第4章 指数与对数（单元测试.含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第4章 指数与对数
一、选择题
1．（5分）下列各式正确的是（　　）
A． B．a0＝1
C． D．
2．（5分）化简（2a﹣3） （﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）（a，b＞0）得（　　）
A．b2 B．b2 C． D．
3．（5分）化简的结果为（　　）
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
4．（5分）若log34 log8m＝log416，则m等于（　　）
A．3 B．9 C．18 D．27
5．（5分）（log43+log83）（log32+log98）等于（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
6．（5分）设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn，与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（　　）（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631
8．（5分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（　　）
A．11% B．22% C．33% D．100%
二、多选题
（多选）9．（5分）下列说法错误的是（　　）
A．对于任何实数a，都成立
B．对于任何实数a，|a|都成立
C．对于任何实数a，b，总有ln（a b）＝lna+lnb
D．对于任何实数a，b，总有ln（a+b）＝lna lnb
（多选）10．（5分）已知x＞0，y＞0，且x2+y2＝4，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．xy≥2 B．x+y≥2
C．log2x+log2y≤1 D．2x2y
（多选）11．（5分）地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lgE＝4.8+1.5M．设2011年日本9.0级地震释放的能量为E1，2008年汶川8.0级地震释放能量为E2，2017年九寨沟7.0级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是（　　）（参考数据：101.5≈32）
A．E1约为E2的32倍 B．E2约为E3的32倍
C．E1为E3的64倍 D．E1为E3的1000倍
（多选）12．（5分）任何一个正整数x可以表示成x＝a×10n，（1≤a＜10，n∈N），此时，lgx＝n+lga．
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A．x是n+1位数
B．x是n位数
C．3100是48位数
D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
三、填空题
13．（5分）已知正实数m，n满足lgm+lgn＝lg（3m+2n），则3m+2n的最小值为 　 　 ．
14．（5分）　 　 ．
15．（5分）已知2，则x+x﹣1＝　 　 ．
16．（5分）若正实数a，b满足log2a+log2b＝3，则的最小值 　 　 ．
17．已知3x＝2，log3y，则x+y＝　 　 ．
18．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，如[3.5]＝3，则[log25]+[log250]＝　 　 ．
19．（5分）设，则A 　 　 B（填“＞”“＜”）．
第4章 指数与对数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）下列各式正确的是（　　）
A． B．a0＝1
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂指数运算性质即可解决．
【解答】解：∵|a|，∴A错误，
当a＝0时，a0无意义，∴B错误，
∵|﹣4|＝4，∴C错误，
∵5，∴D正确．
故选：D．
【点评】本题考查有理数指数幂运算及分数指数幂与根式的互化，考查数学运算能力，属于基础题．
2．（5分）化简（2a﹣3） （﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）（a，b＞0）得（　　）
A．b2 B．b2 C． D．
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【解答】解：（2a﹣3） （﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）a﹣3﹣1﹣（﹣4）b2．
故选：A．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）化简的结果为（　　）
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
【答案】C
【分析】由根式和分数指数幂的关系，将式子化为分数指数幂形式，再由指数的运算法则求解即可．
【解答】解：a4
故选：C．
【点评】本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基本运算的考查．
4．（5分）若log34 log8m＝log416，则m等于（　　）
A．3 B．9 C．18 D．27
【答案】D
【分析】化简log34 log8m＝log416为log3m＝3，从而解得．
【解答】解：∵log34 log8m＝log416，
∴2log32 log2m＝2，
∴log3m＝3，
∴m＝27；
故选：D．
【点评】本题考查了对数的化简与运算．
5．（5分）（log43+log83）（log32+log98）等于（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】利用对数的换底公式、对数的运算性质即可得出．
【解答】解：原式
．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的换底公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用与对数定义求出a、b、c代入到四个答案中判断出正确的即可．
【解答】解：由a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c＝M，则a，b，c
代入到B中，左边，
而右边，
左边等于右边，B正确；
代入到A、C、D中不相等．
故选：B．
【点评】考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．
7．（5分）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn，与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（　　）（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631
【答案】C
【分析】根据已知条件，可推得lg（100X0）＝10lg（1+p）+lgX0，结合对数函数的性质，即可求解．
【解答】解：由题意可知，lg（100X0）＝10lg（1+p）+lgX0，即2+lgX0＝10lg（1+p）+lgX0，
∴1+p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585．
故选：C．
【点评】本题考查对数函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．（5分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（　　）
A．11% B．22% C．33% D．100%
【答案】C
【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比10000比信噪比1000时提升的多少即可．
【解答】解：由题意可知，c1＝Wlog2（1+10000）≈Wlog210000，
c2＝Wlog2（1+1000）≈Wlog21000，
故提升了，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的简单应用，属于基础题．
二、多选题
（多选）9．（5分）下列说法错误的是（　　）
A．对于任何实数a，都成立
B．对于任何实数a，|a|都成立
C．对于任何实数a，b，总有ln（a b）＝lna+lnb
D．对于任何实数a，b，总有ln（a+b）＝lna lnb
【答案】ABCD
【分析】依次反举例判断即可．
【解答】解：当a＝﹣4时，没有意义，2，故选项A错误，
当n＝3，a＝﹣4时，4，|a|＝4，故选项B错误，
当a＝﹣e，b＝﹣e时，ln（ab）＝2，lna、lnb都没有意义，故选项C错误，
当a＝﹣e，b＝﹣e时，ln（a+b）、lna、lnb都没有意义，故选项D错误，
故选：ABCD．
【点评】本题考查了对数的定义及分数指数幂的定义，是基础题．
（多选）10．（5分）已知x＞0，y＞0，且x2+y2＝4，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．xy≥2 B．x+y≥2
C．log2x+log2y≤1 D．2x2y
【答案】CD
【分析】A，由x2+y2≥2xy，可得xy≤2；
B，先变形（x+y）2＝x2+y2+2xy，再结合选项A中的结论，得解；
C，由对数的运算法则知，log2x+log2y＝log2（xy），再结合A中结论，得解；
D，由指数的运算法则知，2x 2y＝2x+y，再结合B中结论，得解．
【解答】解：A，x2+y2≥2xy，所以4≥2xy，即xy≤2，当且仅当x＝y时，等号成立，选项A错误；
B，（x+y）2＝x2+y2+2xy≤4+2×2＝8，当且仅当x＝y时，等号成立，
所以0＜x+y≤2，选项B错误；
C，log2x+log2y＝log2（xy）≤log22＝1，当且仅当x＝y时，等号成立，选项C正确；
D，2x 2y＝2x+y，当且仅当x＝y时，等号成立，选项D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，还涉及指数和对数的运算，注意基本不等式“一正二定三相等”的条件，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lgE＝4.8+1.5M．设2011年日本9.0级地震释放的能量为E1，2008年汶川8.0级地震释放能量为E2，2017年九寨沟7.0级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是（　　）（参考数据：101.5≈32）
A．E1约为E2的32倍 B．E2约为E3的32倍
C．E1为E3的64倍 D．E1为E3的1000倍
【答案】ABD
【分析】由题意可得，lgE1＝4.8+1.5×9＝18.3，lgE2＝4.8×1.5×8＝16.8，lgE3＝4.8+1.5×7＝15.3，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，lgE1＝4.8+1.5×9＝18.3，lgE2＝4.8×1.5×8＝16.8，lgE3＝4.8+1.5×7＝15.3，
∵1.5×（9﹣8）＝1.5，
∴101.5≈32，故A正确，
∵lgE2﹣lgE31.5×（8﹣7）＝1.5，
∴，故B正确，
∵lgE1﹣lgE3＝1.5×（9﹣7）＝3，
∴，，故C错误，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，掌握对数函数公式是解本题的关键，属于基础题．
（多选）12．（5分）任何一个正整数x可以表示成x＝a×10n，（1≤a＜10，n∈N），此时，lgx＝n+lga．
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A．x是n+1位数
B．x是n位数
C．3100是48位数
D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
【答案】ACD
【分析】10是两位数，则x是n+1位数，故可判断AB，对于CD，分别设3100＝x，x＝515，利用定义求出所在的位数即可．
【解答】解：x＝a×10n，（1≤a＜10，n∈N），
由于10是两位数，则x是n+1位数，故A正确，B不正确；
设3100＝x，则lgx＝100lg3＝47.7，
∴x＝100.7×1047，
∴3100是48位数，故C正确；
只需要说明515是否为一个11位数正整数，
则x＝515，则lgx＝15lg5＝10.485，
则x＝100.485×1010，
故515为一个11位数正整数，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了对数的运算法则，考查理解能力和阅读能力，属于基础题．
三、填空题
13．（5分）已知正实数m，n满足lgm+lgn＝lg（3m+2n），则3m+2n的最小值为 　24　 ．
【答案】24．
【分析】利用对数的运算性质可mn＝3m+2n，即，再利用“1”的代换，结合基本不等式即可求出结果．
【解答】解：∵lgm+lgn＝lg（mn），
∴mn＝3m+2n，即，
∵m＞0，n＞0，∴3m+2n＝（3m+2n）（）＝1212+12＝24，
当且仅当即m＝4，n＝6时，等号成立，
∴3m+2n的最小值为24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
14．（5分）　　 ．
【答案】．
【分析】根据对数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式lg（）+lg5
lg（11）+lg5
lglg5
lg2+lg5
1．
故答案为：．
【点评】本题考查对数的性质与运算法则，属于基础题．
15．（5分）已知2，则x+x﹣1＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：2，
∴，
∴x+x﹣1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．
16．（5分）若正实数a，b满足log2a+log2b＝3，则的最小值 　　 ．
【答案】．
【分析】由对数的运算，结合基本不等式求解即可．
【解答】解：因为正实数a，b满足log2a+log2b＝3，所以ab＝8，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的运算和利用基本不等式求最值，属基础题．
17．已知3x＝2，log3y，则x+y＝　1　 ．
【答案】1．
【分析】根据指数式和对数式的转化即可求出．
【解答】解：3x＝2，log3y，
则x＝log32，y＝1﹣log32，
则x+y＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了指数式和对数式的转化，属于基础题．
18．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，如[3.5]＝3，则[log25]+[log250]＝　7　 ．
【答案】7．
【分析】根据对数函数以及新定义运算等知识求得正确答案．
【解答】解：2＝log24＜log25＜log28＝3，
所以[log25]＝2，5＝log232＜log250＜log264＝6，
所以[log250]＝5，
故[log25]+[log250]＝2+5＝7．
故答案为：7
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
19．（5分）设，则A 　＜　 B（填“＞”“＜”）．
【答案】＜．
【分析】利用对数函数的单调性、对数的换底公式求解即可．
【解答】解：∵Alog19360＜log19361＝2，
B＝logπ2+logπ5＝logπ10＞logππ2＝2，
∴A＜B，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
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