(共96张PPT)
6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
探究点一 基底的判断
探究点二 用基底表示空间向量
探究点三 空间向量基本定理的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在平面向量基本定理的基础上,能借助投影进行向量分解,知道
空间向量基本定理.
2.知道基底、单位正交基底,并能在选定基底下进行向量的表示
及运算.
知识点一 空间向量基本定理及其推论
1.空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一
的有序实数组，使 ________________.
2.空间向量基本定理的推论
设，,,是不共面的四点，则对空间任意一点 ,都存在唯一的有
序实数组 ,使得
__________________.
注意：由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的
非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
知识点二 基底的有关概念
1.基底与基向量：如果三个向量，， 不共面，那么空间的每
一个向量都可由向量，， 线性表示.我们把_____________称
为空间的一个基底，____________叫作基向量.
，，
，，
2.正交基底与单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量______
_________，那么这个基底叫作正交基底.特别地，当一个正交基底的
三个基向量都是__________时，称这个基底为单位正交基底，通常
用{,, }表示.
两两
互相垂直
单位向量
注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，
基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，
同一向量的表达式也有可能不同.
（2）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关联的不同概念.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示.( )
×
[解析] 空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若为空间的一个基底,则,, 全不是零向量.( )
√
[解析] 若为空间的一个基底,则,,不共面,所以,, 全不是
零向量.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若向量,与任何向量都不能构成空间的一个基底,则与 不一
定共线.( )
×
[解析] 由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成
空间的一个基底,
若向量, 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量,与任何
向量都共面,故与 一定共线.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( )
×
[解析] 空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的.
探究点一 基底的判断
例1 已知{,,}是空间的一个基底,且 ,
,,试判断,, 能否构
成空间的一个基底.
解：假设,,共面,则存在实数 , 使得 ,即
.
,,}是空间的一个基底,,, 不共面,
此方程组无解,,, 不共面,
,, 能构成空间的一个基底.
变式（1）［2025·江苏海安中学期中］已知 平面 ，
，， ，则空间的一个单位正交基底可
以为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为 平面，， 平面，所以 ，
.
因为，，，所以 ，
又，所以空间的一个单位正交基底可以为 .故选A.
√
（2）（多选题）［2025·江苏苏州中学期中］若 是空间的一
个基底，则下列向量不可以构成空间的一个基底的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
√
√
√
[解析] 对于A，，因此向量,, 共
面，故不能构成空间的一个基底；
对于B， ，因此向量,, 共面，
故不能构成空间的一个基底；
对于C，假设向量,,共面，则
，即 ，这与题设矛盾，假设不
成立，向量，， 可以构成空间的一个基底；
对于D，，因此向量,, 共面，
故不能构成空间的一个基底.故选 .
［素养小结］
基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成空间的一个基底,关键
是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,
其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,可假设三
个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程有解,则三个向
量共面;否则,三个向量不共面.
探究点二 用基底表示空间向量
例2 ［2024·江苏南京励志高中高二开学考］如
图所示，在平行六面体 中，设
,,,,,分别是, ,
的中点.
（1）试用,,表示，， ；
解：因为是的中点，
,, ，
所以 .
因为为的中点，,, ，
所以 .
因为，分别是， 的中点，所以
， ，所
以 .
例2 ［2024·江苏南京励志高中高二开学考］如
图所示，在平行六面体 中，设
,,,,,分别是, ,
的中点.
（2）试用,,表示 ；
解：因为为的中点，,, ，所以
， ，所以
.
例2 ［2024·江苏南京励志高中高二开学考］如
图所示，在平行六面体 中，设
,,,,,分别是, ,
的中点.
（3）若将题干中“是的中点”改为“ 在棱
上，且”，试用,,表示向量 .
解：因为，所以 ，所以
.
变式 （多选题）［2025·江苏南通中学期末］如图，
在四面体中，，分别是棱， 上的点，
且，，点是线段 的中点，
则以下向量表示正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 连接 ，由题意可得，
，
则 ，D正确；
对于A， ，A错误；
对于B， ，
B正确；
对于C， ，
C错误.故选 .
［素养小结］
用基底表示空间向量的方法
（1）若基底确定，则要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边
形法则，以及向量的数乘运算；（2）若未给定基底，则先选择基底，
选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，同时看基
向量的模及其夹角是否已知或易求出.
探究点三 空间向量基本定理的应用
例3（1）在四面体中，空间的一点 满足
，若，，共面，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，
，
，
，， 共面，
存在唯一的有序实数组，使得 ，
√
即 ，
，，不共面，解得
故选B.
（2）如图所示，在四棱柱
中，底面为平行四边形，以顶点 为端
点的三条棱长都为1，且两两夹角为 .设
，， .
①以为基底表示向量，并求 的
长；
解：由题得，， ，
,
，
则，，即的长为.
， ，
（2）如图所示，在四棱柱
中，底面为平行四边形，以顶点 为端
点的三条棱长都为1，且两两夹角为 .设
，， .
②求 的值.
解： ，则
，故
.
由①知 ，，
则
，
, .
变式（1）［2025·北京师大附中高二期末］如图，
已知四棱锥的底面 是平行四边形，
为侧棱上的点，且 ，若
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接，，由 ，可得
，
又四边形是平行四边形，所以 ，所以 .
故选C.
（2）在正四棱锥中，点,,分别是棱,, 上的点，
且,,，其中,, .
①若,，且平面，求 的值；
解：连接，,,且, ，
,.
在正四棱锥中， ，
可得，即 .
平面， 存在实数 ， ，使得 ，即
，
又且，，不共面， 解得
.
（2）在正四棱锥中，点,,分别是棱,, 上的点，
且,,，其中,, .
②若,，且点 平面，求 的值.
解：由①可知，
又, , ，且,，
，
又点 平面，即，，，四点共面，
，解得 .
［素养小结］
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确
定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的
空间向量,那么可以确定一个单位正交基底;然后根据三角形法则及平
行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底
（或已知基底）表示目标向量;最后把空间向量的运算转化为基向量
的运算.涉及异面直线所成的角时,可用已知向量代入公式
求解,其中
,
用基向量表示.
1.空间向量基本定理的三个关注点
（1）空间向量的任意性:用空间三个不共面的向量,, 可以线
性表示空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
（2）基底选取的任意性:空间中任意三个不共面的向量都可以
构成空间的一个基底.
（3）基底的顺序性:空间中任意一个向量在基向量上的分向量
是唯一确定的,即若基底为{,,}, ,则在该基
底下与对应的有序实数组为 .
2.单位正交基底的特点
（1）位置:三个向量两两垂直且有公共起点 .
（2）模长:每个向量的模都等于1.
（3）记法:一般记作{,,},{,, }等.
1.空间向量基本定理的应用:要用,, 表示所给的向量,需要结合图形,
充分运用空间向量的加、减法和数乘运算,再结合空间向量的基本定
理即可.
例1 如图,在平行六面体 中,
,,,,,分别是, ,
的中点,点在上,且 .用向量
,, 表示下列向量:
（1） ;
解： ,
.
例1 如图,在平行六面体 中,
,,,,,分别是, ,
的中点,点在上,且 .用向量
,, 表示下列向量:
（2） ;
解：连接,, ,
.
例1 如图,在平行六面体 中,
,,,,,分别是, ,
的中点,点在上,且 .用向量
,, 表示下列向量:
（3） ;
解： .
（4） .
解：
.
2.利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表达式,并
用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明.
例2 ［2025·浙江金兰高二期中］如图，在三棱柱 中，
, ， ， ，
，分别是， 的中点.
（1）求 的长；
解：由题可得 ，
因为几何体是三棱柱，是
的中点，
所以 .
因为, ，
， ，
所以
，
所以 .
例2 ［2025·浙江金兰高二期中］如图，在三棱柱 中，
, ， ， ，
，分别是， 的中点.
（2）求与 所成角的余弦值.
解：因为是 的中点，
， ，
所以 .
由题可得 ，
由（1）可得 ，
设与所成角为 ，
则 ，
所以与所成角的余弦值为 .
练习册
1.［2025·江苏无锡期末］已知正四面体的棱长为1，点在
上，且，点为的中点，则用基底，， }
表示为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，点为 的中点，可得
.故选C.
2.如图，在正方体中，点 是侧面
的中心，若 ,则
( )
A. B.1 C. D.2
√
[解析] 在正方体中，点 是侧面
的中心，
则 ，
又，所以，， ，则 .故选B.
3.已知{,,是空间的一个基底,向量 ,
,, ,若
,则,, 的值分别为( )
A.,, B.,1, C.,1, D.,1,
[解析] 由题意得,
,解得 故选A.
√
4.若{，， }是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空
间的一个基底的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
[解析] 对于A， ，故三个向量共面，A错误；
对于B，若，， 共面，则
，解得， ，故三个向量共
面，B错误；
对于C， ，故三个向量共面，C错误；
对于D，若向量，， 共面，则，
， 无解，故向量，， 不共面，一定能构成空间的一个
基底，D正确.故选D.
5.［2025·江苏江阴期中］设{，， }为空间的一个基底，
，， ，若
，，共面，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，，共面，可设 ，即
，即
解得 故选D.
6.（多选题）［2025·江苏盐城五校联盟高二联考］在正方体
中，能构成空间的一个基底的一组向量有
( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
√
[解析] 作出正方体 ，如图所示.
对于A，，， 不共面，由空间向量基本
定理可知，能构成空间的一个基底，故A正确；
对于B，因为，所以，，
共面，由空间向量基本定理可知，不能构成空间
的一个基底，故B错误；
对于C，，， 不共面，由空间向量基本定理可知，
能构成空间的一个基底，故C正确；
对于D，因为，所以，， 共面，由空间向量基本定理可知，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选 .
7.［2025·重庆七中高一月考］已知{,, }是空间的一个单位正交基
底，向量，,, }是空间的另一个基底，
则用基底{,,}表示向量 __________________________.
[解析] 设 ，则
，
因为{,, }是空间的一个基底，所以解得 所以
.
8.［2025·江苏镇江高二期末］如图，在平行六面体
中，为的中点，点 满足
.若,,, 四点在同一个平面上，则
__.
[解析] 由平行六面体的特征可设, ,
，则 ，可
.
由,,,四点共面可得存在实数, ，使 ，
得，且 ,
所以，所以 解得
.
9.（13分）如图所示,在三棱柱 中,
设,,,是的中点, 是
的中点,用基底{,, }表示以下各向量:
（1） ;
解：由是的中点,得,则 .
9.（13分）如图所示,在三棱柱 中,
设,,,是的中点, 是
的中点,用基底{,, }表示以下各向量:
（2） .
解：因为是的中点,所以,则 .
10.（13分）［2025·北京首都师大附中高二月
考］如图，在平行六面体
中，，， ，
， ，
（1）试用基底{，，}表示向量 ；
解： .
与相交于点，设，， .
10.（13分）［2025·北京首都师大附中高二月
考］如图，在平行六面体
中，，， ，
， ，
（2）求 的长；
与相交于点，设，， .
解：因为，， ，
， ，所
以 ，
，
.
由（1）知 ，所以
，所以 .
10.（13分）［2025·北京首都师大附中高二月
考］如图，在平行六面体
中，，， ，
， ，
（3）求直线与直线 所成的角.
与相交于点，设，， .
解：因为 ，所以
，所以 ，，所以与 的夹角为 ，
即直线与直线所成的角为 .
11.［2025·江苏海门高二质检］空间,,, 四点共面，但任意三点
不共线，若为该平面外一点且，则实数
的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为空间，，， 四点共面，且任意三点不共线，
，所以，得 .故选C.
√
12.如图，在三棱柱中，为 的中
点，满足，过,, 作三棱柱的截面
交于，且，则实数 的值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，为 的中点，
，且,,, 四点共面，所以设
，
即
，
所以解得 故选A.
13.（多选题）如图，在平行六面体
中，以顶点 为端点的三条
棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 ，
为与的交点，若 ，
， ，则下列结论正确的是
( )
A. B.的长为
C. D.，
√
√
[解析] 对于A， 在平行六面体
中，, ，
对于C， ，
故C正确；
， ， 故A错误；
对于B， 以顶点 为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是 ，， ，故B错误；
对于D， ，
， ，故D正确.
故选 .
14.如图,在正方体中,,分别为棱和 的中
点,则异面直线和 所成角的余弦值为__.
[解析] 设正方体 的棱长为1,
,,,则,, 不共面且两两垂
直,故,, 为空间的一个基底,
, .
因为,分别为棱和 的中点,所以
,
,
则 ,
, ,
所以, ,
故异面直线和所成角的余弦值为 .
15.［2024·江苏南通海安实验中学高二期中］如
图，在三棱锥中，点为 的重心，
点是线段上靠近点的三等分点，过点 的
平面分别交棱，，于点，， ，若
，， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，
因为，，，四点共面，所以存在实数 ， ，使
，所以 ，
.
所以 ，所以
所以
.故选D.
16.（多选题）［2024·深圳宝安中学高二期中］如
图,在四面体中,平面 平面,
是等边三角形,,,为的中点,
在侧面 上（包含边界）,若
,则下列说法
正确的是( )
A.若,则平面 B.当最小时,
C.若,则 D.当最大时,
√
√
√
[解析] 由,平面 平面 ,平面
平面, 平面,得
平面.
连接,设,且 , ,
,
则
,
又 ,所以 且
,,.
对于A,若 , 则,点与点重合,
显然 平面,A错误.
如图,过作于,连接 , 得 ,
,
平面,得,又, ,
平面,所以 平面,得 ,
因此 .
对于B,显然当点与点重合时,最小,此时 ,
,则,, ,B正确.
对于C,若,则,即点在棱 上,由
平面, 平面,得 ,C正确.
对于D, 显然当点与点重合时, 最大,即
最大,此时,,于是, ,
,D正确.故选.
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 1.
2.
知识点二 1.
，
，
，
，
2.两两互相垂直 单位向量
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
课中探究 探究点一 例1 能 变式 （1）A （2）ABD
探究点二 例2 （1）
.
.
（2） （3） 变式 BD
探究点三 例3 （1）B （2）①，的长为
②
变式 （1）C （2）①
②
练习册
基础巩固
1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.AC 7.
8.
9.（1）
（2）
10.（1） （2） （3）综合提升
11.C 12.A 13.CD 14.
思维探索
15.D 16.BCD6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
【课前预习】
知识点一
1.xe1+ye2+ze3 2.x+y+z
知识点二
1.{e1,e2,e3} e1,e2,e3 2.两两互相垂直 单位向量
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示.
(2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,所以a,b,c全不是零向量.
(3)由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个基底,若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量a,b与任何向量都共面,故a与b一定共线.
(4)空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的.
【课中探究】
探究点一
例1 解:假设,,共面,则存在实数λ,μ使得=λ+μ,即e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.
∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底,∴e1,e2,e3不共面,
∴此方程组无解,∴,,不共面,
∴,,能构成空间的一个基底.
变式 (1)A (2)ABD [解析] (1)因为SA⊥平面ABC,AB,AC 平面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥AC.因为AB⊥AC,AB=1,BC=,所以AC=2,又SA=1,所以空间的一个单位正交基底可以为.故选A.
(2)对于A,a=[(a+b)+(a-b)],因此向量a+b,a-b,a共面,故不能构成空间的一个基底;对于B,b=[(a+b)-(a-b)],因此向量a+b,a-b,b共面,故不能构成空间的一个基底;对于C,假设向量a+b,a-b,b+c共面,则b+c=λ(a+b)+μ(a-b),即c=(λ+μ)a+(λ-μ-1)b,这与题设矛盾,假设不成立,向量a+b,a-b,b+c可以构成空间的一个基底;对于D,(a+b)+c=a+b+c,因此向量a+b,a+b+c,c共面,故不能构成空间的一个基底.故选ABD.
探究点二
例2 解:(1)因为P是C1D1的中点,=a,=b,=c,
所以=++=a++=a+c+=a+c+b.因为N为BC的中点,=a,=b,=c,所以=++=-a+b+=-a+b+c.因为P,N分别是C1D1,BC的中点,所以==,==-,所以=++=+(-)+=--=b-a-c.
(2)因为M为AA1的中点,=a,=b,=c,所以=+=+=-a+=a+b+c,=+=+=c+a,所以+=+=a+b+c.
(3)因为=,所以D1P=D1C1,所以=++=++=a+c+b.
变式 BD [解析] 连接ON,由题意可得,=+=+=+(-)=+,则=(+)=×+=++,D正确;对于A,=-=-++,A错误;对于B,=-=-+,B正确;对于C,=-=+-,C错误.故选BD.
探究点三
例3 (1)B [解析] 由题意得=-=--λ,=-=-+-λ,=-=--+(1-λ),∵,,共面,∴存在唯一的有序实数组(m,n),使得=m+n,即--λ=m+n,∵,,不共面,∴解得
故选B.
(2)解:①由题得=a,=b,=c,|a|=|b|=|c|=1,
===60°,∴a·b=b·c=c·a=,=++=-++=b+c-a,则=(b+c-a)2=a2+b2+c2+2b·c-2c·a-2a·b=1+1+1+1-1-1=2,∴||=,即BD1的长为.
②=+=a+b,则=a2+2a·b+b2=1+1+1=3,故||=.由(1)知=b+c-a,||=,则·=(b+c-a)·(a+b)=b·a+b2+a·c+b·c-a2-a·b=b2+a·c+b·c-a2=1++-1=1,∴cos<,>===.
变式 (1)C [解析] 连接AM,AC,由=2,可得=,又四边形ABCD是平行四边形,所以=-=+-=+-=+(-)-=+(+-)-=-++,所以x+y+z=.故选C.
(2)解:①连接BD,∵=x,=y,=z且x=1,y=,∴=,=.在正四棱锥P-ABCD中,=+,可得-=-+-,即=-+.∵PD∥平面MNS,∴存在实数λ,μ,使得=λ+μ,即=λ(-)+μ(-)=(-λ-μ)++μz,又=-+且,,不共面,∴解得z=1.
②由①可知=-+,又=x,=y,=z,且x=,y=,∴=-2+,又点D∈平面MNS,即D,M,N,S四点共面,∴-2+=1,解得z=.6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
1.C [解析] 由=,点N为BC的中点,可得=-=(+)-=-++.故选C.
2.B [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心,则=+=+(+)=+(+)=+(+)=++,又=x+y+z,所以x=1,y=,z=,则x-y+z=1.故选B.
3.A [解析] 由题意得d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3)=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3,∵d=e1+2e2+3e3,∴解得故选A.
4.D [解析] 对于A,a=(a+b)+(a-b),故三个向量共面,A错误;对于B,若a+b,a-b,a+2b共面,则a+b=m(a-b)+n(a+2b),解得m=,n=,故三个向量共面,B错误;对于C,a+b=(a+c)+(b-c),故三个向量共面,C错误;对于D,若向量c,a+b,a-b共面,则a+b=λ(a-b)+μc,λ,μ无解,故向量a+b,a-b,c不共面,一定能构成空间的一个基底,D正确.故选D.
5.D [解析] 由,,共面,可设=x+y,即ka+b+3c=x(2a+3b+5c)+y(a+2b-2c),即解得故选D.
6.AC [解析] 作出正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示.对于A,,,不共面,由空间向量基本定理可知,能构成空间的一个基底,故A正确;对于B,因为=+,所以,,共面,由空间向量基本定理可知,不能构成空间的一个基底,故B错误;对于C,,,不共面,由空间向量基本定理可知,能构成空间的一个基底,故C正确;对于D,因为+=(+)+(+)=+=+=,所以,,共面,由空间向量基本定理可知,不能构成空间的一个基底,故D错误.故选AC.
7.-(a+b)+(a-b)-4c [解析] 设p=x(a+b)+y(a-b)+zc,则p=(x+y)a+(x-y)b+zc=a-2b-4c,因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以解得所以p=-(a+b)+(a-b)-4c.
8. [解析] 由平行六面体的特征可设=a,=b,=c,则=++=a+b+c,可得=+=-a+m=(m-1)a+mb+c,且=+=b-a,=+=c-a.由B,D,A1,F四点共面可得存在实数x,y,使=x+y,所以(m-1)a+mb+c=x(b-a)+y(c-a)=(-x-y)a+xb+yc,所以解得m=.
9.解:(1)由M是BC'的中点,得=,则=+=+=+(+)=b+(+)=b+(-+)=b+(c-b+a)=a+b+c.
(2)因为N是B'C'的中点,所以=,则=++=b++=b+a+(-)=b+a+(-)=b+a+(c-b)=a+b+c.
10.解:(1)=+=-(+)+=--+=-a-b+c.
(2)因为AB=4,AD=2,AA1=2,∠BAD=60°,∠BAA1=∠DAA1=45°,所以a·b=|a||b|cos 60°=4×2×=4,b·c=|b||c|cos 45°=2×2×=4,a·c=|a||c|cos 45°=4×2×=8.由(1)知=-a-b+c,所以||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=3,所以||=.
(3)因为==b,所以·=·b=-a·b-b2+b·c=0,所以cos<,>==0,所以与的夹角为90°,
即直线OA1与直线BC所成的角为90°.
11.C [解析] 因为空间A,B,C,D四点共面,且任意三点不共线,=-x-,所以-x-=1,得x=.故选C.
12.A [解析] 因为=,E为BB1的中点,=λ,且A,E,F,M四点共面,所以设=x+y+(1-x-y),即+=x+y+(1-x-y)=x+y+(1-x-y)=x+y+(1-x-y)=x+y+y+(1-x-y),所以解得故选A.
13.CD [解析] 对于A,∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,∴=+=+=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c,故A错误;对于C,=++=++=a+b+c,故C正确;对于B,∵以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,∴a·b=b·c=a·c=1×1×=,∴||=|a+b+c|===,故B错误;对于D,∵·=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2,∴cos<,>==,故D正确.故选CD.
14. [解析] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,=a,=b,=c,则a,b,c不共面且两两垂直,故{a,b,c}为空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.因为M,N分别为棱A1A和B1B的中点,所以=++=a-b+c,=++=a+b-c,则||==,||==,·=-,所以cos<,>===-,故异面直线CM和D1N所成角的余弦值为.
15.D [解析] 由题意可知,==(+)===++.因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数λ,μ,使=λ+μ,所以-=λ(-)+μ(-),所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)k+λm+μn,所以所以++=(1-λ-μ)+λ+μ=.故选D.
16.BCD [解析] 由AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD 平面ACD,得CD⊥平面ABD.连接BN,设=λ+μ,且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1,则=+=+λ+μ=+λ(-)+μ(-)=+λ+μ,又=x+y+z,所以且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1.对于A,若x=-λ-μ=,则λ=μ=0,点N与点B重合,显然MN∩平面ACD=A,A错误.如图,过M作ME⊥BD于E,连接EN,得BE=BM·cos∠ABD=BD,ME=BM·sin∠ABD=BD,由CD⊥平面ABD,ME 平面ABD,得ME⊥CD,又BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以ME⊥平面BCD,得ME⊥EN,因此MN==.对于B,显然当点N与点E重合时,||最小,此时λ=0,μ=,则y=0,z=,x=-0-=,B正确.对于C,若y=λ=0,则=μ,即点N在棱BD上,由CD⊥平面ABD,MN 平面ABD,得MN⊥CD,C正确.对于D,显然当点N与点C重合时,||最大,即||最大,此时λ=1,μ=0,于是y=1,z=0,x=-1-0=-,D正确.故选BCD.6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
【学习目标】
1.在平面向量基本定理的基础上,能借助投影进行向量分解,知道空间向量基本定理.
2.知道基底、单位正交基底,并能在选定基底下进行向量的表示及运算.
◆ 知识点一 空间向量基本定理及其推论
1.空间向量基本定理
如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p= .
2.空间向量基本定理的推论
设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得
= .
注意:由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
◆ 知识点二 基底的有关概念
1.基底与基向量:如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线性表示.我们把 称为空间的一个基底, 叫作基向量.
2.正交基底与单位正交基底:如果空间一个基底的三个基向量 ,那么这个基底叫作正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是 时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.
注意:(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底,基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示. ( )
(2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量. ( )
(3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则a与b不一定共线. ( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. ( )
◆ 探究点一 基底的判断
例1 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断,,能否构成空间的一个基底.
变式 (1)[2025·江苏海安中学期中] 已知SA⊥平面ABC,AB⊥AC,SA=AB=1,BC=,则空间的一个单位正交基底可以为 ( )
A. B.{,,}
C. D.
(2)(多选题)[2025·江苏苏州中学期中] 若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量不可以构成空间的一个基底的是 ( )
A.a+b,a-b,a B.a+b,a-b,b
C.a+b,a-b,b+c D.a+b,a+b+c,c
[素养小结]
基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成空间的一个基底,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程有解,则三个向量共面;否则,三个向量不共面.
◆ 探究点二 用基底表示空间向量
例2 [2024·江苏南京励志高中高二开学考] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点.
(1)试用a,b,c表示,,;
(2)试用a,b,c表示+;
(3)若将题干中“P是C1D1的中点”改为“P在棱C1D1上,且=”,试用a,b,c表示向量.
变式 (多选题)[2025·江苏南通中学期末] 如图,在四面体OABC中,M,N分别是棱OA,CB上的点,且AM=2MO,CN=2NB,点G是线段MN的中点,则以下向量表示正确的是 ( )
A.=++
B.=-+
C.=-+
D.=++
[素养小结]
用基底表示空间向量的方法
(1)若基底确定,则要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,以及向量的数乘运算;(2)若未给定基底,则先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,同时看基向量的模及其夹角是否已知或易求出.
◆ 探究点三 空间向量基本定理的应用
例3 (1)在四面体OABC中,空间的一点M满足=++λ,若,,共面,则λ= ( )
A. B.
C. D.
(2)如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.设=a,=b,=c.
①以{a,b,c}为基底表示向量,并求BD1的长;
②求cos<,>的值.
变式 (1)[2025·北京师大附中高二期末] 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,M为侧棱PC上的点,且=2,若=x+y+z,则x+y+z= ( )
A.- B.-
C. D.
(2)在正四棱锥P-ABCD中,点M,N,S分别是棱PA,PB,PC上的点,且=x,=y,=z,其中x,y,z∈(0,1].
①若x=1,y=,且PD∥平面MNS,求z的值;
②若x=,y=,且点D∈平面MNS,求z的值.
[素养小结]
用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量,那么可以确定一个单位正交基底;然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量;最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.涉及异面直线所成的角时,可用已知向量代入公式cos θ=求解,其中a,b用基向量表示.6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
1.[2025·江苏无锡期末] 已知正四面体OABC的棱长为1,点M在OA上,且=,点N为BC的中点,则用基底{,,}表示为 ( )
A.=-+
B.=+-
C.=-++
D.=--+
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心,若=x+y+z,则x-y+z= ( )
A. B.1
C. D.2
3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为 ( )
A.,-1,- B.,1,
C.-,1,- D.,1,-
4.若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是 ( )
A.a,a+b,a-b
B.a+b,a-b,a+2b
C.a+b,a+c,b-c
D.c,a+b,a-b
5.[2025·江苏江阴期中] 设{a,b,c}为空间的一个基底,=2a+3b+5c,=a+2b-2c,=ka+b+3c,若,,共面,则k= ( )
A. B. C. D.
6.(多选题)[2025·江苏盐城五校联盟高二联考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,能构成空间的一个基底的一组向量有 ( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
7.[2025·重庆七中高一月考] 已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,向量p=a-2b-4c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,则用基底{a+b,a-b,c}表示向量p= .
8.[2025·江苏镇江高二期末] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,点F满足=m.若B,D,A1,F四点在同一个平面上,则m= .
9.(13分)如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,设=a,=b,=c,M是BC'的中点,N是B'C'的中点,用基底{a,b,c}表示以下各向量:
(1);(2).
10.(13分)[2025·北京首都师大附中高二月考] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,∠BAD=60°,∠BAA1=∠DAA1=45°,AC与BD相交于点O,设=a,=b,=c.
(1)试用基底{a,b,c}表示向量;
(2)求OA1的长;
(3)求直线OA1与直线BC所成的角.
11.[2025·江苏海门高二质检] 空间A,B,C,D四点共面,但任意三点不共线,若P为该平面外一点且=-x-,则实数x的值为 ( )
A.- B.- C. D.
12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E为BB1的中点,F满足=,过A,E,F作三棱柱的截面交B1C1于M,且=λ,则实数λ的值为 ( )
A. B. C. D.
13.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点,若=a,=b,=c,则下列结论正确的是 ( )
A.=a-b+c
B.AC1的长为
C.=a+b+c
D.cos<,>=
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A和B1B的中点,则异面直线CM和D1N所成角的余弦值为 .
15.[2024·江苏南通海安实验中学高二期中] 如图,在三棱锥O-ABC中,点G为△ABC的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若=k,=m,=n,则++= ( )
A. B. C. D.
16.(多选题)[2024·深圳宝安中学高二期中] 如图,在四面体ABCD中,平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等边三角形,AD=CD,AD⊥CD,M为AB的中点,N在侧面BCD上(包含边界),若=x+y+z(x,y,z∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.若x=,则MN∥平面ACD
B.当||最小时,x=
C.若y=0,则MN⊥CD
D.当||最大时,x=-