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6.2 空间向量的坐标表示
6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及空间向
量运算的坐标表示
探究点一 求空间点的坐标
探究点二 空间向量的坐标表示
探究点三 空间向量的坐标运算
探究点四 空间向量平行的坐标表示及应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在空间向量基本定理的基础上,知道空间直角坐标系的概念.
2.结合简单几何体,能写出有关点和向量的坐标.
知识点一 空间直角坐标系、空间向量的坐标表示及空间中点的
坐标表示
1.空间直角坐标系
如图，在空间选定一点和一个单位正交基底{， ，
}.以点为原点，分别以，， 的方向为正方向建立
三条数轴：_______________，它们都叫作坐标轴.这时
轴、轴、轴
我们说建立了一个空间直角坐标系，点 叫作坐标原点，三
条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为_____平面、____
平面、_____平面.
2.空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系中，对于空间任意一个向量 ，根据空间
向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使
.有序实数组叫作向量 在空间直角坐
标系 中的坐标，记作_______________.
3.空间中点的坐标表示
如图，在空间直角坐标系 中，对于空间任意
一点，我们称向量为点 的位置向量，把与向量
对应的有序实数组叫作点 的坐标，记作
_________.
特殊点的坐标：原点；,,轴上的点的坐标分别为 ,
,；坐标平面,, 上的点的坐标分别为
,, .
4.在空间直角坐标系中,点 关于坐标轴和坐标平面对称的点
的坐标特点如下:
（1）关于坐标原点对称的点的坐标为 ;
（2）关于横轴（轴）对称的点的坐标为 ;
（3）关于纵轴（轴）对称的点的坐标为 ;
（4）关于竖轴（轴）对称的点的坐标为 ;
（5）关于平面对称的点的坐标为 ;
（6）关于平面对称的点的坐标为 ;
（7）关于平面对称的点的坐标为 .
知识点二 空间向量的坐标运算及空向向量平行的坐标表示
1.空间向量坐标运算的法则
设，，则 ___________________
__________，_______________________， ___________
___， .
2.空间向量平行的坐标表示
设，，且 ，则
，， .
探究点一 求空间点的坐标
例1 在正四棱锥中, 为底面的中心,底面边长和正四棱锥的
高都是2,,分别是侧棱, 的中点.
（1）如图①,以,, }为正交基底,建立空间直
角坐标系,写出点,,,,,, 的坐标;
连接,因为点在平面内,且底面正方形的中心为 ,边长为
2,所以,所以向量的坐标为,即点 的坐标为
,
同理可得点的坐标为,点的坐标为,
点 的坐标为.
因为点在轴的正半轴上,正四棱锥 的高
为2,所以,所以向量的坐标为,
即点 的坐标为.
解：设,, 分别是与轴、轴、 轴的正方向方向相同的单位向量.
连接,因为为侧棱 的中点,所以
,所以向量 的坐标
为,即点的坐标为,
同理可得点的坐标为 .
综上可知,,,,, ,
, .
例1 在正四棱锥中, 为底面的中心,底面边长和正四棱锥的
高都是2,,分别是侧棱, 的中点.
（2）如图②,以,, }为正交基底,建立空间直
角坐标系,写出点,,,,,, 的坐标.
解：因为底面正方形的中心为,边长为2,所以 ,
又因为点在轴的正半轴上,所以,即点的坐标为 ,
同理可得点的坐标为,点的坐标为,点 的坐标为
.
因为点在轴的正半轴上,正四棱锥 的高为2,
所以,
所以向量的坐标为,
即点的坐标为 .
连接,因为为侧棱 的中点,所以
,所以向量 的坐标为
,即点的坐标为,
同理可得点的坐标为 .
综上可知,,,,
, ,, .
变式（1）如图,棱长为的正四面体 的三个
顶点,,分别在空间直角坐标系的,,
轴的正半轴上,则顶点关于 轴对称的点的坐标为
___________.
[解析] 棱长为的正四面体 可以放到棱长
为1的正方体中,且,两点的连线是正方体的体对角线,故点 的坐标
为，
故点关于轴对称的点的坐标为 .
（2）［2024·江苏宿迁中学期中］已知正方体
的棱长为2，如图所示，以 ，
， }为正交基底，建立空间直角坐标系
，写出各顶点的坐标.
解：设与轴、轴、 轴的正方向方向相同的单位向
量分别为，， .
因为正方体的棱长为2，所以， ，
.
易知，,, .
连接，因为 ，所以 .
同理可得,, .
［素养小结］
（1）建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:①让尽可能多的点
落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性.
（2）求点的坐标的方法:作垂直于平面,垂足为,求的
横坐标,纵坐标,即点的横坐标,纵坐标,再求点在轴上射影的
竖坐标,即为点的竖坐标,于是得到点的坐标.
探究点二 空间向量的坐标表示
例2 ［2024·江苏南京一中期中］在直三棱柱 中，
， ，建立适当的空间直角坐标系，
求向量，， 的坐标.
解：以，， }为正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系，
设 ，， ，可得
，
,
.
变式 如图,在棱长为1的正方体中,,分别是 ,
的中点,在棱上,且,为 的中点.建立适当的空间
直角坐标系,写出和 的坐标.
解：如图，以,, }为单位正交基底,建立空
间直角坐标系 .
因为,分别是,的中点,所以 ,
,所以
,所以 .
因为,所以,
又因为为 的中点,
所以, 所以 .
［素养小结］
用坐标表示空间向量的步骤
探究点三 空间向量的坐标运算
例3（1）已知点,,若,求点 的坐标.
解：设点，则 ，
，
若 ，则 ，
所以解得
所以点的坐标为 .
（2）已知正方体 的棱长为
2，，分别为棱， 的中点，如图所示，
以,, }为正交基底，建立空间直角坐
标系，写出向量，， 的坐标.
解：根据题意可得,, ,
,，
又，分别为棱， 的中点，
所以, .
利用空间向量坐标运算的法则可得
，
，
，
所以 ，， .
变式（1）已知空间向量，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知， .故选D.
√
（2）［2025·广东清远高二期中］已知空间向量 ,
,，若，，共面，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 若，，共面，则存在 ，，使得 ，即
，故 解得
故选B.
√
（3）设点，，.若，求点 的坐标.
解：设，则 ，
因为， ，
所以 ，
即解得即点的坐标为 .
［素养小结］
（1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其
终点的坐标减去起点的坐标，特别地，当向量的起点为坐标原点时，
向量的坐标即是终点的坐标.
（2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运
算法则.
探究点四 空间向量平行的坐标表示及应用
例4 已知空间四点，，和 ，
求证：四边形 是梯形.
证明：因为， ，
所以，
同理可得 ，，，
由，可知 ，
又，所以不存在实数，使得，即 与 不共线，
故四边形 是梯形.
变式（1）［2025·湖南长沙一中高二月考］在平行四边形 中，
，，，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，因为，， ，所以
，，
因为四边形 为平行四边形，所以，
所以解得 即 .故选A.
√
（2）已知，，若，则 的值
为___.
5
[解析] 由题意可得，则，解得， ，所
以 .
［素养小结］
判断空间向量平行的步骤
（1）向量化:将空间中的平行转化为向量的平行.
（2）向量关系代数化:写出向量的坐标.
（3）对于，，根据，
，或（，，都不为0）是
否成立判断两向量是否平行.
1.对空间直角坐标系的理解
（1）在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 轴的正方向,食指指
向轴的正方向,若中指指向 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角
坐标系.
（2）在数轴上确定一个点的位置只需一个实数,在平面直角坐标
系中需一对有序实数来确定一个点的位置,在空间直角坐标系中则需
要三个实数组成的有序实数组 才能确定一个点的位置.
（3）确定空间某个点的坐标除了利用点到坐标平面的距离外,还
可用几何图形的特点.比如中点坐标:在空间直角坐标系中,已知点
和,则的中点 的坐标为
.
（4）若四边形是平行四边形,则向量与 的坐标相同.
2.坐标平面与坐标轴上的点的坐标特征
（1）坐标平面上的点的坐标特征: 平面上的点的竖坐标为0,
即坐标为;平面上的点的横坐标为0,即坐标为;
平面上的点的纵坐标为0,即坐标为 .
（2）坐标轴上的点的坐标特征: 轴上的点的纵坐标、竖坐标都
为0,即坐标为; 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即坐标为
;轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即坐标为 .
3.空间向量的坐标运算
（1）空间向量的坐标:一个空间向量的坐标等于表示此向量的
有向线段的终点坐标减去起点坐标.注意:向量的坐标与点的坐标表示
方法不同,如向量,点 .
（2）类比平面向量的坐标运算学习空间向量的坐标运算:空间
向量的加法、减法、数乘和数量积运算公式与平面向量的类似,学习
中可以类比推广.推广时注意向量坐标表示的元素个数不同,向量在平
面上用二元有序实数对表示,如 ,而在空间中,向量用三元有
序实数组表示,如 .
1.空间直角坐标系中点的坐标的确定方法:垂面法与垂线法.遇到中点
可直接用公式.
解：因为是原点,所以 .
由, ,
得,,, .
因为是的中点,所以 .
同理可得 .
例1 在长方体中, ,
,点是的中点,点是 的中点.建立如图
所示的空间直角坐标系,写出点,, 的坐标.
例2 （多选题）［2025·河南许平汝名校高二月考］
如图，在空间直角坐标系 中，已知直三棱柱
，，，
是棱的中点，点关于平面对称的点为 ，则
( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 根据题意可得，， ，
，，点关于 平面对称的
点为 ，所以A，B，D正确，C错误.故选
.
2.空间向量坐标的求解
根据题设条件,建立适当的空间直角坐标系,然后进行向量的运算,再写
出向量的坐标.
例3 在直三棱柱中,, ,
,,为 的中点,在如图所示的空间直
角坐标系中,求, 的坐标.
解：设{,,}为空间的一个单位正交基底,则 ,
, .
连接 ,则
所以 .
连接 ,则
,所以 .
,
3.求解向量运算的坐标表示问题通常利用坐标运算的公式即可.
例4 已知是原点,且,,三点的坐标分别是, ,
,求适合下列条件的点 的坐标:
（1） ;
解：由题意知,, .
,则点 的坐标为
.
例4 已知是原点,且,,三点的坐标分别是, ,
,求适合下列条件的点 的坐标:
（2） .
解：设,则 .
因为 ,
所以解得
则点的坐标为 .
4.针对空间直角坐标系中的对称记忆方法为“关于谁对称谁不变,其余
的相反”.如关于横轴（ 轴）对称的点，其横坐标不变,纵坐标、竖坐
标变为原来的相反数;关于 平面对称的点,其横坐标、纵坐标不变,
竖坐标变为原来的相反数.
例5 在空间直角坐标系中,已知点 .
（1）求点关于轴对称的点 的坐标;
解：因为点关于 轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原
来的相反数,所以对称点的坐标为 .
（2）求点关于平面对称的点 的坐标;
解：因为点关于 平面对称后,它的横坐标和纵坐标不变,竖坐标
变为原来的相反数,所以对称点的坐标为 .
例5 在空间直角坐标系中,已知点 .
（3）求点关于点对称的点 的坐标.
解：设,连接,则点为线段 的中点,所以
, ,
,
所以 .
例6 关于空间直角坐标系中的一点 ,有下列说法:
的坐标为;②点关于轴对称的点的坐标为 ;
③点关于原点对称的点的坐标为;④点关于 平面对称
的点的坐标为 .其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 在①中,的坐标为,故①正确;
在②中,点关于 轴对称的点的坐标为,故②错误;
在③中,点 关于原点对称的点的坐标为,故③错误;
在④中,点关于 平面对称的点的坐标为 ,故④正确.故选B.
√
练习册
1.若，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 ，则
.故选A.
√
2.［2025·广东揭阳高二期末］在空间直角坐标系 中，点
关于 平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 在空间直角坐标系中，点关于 平面对称
的点的坐标为 .故选A.
√
3.［2025·广东普宁二中实验学校高二月考］在空间直角坐标系中，
若，，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，因为 ，所以
，
又 ，所以，解得,,
，故 .故选B.
√
4.在长方体中,,, ,已知向量
.若以,, }为正交基底，建立空间直
角坐标系,则 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为, ,
,,所以所求的坐标为 .故选D.
√
5.已知,,,且,则, 的值分
别为( )
A.3,1 B.4, C.3, D.1,1
[解析] 因为,,所以 ,
又,所以,解得, ,故选C.
√
6.（多选题）已知四边形的顶点是， ，
， ，那么以下说法中正确的是( )
A. B.
C. D.四边形 是梯形
√
√
√
[解析] ，，， ，
，， ，故A正确，
B错误，C正确；
因为，所以与共线，即 ，
因为，，不存在 ，使
，所以与不共线，即与 不平行，故四边形
为梯形，D正确.故选 .
7.［2025·江苏启东汇龙中学质检］已知,, ，
若，则 的坐标是__________.
[解析] 设，因为,, ，所以
，，
因为 ，所以，
则,, ，即 .
8.［2025·山东名校考试联盟高二期中］在长方
体中，以，， }
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，若向量的坐标为 ，则向
量 的坐标为_________.
[解析] 可设，，，依题意可得 ，
，则，所以， ，
，
则点,，所以 .
9.（13分）［2025·江苏徐州高中高二质检］如图，
垂直于正方形所在的平面，,分别是, 的
中点，并且 .试建立适当的空间直角坐标
系，求向量 的坐标.
解：因为， 平面，四边形 为正方形，
所以,, 是两两垂直的单位向量.
设，，，以{，， 为
单位正交基底建立空间直角坐标系 ，如图所
示，连接 .
因为
，所以 .
10.（13分）如图，在正四棱锥 中，底面
是边长为的正方形，与交于点 ，
，是边上靠近 的三等分点.
（1）设，，，用，， 表
示向量 ;
解：依题意，， ，
，， ，
所以 .
10.（13分）如图，在正四棱锥 中，底面
是边长为的正方形，与交于点 ，
，是边上靠近 的三等分点.
（2）在如图所示的空间直角坐标系中，求向量
的坐标.
解：依题意，，， ，
，则 ，
， ，
所以 .
11.［2025·山东潍坊青州一中高二期中］已知空间向量
，，，若，，，
四点共面，则实数 的值为( )
A. B.0 C. D.2
√
[解析] 因为，，，共面，所以向量，， 共面，即存
在实数 ， ，使得 ，
所以 ，
所以 解得 故选A.
12.［2025·江苏如东中学期中］如图，在四面体
中，若向量 ，
，点，分别为, 的中点，
则 的坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，分别为, 的中点，所以
， .
因为，，所以 ，所以 .故选B.
13.一个向量在基底{,,}下的坐标为，则在基底{ ,
, }下的坐标为__________.
[解析] 因为向量在基底{,,}下的坐标为 ，所以
，
，所以
解得因此在基底{,, }下的坐标为
.
14.已知，，点在线段 上，且
，则向量 的坐标为__________.
[解析] 因为点在线段上，且，所以 ，所以
，
因为，，所以 .
15.记空间中的一些点构成的集合为,为原点，且对任意, ,
，都存在不全为零的实数,, ，使得
，若 ，则下列结论可能成立的是
( )
A.，且 B.，且
C.，且 D.，且
√
[解析] 对于A选项，设，， ，设存在实
数，，使得 ，即
，则 解得
不满足条件，故A错误；
对于B选项，设 ，，，设存在实数，，
使得 ，即
，则 令
，则， ，满足条件，故B正确；
对于C选项，设，，，设存在实数，，
使得 ，即
，则 解得
不满足条件，故C错误；
对于D选项，设 ，，，设存在实数，，
使得 ，即
，则 解得
不满足条件，故D错误.故选B.
16.（15分）［2024·天津五校联考］已知正方体
的棱长为1,以,, }为单
位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系
,有一个动点 在正方体的各个面上运动.
（1）当点 分别在平行于坐标轴的各条棱上运动
时,探究动点 的坐标特征;
解：当点分别在平行于横轴的棱,, 上
运动时,动点的纵、竖坐标不变,横坐标在 内取
值;
当点分别在平行于纵轴的棱,, 上运
动时,动点的横、竖坐标不变,纵坐标在 内取值;
当点分别在平行于竖轴的棱,, 上运动时,
动点的横、纵坐标不变,竖坐标在 内取值.
16.（15分）［2024·天津五校联考］已知正方体
的棱长为1,以,, }为单位
正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
有一个动点 在正方体的各个面上运动.
（2）当点分别在各个面对角线上运动时,探究动点 的坐标特征.
解：当点分别在面对角线,,, 上运动
时,动点的纵坐标不变,横、竖坐标在 内取值;
当点分别在面对角线,,, 上运动时,
动点的横坐标不变,纵、竖坐标在内取值;
当点 分别在面对角线,,,上运动时,
动点 的竖坐标不变,横、纵坐标在 内取值.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.轴、轴、轴 2. 3.
知识点二 1.
课中探究 探究点一 例1（1）m>, ,,,,,
（2）,,,,,,
变式 （1） （2），,,,,
探究点二 例2 以，，}为正交基底，，,
变式 以,,}为单位正交基底,. >，探究点三 例3 （1）（2），，
变式 （1）D （2）B （3）
探究点四 例4 证明略 变式 （1）A （2）5
练习册
基础巩固 1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.ACD 7. 8.
9. <.10.（1） （2）
综合提升 11.A 12.B 13. 14.
思维探索 15.B
16.（1）解：当点分别在平行于横轴的棱,,上运动时,动点的纵、竖坐标不变,横坐标
在内取值;当点分别在平行于纵轴的棱,,上运动时,动点的横、竖坐标不变,纵坐标
在内取值;当点分别在平行于竖轴的棱,,上运动时,动点的横、纵坐标不变,竖坐标
在内取值.
（2）当点分别在面对角线,,,上运动时,动点的纵坐标不变,横、竖坐标在内取
值;当点分别在面对角线,,,上运动时,动点的横坐标不变,纵、竖坐标在内取值;
当点分别在面对角线,,,上运动时,动点的竖坐标不变,横、纵坐标在内取值.
6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示
【课前预习】
知识点一
1.x轴、y轴、z轴 xOy yOz zOx
2.a=(a1,a2,a3) 3.P(x,y,z)
知识点二
1.(x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)
【课中探究】
探究点一
例1 解:设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位向量.
(1)连接OB,因为点B在xOy平面内,且底面正方形的中心为O,边长为2,所以=i+j,所以向量的坐标为(1,1,0),即点B的坐标为(1,1,0),同理可得点A的坐标为(1,-1,0),点C的坐标为(-1,1,0),点D的坐标为(-1,-1,0).因为点P在z轴的正半轴上,正四棱锥P-ABCD的高为2,所以=2k,所以向量的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为(0,0,2).连接OF,因为F为侧棱PB的中点,所以=(+)=(i+j+2k)=i+j+k,所以向量的坐标为,即点F的坐标为,同理可得点E的坐标为.综上可知,A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E,F.
(2)因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,所以OA=,又因为点A在x轴的正半轴上,所以=i,即点A的坐标为(,0,0),同理可得点B的坐标为(0,,0),点C的坐标为(-,0,0),点D的坐标为(0,-,0).因为点P在z轴的正半轴上,正四棱锥P-ABCD的高为2,所以=2k,所以向量的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为(0,0,2).连接OE,因为E为侧棱PA的中点,所以=(+)=(i+2k)=i+k,所以向量的坐标为,即点E的坐标为,同理可得点F的坐标为.综上可知,A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,-,0),P(0,0,2),E,F.
变式 (1)(-1,-1,1) [解析] 棱长为的正四面体ABCD可以放到棱长为1的正方体中,且D,O两点的连线是正方体的体对角线,故点D的坐标为(1,1,1),故点D关于z轴对称的点的坐标为(-1,-1,1).
(2)解:设与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位向量分别为i,j,k.
因为正方体的棱长为2,所以=2i,=2j,=2k.
易知D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).
连接DB,因为=+=2i+2j,所以B(2,2,0).
同理可得A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).
探究点二
例2 解:以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设=i,=j,=k,可得=4i+0j+0k=(4,0,0),=+=0i+4j+4k=(0,4,4),=+=++=-4i+4j+4k=(-4,4,4).
变式 解:如图,以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz.
因为E,F分别是D1D,BD的中点,所以=,==+,所以=-=+-,所以=.
因为CG=CD,所以=,又因为H为C1G的中点,所以==(+)=+,所以=.
探究点三
例3 解:(1)设点P(x,y,z),则=(x+1,y-3,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),若=2,则(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
所以解得
所以点P的坐标为(-1,3,3).
(2)根据题意可得D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),又E,F分别为棱BB1,DC的中点,所以E(2,2,1),F(0,1,0).利用空间向量坐标运算的法则可得=(0,1,0)-(2,2,1)=(-2,-1,-1),=(0,1,0)-(2,2,2)=(-2,-1,-2),=(2,2,1)-(2,0,2)=(0,2,-1),所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
变式 (1)D (2)B [解析] (1)由题意可知,2p-3q=(2,0,-2)-(0,9,3)=(2,-9,-5).故选D.
(2)若a,b,c共面,则存在λ,μ∈R,使得a=λb+μc,即(-2,1,m)=λ(1,-1,0)+μ(-1,2,n),故解得故选B.
(3)解:设B(x,y,z),则=(x-2,y-1,z+1),
因为=,=(1,1,1),
所以(1,1,1)=(x-2,y-1,z+1),
即解得即点B的坐标为(3,2,0).
探究点四
例4 证明:因为A(-2,3,1),B(2,-5,3),所以=(2,-5,3)-(-2,3,1)=(4,-8,2),同理可得=(2,-4,1),=(10,1,8),=(8,5,7),由=2,可知∥,又≠,所以不存在实数t,使得=t,即 与不共线,故四边形ABCD是梯形.
变式 (1)A (2)5 [解析] (1)设D(x,y,z),因为A(1,-2,3),B(-4,5,6),C(0,1,2),所以=(-5,7,3),=(-x,1-y,2-z),因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,所以解得即D(5,-6,-1).故选A.
(2)由题意可得μ≠0,则==,解得λ=1,μ=4,所以λ+μ=1+4=5.6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示
1.A [解析] 因为a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),所以2a=(4,0,-2),则2a-b=(4,-1,0).故选A.
2.A [解析] 在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,2,3)关于yOz平面对称的点的坐标为(-1,2,3).故选A.
3.B [解析] 设B(x,y,z),因为A(1,-1,3),所以=(x,y,z)-(1,-1,3)=(x-1,y+1,z-3),又=(5,0,2),所以(x-1,y+1,z-3)=(5,0,2),解得x=6,y=-1,z=5,故B(6,-1,5).故选B.
4.D [解析] 因为a=2+-3=2--3,DA=1,DC=4,DD1=3,所以所求a的坐标为(-1,8,-9).故选D.
5.C [解析] 因为C,D(x,y,0),所以=,又∥,所以==,解得x=3,y=-1,故选C.
6.ACD [解析] ∵A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),∴=(-2,3,-3),=(4,-6,6),=(-4,2,-5),故A正确,B错误,C正确;因为=-2,所以与共线,即AB∥CD,因为=(0,-4,1),=(-2,-1,-2),不存在λ∈R,使=λ,所以与不共线,即AD与BC不平行,故四边形ABCD为梯形,D正确.故选ACD.
7. [解析] 设C(x,y,z),因为O(0,0,0),A(3,2,-4),B(0,5,1),所以=(-3,3,5),=(x,y,z),因为=,所以(x,y,z)=(-3,3,5)=,则x=-2,y=2,z=,即C.
8.(4,3,-2) [解析] 可设DA=a,DC=b,DD1=c,依题意可得A(a,0,0),C1(0,b,c),则=(-a,b,c)=(-4,3,2),所以a=4,b=3,c=2,则点D1(0,0,2),B(4,3,0),所以=(4,3,-2).
9.解:因为PA=AB=1,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,所以,,是两两垂直的单位向量.
设=e1,=e2,=e3,以{e1,e2,e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,连接AC.
因为=++=-++=-++(+)=-++(++)=+=e2+e3,所以=.
10.解:(1)依题意,=+,=,=,=-,=+,
所以=+(-)=+-(+)=+-=b+c-a.
(2)依题意,A(0,0,0),B(,0,0),D(0,,0),P,则a==(,0,0),b==(0,,0),c==,
所以=b+c-a=(0,,0)+-(,0,0)=.
11.A [解析] 因为A,B,C,D共面,所以向量,,共面,即存在实数λ,μ,使得=λ+μ,所以(9,-2,x)=λ(1,2,3)+μ(2,-1,-1),所以解得故选A.
12.B [解析] 因为E,F分别为BC,AD的中点,所以+=0,+=-(+)=0.因为=++,=++,所以2=+++++=(+)+++(+)=+=-+=(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=(-4,-6,-6),所以=(-2,-3,-3).故选B.
13. [解析] 因为向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),所以p=a+2b+3c,设p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以解得因此p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
14. [解析] 因为点P在线段AB上,且AP=2PB,所以=2,所以=,因为=(1,-1,1),=(2,0,-1),所以==(-)=[(2,0,-1)-(1,-1,1)]=(1,1,-2)=.
15.B [解析] 对于A选项,设P1(1,1,1),P2(1,0,1),P3(1,0,-1),设存在实数x,y,z使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(1,0,1)+z(1,0,-1)=(0,0,0),则解得不满足条件,故A错误;对于B选项,设P1(1,1,1),P2(0,0,1),P3(2,2,3),设存在实数x,y,z使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(0,0,1)+z(2,2,3)=(0,0,0),则令z=-1,则x=2,y=1,满足条件,故B正确;对于C选项,设P1(1,1,1),P2(1,2,1),P3(2,2,3),设存在实数x,y,z使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(1,2,1)+z(2,2,3)=(0,0,0),则解得不满足条件,故C错误;对于D选项,设P1(1,1,1),P2(3,2,1),P3(1,0,1),设存在实数x,y,z使得x+y+z=0,即x(1,1,1)+y(3,2,1)+z(1,0,1)=(0,0,0),则解得不满足条件,故D错误.故选B.
16.解:(1)当点P分别在平行于横轴的棱A1D1,B1C1,BC上运动时,动点P的纵、竖坐标不变,横坐标在[0,1]内取值;当点P分别在平行于纵轴的棱AB,A1B1,D1C1上运动时,动点P的横、竖坐标不变,纵坐标在[0,1]内取值;当点P分别在平行于竖轴的棱AA1,BB1,CC1上运动时,动点P的横、纵坐标不变,竖坐标在[0,1]内取值.
(2)当点P分别在面对角线BC1,B1C,AD1,A1D上运动时,动点P的纵坐标不变,横、竖坐标在[0,1]内取值;当点P分别在面对角线A1B,AB1,D1C,DC1上运动时,动点P的横坐标不变,纵、竖坐标在[0,1]内取值;当点P分别在面对角线A1C1,B1D1,AC,BD上运动时,动点P的竖坐标不变,横、纵坐标在[0,1]内取值.6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示
【学习目标】
1.在空间向量基本定理的基础上,知道空间直角坐标系的概念.
2.结合简单几何体,能写出有关点和向量的坐标.
◆ 知识点一 空间直角坐标系、空间向量的坐标表示及空间中点的坐标表示
1.空间直角坐标系
如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴: ,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为 平面、 平面、 平面.
2.空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k.有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作 .
3.空间中点的坐标表示
如图,在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量为点P的位置向量,把与向量对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作 .
特殊点的坐标:原点(0,0,0);x,y,z轴上的点的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z);坐标平面xOy,yOz,xOz上的点的坐标分别为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).
4.在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标特点如下:
(1)关于坐标原点对称的点的坐标为(-x,-y,-z);
(2)关于横轴(x轴)对称的点的坐标为(x,-y,-z);
(3)关于纵轴(y轴)对称的点的坐标为(-x,y,-z);
(4)关于竖轴(z轴)对称的点的坐标为(-x,-y,z);
(5)关于xOy平面对称的点的坐标为(x,y,-z);
(6)关于yOz平面对称的点的坐标为(-x,y,z);
(7)关于zOx平面对称的点的坐标为(x,-y,z).
◆ 知识点二 空间向量的坐标运算及空向向量
平行的坐标表示
1.空间向量坐标运算的法则
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a+b= ,a-b= ,λa= ,λ∈R.
2.空间向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),且a≠0,则
a∥b x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(λ∈R).
◆ 探究点一 求空间点的坐标
例1 在正四棱锥P-ABCD中,O为底面的中心,底面边长和正四棱锥的高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点.
(1)如图①,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标;
(2)如图②,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标.
变式 (1)如图,棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的x,y,z轴的正半轴上,则顶点D关于z轴对称的点的坐标为 .
(2)[2024·江苏宿迁中学期中] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,如图所示,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,写出各顶点的坐标.
[素养小结]
(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;②充分利用几何图形的对称性.
(2)求点M的坐标的方法:作MM'垂直于xOy平面,垂足为M',求M'的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标y,再求点M在z轴上射影的竖坐标z,即为点M的竖坐标z,于是得到点M的坐标(x,y,z).
◆ 探究点二 空间向量的坐标表示
例2 [2024·江苏南京一中期中] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,建立适当的空间直角坐标系,求向量,,的坐标.
变式 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,写出和的坐标.
[素养小结]
用坐标表示空间向量的步骤
◆ 探究点三 空间向量的坐标运算
例3 (1)已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),若=2,求点P的坐标.
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,写出向量,,的坐标.
变式 (1)已知空间向量p=(1,0,-1),q=(0,3,1),则2p-3q= ( )
A.(5,9,1) B.(-3,6,5)
C.(-2,-9,5) D.(2,-9,-5)
(2)[2025·广东清远高二期中] 已知空间向量a=(-2,1,m),b=(1,-1,0),c=(-1,2,n),若a,b,c共面,则m+n= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
(3)设点M(1,1,1),A(2,1,-1),O(0,0,0).若=,求点B的坐标.
[素养小结]
(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标,特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标.
(2)进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则.
◆ 探究点四 空间向量平行的坐标表示及应用
例4 已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9),求证:四边形ABCD是梯形.
变式 (1)[2025·湖南长沙一中高二月考] 在平行四边形ABCD中,A(1,-2,3),B(-4,5,6),C(0,1,2),则点D的坐标为 ( )
A.(5,-6,-1)
B.(-5,8,5)
C.(-5,6,1)
D.(5,-8,-5)
(2)已知a=(-1,λ,-2),b=(2,-2,μ),若a∥b,则λ+μ的值为 .
[素养小结]
判断空间向量平行的步骤
(1)向量化:将空间中的平行转化为向量的平行.
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标.
(3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或==(x2,y2,z2都不为0)是否成立判断两向量是否平行.6.2.2 空间向量的坐标表示
第1课时 空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示
1.若a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b= ( )
A.(4,-1,0) B.(-4,1,-4)
C.(-4,1,0) D.(4,-1,-4)
2.[2025·广东揭阳高二期末] 在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,2,3)关于yOz平面对称的点的坐标为 ( )
A.(-1,2,3) B.(1,-2,3)
C.(1,2,-3) D.(-1,-2,-3)
3.[2025·广东普宁二中实验学校高二月考] 在空间直角坐标系中,若A(1,-1,3),=(5,0,2),则点B的坐标为 ( )
A.(-4,-1,1) B.(6,-1,5)
C.(4,1,-1) D.(6,-1,-1)
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a=2+-3.若以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,则a的坐标为 ( )
A.(2,1,-3)
B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9)
D.(-1,8,-9)
5.已知=(2,-3,2),C,D(x,y,0),且∥,则x,y的值分别为 ( )
A.3,1 B.4,-
C.3,-1 D.1,1
6.(多选题)已知四边形ABCD的顶点是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),那么以下说法中正确的是 ( )
A.=(-2,3,-3)
B.=(-4,6,-6)
C.=(-4,2,-5)
D.四边形ABCD是梯形
7.[2025·江苏启东汇龙中学质检] 已知O(0,0,0),A(3,2,-4),B(0,5,1),若=,则C的坐标是 .
8.[2025·山东名校考试联盟高二期中] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,若向量的坐标为(-4,3,2),则向量的坐标为 .
9.(13分)[2025·江苏徐州高中高二质检] 如图,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量的坐标.
10.(13分)如图,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,AC与BD交于点O,PO=2,M是PC边上靠近P的三等分点.
(1)设=a,=b,=c,用a,b,c表示向量;
(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求向量的坐标.
11.[2025·山东潍坊青州一中高二期中] 已知空间向量=(1,2,3),=(2,-1,-1),=(9,-2,x),若A,B,C,D四点共面,则实数x的值为 ( )
A.-1 B.0
C. D.2
12.[2025·江苏如东中学期中] 如图,在四面体ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为BC,AD的中点,则的坐标为 ( )
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C. D.(-5,2,-1)
13.一个向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 .
14.已知=(1,-1,1),=(2,0,-1),点P在线段AB上,且AP=2PB,则向量的坐标为 .
15.记空间中的一些点构成的集合为A,O为原点,且对任意P1,P2,P3∈A,都存在不全为零的实数x,y,z,使得x+y+z=0,若(1,1,1)∈A,则下列结论可能成立的是 ( )
A.(1,0,1)∈A,且(1,0,-1)∈A
B.(0,0,1)∈A,且(2,2,3)∈A
C.(1,2,1)∈A,且(2,2,3)∈A
D.(3,2,1)∈A,且(1,0,1)∈A
16.(15分)[2024·天津五校联考] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,有一个动点P在正方体的各个面上运动.
(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时,探究动点P的坐标特征;
(2)当点P分别在各个面对角线上运动时,探究动点P的坐标特征.
