(共69张PPT)
6.1 空间向量及其运算
6.1.3 共面向量定理
探究点一 四点共面的判断与证明
探究点二 向量共面的判断与证明
探究点三 共面向量定理的应用
探究点四 利用共面向量定理求参数
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合立体几何与空间向量的特征,了解共面向量的概念.
2.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面.
知识点一 向量共面
一般地，能平移到____________的向量叫作共面向量.
同一平面内
知识点二 共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量， 共面的充要条件
是存在有序实数组，使得 .
注意：（1）空间一点位于平面 内的充要条件：存在有序实数
组，使或对空间任意一点 ，有
.
（2）共面向量定理的用途：
①证明四点共面;
②证明线面平行（进而证明面面平行）.
探究点一 四点共面的判断与证明
例1 ［2025·江苏启东汇龙中学月考］如图所示，
在长方体中，为 的中点，
，且，求证：，，，
四点共面.
证明：设 ，，，，连接，
，，则，
为 的中点，，
又三个向量有相同的起点，，，， 四点共面.
，，，，为共面向量，
变式 ［2024·江苏徐州高二期末］对空间中任意一点 和不共线的三
点,,，下列式子中能得到在平面 内的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，，三点不共线，所以, 不共线，
若,,,四点共面，则存在唯一的一组实数, ，使得 ，
即 ，变形得
.
对于A， ，整理得
，则，所以 在平面 内，
故A正确；
对于B， ，可得
，则 ，故不在平面 内，
故B错误；
对于C， ，可得
，则，故 不在平面 内，
故C错误；
对于D， ，可得
，则 ，故不在平面 内，
故D错误.故选A.
［素养小结］
（1）已知，，不共面，若，且
，则，，，四点共面.
（2）证明，，，四点共面，可以通过证明存在有序实数组
，使（，不共线）来证明.
探究点二 向量共面的判断与证明
例2 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，点 满足
.
（1）判断，， 三个向量是否共面；
解：由题知 ，则
，即
，所以，， 共面.
例2 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，点 满足
.
（2）判断点是否在平面 内.
解：由（1）知，，共面且三个向量有公共点 ，
所以，，，四点共面，即点在平面 内.
变式（1）［2025·江苏启东一中高二期末］若,, 不共面，则
( )
A.,,不共面 B.,, 不共面
C.,,不共面 D.,, 不共面
[解析] 对于A，因为不存在实数,使得 成
立，所以,, 不共面，A正确；
对于B，因为，故,, 共面，B错误；
对于C，因为，所以,, 共面，
C错误；
对于D，因为，所以,, 共面，D错误.
故选A.
√
（2）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，
分别为，的中点.求证：向量，， 共面.
证明:如图，连接,因为底面 是平行四边
形,且是的中点,所以也是 的中点.
在中，因为是的中点,
所以 ， .
又因为 ，所以 ，
所以向量，， 共面.
［素养小结］
（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一
平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面.
探究点三 共面向量定理的应用
例3 ［2025·江苏南京高二期中］如图，在直四
棱柱中，底面 为等腰梯
形，，，，，， 分
别是棱，， 的中点.
证明：直线平面 .
证明：由题意知，是 的中点，
， 四边形 是平行四边
形，.
，分别是， 的中点，
.
又与 不共线， 根据向量共面的充要条件可知，,共面.
又 不在平面内，平面 .
变式 ［2025·江苏扬州新华中学高二月考］已知向量,, 是空间中
不共面的三个向量，, ,
.
（1）若,，求, 的值；
解：由题可得
，
，
因为，所以 ，
又，，不共面，所以解得所以, 的值分
别为2, .
变式 ［2025·江苏扬州新华中学高二月考］已知向量,, 是空间中
不共面的三个向量，, ,
.
（2）若,,,四点共面，求 的值.
解：因为,,,四点共面，所以存在 , ，使得
，即，
又，， 不共面，
所以 所以
，
即的值为 .
［素养小结］
通过证明三个向量共面，可以证明线面平行，进而证明面面平行，
比如例题里面通过证明，,共面，不在平面内，得
平面.
探究点四 利用共面向量定理求参数
例4 ［2025·江苏常州高二期中］已知，，， 四点共面，且其
中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，且不在平面
内，若，则 ( )
A.2 B. C.1 D.
[解析] ，即 ,
整理得，
由，，， 四点共面，且其中任意三点均不共线，可得
，解得 ，故选B.
√
变式 已知点在确定的平面内，是平面 外任意一点，
实数,满足，则 的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 因为，点在 确定的平面内，
所以，即 ，
所以 ，
所以当时， 取得最小值2.故选D.
√
［素养小结］
已知，，不共面，若，，，四点共面，
，则，利用这个结论构造关于
参数的方程从而可求得参数.
共面向量
（1）共面向量的充要条件给出了同一平面内向量的表示方法,说明空
间中任意一个平面内的向量都可以由两个不共线的平面向量表示出来.
（2）空间中一点位于平面 内的充要条件是存在有序实数对
,使.这说明满足这个关系式的点 都在平面
内;反之,平面内的任意一点 都满足这个关系式.
共面问题的常用结论:设,,三点不共线,①四点,,,共面 存
在有序实数对,使;②四点,,,共面 对空
间任意一点,都有,且 .
解：设,由 ,得
,
因为,,, 四点共面,所以,解得,故 .
例1 如图所示,在平行六面体 中,
已知,,分别是,, 上的点,且
,,,求平面
截体对角线所得的线段与 的长度的比值.
例2 如图所示,在三棱柱中,, 分别
是,上的点,且, .用
空间向量解决如下问题:
（1）若,,证明: ;
证明：由题意得,且, , 所以
, 所以 ,即
.
例2 如图所示,在三棱柱中,,分别是, 上的点,
且, .用空间向量解决如下问题:
（2）证明:平面 .
证明： 由题意得
又 平面,, 平面
, 平面 ,
所以平面 .
, 所以,, 共面,
练习册
1.下面关于空间向量的说法正确的是( )
A.若向量，平行，则， 所在直线平行
B.若向量，所在直线是异面直线，则， 不共面
C.若，，，四点不共面，则向量， 不共面
D.若，，，四点不共面，则向量，， 不共面
√
[解析] 由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确.
我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此
空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确.
因为，， 是空间中有公共端点但不共面的三条线段，所以
向量，， 不共面，故D正确.故选D.
2.［2025·江苏南通期末］已知，，三点不共线，点在平面
外，点满足，则当点，，， 共面时，
实数 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，可得
，即 ，
当点，，，共面时，有，解得 .故选A.
√
3.［2025·湖南长沙高二联考］若，， 是空间一组不共面的向量，
则下列各组向量不共面的为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
[解析] A选项中，，所以， ，
是共面向量；
B选项中，，所以，
，是共面向量；
C选项中， ，所以，， 是
共面向量；
D选项中，令，显然,无解，故，，
不是共面向量.故选D.
4.对于空间一点和不共线三点,,，有 ，
则( )
A.,,,四点共面 B.,,, 四点共面
C.,,,四点共面 D.,,,, 五点共面
[解析] 由 ，可得
，即 ，
根据共面向量定理，可得,,共面，
又因为三个向量有公共点 ，所以,,, 四点共面.故选B.
√
5.［2025·江苏海门期末］在下列条件中，使与，， 一定共面
的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，,因为 ，所
以不能得出,,,共面.
对于B，因为 ，所以,,为共面向量，
所以,,, 共面.
对于C, ，因为，所以不能得出
,, , 共面.
对于D，由得 ，
因为，所以不能得出,,, 共面.故选B.
6.（多选题）［2025·江苏南通期末］下列说法中正确的有( )
A.若存在实数，，使，则与， 共面
B.若与，共面，则存在实数，，使
C.若存在实数，，使，则点，，， 共面
D.若点，，，共面，则存在实数，，使
√
√
[解析] 由共面向量定理可知A正确；
当， 为零向量时，B错误；
由共面向量定理可知,,共面，又因为有公共点 ，所以点
，，，共面，故C正确；
当，，三点共线，点与 ，，不共线时可知D错误.故选 .
7.已知，，三点不共线，点为平面外任意一点，若点 满
足，则点___（填“ ”或“ ”）平面 .
[解析] ，
,,,,四点共面，即点 平面 .
8.如图所示，若为平行四边形 所在平面外一
点，为棱上的点，且，点在 上，且
，若，，，四点共面，则实数 的值
是__.
[解析] 根据题意可得
，
又因为,,,四点共面，所以，解得 .
9.（13分）如图所示，四面体中，，
分别是,的重心，设 ,
,，点，，分别为 ，
， 的中点.
（1）试用向量,,表示向量, ；
解：. .
9.（13分）如图所示，四面体中，，
分别是,的重心，设 ,
,，点，，分别为 ，
， 的中点.
（2）试用空间向量的方法证明，，， 四点共面.
证明：因为 ，
，所以
，
又 ，所以，所以,,， 四点共面.
10.（13分）已知，， 是空间中不共面的向量，
，， .
（1）若,,三点共线，求, 的值；
解：因为,,三点共线，所以存在实数 ，使 ，
又 ，
，且 ，，不共面，
所以解得
10.（13分）已知，， 是空间中不共面的向量，
，， .
（2）若,,,四点共面，求 的最大值.
解：因为,,,四点共面，所以存在实数， ，使 ，
所以，
又，， 不共面，所以可得 ，所以
，所以当
时，取得最大值 .
11.［2025·江苏扬州中学高二期中］已知，，， 为空间不共面
的四点，且向量，向量 ，则与
， 必共面的向量为( )
A. B. C. D.或
√
[解析] 由已知得与 不共线，
.
对于A，若与，共面，则存在唯一的有序实数对 ，使
，即
该方程组无解，故A错误；
对于B，若与， 共面，则存在唯一 的有序实数对，
使，即 解得即，
则与， 共面，故B正确；
对于C，若与，共面，则存在唯一的有序实数对 ，使
，即 该方程组无解，故C错误；
对于D，由选项A及选项C的判断知，D错误.故选B.
12.（多选题）已知点为三棱锥的底面 所在平面内的一
点，且 ，则下列说法正确
的是( )
A. B.
C.的最大值为1 D.的最大值为
√
√
[解析] 由题意知 ，所以
,即,,, 四点共面，由
，可知 ，即
，故A正确；
由,， ，可知当且仅当时，，
当,时， 不成立，故B错误；
由基本不等式可得，当且仅当 ，时等号
成立，则，故C错误，D正确.故选 .
13.［2025·江苏镇江期末］如图，已知四棱柱
的底面 为平行四边
形，为棱的中点，, ，
与平面交于点，则 ___.
[解析] 由题可设 ，因为
，所
以，
因为，， ，四点共面，所以，解得 .
14.［2025·福建福州闽侯一中高二月考］已知三棱锥 的体积
为6，是空间中一点， ，则三棱锥
的体积是___.
4
[解析] ，则
，故 ，
不妨令，则，
又 ，所以点,,,共面，
故 .
15.［2025·江苏无锡锡东高中高二期中］如图，在
三棱锥中，为 的重心，
，，， ，
，若交平面于点，且 ，
则 的最小值为( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 为 的重心，
，
，
.
，，， 四点共面，，即 ，
，
当且仅当时，等号成立， 的最小
值为1.故选C.
16.［2025·江苏徐州期末］如图，在四棱台
中， ，
，则
的最小值是
____.
[解析] 如图，设 ，则
平面，连接，，故
， 的最小值即为四棱台的高.
如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过 作 平面，垂足为，连接, ，
因为 ， ，所以， ，
因为 ， ，
所以，所以 ，
因为 平面，所以 ，
又，所以 平面 ，
因为 平面，所以 .
同理 ，所以，
又 ，所以 ，所以 ，所以
，所以，即 的最
小值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 同一平面内
课中探究 探究点一 例1 证明略 变式 A
探究点二 例2 （1）共面 （2）点在平面内
变式 （1）A （2）证明略
探究点三 例3 证明略 变式 （1）,的值分别为2,（2）
探究点四 例4 B 变式 D
练习册
基础巩固
1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.AC 7. 8.
9.（1）, n=n （2）证明略
10.（1） n=n （2）取得最大值
综合提升
11.B 12.AD 13. 14.4 15.C
思维探索
16.6.1.3 共面向量定理
【课前预习】
知识点一
同一平面内
【课中探究】
探究点一
例1 证明:设=a,=b,=c,连接A1B,A1M,A1N,则=b-a,∵M为DD1的中点,∴=c-a,又∵AN∶NC=2∶1,∴==(b+c),∴=-=(b+c)-a=(b-a)+=+,∴,,为共面向量,
又三个向量有相同的起点A1,∴A1,B,N,M四点共面.
变式 A [解析] 因为A,B,C三点不共线,所以,不共线,若P,A,B,C四点共面,则存在唯一的一组实数x,y,使得=x+y,即-=x(-)+y(-),变形得=x+y+(1-x-y).对于A,=-=2--,整理得=3--,则3-1-1=1,所以P在平面ABC内,故A正确;对于B,=-=++,可得=--+0·,则-1-1+0≠1,故P不在平面ABC内,故B错误;对于C,=-=2+3-4,可得=2+3-3,则2+3-3≠1,故P不在平面ABC内,故C错误;对于D,=-=2(-)+,可得=(+-),则(1+1-1)≠1,故P不在平面ABC内,故D错误.故选A.
探究点二
例2 解:(1)由题知++=3,则-=-+-,即=+=--,所以,,共面.
(2)由(1)知,,共面且三个向量有公共点M,
所以M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内.
变式 (1)A [解析] 对于A,因为不存在实数x,y使得x(b-c)+y(b+c)=a成立,所以b-c,b+c,a不共面,A正确;对于B,因为(b+c)-(b-2c)=3c,故b+c,b-2c,3c共面,B错误;对于C,因为b+c+×2a=a+b+c,所以b+c,2a,a+b+c共面,C错误;对于D,因为(b+c)+(b-c)=2b,所以b+c,b-c,2b共面,D错误.故选A.
(2)证明:如图,连接AC,因为底面ABCD是平行四边形,且F是BD的中点,所以F也是AC的中点.在△PAC中,因为E是PA的中点,所以EF∥PC,EF=PC.
又因为=-,所以==-,
所以向量,,共面.
探究点三
例3 证明:由题意知=2,∵F是AB的中点,∴==,∴四边形AFCD是平行四边形,∴=.∵E,E1分别是AD,AA1的中点,∴=-=-=-.又∵与不共线,∴根据向量共面的充要条件可知,,共面.又∵EE1不在平面FCC1内,∴EE1∥平面FCC1.
变式 解:(1)由题可得=-=pa+b+qc-(a-2b+c)=(p-1)a+3b+(q-1)c,=-=2a+b-2c-(a-2b+c)=a+3b-3c,因为=m,所以(p-1)a+3b+(q-1)c=m(a+3b-3c),
又a,b,c不共面,所以解得所以p,q的值分别为2,-2.
(2)因为O,A,B,C四点共面,所以存在λ,μ∈R,使得=λ+μ,即pa+b+qc=λ(a-2b+c)+μ(2a+b-2c)=(λ+2μ)a+(μ-2λ)b+(λ-2μ)c,又a,b,c不共面,
所以所以3p+5q=3(λ+2μ)+5(λ-2μ)=8λ-4μ=8λ-4(1+2λ)=-4,即3p+5q的值为-4.
探究点四
例4 B [解析] =6-4+λ,即-=6-4+λ,整理得=6-3+λ,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2,故选B.
变式 D [解析] 因为=x+y-,点D在△ABC确定的平面内,所以x+y-1=1,即x=2-y,所以x2+y2=(2-y)2+y2=2y2-4y+4=2(y-1)2+2≥2,所以当x=y=1时,x2+y2取得最小值2.故选D.6.1.3 共面向量定理
1.D [解析] 由向量平行与直线平行的区别,可知A不正确.我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内,因此空间任意两个向量都是共面的,故B,C都不正确.因为AB,AC,AD是空间中有公共端点A但不共面的三条线段,所以向量,,不共面,故D正确.故选D.
2.A [解析] 由=x++,可得-=x++,即=(x+1)++,当点P,A,B,C共面时,有x+1++=1,解得x=-.故选A.
3.D [解析] A选项中,a-b+(b+c)=c+a,所以a-b,b+c,c+a是共面向量;B选项中,-a+c+(-b-c)=-a-b=-(a+b),所以-a+c,-b-c,a+b是共面向量;C选项中,a+b-(b-c)=a+c,所以a+b,b-c,a+c是共面向量;D选项中,令a+b=x(a-b)+yc,显然x,y无解,故a+b,a-b,c不是共面向量.故选D.
4.B [解析] 由2=-++2,可得-=2(-)+-,即=2+,根据共面向量定理,可得,,共面,又因为三个向量有公共点P,所以P,A,B,C四点共面.故选B.
5.B [解析] 对于A,=-2-,因为1-2-1=-2≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.对于B,因为=-3-5,所以,,为共面向量,所以M,A,B,C共面.对于C,=++,因为++≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.对于D,由+++=0得=---,因为-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故选B.
6.AC [解析] 由共面向量定理可知A正确;当a,b为零向量时,B错误;由共面向量定理可知,,共面,又因为有公共点M,所以点P,M,A,B共面,故C正确;当M,A,B三点共线,点P与M,A,B不共线时可知D错误.故选AC.
7.∈ [解析] ∵=++=++(-)=++,++=1,∴M,A,B,C四点共面,即点M∈平面ABC.
8. [解析] 根据题意可得=m=m=m=++,又因为G,B,D,P四点共面,所以++=1,解得m=.
9.解:(1)=-=-a.=+=+(-)=+×(+)-=(++)=(a+b+c).
(2)证明:因为=-,==×(+)=(b+c),所以=(b+c)-(a+b+c)=-a=-,又=-,所以=,所以M,N,G,H四点共面.
10.解:(1)因为B,C,D三点共线,所以存在实数λ,使=λ,又=-=-a+3b-2c,=-=-3a+(m+1)b+(n-1)c,且a,b,c不共面,所以解得
(2)因为A,B,C,D四点共面,所以存在实数x,y,使=x+y,所以-a+mb+nc=x(2a-b+c)+y(a+2b-c),又a,b,c不共面,所以可得3m+5n=-1,所以mn=m·=-=-+,所以当m=-时,mn取得最大值.
11.B [解析] 由已知得a与b不共线,xa+yb=x(-+)+y(++)=(x+y)+(-x+y)+(x+y).对于A,若与a,b共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使=xa+yb,即
该方程组无解,故A错误;对于B,若与a,b共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使=xa+yb,即解得即=-a+b,则与a,b共面,故B正确;对于C,若与a,b共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使=xa+yb,即
该方程组无解,故C错误;对于D,由选项A及选项C的判断知,D错误.故选B.
12.AD [解析] 由题意知=x+y(x,y∈R),所以=+=+x+y=+x(-)+y(-)=(1-x-y)+x+y,即A,B,C,P四点共面,由=m+2n-2(m>0,n>0),可知m+2n-2=1,即m+2n=3,故A正确;由m>0,n>0,m+2n=3,可知当且仅当m=n=1时,m+n=2,当m=2,n=时,m+n=2不成立,故B错误;由基本不等式可得2mn≤=,当且仅当m=,n=时等号成立,则mn≤,故C错误,D正确.故选AD.
13. [解析] 由题可设=λ(0<λ<1),因为=++=2+3+,所以=2λ+3λ+λ,因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=.
14.4 [解析] =-++,则15=-+2+4,故3=-++,不妨令=3,则=-++,又-++=1,所以点H,A,B,C共面,故VA-MBC=VM-ABC=VP-ABC=×6=4.
15.C [解析] ∵G为△ABC的重心,∴=+=+×(+)=+(+++)=++,∴==(++),∴=++.∵M,D,E,F四点共面,∴++=1,即+=4,∴λ+μ=(λ+μ)=≥=×4=1,当且仅当λ=μ=时,等号成立,∴λ+μ的最小值为1.故选C.
16. [解析] 如图,设x+y=,则E∈平面ABCD,连接AE,EC',故|-(x+y)|=|-|=||,||的最小值即为四棱台的高.如图,过A'作A'G⊥AD,垂足为G,过A'作A'H⊥AB,垂足为H,过A'作A'O⊥平面ABCD,垂足为O,连接OG,OH,因为∠BAA'=∠DAA'=60°,AA'=3,所以A'G=A'H=,AG=AH=,因为∠GOA'=∠HOA'=90°,A'O=A'O,所以△A'GO≌△A'HO,所以OG=OH,因为AH 平面ABCD,所以A'O⊥AH,又A'O∩A'H=A',所以AB⊥平面A'HO,因为OH 平面A'HO,所以AB⊥OH.同理AD⊥OG,所以∠AGO=∠AHO=90°,又AO=AO,所以△AOG≌△AOH,所以∠GAO=∠HAO=30°,所以AO===,所以A'O==,即||的最小值为.6.1.3 共面向量定理
【学习目标】
1.结合立体几何与空间向量的特征,了解共面向量的概念.
2.理解空间向量共面的充要条件,会证明空间四点共面.
◆ 知识点一 向量共面
一般地,能平移到 的向量叫作共面向量.
◆ 知识点二 共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.
注意:(1)空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数组(x,y),使=x+y或对空间任意一点O,有=+x+y.
(2)共面向量定理的用途:
①证明四点共面;
②证明线面平行(进而证明面面平行).
◆ 探究点一 四点共面的判断与证明
例1 [2025·江苏启东汇龙中学月考] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面.
变式 [2024·江苏徐州高二期末] 对空间中任意一点O和不共线的三点A,B,C,下列式子中能得到P在平面ABC内的是 ( )
A.=2--
B.=++
C.=2+3-4
D.=2+
[素养小结]
(1)已知,,不共面,若=x+y+z,且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面.
(2)证明P,A,B,C四点共面,可以通过证明存在有序实数组(x,y),使=x+y(,不共线)来证明.
◆ 探究点二 向量共面的判断与证明
例2 已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,点M满足=(++).
(1)判断,,三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
变式 (1)[2025·江苏启东一中高二期末] 若a,b,c不共面,则 ( )
A.b-c,b+c,a不共面
B.b+c,b-2c,3c不共面
C.b+c,2a,a+b+c不共面
D.b+c,b-c,2b不共面
(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F分别为PA,BD的中点.求证:向量,,共面.
[素养小结]
(1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量,还包括平行于同一平面的向量.
(2)空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量不一定共面.
◆ 探究点三 共面向量定理的应用
例3 [2025·江苏南京高二期中] 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.证明:直线EE1∥平面FCC1.
变式 [2025·江苏扬州新华中学高二月考] 已知向量a,b,c是空间中不共面的三个向量,=a-2b+c,=pa+b+qc,=2a+b-2c.
(1)若=m,m∈R,求p,q的值;
(2)若O,A,B,C四点共面,求3p+5q的值.
[素养小结]
通过证明三个向量共面,可以证明线面平行,进而证明面面平行,比如例题里面通过证明,,共面,EE1不在平面FCC1内,得EE1∥平面FCC1.
◆ 探究点四 利用共面向量定理求参数
例4 [2025·江苏常州高二期中] 已知A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,且P不在平面ABCD内,若=6-4+λ,则λ= ( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
变式 已知点D在△ABC确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,实数x,y满足=x+y-,则x2+y2的最小值为 ( )
A. B. C.1 D.2
[素养小结]
已知,,不共面,若P,A,B,C四点共面,=x+y+z,则x+y+z=1,利用这个结论构造关于参数的方程从而可求得参数.6.1.3 共面向量定理
1.下面关于空间向量的说法正确的是 ( )
A.若向量a,b平行,则a,b所在直线平行
B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面
C.若A,B,C,D四点不共面,则向量,不共面
D.若A,B,C,D四点不共面,则向量,,不共面
2.[2025·江苏南通期末] 已知A,B,C三点不共线,点O在平面ABC外,点P满足=x++,则当点P,A,B,C共面时,实数x= ( )
A.- B.- C. D.
3.[2025·湖南长沙高二联考] 若a,b,c是空间一组不共面的向量,则下列各组向量不共面的为 ( )
A.a-b,b+c,c+a
B.-a+c,-b-c,a+b
C.a+b,b-c,a+c
D.a+b,a-b,c
4.对于空间一点O和不共线三点A,B,C,有2=-++2,则 ( )
A.O,A,B,C四点共面
B.P,A,B,C四点共面
C.O,P,B,C四点共面
D.O,P,A,B,C五点共面
5.[2025·江苏海门期末] 在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 ( )
A.=-2-
B.+3+5=0
C.=++
D.+++=0
6.(多选题)[2025·江苏南通期末] 下列说法中正确的有 ( )
A.若存在实数x,y,使p=xa+yb,则p与a,b共面
B.若p与a,b共面,则存在实数x,y,使p=xa+yb
C.若存在实数x,y,使=x+y,则点P,M,A,B共面
D.若点P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使=x+y
7.已知A,B,C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点,若点M满足=++,则点M (填“∈”或“ ”)平面ABC.
8.如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,H为棱PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,则实数m的值是 .
9.(13分)如图所示,四面体OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,点D,M,N分别为BC,AB,OB的中点.
(1)试用向量a,b,c表示向量,;
(2)试用空间向量的方法证明M,N,G,H四点共面.
10.(13分)已知a,b,c是空间中不共面的向量,=2a-b+c,=a+2b-c,=-a+mb+nc.
(1)若B,C,D三点共线,求m,n的值;
(2)若A,B,C,D四点共面,求mn的最大值.
11.[2025·江苏扬州中学高二期中] 已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=-+,向量b=++,则与a,b必共面的向量为 ( )
A. B.
C. D.或
12.(多选题)已知点P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平面内的一点,且=m+2n-2(m>0,n>0),则下列说法正确的是 ( )
A.m+2n=3 B.m+n=2
C.mn的最大值为1 D.mn的最大值为
13.[2025·江苏镇江期末] 如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则= .
14.[2025·福建福州闽侯一中高二月考] 已知三棱锥P-ABC的体积为6,M是空间中一点,=-++,则三棱锥A-MBC的体积是 .
15.[2025·江苏无锡锡东高中高二期中] 如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,=λ,=μ,=,λ,μ∈(0,1),若PG交平面DEF于点M,且=,则λ+μ的最小值为 ( )
A. B. C.1 D.
16.[2025·江苏徐州期末] 如图,在四棱台ABCD-A'B'C'D'中,AA'=3,∠BAD=∠BAA'=
∠DAA'=60°,则|-(x+y)|(x,y∈R)的最小值是 .
