(共87张PPT)
6.1 空间向量及其运算
6.1.2 空间向量的数量积
探究点一 空间向量的数量积运算
探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题
探究点三 利用投影向量解决空间向量的数量积
探究点四 利用空间向量的数量积求模
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念.
2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算.
3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能
运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
知识点一 空间向量的夹角
1.定义:，是空间两个非零向量，过空间任意一点，作 ，
，叫作向量与向量 的夹角，记作
，如下图.
2.夹角的取值范围：
（1）规定：______________.
（2）如果___________，那么向量与 同向；如果__________，那
么向量与反向；如果__________，那么称与 互相垂直，并记作
.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）向量与的夹角等于向量与 的夹角.( )
×
[解析] 表示向量,的夹角,表示向量, 的夹
角,它们之间的关系为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若向量与的夹角为 ,则直线与的夹角也为 .( )
×
[解析] 若向量与的夹角为 ,则直线与的夹角为 或
.
知识点二 空间向量的数量积
1.定义：设， 是空间两个非零向量，我们把数量______________
叫作向量，的数量积，记作 ，即____________________.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.常用结论（， 为非零向量）
（1） ___.
（2） ____.
（3） _ ____.
0
3.数量积的运算律
（1） ;
（2） ;
（3） .
知识点三 投影向量
1.向量在向量 上的投影向量
（1）定义：对于空间任意两个非零向量,,设向量 ，
（如图），过点作，垂足为.上述由向量 得到
向量的变换称为向量向向量投影，向量称为向量 在向量
上的投影向量.
（2）意义：，即向量,的数量积就是向量在向量
上的投影向量与向量 的数量积.
2.向量在平面 上的投影向量
（1）定义：如图，设向量，过, 分别
作平面 的垂线，垂足分别为， ,得向量
,我们将上述由向量得到向量 的变换
（2）意义：，即空间向量,的数量积就是向量
在平面 上的投影向量与向量 的数量积.
称为向量向平面 投影,向量称为向量在平面 上的投影向量.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于向量,,若,则一定有或 .( )
×
[解析] 非零向量,垂直时也有 .
（2）对于非零向量,由,可得 .( )
×
[解析] 由得 ，即
，得不到 .
（3）若,则 是钝角.( )
×
[解析] 若,则是钝角或 .
（4）已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 上
的投影向量为 .( )
√
[解析] 向量在向量上的投影向量为 .
探究点一 空间向量的数量积运算
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体中, ,
分别是, 的中点,求:
（1） ;
解： ,
.
（2） ;
解： .
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体中, ,
分别是, 的中点,求:
（3） ;
解： ,
.
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体中, ,
分别是, 的中点,求:
（4） .
解： ,
, .
变式（1）（多选题）［2025·河南洛阳高二期中］已知正方体
的棱长为1，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 如图，对于A，由图可知，
，A正
确.
对于C， ，
C错误.
对于D，因为 平面， 平面 ，所以
，即，D错误.故选 .
对于B， ， B正确.
（2）正四面体的棱长为2,点是的重心,则
____.
[解析] 点是的重心, ,
又正四面体的棱长为2,
.
［素养小结］
（1）空间向量数量积运算的两种方法
①已知
,
的模及
与
的夹角,直接代入数量积公式计算.
②如果要求的是关于
与
的多项式形式的数量积,可以先利用数量积
的运算律将多项式展开,再利用
及数量积公式进行计算.
（2）在几何体中求空间向量数量积的步骤
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数
量积.
③代入 求解.
探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题
例2 如图，在直三棱柱中， ，
，求向量与 的夹角.
解：在直三棱柱中， 平面
， 平面， 平面 ，
,， ，
， ，， ，
，
，为的中点， ,
，
，
，
又 ， .
故向量与的夹角为 .
变式（1）已知平行六面体中， ，
，，则， ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为
，所以，所以 ，
.故选B.
√
（2）［2025·成都石室中学高二月考］把正方形沿对角线 折
成大小为的二面角，，分别是，的中点， 是原正方形
的中心，则 的余弦值为____.
[解析] 如图，连接，，因为 ,
,所以 ,
不妨设正方形的边长为2，
则 ,
, ,
,故,所以 ,
.
［素养小结］
（1）求两个空间向量的夹角的两种方法
①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹
角的范围.
②先求
,再利用公式
求
,最后确定
.
（2）用向量法求两直线的夹角
①取向量:在两直线上分别取方向向量, .
②运算:求 .
③结论:设两直线的夹角为 ,则,进而得到 .
探究点三 利用投影向量解决空间向量的数量积
例3 已知正四面体 的棱长为1，如图所示.
（1）确定向量在向量 上的投影向量，并求
；
解：如图①，在正四面体中，取 的中点
，连接，则有，因此向量 即为向
量在向量上的投影向量.
所以 .
例3 已知正四面体 的棱长为1，如图所示.
（2）确定向量在平面上的投影向量，并求 .
解：如图②，在正四面体中，设在底面内的投影为 ，
易知为底面的中心，则 平面,
连接并延长，交于 ，则为的中点，，且
,所以向量 即为向量在平面 上的投影向量.
所以 .
变式 在四棱锥中，四边形为正方形,,且
底面,则向量在平面上的投影向量是____，
____.
[解析] 如图， 底面, 向量 在
平面上的投影向量是.
四边形 为正方形， ,
.
［素养小结］
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探
寻某一向量在平面（或向量）上的投影向量是解题的关键.
探究点四 利用空间向量的数量积求模
例4 ［2025·江苏南通高二期末］已知平行六面体
的所有棱长均为1， ，则线段
的长为( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 由题知平行六面体 的所有棱长均为1，
，
，
因为 ，同理可得
，所以
，则 .故选D.
变式 如图，在四棱锥中，底面 是
边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与 ，
的夹角都是 ，若是的中点，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 是 的中点，
，
，,,， ．故选A.
［素养小结］
利用空间向量的数量积求模的基本方法
（1）将所求向量用已知向量表示，通过向量运算来求所求向量的模.
（2）因为
，所以
，这是利用向量解决长度和距
离问题的基本公式.
1.向量的数量积运算不满足结合律,即 .事实上
表示与平行的向量,而表示与 平行的向量.
2.向量夹角的取值范围为 .当夹角为锐角时,其余弦值为正,当夹角
为钝角时,其余弦值为负.
3.通过学习,我们可以利用向量的数量积解决立体几何中的以下问题:
求两直线所成角的余弦值,求两点之间的距离或线段的长度,证明线面
垂直等.
1.求解空间向量的数量积通常先确定两向量的夹角,再结合数量积公
式求解.若两向量夹角不易确定,可结合空间向量的线性运算转化为已
知夹角的向量间的数量积问题再求解.
例1 （多选题）在三棱锥 中，给定下列四个条件：
；
；
；
.
下列组合条件中，一定能断定三棱锥 是正三棱锥的有
( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
√
√
√
[解析] 由得，即 ，所
以，所以 ，所
以由①②一定能断定三棱锥 是正三棱锥，选项A正确；
由①得 ，
化简即为③，所以①③未必能断定三棱锥 是正三棱锥，选项
B不正确；
由得，即 ，由
向量的投影可知 ，所以由②④一定能断定三棱锥
是正三棱锥，选项C正确；
由 得 ，进而可得到②，由选项C
可知，选项D正确.故选 .
2.求解空间两点间的距离问题,先选择以两点为端点的向量,再将此向
量表示为几个向量和的形式,然后求出这几个已知向量两两之间的夹
角以及它们的模,最后利用公式 求解.
例2 如图所示,已知二面角 的大小为 ,
点 ,,为垂足,点 ,, 为垂
足,且,,,则线段 的长为
( )
A.4 B. C. D.
[解析] ,,,即线段的长为 .故选B.
√
3.证明两条空间直线与垂直，只需证明 .
例3 如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点, 分
别是,的中点.求证： .
证明：设 ，， ，连接
故，即 .
，则 ，
所以 ，
练习册
1.对于空间任意两个非零向量,,“”是“, 为钝角”的
( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 当, 时,,但,不是钝角,即由“ ”不
能推出“,为钝角”,
但当,为钝角时, 恒成立,所以“”是“, 为钝角”
的必要且不充分条件.故选B.
√
2.如图，在长方体中，
是的中点，则向量在平面 上
的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 平面， 平
面，所以向量在平面上的投影向量为 .故选A.
√
3.［2025·江苏南通一中质检］在棱长为1的正四面体 中，
( )
A. B.0 C. D.1
[解析] .故选B.
√
4.［2025·江苏启东一中质检］已知空间向量,, 满足
，,,，若与的夹角为 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，两边平方，得
，
因为,, ，所以，解得
.故选D.
√
5.在三棱锥中,,,, ,
,,则 ( )
A. B.2 C. D.1
[解析] 由已知得 ,所以
,所以,即 .故选C.
√
6.［2025·江苏泰州中学高二期中］如图，在四
棱锥中， 底面 ，四边形
是边长为1的菱形，且 ,
，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，因为 平面， ,
平面，所以, ，所
以 ，故
A错误；
对于B，连接，因为 ,，所以
，所以 为等边三角形，所以，所以
，所以
，故B错误；
对于C， ，
故C正确；
对于D， ，故D错误.故选C.
7.［2025·江苏泰州高二期中］在四面体中， ，
， ，，则 ____.
[解析] 因为 ，所以，又 ，所
以 ，所以
.
又， ，所以
，所以.
又 ，所以 .
8.在四面体中,棱,,两两垂直,且, ,
, 为的重心,则 ___.
[解析] 由题意得 ,且
,故 .
9.（13分）［2025·江苏高邮高二期中］如图，
在四面体中，为棱 上一点，且满足
，为线段的中点，设 ,
, .
（1）试用向量,,表示向量 ；
解：因为，所以 ，
所以
.
9.（13分）［2025·江苏高邮高二期中］如图，
在四面体中，为棱 上一点，且满足
，为线段的中点，设 ,
, .
（2）若, ,
，求 的值.
解：因为，所以 .
10.（13分）如图,正四面体的高 的中点为
,的中点为 .
（1）求证:,, 两两垂直;
证明: 设,,,正四面体 的
棱长为1,
则, .
由题意知 ,则
,
同理可得, ,
所以
,所以,即.
同理可得,,所以,, 两两垂直.
10.（13分）如图,正四面体的高 的中点为
,的中点为 .
（2）求, 的大小.
解： ,
所以 .
又 ,
,
所以,,故, .
11.［2025·江苏南通二中高二调研］在棱长均为1的三棱柱
中，，则异面直线与 所
成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设，， ，
则，， ，
，， ，
， ，
，，
异面直线与所成角的余弦值为 .故选A.
12.（多选题）［2025·江苏南通如皋一中质检］在正方体
中，下列结论中正确的是( )
A.四边形的面积为
B.与的夹角为
C.
D.
[解析] 对于A，如图①，由正方体的性质可知 平
面 ，所以，所以四边形 为矩形，
，A选项正确；
√
√
对于B，如图②，由正方体的性质可知，所以与的
夹角即为与 的夹角，又，
所以 ，所以与 的夹角为 ，
B选项错误；
对于C，设正方体的棱长为 ，则
，
，所以 成立，C选项正确；
对于D，由已知得 ，
，
则
，D选项错误.故选 .
13.如图,两条异面直线,所成的角为 ,在直线
, 上分别取点,和点,,使且 .
若,,,则线段 的长为
_______.
4或2
[解析] 由题意知, ,所以
,
因为异面直线,所成的角为 ,, ,,所以 ,所以或 .
14.［2025·山东烟台莱州一中高二联考］如图，将边长为2的正方形
沿对角线折叠，使，得到三棱锥 ，则
三棱锥 的体积为_ ____.
[解析] 如图，取的中点，连接, ，则
,，
因为且 , 平面，
所以 平面 .
设,,，且, ，由正方形的边长为2，
可得且, ，
又, ，且 ，
所以 ，解得，
所以 ，所以
，
所以三棱锥的体积
.
15.［2025·江苏徐州期末］如图，在三棱锥
中，， 平面 ，
于点，是的中点， ，则
的最小值为____.
[解析] 连接，因为 平面， 平面
，所以，
又 ，，, 平面，
所以 平面，
又 平面，所以.
因为是的中点，所以 ，
又，所以
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为 .
16.（15分）［2024·江苏苏州星海实验学校高二月考］如图,在矩形
和矩形中,,,, ,
,,记,, .
（1）当时,求与 夹角的余弦值.
解：连接 ,则
当时, ,所以
,
.
又 ,所以,
又易知 ,所以,,故与 夹角的余弦值为 .
16.（15分）［2024·江苏苏州星海实验学校高
二月考］如图,在矩形和矩形 中,
,,, ,
,,记, ,
.
（2）是否存在 使得 平面 若存在,求出 的值；若不
存在,请说明理由.
解：假设存在 使得 平面 ,
因为, 平面,所以,
,则
, 显然成立,
又 ,
所以,解得,满足题意,故存在,使得
平面 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 2.（1）
（2）
【诊断分析】 （1）× （2）×
知识点二 1.
2.（1）0 （2）
（3）
知识点三 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1 （1）（2）
（3）
（4）
变式 （1）AB （2）
探究点二 例2
变式 （1）B （2）
探究点三 例3 （1）投影向量略，
（2） 投影向量略，
变式
探究点四 例4 D 变式 A
练习册
基础巩固
1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.
8.
9.（1）
（2） 10. （1）证明略 （2）<
综合提升
11.A 12.AC 13.4或2 14.
思维探索
15.
16.（1）> （2）存在,使得 平面，理由略6.1.2 空间向量的数量积
【课前预习】
知识点一
2.(1)0≤≤π (2)=0 =π =
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)<,>表示向量,的夹角,<,>表示向量,的夹角,它们之间的关系为<,>=π-<,>.
(2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD的夹角为α或π-α.
知识点二
1.|a||b|cos a·b=|a||b|cos
2.(1)0 (2)a2 (3)
知识点三
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)非零向量a,b垂直时也有a·b=0.
(2)由a·b=b·c得|a||b|cos=|b||c|cos,即|a|cos=|c|cos,得不到a=c.
(3)若a·b<0,则是钝角或=π.
(4)向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 120°×e2=-e2.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)·=·=||||·cos<,>=cos 60°=.
(2)·=·=||2=.
(3)·=·=||·||cos<,>=cos 120°=-.
(4)·=·(-)=·-·=||||cos<,>-||||cos<,>=
cos 60°-cos 60°=0.
变式 (1)AB (2)- [解析] (1)如图,对于A,由图可知,·=·=×1×=1,A正确.对于B,·=·(+)=·+·=·(+)=+·=1,B正确.对于C,·=·(+)=·+·=-1,C错误.对于D,因为AB⊥平面ADD1A1,A1D 平面ADD1A1,所以AB⊥A1D,即·=0,D错误.故选AB.
(2)∵点D是△PAB的重心,∴=(+),又正四面体P-ABC的棱长为2,∴·=(+)·(-)=(·-·+·-)=×=-.
探究点二
例2 解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∵A1A⊥平面ABC,AB 平面ABC,AC 平面ABC,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC,∴·=0,·=0.∵AC=AB=,BC=2,∴AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,∴·=0,∵BC=2AE=2,∴E为BC的中点,∴AE=1,=(+).∵AC=AA1=,∴A1C=2.∴·=(+)·(-)==1,∴cos<,>==,又0°≤<,>≤180°,∴<,>=60°.故向量与的夹角为60°.
变式 (1)B (2)- [解析](1)因为·-·=(+)·-(+)·=·+·-·-·=·-·=·=4,所以·=-4,所以cos<,>===-.故选B.
(2)如图,连接OB,OD,因为OB⊥CA,OD⊥CA,所以∠BOD=,不妨设正方形的边长为2,则OA=OB=OC=OD=,OE=OF=BC=1,=(+),=(+),故·=(+)·(+)=(·+·+·+·)==-,所以cos∠EOF=cos<,>==-.
探究点三
例3 解:(1)如图①,在正四面体OABC中,取OB的中点P,连接AP,则有AP⊥OB,因此向量即为向量在向量上的投影向量.所以·=·=×1=.
(2)如图②,在正四面体OABC中,设O在底面ABC内的投影为Q,易知Q为底面的中心,则OQ⊥平面ABC,连接AQ并延长,交BC于M,则M为BC的中点,AM⊥BC,且AQ=AM=,所以向量即为向量在平面ABC上的投影向量.所以·=·=×1×cos 30°=.
变式 -1 [解析] 如图,∵SA⊥底面ABCD,∴向量在平面ABCD上的投影向量是.∵四边形ABCD为正方形,AB=SA=1,∴·=·=-·=-(+)·=-=-1.
探究点四
例4 D [解析] 由题知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=
∠A1AD=∠BAD=60°,=++=-++,
因为·=||·||cos∠A1AB=1×1×=,同理可得·=·=,所以=(-++)2=++-2·-2·+2·=1+1+1-2×-2×+2×=2,则||=.故选D.
变式 A [解析] ∵M是PC的中点,∴=(+)=[+(-)]=-++,又AB⊥AD,∠PAB=
∠PAD=60°,AB=AD=1,PA=2,∴==(++)-×||·||·cos 60°+×||·||·
cos 60°=×(1+1+4)-×1×2×+×1×2×=,∴||==.故选A.6.1.2 空间向量的数量积
1.B [解析] 当=π时,a·b<0,但不是钝角,即由“a·b<0”不能推出“为钝角”,但当为钝角时,a·b<0恒成立,所以“a·b<0”是“为钝角”的必要且不充分条件.故选B.
2.A [解析] 因为A1B1⊥平面BCC1,PC1⊥平面BCC1,所以向量在平面BCC1上的投影向量为.故选A.
3.B [解析] ·=·(-)=·-·=cos 60°-cos 60°=0.故选B.
4.D [解析] 由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,因为|a|=2,|b|=3,|c|=4,所以4+2×2×3cos θ+9=16,解得cos θ=.故选D.
5.C [解析] 由已知得=++,所以||2=(++)2=+++2·+2·+2·=22+12+32+2×2×1×+2×2×3×+2×1×3×=3,所以||=,即PC=.故选C.
6.C [解析] 对于A,因为PD⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC,所以(+)·=·+·=0,故A错误;对于B,连接BD,因为∠ADC=120°,AD=DC=1,所以∠ADB=60°,所以△ADB为等边三角形,所以DB=1,所以·=-·=-||·||cos 60°=-,所以 (+)·=·+·=0+·=-,故B错误;对于C,·=(+)·(-)=·-·+·-=-||·||cos 120°-0+0-1=-1=-,故C正确;对于D,·=·(-)=·-·=0-||·||cos 60°=-,故D错误.故选C.
7.30° [解析] 因为∠ABC=90°,所以·=0,又=-,所以·=·(-)=·-·=-,所以·=.又BC=1,BD=2,所以·=||·||cos∠CBD=2cos∠CBD=,所以cos∠CBD=.又0°<∠CBD<180°,所以∠CBD=30°.
8. [解析] 由题意得·=·=·=0,且=,故·(++)=(++)2=(||2+||2+||2)=×(1+4+9)=.
9.解:(1)因为DC=3BD,所以=,
所以=+=+=+(+)=+=+(-)+(-)=++=a+b+c.
(2)因为=-=-b+c,所以·=·(-b+c)=-a·b+a·c-b2+b·c-b·c+c2=-×+×-×16+×-×+×9=-.
10.解:设=a,=b,=c,正四面体VABC的棱长为1,
则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c=.
(1)证明:由题意知=(a+b+c),则=+=+=-a+(a+b+c)=(b+c-5a),
同理可得=(a+c-5b),=(a+b-5c),所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=×=0,所以⊥,即AO⊥BO.同理可得AO⊥CO,BO⊥CO,所以AO,BO,CO两两垂直.
(2)=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),所以||==.
又||==,·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=(-2a·b-2a·c+10a2-2b2-2b·c+10a·b+b·c+c2-5a·c)=,
所以cos<,>==,故<,>=.
11.A [解析] 如图,设=c,=a,=b,则a·b=,b·c=,a·c=,∵=a+c,=+=b-a+c,∴·=(a+c)·(b-a+c)=a·b-a2+a·c+b·c-a·c+c2=a·b-a2+b·c+c2=-1++1=1,||===,||===,∴cos<,>===,∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.故选A.
12.AC [解析] 对于A,如图①,由正方体的性质可知AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥BC1,所以四边形ABC1D1为矩形,=||||,A选项正确;对于B,如图②,由正方体的性质可知=,所以与的夹角即为与的夹角,又||=||=||,所以∠AD1C=60°,所以与的夹角为120°,B选项错误;对于C,设正方体的棱长为a,则(++)2=++=a2+a2+a2=3a2,=a2,所以(++)2=3成立,C选项正确;对于D,由已知得=++=-++,-=-(+)=+-,则·(-)=(-++)·(+-)=-+-=-a2+a2-a2=-a2≠0,D选项错误.故选AC.
13.4或2 [解析] 由题意知,=++,所以=(++)2=+++2·+2·+2·,因为异面直线a,b所成的角为60°,A'E=2,AF=3,EF=,所以23=9++4+0±2×2×3cos 60°+0,所以||=4或||=2.
14. [解析] 如图,取AC的中点O,连接OB,OD,则AC⊥OB,AC⊥OD,因为OB∩OD=O且OB,OD 平面OBD,所以AC⊥平面OBD.设=a,=b,=c,且=θ,由正方形ABCD的边长为2,可得|a|=|b|=|c|=且a⊥b,a⊥c,又=-=c-a,=-=-a-b,且·=,所以·=(c-a)·(-a-b)=2-2cos θ=,解得cos θ=,所以sin θ=,所以S△OBD=OB·ODsin θ=×××=,所以三棱锥的体积V=S△OBD·AC=××2=.
15.- [解析] 连接EC,因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PB 平面PAB,所以BC⊥PB.因为M是AC的中点,所以=(+)=+(+),又AE⊥PB,所以·=·=·+·+·=·=-||||≥-=-,当且仅当||=||=时取等号,所以·的最小值为-.
16.解:(1)连接AM,则=-=-(+)=λ(+)-[+λ(-)]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc.
当λ=时,=-b+c,所以||===,又=+=a+c,所以·=(c-b)·(a+c)=(a·c+c2-b·a-b·c)=×=,又易知||=5,所以cos<,>===,故MN与AE夹角的余弦值为.
(2)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD,因为AB,AD 平面ABCD,所以MN⊥AB,MN⊥AD,则·=[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0,显然成立,又·=[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)b2+λc·b=0,所以9(λ-1)+=0,解得λ=,满足题意,故存在λ=,使得MN⊥平面ABCD.6.1.2 空间向量的数量积
【学习目标】
1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念.
2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算.
3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
◆ 知识点一 空间向量的夹角
1.定义:a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角,记作,如下图.
2.夹角的取值范围:
(1)规定: .
(2)如果 ,那么向量a与b同向;如果 ,那么向量a与b反向;如果 ,那么称a与b互相垂直,并记作a⊥b.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角. ( )
(2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD的夹角也为α. ( )
◆ 知识点二 空间向量的数量积
1.定义:设a,b是空间两个非零向量,我们把数量 叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即 .
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
2.常用结论(a,b为非零向量)
(1)a⊥b a·b= .
(2)|a|2=a·a= .
(3)cos= .
3.数量积的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
◆ 知识点三 投影向量
1.向量a在向量b上的投影向量
(1)定义:对于空间任意两个非零向量a, b,设向量=a,=b(如图),过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影,向量称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)意义:a·b=·b,即向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.
2.向量m在平面α上的投影向量
(1)定义:如图,设向量m=,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量,我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影,向量称为向量m在平面α上的投影向量.
(2)意义:m·n=·n,即空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. ( )
(2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. ( )
(3)若a·b<0,则是钝角. ( )
(4)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为-e2. ( )
◆ 探究点一 空间向量的数量积运算
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
(1)·;(2)·;
(3)·;(4)·.
变式 (1)(多选题)[2025·河南洛阳高二期中] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 ( )
A.·=1 B.·=1
C.·=1 D.·=1
(2)正四面体P-ABC的棱长为2,点D是△PAB的重心,则·= .
[素养小结]
(1)空间向量数量积运算的两种方法
①已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算.
②如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.
(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入a·b=|a||b|cos求解.
◆ 探究点二 利用向量的数量积解决夹角问题
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1=,BC=2AE=2,求向量与的夹角.
变式 (1)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,BD=3,·-·=4,则cos<,>= ( )
A. B.-
C. D.-
(2)[2025·成都石室中学高二月考] 把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角,E,F分别是BC,AD的中点,O是原正方形ABCD的中心,则∠EOF的余弦值为 .
[素养小结]
(1)求两个空间向量的夹角的两种方法
①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围.
②先求a·b,再利用公式cos=求cos,最后确定.
(2)用向量法求两直线的夹角
①取向量:在两直线上分别取方向向量a,b.
②运算:求cos=.
③结论:设两直线的夹角为θ,则cos θ=|cos|,进而得到θ.
◆ 探究点三 利用投影向量解决空间向量的数量积
例3 已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示.
(1)确定向量在向量上的投影向量,并求·;
(2)确定向量在平面ABC上的投影向量,并求·.
变式 在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形, AB=1,且SA⊥底面ABCD,则向量在平面ABCD上的投影向量是 ,·= .
[素养小结]
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时,准确探寻某一向量在平面(或向量)上的投影向量是解题的关键.
◆ 探究点四 利用空间向量的数量积求模
例4 [2025·江苏南通高二期末] 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则线段A1C的长为 ( )
A. B.2
C. D.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都是60°,若M是PC的中点,则||= ( )
A. B. C. D.
[素养小结]
利用空间向量的数量积求模的基本方法
(1)将所求向量用已知向量表示,通过向量运算来求所求向量的模.
(2)因为a2=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度和距离问题的基本公式.6.1.2 空间向量的数量积
1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a·b<0”是“为钝角”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P是C1D1的中点,则向量在平面BCC1上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
3.[2025·江苏南通一中质检] 在棱长为1的正四面体ABCD中,·= ( )
A.-1 B.0 C.- D.1
4.[2025·江苏启东一中质检] 已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,若a与b的夹角为θ,则cos θ= ( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠ABC=,<,>=,PA=2,AB=1,BC=3,则PC= ( )
A. B.2 C. D.1
6.[2025·江苏泰州中学高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD是边长为1的菱形,且∠ADC=120°,PD=AD,则 ( )
A.(+)·=1
B.(+)·=
C.·=-
D.·=
7.[2025·江苏泰州高二期中] 在四面体ABCD中,BC=1,BD=2,∠ABC=90°,·=-,则∠CBD= .
8.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·(++)= .
9.(13分)[2025·江苏高邮高二期中] 如图,在四面体OABC中,D为棱BC上一点,且满足DC=3BD,E为线段AD的中点,设=a,=b,=c.
(1)试用向量a,b,c表示向量;
(2)若OA=OB=4,OC=3,∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°,求·的值.
10.(13分)如图,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求<,>的大小.
11.[2025·江苏南通二中高二调研] 在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC=,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)[2025·江苏南通如皋一中质检] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论中正确的是 ( )
A.四边形ABC1D1的面积为||||
B.与的夹角为60°
C.(++)2=3
D.·(-)=0
13.如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.若A'E=2,AF=3,EF=,则线段AA'的长为 .
14.[2025·山东烟台莱州一中高二联考] 如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使·=,得到三棱锥D-ABC,则三棱锥D-ABC的体积为 .
15.[2025·江苏徐州期末] 如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于点E,M是AC的中点,PB=1,则·的最小值为 .
16.(15分)[2024·江苏苏州星海实验学校高二月考] 如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF=,=λ,=λ,0<λ<1,记=a,=b,=c.
(1)当λ=时,求MN与AE夹角的余弦值.
(2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.