实数c的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．
【答案】A
【分析】由已知结合二次函数的性质，二次不等式及二次方程的关系的相互转化，方程的根与 系数关系可求．
【解答】解：因为二次函数y＝x2+ax+b（a，b∈R）的最小值为0，
所以Δ＝a2﹣4b＝0，
若关于x的不等式y＝x2+ax+b＜c的解集为区间（m，m+6），
则x2+ax+b﹣c＝0的两根分别为m，m+6，
所以m+6﹣m2，
则实数c的值为9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系的相互转化，二次函数的性质，还考查了方程的根与系数关系，属于基础题．
8．（5分）已知a＞0，b＞0，则“2019a+2020b4”是“4”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．
【解答】解：a＞0，b＞0，则“2019a+2020b4” 4≥2，当且仅当2019a2020b2时取等号，
则4”，
反之不成立．例如：2019a+2020b＝8，．
∴2019a+2020b4”是“4”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、多选题
（多选）9．（5分）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（　　）
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt C．x＞|y| D．0
【答案】ACD
【分析】利用充要条件的定义逐项分析即可判断．
【解答】解：对于A：若xt2＞yt2，则t2≠0，则x＞y，反之不成立，A正确．
对于B：当t＜0时，x＜y，B错误，
对于C：若x＞|y|，由|y|≥y，则x＞y，反之不成立，C正确，
对于D：f（x）在（0，+∞）单调递减，若0，则x＞y，反之不成立，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了充要条件的定义，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的有（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若，则a＞b
C．若a＞b，则 D．若a＞b，则a3＞b3
【答案】BD
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；
对于B，若，左右两端同时乘以c2，可得a＞b，故B正确；
对于C，若a＞0＞b，则，故C错误；
对于D，若a＞b，显然a3＞b3，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，ab的最大值为t，不等式x2+3x﹣t＜0的解集为M，则（　　）
A．t＝2 B．t＝4 C．M＝{x|﹣4＜x＜1} D．M＝{x|﹣1＜x＜4}
【答案】BC
【分析】由基本不等式ab，可求ab的最大值，然后解二次不等式求解M，结合选项即可判断．
【解答】解：∵正数a，b满足a+b＝4，
则ab4，
即ab的最大值为t＝4，
而x2+3x﹣4＜0的解集为M＝（﹣4，1）．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二次不等式的求解，属于基础试题．
（多选）12．（5分）已知x+y＝1，y＞0，x≠0，则的值可能是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】ABCD
【分析】由x+y＝1，y＞0，x≠0，推导出x＜1，根据0＜x＜1和x＜0两种情况，分类讨论，结合绝对值的性质和基本不等式的性质能求出结果．
【解答】解：∵x+y＝1，y＞0，x≠0，∴x＜1，
①当0＜x＜1时，
（当且仅当x时，等号成立）．
②当x＜0时，
1（当且仅当x＝﹣2时，等号成立）．
故选：ABCD．
【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
三、填空题
13．（5分）若﹣1＜a＜2，1＜b＜3，则a﹣2b的取值范围为 　（﹣7，0）　 ．
【答案】（﹣7，0）．
【分析】把1＜b＜3变为﹣6＜﹣2b＜﹣2，利用同向不等式相加即可求出a﹣2b的取值范围．
【解答】解：因为1＜b＜3，
所以﹣6＜﹣2b＜﹣2，
又因为﹣1＜a＜2，
所以﹣7＜a﹣2b＜0，
即a﹣2b的取值范围是（﹣7，0）．
故答案为：（﹣7，0）．
【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，是基础题．
14．（5分）已知符号函数，则不等式（x+1）sgnx＞2的解集是 　{x|x＜﹣3或x＞1}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】对不等式分类讨论，即x＞0、x＝0、x＜0，分别求出等价不等式，分别求解，然后取并集即可．
【解答】解：①如果x＞0
那么不等式（x+1）sgnx＞2转化为x+1＞2
x＞1
取交集，1＜x
②如果x＝0
那么不等式（x+1）sgnx＞2转化为 0＞2
无解
③如果x＜0
那么不等式（x+1）sgnx＞2转化为：﹣x﹣1＞2
解得x＜﹣3
取交集，x＜﹣3
综上不等式（x+1）sgnx＞2的解集是：{x|x＜﹣3或x＞1}
故答案为：{x|x＜﹣3或x＞1}
【点评】本题考查不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．
15．（5分）某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（q∈N*）的函数关系式为C＝100+4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25q．要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于 　40　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】表示出销售收入R、利润L，每件产品的平均利润，利用基本不等式即可求得最大值及产量q值．
【解答】解：销售收入R＝q×p＝25qq2，
利润L＝R﹣Cq2+21q﹣100（0＜q≤400），
每件产品的平均利润f（q）＝21﹣（q），
因为q5，所以当且仅当q＝40时每件产品的平均利润L最大．
故答案为：40．
【点评】本题考查应用基本不等式求实际背景下函数的最值问题、二次函数的性质，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力．
16．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝ab﹣3，则a+b的最小值为 　6　 ．
【答案】6．
【分析】由题意，可得关于a+b的一元二次不等式，解不等式，求出a+b的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，ab＝a+b+3，
∴a+b＝ab﹣3≤（）2﹣3，
整理可得（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，
解关于a+b的一元二次不等式可得a+b≥6，或a+b≤﹣2（舍去），
当且仅当a＝b＝3时取到等号，
∴a+b的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．
17．（5分）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则m＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】依题意，1是2x2﹣3x+a＝0的根，将1代入可求得a＝1，从而可求得m的值．
【解答】解：∵x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），
∴1是2x2﹣3x+a＝0的根，
∴2×1﹣3×1+a＝0
∴a＝1，
∴2x2﹣3x+1＜0的解集为（，1），
∵不等式2x2﹣3x+1＜0的解集为（m，1），
∴m．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．
18．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|0＜x﹣1＜2}，则A∩B＝　{x|1＜x≤2}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先由不等式得集合A，B，接着是求交集的问题，画数轴是最直观的方法．
【解答】解：由题可得：
A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，
B＝{x|0＜x﹣1＜2}＝{x|1＜x＜3}，
则A∩B＝{x|1＜x≤2}．
故答案为：{x|1＜x≤2}．
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
19．（5分）“x∈{3，a}”是不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是 　a或a＞3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】解不等式，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由2x2﹣5x﹣3≥0得x或x≥3．
∵x∈{3，a}是不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分不必要条件，
又根据集合元素的互异性a≠3，
∴a或a＞3．
故答案为：a或a＞3．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键．
20．（5分）下列四个命题中，为真命题的是 　③④　 （填序号）．
①若x≥y，则x2＞y2；
②两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
③若A∪B＝A，则B A；
④ x∈R，．
【答案】③④．
【分析】反例判断①；充要条件判断三角形面积与全等关系判断②；并集的性质判断③；基本不等式判断④即可．
【解答】解：对于①，若x＝0＞y＝﹣1，则x2＜y2，所以①是假命题；
对于②，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，所以②是假命题；
对于③，若A∪B＝A，则B A，③是真命题；
对于④， x∈R，x2x21﹣1≥21＝2﹣1＝1．当且仅当x＝0时，取等号，
所以④是真命题．
故选：③④．
【点评】本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，不等式的性质，基本不等式的应用，是中档题．
21．（5分）若两个正实数x，y满足x+4y＝1，且不等式m2﹣8m恒成立，则实数m的取值范围是 　（﹣1，9）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，由基本不等式的性质求出的最小值为9，进而可得m2﹣8m＜9，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若两个正实数x，y满足x+4y＝1，则（）＝（）（x+4y）＝14≥9，
当且仅当x＝2y时等号成立；
若不等式m2﹣8m恒成立，则有m2﹣8m＜9，
解可得：﹣1＜m＜9，即m的取值范围为（﹣1，9）；
故答案为：（﹣1，9）．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及不等式恒成立问题，属于基础题．
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