第三章 指数运算与指数函数-第四章 对数运算与对数函数（阶段测试测试.含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第三章 指数运算与指数函数-第四章 对数运算与对数函数
一、选择题
1．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（　　）
A．x﹣y＞0 B．x+y＜0 C．x﹣y＜0 D．x+y＞0
2．已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为（　　）
A． B． C． D．
3．定义在R上的函数f（x）2为偶函数，a，b，c＝f（m），则 （　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
4．设 y＝|3x﹣1|，c＜b＜a，若函数在x＝c处的函数值大于函数在x＝a处的函数值，函数在x＝a处的函数值大于函数在x＝b处的函数值，则下列关系式中一定成立的是（　　）
A．3c＞3b B．3b＞3a C．3c+3a＞2 D．3c+3a＜2
5．函数2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数f（x）＝x2，g（x）＝ex+e﹣x（e为自然对数的底数），则图像为如图的函数可能是（　　）
A．y＝f（x）+g（x） B．y＝f（x）﹣g（x）
C．y＝f（x）g（x） D．
7．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．函数f（x）＝|x|的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．设函数在区间[﹣2022，2022]上的最大值和最小值分别为M、m，则M+m＝　 　 ．
10．设函数，若对任意的x∈（﹣1，+∞），不等式f（x﹣lna）+f（2x+4）＜0恒成立，则a的取值范围是　 　 ．
11．已知定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递减，且f（﹣1）＝0，则使不等式成立的x的取值范围是 　 　 ．
12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）]，则f（log2sin）＝　 　 ．
三、多选题
（多选）13．已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论，其中所有正确命题的编号是（　　）
A．x1+x2＝﹣1
B．x3x4＝1
C．
D．0＜x1x2x3x4＜1
四、解答题
14．已知函数f（x）．
（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）有最大值16，求a的值．
15．已知函数f（x），m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，总有f（2x）≤2x，求m的取值范围．
16．设函数f（x）＝loga[（x+1）（ax+1）]，a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时f（x）＞0在[，]上恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）在（，）上单调递增，求a的取值范围．
第三章 指数运算与指数函数-第四章 对数运算与对数函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（　　）
A．x﹣y＞0 B．x+y＜0 C．x﹣y＜0 D．x+y＞0
【答案】D
【分析】可对2x+3y＞2﹣y+3﹣x变形成2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y，所以可想着设f（x）＝2x﹣3﹣x，求导之后容易判断出f（x）在R上为增函数，所以便由f（x）＞f（﹣y）得到x+y＞0．
【解答】解：设f（x）＝2x﹣3﹣x，f′（x）＝2xln2+3﹣xln3＞0；
∴f（x）在R上单调递增；
又由2x+3y＞2﹣y+3﹣x得2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y；
∴f（x）＞f（﹣y）；
∴x＞﹣y；
∴x+y＞0．
故选：D．
【点评】考查构造函数解决问题的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，单调性定义的运用，注意正确求导．
2．已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，则，，，利用幂函数y＝xk﹣1，（k﹣1＞0）的单调性即可判定．
【解答】解：令log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，
则，，，
∵幂函数y＝xk﹣1，（k﹣1＞0）在（0，+∞）单调递增，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数，幂函数的性质，属于中档题．
3．定义在R上的函数f（x）2为偶函数，a，b，c＝f（m），则 （　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质先求m的值，然后结合函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．
【解答】解：由f（x）是偶函数得m＝0，f（x）＝（）|x|﹣2，
则在（0，+∞）上f（x）＝（）x﹣2单调递减，
又01，log21，
所以c＝f（0）＞b＝f（（））＞a＝f（﹣1）＝f（1），
即a＜b＜c，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．
4．设 y＝|3x﹣1|，c＜b＜a，若函数在x＝c处的函数值大于函数在x＝a处的函数值，函数在x＝a处的函数值大于函数在x＝b处的函数值，则下列关系式中一定成立的是（　　）
A．3c＞3b B．3b＞3a C．3c+3a＞2 D．3c+3a＜2
【答案】D
【分析】由已知结合函数图象的变换及指数函数的性质分析各选项即可判断．
【解答】解：函数 y＝|3x﹣1|的大致图象如图所示，
因为c＜b＜a且函数在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
因为c＜b＜a时，f（c）＞f（a）＞f（b），
所以c＜0，a＞0，
故3c＜1，3a＞1，
所以f（c）﹣f（a）＝1﹣3c﹣3a+1＝2﹣（3c+3a）＞0，
所以3c+3a＜2，C错误，D正确；
因为y＝3x在R上单调递增且c＜b＜a，
所以3c＜3b＜3a，AB错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象变化及指数函数性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
5．函数2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用奇偶性判断对称性，再计算f（0）的值，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性即可得出答案．
【解答】解：由解析式可知为偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，排除A；
又f（0）＝3＞0，排除C；
当x＞0时，y＝（）x单调递减，y＝﹣x2单调递减，
∴f（x）＝（）x﹣x2+2在（0，+∞）上是单调递减的，排除B；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性，单调性和特殊值等方面考虑，属于中档题．
6．已知函数f（x）＝x2，g（x）＝ex+e﹣x（e为自然对数的底数），则图像为如图的函数可能是（　　）
A．y＝f（x）+g（x） B．y＝f（x）﹣g（x）
C．y＝f（x）g（x） D．
【答案】D
【分析】由图可知，函数图象经过（0，0），且当x→+∞时，y→0，通过这两条规律对选项逐一进行排除，即可得解．
【解答】解：由图可知，函数图象经过（0，0），且当x→+∞时，y→0，
因为f（0）＝0，g（0）＝2，所以y＝f（x）±g（x）均不符合题意，即选项A和B均错误；
当x→+∞时，对于函数y＝f（x）g（x），函数值y→+∞，不符合题意，即选项C错误．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）的值，分析选项排除BC，又由当x＞3时，0，排除D，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，则f（0）0，
即函数图像与y轴交点在x轴下方，排除BC，
当x＞3时，0，排除D，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图像分析，注意特殊值的应用，属于基础题．
8．函数f（x）＝|x|的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当x＞0时，其在x＝1处取得极小值，可排除B，由此得解．
【解答】解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，排除C和D．
当x＞0时，，，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1．
所以f（x）在x＝1处取得极小值，排除B，
故选：A．
【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
二、填空题
9．设函数在区间[﹣2022，2022]上的最大值和最小值分别为M、m，则M+m＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】将原函数变形，易知函数y＝f（x）﹣1为奇函数，利用奇函数的性质容易得解．
【解答】解：令g（x）1，令h（x），p（x）＝g（x）﹣1，
则f（x）＝g（x）+h（x），f（x）﹣1＝p（x）+h（x），
由于p（﹣x）＝﹣p（x），h（﹣x）＝﹣h（x），故函数y＝f（x）﹣1为R上的奇函数，
∴f（x）﹣1在区间[﹣2022，2022]上的最大值与最小值之和为0，即M﹣1+m﹣1＝0，
∴M+m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查奇函数的性质，解决问题的关键是将原函数变形，再利用奇函数在对称区间上的最大值与最小值之和为零求解，考查化简变形及运算求解能力，属于中档题．
10．设函数，若对任意的x∈（﹣1，+∞），不等式f（x﹣lna）+f（2x+4）＜0恒成立，则a的取值范围是　（0，e]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论
【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）log21＝0，
故f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，且定义域为R．
又因为函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，
所以f（x）＝﹣log2（）在[0，+∞）上为减函数，从而f（x）在R上为减函数．
于是f（x﹣lna）+f（2x+4）＜0等价于f（x﹣lna）＜﹣f（2x+4）＝f（﹣2x﹣4），
所以x﹣lna＞﹣2x﹣4，即lna＜3x+4．
因为x∈（﹣1，+∞），所以3x+4＞1，
所以lna≤1，解得0＜a≤e．
故答案为：（0，e]
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
11．已知定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递减，且f（﹣1）＝0，则使不等式成立的x的取值范围是 　{x|x＞0或﹣2≤x＜0}　 ．
【答案】{x|x＞0或﹣2≤x＜0}．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，f（﹣1）＝0，
①当x＞0时，不等式成立等价于不等式f（x+1）≤0，
等价为f（|x+1|）≤f（1），
即|x+1|≥1，
即x+1≥1或x+1≤﹣1，
即x≥0或x≤﹣2，
故不等式的解集为{x|x＞0}，
②当x＜0时，不等式成立等价于不等式f（x+1）≥0，
等价为f（|x+1|）≥f（1），
即|x+1|≤1，
即﹣1≤x+1≤1，
即﹣2≤x≤0
故不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0}，
故答案为：{x|x＞0或﹣2≤x＜0}．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）]，则f（log2sin）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，分析可得f（x）为常数，设f（x）t，变形可得f（x）t，分析可得f（t）t，解可得t的值，即可得f（x）的解析式，将x＝log2sin代入可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有f[f（x）]，
则f（x）为常数，设f（x）t，则f（x）t，
又由f[f（x）]，即f（t）t，
解可得t＝1，
则f（x）1，
∵sin，则f（log2）＝f（﹣1）1；
故答案为：．
【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，还考查了三角函数求值，诱导公式，对数的运算，换元法的思想，关键是求出函数的解析式，属于中档题．
三、多选题
（多选）13．已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论，其中所有正确命题的编号是（　　）
A．x1+x2＝﹣1
B．x3x4＝1
C．
D．0＜x1x2x3x4＜1
【答案】BCD
【分析】利用函数f（x）的图象和性质，逐个结论验证，选出正确选项．
【解答】解：函数f（x）的图象如右图所示，
则x1+x2＝﹣2，故A错误；
由f（x3）＝f（x4）得|log2x3|＝|log2x4|，∴﹣log2x3＝log2x4，
则log2（x3x4）＝0，∴x3x4＝1，故B正确；
∵x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4＝x32，由log2x＝﹣1得x，
则x3＜1，∴x1+x2+x3+x4＝x32∈（0，），故C正确；
又x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）2x1，∵x1∈（﹣2，﹣1），
∴x1x2x3x42x1∈（0，1），故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的图象与性质，属于中档题．
四、解答题
14．已知函数f（x）．
（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）有最大值16，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据复合函数的单调性即可求出单调区间，
（2）根据复合函数单调性可得t＝ax2﹣4x+3有最大值为4，即可求出a的值
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x），
设t＝﹣x2﹣4x+3，开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴t＝﹣x2﹣4x+3在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在[2，+∞）上单调递减，
∵y＝2t为增函数，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在[2，+∞）上单调递减，
（2）设t＝ax2﹣4x+3，
当a＝0时，t＝﹣4x+3，函数单调递减，
∴f（x）无最值，
当a≠0时，t＝ax2﹣4x+3的对称轴为x，
∵y＝2t为增函数，f（x）有最大值16，
∴t＝ax2﹣4x+3有最大值为4，
∴a＜0，且t（）＝34，
解得a＝﹣4．
【点评】本题考查复合函数的单调性，关键在于掌握复合函数的单调性（同增异减），同时把握好对数函数的定义域，属于中档题．
15．已知函数f（x），m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，总有f（2x）≤2x，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）由题意可得，mx2﹣2mx+1≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题对m进行分类讨论求解，
（II）令t＝2x，则由x∈[0，1]可得t∈[1，2]，由已知可得，对于任意的t∈[1，2]，都有f（t）≤t恒成立，分类讨论进行求解．
【解答】解：（I）由题意可得，mx2﹣2mx+1≥0恒成立，
当m＝0时，1≥0恒成立，满足题意，
当m≠0时，可得，解得0＜m≤1，
综上可得，m的范围[0，1]．
（II）令t＝2x，则由x∈[0，1]可得t∈[1，2]，
对于任意x∈[0，1]，总有f（2x）≤2x，
即对于任意的t∈[1，2]，都有0≤f（t）≤t恒成立，
所以有0≤mt2﹣2mt+1≤t2，
由mt2﹣2mt+1≤t2恒成立，即（m﹣1）t2﹣2mt+1≤0在[1，2]上恒成立，
令g（t）＝（m﹣1）t2﹣2mt+1，t∈[1，2]，
由于Δ＝4m2﹣4（m﹣1）＝4（m2﹣m+1）＞0恒成立且g（2）＝﹣3＜0，
故g（1）＝m﹣1﹣2m+1＝﹣m≤0，
所以m≥0
综上，m的范围为{m|m≥0}．
【点评】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于中档试题．
16．设函数f（x）＝loga[（x+1）（ax+1）]，a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时f（x）＞0在[，]上恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）在（，）上单调递增，求a的取值范围．
【答案】（1）当a＞1时，定义域为；当0＜a＜1时，定义域为．
（2）（2，+∞）．
（3）（1，+∞）．
【分析】（1）化简不等式，通过当a＞1时，当0＜a＜1时，转化求解不等式的解集即可．
（2）当a＞1时，求出函数的定义域，令g（x）＝（x+1）（ax+1），利用函数的单调性，化简不等式，求解即可．
（3）利用函数的单调性的定义，判断g（x）在上单调递增，通过当0＜a＜1时，当a＞1，且判断求解即可．
【解答】解：（1）由题知且a≠0．
当a＞1时，，所以不等式解集为；
当0＜a＜1时，一1，
所以不等式解集为，
综上所述，当a＞1时，定义域为；当0＜a＜1时，定义域为．
（2）当a＞1时，定义域为，
令g（x）＝（x+1）（ax+1），
则g（x）在单调递减，所以，
又，
因为f（x）在上恒正，
所以，
即，解得a＞2，
即a的取值范围为（2，+∞）．
（3）任取x1，x2，满足，
二次函数g（x）＝（x+1）（ax+1）的对称轴，
所以g（x）在上单调递增，即g（x1）＜g（x2），
当0＜a＜1时，logag（x1）＞logag（x2），即f（x1）＞f（x2），不满足题意舍去，
当a＞1，且g（x1）＞0时，logag（x1）＜logag（x2），即f（x1）＜f（x2），
所以当a＞1，f（x）在上单调递增，
即a的取值范围为（1，+∞）．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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