(共78张PPT)
6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
探究点一 空间向量的有关概念及应用
探究点二 空间向量的线性运算
探究点三 空间向量的共线问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位
向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念.
2.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进
行空间向量的加减运算.
3.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算.
知识点一 空间向量及有关概念
1.在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有______又有
______的量，叫作空间向量,空间向量的大小叫作空间向量的______
或____.
符号表示：空间向量用字母,, ,…表示,也用有向线段表示,有向线
段的______表示空间向量的模,向量的起点是,终点是,则向量 也
可以记作 ,其模记为____或_____.
大小
方向
长度
模
长度
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫作________,记为
单位向量 _______的向量叫作单位向量
相反向量 与向量长度______，方向______的向量,叫作 的
相反向量,记为____
相等向量 方向______且长度______的向量看作相等向量
零向量
模为1
相等
相反
相同
相等
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）零向量是没有方向的.( )
×
[解析] 零向量也是有方向的,只是方向是任意的.
（2）两个有共同起点且相等的空间向量,其终点必相同.( )
√
[解析] 如果两个相等向量的起点相同,那么它们的终点必相同.
（3）空间中，方向相反的两个向量是相反向量.( )
×
[解析] 相反向量不仅要求方向相反,还要求模必须相等.
（4）空间中，所有单位向量都是相等的.( )
×
[解析] 空间中，所有单位向量的长度都相等,但其方向不一定相同.
知识点二 空间向量的线性运算
1.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如图.
；
；
.
2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
（1） ______;
（2） ___________;
（3）________ .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2）有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.( )
√
（3）若,则 .( )
√
2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同 平
面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗
解：因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向
量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此
可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.
平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.
知识点三 共线向量及共线向量定理
1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________________,
那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量与 平行，记作______.
规定:零向量与任意向量______,即对于任意向量,都有___ .
互相平行或重合
共线
//
2.共线向量定理
对空间任意两个向量,,与共线的充要条件是存在实数 ,
使________
探究点一 空间向量的有关概念及应用
例1 （多选题）给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量,满足,则
C.在正方体中,必有
D.若空间向量,,满足,,则
√
√
[解析] 对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量
必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同,故A错误;
对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且
方向还要相同,但B中向量与 的方向不一定相同,故B错误;
对于C,根据正方体的性质,在正方体中,向量与向
量 的方向相同,模也相等,则 ,故C正确;
对于D,由相等向量的定义可知,故D正确.故选 .
变式 （多选题）［2025·湖北襄阳五中高二开学考］如图所示，在
长方体中，，， ，则在以
八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中( )
A.单位向量有8个
B.与 相等的向量有3个
C. 的相反向量有4个
D.模为 的向量有4个
√
√
√
[解析] 由题可知单位向量有， ，
，，，，， ，共8个，
故A正确；
与相等的向量有， ，，共3个，故B正确；
向量 的相反向量有，，，，共4个，故C正确；
模为的向量为 ，，，，，，， ，
共8个，故D错误.故选 .
［素养小结］
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
（1）关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.
（2）注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量
的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不
一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向
相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量.
探究点二 空间向量的线性运算
例2（1）（多选题）如图所示,在正方体
中,下列各式的运算结果为
的有( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A, ,
故A符合题意;
对于B, ,
故B符合题意;
对于C,
, 故C不符合题意;
对于D, ,故
D符合题意.故选 .
（2）［2025·江苏无锡高二期中］如图，是四面体 的棱
的中点，点在线段上，点在线段上，且 ,
，用向量,,表示, .
解：因为是 的中点，所以
.
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为，所以
，所以
.
变式（1）如图,在三棱柱中,是
的中点,为的重心,则 ( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 设为的中点,连接,,,则在
上,
由题意可得
.故选A.
（2）若,,, 为空间中不同的四个点,则下列各式中运算结果不一
定为零向量的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 对于A,
, 故A中结果不一定为零向量;
对于B, ,故B中结果为零向量;
对于C, ,故C中结果为
零向量;
对于D,
,故D中结果为零向量.故选A.
［素养小结］
利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意
和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.
探究点三 空间向量的共线问题
例3（1）已知空向向量，不共线，， ，
，则下列三点一定共线的是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
√
[解析] 因为空间向量，不共线，， ，
，所以 ，所以
，即，，三点共线，选项A正确；
不存在实数 ，使得，即与不共线，即，， 三
点不共线，选项B错误；
， ，
则与不共线，即，， 三点不共线，选项C错误；
因为与不共线，所以，， 三点不共线，
选项D错误.故选A.
（2）若空间向量,不共线,则使与 共线
的 的值为____.
[解析] 若与共线,则存在实数 ,使得
,
又空间向量, 不共线,所以所以 .
变式 如图所示，在平行六面体 中，
，.试运用向量方法证明：，， 三点共线.
证明：方法一：如图①，在平行六面体 中，连接
,，.
因为，，所以 ， ，
显然，，所以 ，
又，所以，， 三点共线.
方法二：如图②，在平行六面体中，连接, .
由， ，
易得
，所以.
又，所以，， 三点共线.
［素养小结］
（1）证明空间向量共线的方法:证明空间向量,共线的关键是利用
已知条件找到实数 ,使成立,在做题时要运用空间向
量的运算法则,结合空间图形,化简得出,从而得出.
（2）证明空间三点共线的思路:对于空间三点,,,可通过证明下列
结论来证明,,三点共线.
①存在实数 ,使成立.
②对空间任一点,有.
1.空间向量的概念
（1）两向量的关系:空间向量是具有大小和方向的量,两个向量
之间只有等与不等之分,但不能比较大小,向量的模能比较大小.
（2）有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段
不是向量,它只是向量的一种表示方法.
（3）相等向量:方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
（4）向量的平移:任意两个空间向量都可以平移到同一个平面
内,成为同一个平面内的两个向量.
（5）方向向量:直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的
非零向量.一条直线的方向向量有无数个,它们的方向相同或相反.
2.共线向量
（1）类比理解:空间共线向量与平面共线向量的定义从本质上
是一样的,平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立.
（2）共线向量与直线平行的区别:直线平行一般不包括两直线
重合的情况,若,是两个共线向量,即,则说明表示向量, 的有
向线段所在的直线既可以是同一条直线,也可以是两条平行直线.
1.空间向量的运算类似于平面向量的运算.向量加法运算的技巧是“首
尾相接”,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;向量减法
运算的技巧是“起点相同”,结果为减向量的终点指向被减向量的终点.
例1 ［2025·江西新余一中月考］在四面体中，为 的重
心，，，分别为棱，和 的中点，化简下列各表达式.
（1） ；
解：根据空间向量的运算法则，可得
.
例1 ［2025·江西新余一中月考］在四面体中，为 的重
心，，，分别为棱，和 的中点，化简下列各表达式.
（2） .
解：根据空间向量的运算法则，可得
.
例2 ［2025·江苏无锡一中月考］如图，在四面体
中，,分别为,的中点，为 的
重心，则 ( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 因为,分别为, 的中点，所以
.
的重心，所以，所以 .故选B.
2.在利用空间向量解决三点共线问题时,通常先通过线性运算表示两
个向量,然后通过判断两个向量是否共线得到结论.
例3（1）（多选题）如图，在平行六面体
中，， ，
.， ，则( )
A. B.
C.，，三点共线 D.，，， 四点共面
√
√
[解析] 由题知,为的中点，为 的中点.
对于A，由题得
，故
，故A错误；
对于B，由题得 ，故B正确；
对于C，由于，，
故不存在 ，使，故，，不共线，故C错误；
对于D，连接 ， 由于点和点分别为
和 的中点，所以，又，
所以 ，故，，，四点共面，
故D正确.故选 .
（2）如图,在长方体中,为
的中点,在上,且,为 的中点.
求证:,, 三点共线.
证明：连接,,,, .
设 ,, ,
则 ,
,所以 ,
故,, 三点共线.
练习册
1.［2025·江苏无锡一中质检］下列说法正确的是( )
A.向量与 的长度相等
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一
个圆
C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
√
[解析] 对于A，因为空间向量与 互为相反向量，所以空间向量
与 的长度相等，所以A正确；
对于B，将空间中所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构
成一个球面，所以B错误；
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不
是有向线段，所以C错误；
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，
如向量与 的模相等，所以D错误.故选A.
2.［2025·江苏泰州文正高中高二月考］在长方体
中， 等于( )
A. B. C. D.
[解析]
.故
选A.
√
3.［2025·江苏盐城五校联盟高二联考］在三棱柱 中，
为棱上的点并且.设，， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，在三棱柱 中，连接
，则 .故选B.
√
4.［2025·江苏南通海门中学期中］若空间四点，，， 满足
，则( )
A. 直线
B. 直线
C.点可能在直线上，也可能不在直线 上
D. 直线，且
√
[解析] 因为，所以，，，
四点共面，
因为，所以,, 三点共线，
根据平行四边形法则可知，是线段上靠近点
的三等分点（如图所示）.故选A.
5.（多选题）在正方体 中，下列各式中运算结果为
的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 在正方体中， ，
故A不正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确.故选 .
√
√
6.（多选题）［2025·陕西安康高二期中］如图，在四面体 中，
点，分别为棱， 的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 因为，分别为， 的中点，所以由
中位线性质可知 ，故A正确；
假设，则 ，
由题图可知, 不共线，矛盾，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选 .
7.如图所示，在三棱柱中， 与
是______向量，与 是______向量.
（用“相等”或“相反”填空）
相等
相反
[解析] 在三棱柱中，四边形 是平行四边形，则
，即与是相等向量；
四边形 是平行四边形，，即与 互为
相反向量.
8.［2025·江苏无锡锡山高中高二期中］已知空间不共线的向量 ，
，，，.若向量与共线，则
___， ____.
[解析] 因为与共线，所以存在实数 ，使 ，即
，
因为，， 不共线，所以解得
9.（13分）［2025·福建三明一中高二月考］如图，
在四面体中，，，分别是，，
的中点.化简下列各式：
（1） ；
解：因为是 的中点，
所以 .
9.（13分）［2025·福建三明一中高二月考］如图，
在四面体中，，，分别是，，
的中点.化简下列各式：
（2） ；
解：因为是 的中点，
所以 .
9.（13分）［2025·福建三明一中高二月考］如图，
在四面体中，，，分别是，，
的中点.化简下列各式：
（3） .
解：因为点为的中点，所以 ，
故 .
10.（13分）如图,在正方体
中,在上,且,在体对角线
上,且.设,, .
（1）用,,表示 ;
解： .
10.（13分）如图,在正方体 中,
在上,且,在体对角线 上,
且.设,, .
（2）求证:,, 三点共线.
证明:连接, ,
又由（1）知,,
又 与有公共点,,, 三点共线.
,,, ,
,
11.［2025·江苏盐城中学质检］已知空间不共线的向量，， ，
， ，
，则一定共线的三个点是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
√
[解析] 若，则存在唯一实数 使得 ，即
，所以
无解，所以,不共线，则,,三点不共线；
若 ，则存在唯一实数 使得 ，即
，所以 无解，所
以,不共线，则,, 三点不共线；
，若 ，则存在唯一实数
使得，即 ，所
以无解，所以,不共线，则,, 三点不共线;
，所以，
又点 为两向量的公共端点，所以,, 三点共线.故选D.
12.［2025·安徽六安二中高二期中］如图，在平行
六面体中， ，
，，点在 上，且
，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为点在上，且 ，
所以
，所以 .故选A.
13.（多选题）［2025·江苏启东期末］已知三棱柱，
为空间内一点，若，其中 ，
，则( )
A.若，则点在棱 上
B.若 ，则点在线段 上
C.若，则为棱 的中点
D.若，则点在线段 上
√
√
√
[解析] 作出三棱柱 ，如图.对于A，
当时， ，则
，所以点 在棱
上，故A正确；
对于B，当 时，,，所以点在
线段 上，故B正确；
对于C，当时，由B知，所以为线段 的中点，
故C错误；
对于D，当时， ，所以，
则 ，即，，所以点在
线段上，故D正确.故选 .
14.［2025·江苏如皋中学期中］光岳楼，又称
“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，
始建于公元1374年.在《中国名楼》站台票纪
念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬
莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖
石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长的比
值约为，则 ____.
[解析] 延长,,,相交于一点 ，如图
所示，
则,, ，且 ， .
15.在四面体中，点满足，为 的中点，且
，则实数 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为为的中点，所以 ，
又，所以.
由 ，得，即 ，
根据①②的对应关系，可得 .故选D.
16.在四面体中，点为的重心，，，分别为 ，
，的中点，且，则实数 ___.
3
[解析] 如图，连接，则 ，故
，且 ，
而，故 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.大小 方向 长度 模 长度
2.零向量 模为1 相等 相反 相同 相等
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知识点二 2.（1） （2） （3）
【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）√ 2.略
知识点三 1.互相平行或重合 共线 // 2.
课中探究 探究点一 例1 CD 变式 ABC
探究点二 例2 （1）ABD （2），
变式 （1）A （2）A
探究点三 例3 （1）A （2） 变式 证明略
练习册
基础巩固
1.A 2.A 3.B 4.A 5.BD 6.ACD 7.相等 相反 8.
9.（1）（2）（3）
10.（1） （2）证明略
综合提升
11.D 12.A 13.ABD 14.
思维探索
15.D 16.3第6章 空间向量与立体几何
6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
【课前预习】
知识点一
1.大小 方向 长度 模 长度 |a| ||
2.零向量 模为1 相等 相反 -a 相同 相等
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)零向量也是有方向的,只是方向是任意的.
(2)如果两个相等向量的起点相同,那么它们的终点必相同.
(3)相反向量不仅要求方向相反,还要求模必须相等.
(4)空间中,所有单位向量的长度都相等,但其方向不一定相同.
知识点二
2.(1)b+a (2)a+(b+c) (3)λa+λb
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.
知识点三
1.互相平行或重合 a∥b 共线 ∥ 2.b=λa
【课中探究】
探究点一
例1 CD [解析] 对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同,故A错误;对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但B中向量a与b的方向不一定相同,故B错误;对于C,根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量的方向相同,模也相等,则=,故C正确;对于D,由相等向量的定义可知m=n=p,故D正确.故选CD.
变式 ABC [解析] 由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量为,,,,,,,,共8个,故D错误.故选ABC.
探究点二
例2 (1) ABD [解析] 对于A,(-)+=+=,故A符合题意;对于B,(+)+=+=,故B符合题意;对于C,++=(+)+=(+)+=+=,故C不符合题意;对于D,(+)+=+=,故D符合题意.故选ABD.
(2)解:因为M是BC的中点,所以=(+)=+.因为MN=ON,所以==+,所以=-=-++,因为AP=AN,所以===-++,所以=+=+=++.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)设E为BC的中点,连接AE,EF,BC1,则G在AE上,由题意可得=+=+=×(+)+(+)=++(-+)=-++=-++.故选A.
(2)对于A,+2+2+=(+)+(+)+(+)=+,故A中结果不一定为零向量;对于B,2+2+3+3+=2(+)+3(+)+=3+3=0,故B中结果为零向量;对于C,++=++=+=0,故C中结果为零向量;对于D,-+-=(-)+(-)=+=0,故D中结果为零向量.故选A.
探究点三
例3 (1)A (2)- [解析] (1)因为空间向量a,b不共线,=2a-b,=3a-b,=-a+b,所以=-=4a-2b=2,所以∥,即A,B,C三点共线,选项A正确;不存在实数λ,使得=λ,即与不共线,即A,B,D三点不共线,选项B错误;=+=2a-b+4a-2b=6a-3b,=3a-b,则与不共线,即A,C,D三点不共线,选项C错误;因为=4a-2b与=3a-b不共线,所以B,C,D三点不共线,选项D错误.故选A.
(2)若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2],又空间向量e1,e2不共线,所以所以k=-.
变式 证明:方法一:如图①,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF,FB,A1B.因为=,=,所以=-=-=(++)-=+-,=-=+-=+-(++)=+-,
显然,=,所以∥,
又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.
方法二:如图②,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF,FB.由=,=,易得=-=(-)=(-)=(+)=,所以∥.又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.第6章 空间向量与立体几何
6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
1.A [解析] 对于A,因为空间向量与互为相反向量,所以空间向量与的长度相等,所以A正确;对于B,将空间中所有的单位向量平移到一个起点,则它们的终点构成一个球面,所以B错误;对于C,空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但空间向量不是有向线段,所以C错误;对于D,两个空间向量不相等,它们的模可能相等,也可能不相等,如向量与的模相等,所以D错误.故选A.
2.A [解析] ++-=++=+=.故选A.
3.B [解析] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,连接B1E,则=+=++=++=++(+)=++=a+b+c.故选B.
4.A [解析] 因为=+,所以O,A,B,P四点共面,因为+=1,所以A,P,B三点共线,根据平行四边形法则可知,P是线段AB上靠近点A的三等分点(如图所示).故选A.
5.BD [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,++=+,故A不正确;++=++=,故B正确;++=++=+,故C不正确;++=++=,故D正确.故选BD.
6.ACD [解析] 因为E,F分别为BC,CD的中点,所以由中位线性质可知=,故A正确;假设+=,则=-=,由题图可知,不共线,矛盾,故B错误;++=+=,故C正确;-(+)=-×2=-=,故D正确.故选ACD.
7.相等 相反 [解析] 在三棱柱ABC-A'B'C'中,四边形ACC'A'是平行四边形,则=,即与是相等向量;四边形ABB'A'是平行四边形,==-,即与互为相反向量.
8.2 -2 [解析] 因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λ(xa+yb+2c)=λxa+λyb+2λc,因为a,b,c不共线,所以解得
9.解:(1)因为G是CD的中点,
所以+(+)=+=.
(2)因为M是BC的中点,
所以-(+)=-=.
(3)因为点F为BD的中点,所以(+)=,
故++=++=+=.
10.解:(1)=++=--+=a-b-c.
(2)证明:连接AC.∵=2,=,
∴=,=,∴==b,=(-)=(+-)=a+b-c,∴=-=a+b-c-b=a-b-c=,
又由(1)知=a-b-c,∴=,又与有公共点E,∴E,F,B三点共线.
11.D [解析] 若∥,则存在唯一实数λ使得=λ,即e1-2e2+e3=λ(-5e1-6e2+4e3),所以
无解,所以,不共线,则O,P,Q三点不共线;若∥,则存在唯一实数λ使得=λ,即7e1+2e2-2e3=λ(-5e1-6e2+4e3),所以无解,所以,不共线,则P,Q,R三点不共线;=+=-4e1-8e2+5e3,若∥,则存在唯一实数λ使得=λ,即-4e1-8e2+5e3=λ(7e1+2e2-2e3),所以无解,所以,不共线,则O,Q,R三点不共线;=+=2e1-4e2+2e3=2,所以∥,又点P为两向量的公共端点,所以O,P,R三点共线.故选D.
12.A [解析] 因为点P在A1C上,且A1P∶PC=3∶4,所以==(-)=(+)-=-a+b+c,所以=+=a+b+c.故选A.
13.ABD [解析] 作出三棱柱ABC-A1B1C1,如图.对于A,当λ=1时,=+μ,则=-=μ=μ,所以点P在棱B1C1上,故A正确;对于B,当λ=μ时,=λ(+)=λ,λ∈(0,1],所以点P在线段BC1上,故B正确;对于C,当λ=μ=时,由B知=,所以P为线段BC1的中点,故C错误;对于D,当λ+μ=1时,μ=1-λ,所以=λ+(1-λ),则-=λ-λ,即=λ,λ∈(0,1],所以点P在线段B1C上,故D正确.故选ABD.
14. [解析] 延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,如图所示,则=,=,=,且=,∴++=++=++=+=+=.
15.D [解析] 因为F为BE的中点,所以=+,又=++,所以=+①.由=λ,得-=λ(-),即=λ+(1-λ)②,根据①②的对应关系,可得λ=.故选D.
16.3 [解析] 如图,连接AF,则=2,故=+=+=+(+)=+(-+-)=(++),且++=k,而++=(+)+(+)+(+)=++=3,故k=3.第6章 空间向量与立体几何
6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
【学习目标】
1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量的概念.
2.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算.
3.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算.
◆ 知识点一 空间向量及有关概念
1.在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量,叫作空间向量,空间向量的大小叫作空间向量的 或 .
符号表示:空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的 表示空间向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为 或 .
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫作 ,记为0
单位向量 的向量叫作单位向量
相反向量 与向量a长度 ,方向 的向量,叫作a的相反向量,记为
相等向量 方向 且长度 的向量看作相等向量
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)零向量是没有方向的. ( )
(2)两个有共同起点且相等的空间向量,其终点必相同. ( )
(3)空间中,方向相反的两个向量是相反向量.( )
(4)空间中,所有单位向量都是相等的. ( )
◆ 知识点二 空间向量的线性运算
1.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如图.
=+=a+b;
=-=a-b;
=λa(λ∈R).
2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律:
(1)a+b= ;
(2)(a+b)+c= ;
(3)λ(a+b)= (λ∈R).
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)-+=++. ( )
(2)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. ( )
(3)若λ∈R,则λ(a+b)=λa+λb. ( )
2.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同 平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗
◆ 知识点三 共线向量及共线向量定理
1.定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量a与b平行,记作 .
规定:零向量与任意向量 ,即对于任意向量a,都有0 a.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使 .
◆ 探究点一 空间向量的有关概念及应用
例1 (多选题)给出下列四个说法,其中正确的是 ( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=
D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
变式 (多选题)[2025·湖北襄阳五中高二开学考] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 ( )
A.单位向量有8个
B.与相等的向量有3个
C.的相反向量有4个
D.模为的向量有4个
[素养小结]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.
(2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量.
◆ 探究点二 空间向量的线性运算
例2 (1)(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为的有 ( )
A.(-)+
B.(+)+
C.++
D.(+)+
(2)[2025·江苏无锡高二期中] 如图,M是四面体O-ABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,用向量,,表示,.
变式 (1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,F是CC1的中点,G为△ABC的重心,则= ( )
A.-++
B.++
C.-+-
D.-+
(2)若A,B,C,D为空间中不同的四个点,则下列各式中运算结果不一定为零向量的是 ( )
A.+2+2+
B.2+2+3+3+
C.++
D.-+-
[素养小结]
利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.
◆ 探究点三 空间向量的共线问题
例3 (1)已知空向向量a,b不共线,=2a-b,=3a-b,=-a+b,则下列三点一定共线的是 ( )
A.A,B,C
B.A,B,D
C.A,C,D
D.B,C,D
(2)若空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为 .
变式 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,=.试运用向量方法证明:E,F,B三点共线.
[素养小结]
(1)证明空间向量共线的方法:证明空间向量a,b共线的关键是利用已知条件找到实数λ,使a=λb(b≠0)成立,在做题时要运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb(b≠0),从而得出a∥b.
(2)证明空间三点共线的思路:对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明P,A,B三点共线.
①存在实数λ,使=λ成立.
②对空间任一点O,有=x+y(x+y=1).第6章 空间向量与立体几何
6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
1.[2025·江苏无锡一中质检] 下列说法正确的是 ( )
A.向量与的长度相等
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆
C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
2.[2025·江苏泰州文正高中高二月考] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,++-等于 ( )
A. B.
C. D.
3.[2025·江苏盐城五校联盟高二联考] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,E为棱A1C1上的点并且=2.设=a,=b,=c,则= ( )
A.a+b+c
B.a+b+c
C.a+b+c
D.a+b+c
4.[2025·江苏南通海门中学期中] 若空间四点O,A,B,P满足=+,则 ( )
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.P∈直线AB,且AP=PB
5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的是 ( )
A.++
B.++
C.++
D.++
6.(多选题)[2025·陕西安康高二期中] 如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱BC,CD的中点,则 ( )
A.=
B.+=
C.++=
D.-(+)=
7.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,与是 向量,与是 向量.(用“相等”或“相反”填空)
8.[2025·江苏无锡锡山高中高二期中] 已知空间不共线的向量a,b,c,m=a-b+c,n=xa+yb+2c.若向量m与n共线,则x= ,y= .
9.(13分)[2025·福建三明一中高二月考] 如图,在四面体ABCD中,F,M,G分别是BD,BC,CD的中点.化简下列各式:
(1)+(+);
(2)-(+);
(3)++.
10.(13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在体对角线A1C上,且=.设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示;
(2)求证:E,F,B三点共线.
11.[2025·江苏盐城中学质检] 已知空间不共线的向量e1,e2,e3,=e1-2e2+e3,=-5e1-6e2+4e3,=7e1+2e2-2e3,则一定共线的三个点是 ( )
A.O,P,Q B.P,Q,R
C.O,Q,R D.O,P,R
12.[2025·安徽六安二中高二期中] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点P在A1C上,且A1P∶PC=3∶4,则= ( )
A.a+b+c B.a-b+c
C.a+b-c D.-a+b-c
13.(多选题)[2025·江苏启东期末] 已知三棱柱ABC-A1B1C1,P为空间内一点,若=λ+μ,其中λ,μ∈(0,1],则 ( )
A.若λ=1,则点P在棱B1C1上
B.若λ=μ,则点P在线段BC1上
C.若λ=μ=,则P为棱CC1的中点
D.若λ+μ=1,则点P在线段B1C上
14.[2025·江苏如皋中学期中] 光岳楼,又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年.在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长的比值约为,则++= .
15.在四面体ABCD中,点E满足=λ,F为BE的中点,且=++,则实数λ= ( )
A. B.
C. D.
16.在四面体ABCD中,点G为△ABD的重心,E,F,H分别为AB,BD,DA的中点,且++=k,则实数k= .
