(共66张PPT)
6.3 空间向量的应用
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
探究点一 求直线的方向向量
探究点二 求平面的法向量
探究点三 平面法向量的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.联系空间向量与立体几何,知道直线的方向向量和平面的法向量.
2.结合空间几何体,能求出有关直线的方向向量和平面的法向量.
3.在空间点的向量表示的基础上,能借助直线的方向向量和平面
的法向量来刻画直线和平面.
知识点一 直线的方向向量
把直线上的向量以及_________的非零向量叫作直线 的方
向向量.
与共线
注意：（1）空间中，一个向量成为直线 的方向向量，必须具备以
下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与 平行或重合.
（2）与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线
的方向向量有无数个.
知识点二 平面的法向量
1.定义：如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面 ,那
么称向量垂直于平面 ,记作_______.此时，我们把向量 叫作平面
的法向量.
注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的
一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面
的一个法向量.
2.求平面法向量的方法
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该
垂线的一个方向向量即得平面的法向量.
（2）几何体中没有具体的直线与平面垂直，一般要建立空间直角坐
标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
设出平面的法向量为 ；
找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 ，
；
根据法向量的定义建立关于，，的方程组
解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向
量有无数个，故可在代入方程组的解时取一个最简单的作为平面的
法向量.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若向量是直线的一个方向向量,则向量也是直线 的一个方
向向量.( )
×
[解析] 当时,不是直线 的方向向量,故错误.
（2）若,在直线上,则直线 的一个方向向量为
.( )
√
[解析] , 与共线的非零向量都可以作为直线 的
方向向量,故正确.
（3）若向量, 为同一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量
的直线一定平行.( )
×
[解析] 以这两个向量为方向向量的直线也可能重合,故错误.
探究点一 求直线的方向向量
例1 如图，在长方体 中，
，， ，建立恰当的空间直角
坐标系，分别写出直线与 的一个方向向量.
解：以，， }为正交基底，建立空间
直角坐标系 ，如图，
则，，， ，
, ,
直线与 的一个方向向量分别为
, .
变式（1）若直线过点,,则直线 的方向向量可以是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知， .故选D.
√
（2）已知直线的一个方向向量为,且直线 过点
和点,则 ( )
A.0 B.1 C. D.3
√
[解析] 连接,由题意得,
因为直线过点 和点,且直线的一个方向向量为,
所以 ,所以存在实数 ,使得,
即 ,即
解得所以 .故选D.
［素养小结］
求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,用所给的基向量表
示以这两个点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
探究点二 求平面的法向量
例2 如图，在四棱锥中，底面为
矩形， 平面，为的中点，
， ，试建立恰当的空
间直角坐标系，回答下列问题.
（1）写出平面 的一个法向量；
解：因为 平面，底面为矩形，所以，，
两两垂直.
如图所示，以，， }为正交基底，建立空间
直角坐标系，则， ，
，， ，所以
， .
设平面的法向量为 ，
则即所以
令，则，，即 ，
所以平面的一个法向量为 .
例2 如图，在四棱锥中，底面
为矩形， 平面，为 的中点，
， ，试建立恰当的空间直
角坐标系，回答下列问题.
（2）写出直线的一个方向向量和平面 的一个法向量.
解：由（1）可得 ,
，
所以直线的一个方向向量为 .
设平面的法向量为 ，
则即
令 ，则，,
所以平面的一个法向量为 .
变式 如图所示,在三棱柱 中,
,,,为 的中点,
平面 .建立适当的空间直角坐标系,分
别写出平面与平面 的一个法向量.
解：连接,因为,为的中点,所以 .
又因为 平面,所以, ,
所以,, 两两垂直.
以,, }为正交基底,建立如图所示的
空间直角坐标系 ,
则,,, ,
所以, .
易知向量是平面 的一个法向量.
设平面的法向量为 ,
则即取 ,则
，则平面的一个法向量为
［素养小结］
平面法向量的确定通常有两种方法：
（1）直接寻找法：几何体中所求平面的垂线已给出或易作辅助线得
出，则只需证明线面垂直即可.
（2）待定系数法：当几何体中没有具体的直线的方向向量可作为平
面的法向量时，根据已知平面内两条相交直线的方向向量，可以运
用待定系数法求解平面的法向量.
探究点三 平面法向量的应用
例3 已知的三个顶点的坐标分别为， ，
，是平面 内任意一点.
（1）写出平面 的一个法向量；
解：设平面的法向量为 .
， ，
令，则 ，，
平面的一个法向量为 .
例3 已知的三个顶点的坐标分别为， ，
，是平面 内任意一点.
（2）求，， 满足的关系式.
解：由（1）知为平面 的一个法向量，
又点是平面内任意一点， ，
，
，即 ，
故，，满足的关系式为 .
变式 在空间直角坐标系中，设平面 经过点，平面
的一个法向量为，是平面 内任意一点，求 ,
, 满足的关系式.
解：由题得，因为是平面 的一个法向
量，所以，
从而 ，即 ，所以
，整理可得 ，即
为所求.
［素养小结］
在空间直角坐标系中，平面可以用关于,,的三元一次方程来表示，
具体步骤为：①求出平面的一个法向量；②求出平面内任意一点
与平面 内的一个已知点构成的向量；③利用平面的法向量
与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解.
1.对平面的法向量的理解
（1）平面 的一个法向量垂直于平面 内所有直线的方向向量.
（2）一个平面的法向量有无数个,它们互相平行.
2.直线的方向向量和平面的法向量的作用
（1）可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、
平面的平行、垂直等位置关系.
（2）可以利用它们求直线与平面所成的角.
（3）可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题.
1.求法向量的关键是转化为空间向量的数量积运算.
例1 ［2025·北京大兴区高二期中］已知平面 过点 ,
,三点，直线与平面 垂直，则直线 的一个方向向
量的坐标可以是_______________________.
（答案不唯一）
[解析] 设平面 的法向量为，由题可得 ,
，
因为所以所以
取，则，，所以.
又因为直线与平面 垂直，所以直线的方向向量与平面 的法向
量共线，所以可取直线的一个方向向量为（答案不唯一，
非零且与 共线即可）.
2.求平面法向量的三个注意点
（1）选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.
（2）取特值:在求法向量的坐标时,可令,, 中的一个为
特殊值，从而可求得另两个值,这样就得到了平面的一个法向量.
（3）注意0:令法向量 的某个坐标为某特殊值时一定要注
意这个坐标不为0.
例2 如图,平面 平面, 是边长为1的
正三角形,四边形是菱形, ,是 的
中点,是 的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求
平面 的一个法向量.
解：连接,因为,为的中点,所以 ,
又因为平面 平面,平面 平面,
平面 ,所以 平面.
连接,,因为, ,
所以是等边三角形,所以 .
以,, }为正交基底，建立如图所示的
空间直角坐标系 .
由题意得,, ,
所以, .
设平面的法向量为 ,
则即
所以令,则, ,
所以平面 的一个法向量为
.
例3 在四棱锥中,底面 是直角梯
形,, , 平面 ,
, ,建立适当的空间直角
坐标系,并求平面和平面 的法向量.
解：因为 平面,, 平面 ,
所以, ,
又 ,,所以 .
以,, }为正交基底，建立空间直角坐标
系 ,如图所示,
则,,, .
易知是平面 的一个法向量.
,,
设平面 的法向量为 ,则
取,得 ,,
故是平面 的一个法向量.
练习册
1.若,在直线上,则直线 的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ,分析选
项可知只有D符合题意.故选D.
√
2.若是平面 的一个法向量,则下列向量中能作为平面
的法向量的是( )
A. B. C. D.
[解析] 平面 的法向量与 共线,结合选项可知D正确.
√
3.若向量,,则平面 的一个法向量为
( )
A. B. C. D.
[解析] 设平面的法向量为,则 即
令,则,，即平面 的一个法向量为 .
故选A.
√
4.在如图所示的空间直角坐标系中,几何体
为正方体,则直线 的一
个方向向量是( )
A. B. C. D.
[解析] 设正方体的棱长为1，则 ，
，所以，故直线的一个方向向量是 .
故选B.
√
5.已知正方体的棱长为1，以，， }为单
位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面 的一个法
向量是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，， ，则
，，
设平面 的法向量为 ，
则取，得， ，
所以平面的一个法向量为 .故选A.
√
6.［2025·山东泰安高二期中］已知点沿着向量
的方向移动到点，且，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设,由题意得 ，则
，
由 得，解得或 （舍去），
，, ,
，,,，即 .故选C.
√
7.已知，若直线的一个方向向量为 ，则
____.
[解析] 若直线的一个方向向量为，则设 ，
即，则解得 .
8.已知直线的一个方向向量为,平面 的一个法向量为
,若 ,则 ___.
6
[解析] 若 ，则，解得 .
9.（13分）如图,在正三棱柱 中,
已知的边长为2,三棱柱的高为1,,
的中点分别为,,以,, }为正交基底，
建立空间直角坐标系 .写出下列直线的
一个方向向量:
（1） ;
解：在等边三角形中,为的中点，,所以 ,
,则,, .
因为,所以直线 的一个方向向量为 .
9.（13分）如图,在正三棱柱 中,
已知的边长为2,三棱柱的高为1,,
的中点分别为,,以,, }为正交基底，
建立空间直角坐标系 .写出下列直线的
一个方向向量:
（2） .
解：因为,所以直线 的一个方向向量为
.
10.（13分）如图,在四棱锥中, 底面 ,
,底面为正方形,为的中点,点在棱 上,问
当点在何位置时,为平面 的一个法向量
解：由题可知，,两两垂直，则以，， }
为正交基底，建立空间直角坐标系 ,如图所示,
设,则,,, ,
, ,
,,即 .
设, ,
则,
, .
由题意可知,要使为平面 的一个法向量,
则需,即,解得 ,
故当点为棱上靠近点的三等分点时,为平面 的
一个法向量.
11.已知平面 过点,其一个法向量为 ,则下列点不
在平面 内的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设平面 内的点,则 ,结合法向
量的定义可得 ,即
.
对于A，若,,则,故点 在平面 内;
对于B，若,,则,故点在平面 内;
对于C，若,,则,故点不在平面 内;
对于D，若,,则,故点在平面 内.故选C.
12.已知直线过点且平行于向量,直线 与点
在平面 内,则下列向量是平面 的法向量的是( )
A. B. C. D.
[解析] 连接,由题意得,平面 的法向量必然与,
垂直.
结合选项只有A满足.故选A.
√
13.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中,正
方体 的棱长是1,则下列结论正确
的是( )
A.直线的一个方向向量为
B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为
D.平面的一个法向量为
√
√
√
[解析] 依题意，,, ,
,,.因为 ,所以
直线的一个方向向量为 ,故A正确;
因为,所以直线 的一个方向向量为
,故B正确;
因为,且易知 平面 ,所以平
面的一个法向量为, 故C正确;
设 ,因为,所以,即与 不垂直，
所以向量不是平面的一个法向量,故D错误. 故选 .
14.在空间直角坐标系中,已知平面 的一个法向量为
,且平面 过点.若是平面 内的任意
一点,则点 的坐标满足的方程是__________________.
[解析] 连接,由题意可知,
平面 的一个法向量是,
,即,即,故点 的
坐标满足的方程是 .
15.阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点
且一个法向量为的平面 的方程为
，过点 且方向向量
为的直线的方程为 .根据上
述材料，解决下面问题：直线是两个平面 与
的交线，则 的方向向量可以是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得，平面与 的一个法
向量分别为和，
设直线 的方向向量为 ，
则即当 时，
，当时， ，故选A.
16.（15分）［2024·浙江丽水高二联考］在平面四边形 中
（如图①）, ,,,, 分别是边
,上的点,将沿翻折,将沿翻折,使得点与点
重合记为点,且平面 平面 （如图②）.
（1）求证: ;
证明: 平面 平面,平面 平面 ,
平面,且, 平面,
又 平面 , .
16.（15分）［2024·浙江丽水高二联考］在平面四边形 中
（如图①）, ,,,, 分别是边
,上的点,将沿翻折,将沿翻折,使得点与点
重合记为点,且平面 平面 （如图②）.
（2）求平面 的一个法向量.
解：如图,取的中点,连接 ,
, ,
又平面 平面,平面
平面, 平面 ,
平面 .
又， 以,, }为正交基底，建立如图所示的空间直
角坐标系,
设,则, ,
,由 ,得
,解得, .
设,由 ,
得,
解得 ,
,则 , .
设平面的法向量为 ,
则即
令 ,得,
故平面 的一个法向量为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 与共线
知识点二 1. 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
课中探究 探究点一 例1 以，，}为正交基底，直线与的一个方向向量分别为
,探究点二 例2 （1）以，，}为正交基底，平面的一个法向量为.
（2）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为.
变式 以,,}为正交基底, 向量是平面的一个法向量，平面的
一个法向量为
探究点三 例3 （1） 平面的一个法向量为（2）
变式
练习册
基础巩固
1.D 2.D 3.A 4.B 5.A 6.C 7. 8.6
9.（1） （2）
10. 当点为棱上靠近点的三等分点时,为平面的一个法向量
综合提升
11.C 12.A 13.ABC 14.
思维探索
15.A
16.（1）证明略（2）以,,}为正交基底>,平面的一个法向量为>6.3 空间向量的应用
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
【课前预习】
知识点一
与e共线
知识点二
1.n⊥α
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)当k=0时,ka=0不是直线l的方向向量,故错误.
(2)∵=(2,-2,2),∴与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量,故正确.
(3)以这两个向量为方向向量的直线也可能重合,故错误.
【课中探究】
探究点一
例1 解:以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,如图,
则D(0,0,0),A(4,0,0),A1(4,0,5),C(0,3,0),
∴=(4,0,5),=(-4,3,0),
∴直线DA1与AC的一个方向向量分别为(4,0,5),(-4,3,0).
变式 (1)D (2)D [解析] (1)由题可知,=(2,-1,-3)=-3.故选D.
(2)连接AB,由题意得=(-1,2-a,b-3),因为直线l过点A和点B,且直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),所以∥m,所以存在实数λ,使得=λm,即(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),即解得所以a+b=3.故选D.
探究点二
例2 解:(1)因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图所示,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,,0),C(1,,0),E,所以=(1,,0),=.
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
则即所以
令y=-1,则x=,z=,即n=(,-1,),
所以平面ACE的一个法向量为n=(,-1,).
(2)由(1)可得=(1,,-1),=(0,,-1),
所以直线PC的一个方向向量为=(1,,-1).
设平面PCD的法向量为v=(x1,y1,z1),
则即令z1=,则y1=1,x1=0,所以平面PCD的一个法向量为v=(0,1,).
变式 解:连接OB,因为AB=BC,O为AC的中点,所以OB⊥AC.又因为A1O⊥平面ABC,所以OA1⊥OA,OA1⊥OB,
所以OA1,OA,OB两两垂直.
以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,),
所以=(-1,0,),=(-1,1,0).
易知向量=(0,1,0)是平面AA1C1C的一个法向量.设平面A1ABB1的法向量为n=(x,y,z),
则即取z=1,则x=y=,则平面A1ABB1的一个法向量为n=(,,1).
探究点三
例3 解:(1)设平面ABC的法向量为n=(a,b,c).
∵=(2,4,-1),=(2,2,1),
∴∴令b=2,则a=-3,c=2,∴平面ABC的一个法向量为n=(-3,2,2).
(2)由(1)知n=(-3,2,2)为平面ABC的一个法向量,又点M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,∴⊥n,
∵=(x-1,y+1,z-2),∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0,即3x-2y-2z-1=0,
故x,y,z满足的关系式为3x-2y-2z-1=0.
变式 解:由题得=(x+1,y-2,z+2),因为n是平面α的一个法向量,所以⊥n,从而·n=0,即(-1,1,2)·(x+1,y-2,z+2)=0,所以-(x+1)+y-2+2(z+2)=0,整理可得x-y-2z-1=0,即为所求.6.3 空间向量的应用
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
1.D [解析] 由题意得=(2,5,8)-(0,1,2)=(2,4,6)=2(1,2,3),分析选项可知只有D符合题意.故选D.
2.D [解析] 平面α的法向量与u=(2,-3,1)共线,结合选项可知D正确.
3.A [解析] 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=-1,则y=2,z=-1,即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).故选A.
4.B [解析] 设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),C1(1,1,1),所以=(1,1,1),故直线AC1的一个方向向量是(1,1,1).故选B.
5.A [解析] 由题可得B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),则=(0,1,-1),=(-1,0,1),设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,得x=1,y=1,所以平面A1BC1的一个法向量为n=(1,1,1).故选A.
6.C [解析] 设Q(x,y,z),由题意得=λv(λ>0),则(x-1,y-2,z-3)=λ(-1,2,2)=(-λ,2λ,2λ),由||=6得=6,解得λ=2或λ=-2(舍去),∴(x-1,y-2,z-3)=(-2,4,4),∴x-1=-2,y-2=4,z-3=4,∴x=-1,y=6,z=7,即Q(-1,6,7).故选C.
7.-1 [解析] 若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1),则设=λ(1,2,-1),即(m,-2,1)=λ(1,2,-1)=(λ,2λ,-λ),则解得m=-1.
8.6 [解析] 若l α,则n·d=m-6=0,解得m=6.
9.解:在等边三角形ABC中,D为BC的中点,AB=2,所以BD=1,AD=,则A(0,,0),B1(-1,0,1),D1(0,0,1).
(1)因为=(0,-,1),所以直线AD1的一个方向向量为(0,-,1).
(2)因为=(1,,-1),所以直线B1A的一个方向向量为(1,,-1).
10.解:由题可知DA,DC,DP两两垂直,则以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,设DA=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),∴=(2,2,-2),=(0,1,1),∵·=2×0+2×1+(-2)×1=0,∴⊥,即PB⊥DE.
设F(x,y,z),=λ(0≤λ≤1),
则(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),∴
∴F(2λ,2λ,2-2λ),∴=(2λ,2λ,2-2λ).
由题意可知,要使为平面DEF的一个法向量,
则需·=0,即4λ+4λ-2(2-2λ)=0,解得λ=,
故当点F为棱PB上靠近点P的三等分点时,为平面DEF的一个法向量.
11.C [解析] 设平面α内的点A(x,y,z),则=(x,y-1,z-1),结合法向量的定义可得·n=x+(y-1)+2(z-1)=0,即x+y+2z-3=0.对于A,若x=2,y=1,则z=0,故点(2,1,0)在平面α内;对于B,若x=-1,y=0,则z=2,故点(-1,0,2)在平面α内;对于C,若x=2,y=-1,则z=1,故点(2,-1,2)不在平面α内;对于D,若x=2,y=3,则z=-1,故点(2,3,-1)在平面α内.故选C.
12.A [解析] 连接PM,由题意得=(0,2,4),平面α的法向量必然与a,垂直.结合选项只有A满足.故选A.
13.ABC [解析] 依题意,A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),C1(1,1,1),B(1,0,0),C(1,1,0).因为=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1),故A正确;因为=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1),故B正确;因为=(0,1,0),且易知AD⊥平面ABB1A1,所以平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0),故C正确;设m=(1,1,1),因为=(1,0,0),所以·m=1≠0,即与m不垂直,所以向量m=(1,1,1)不是平面B1CD的一个法向量,故D错误.故选ABC.
14.x-y+2z+1=0 [解析] 连接AP,由题意可知=(x,y-3,z-1),∵平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),∴·n=(x,y-3,z-1)·(1,-1,2)=0,即x-y+3+2z-2=0,即x-y+2z+1=0,故点P的坐标满足的方程是x-y+2z+1=0.
15.A [解析] 由题意可得,平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的一个法向量分别为m1=(1,-2,0)和m2=(2,0,-1),设直线l的方向向量为n0=(x,y,z),则即当x=1时,n0=,当x=2时,n0=(2,1,4),故选A.
16.解:(1)证明:∵平面PBC∩平面BCFE=BC,平面PBC⊥平面BCFE,CF 平面BCFE,且CF⊥BC,∴CF⊥平面PBC,又PB 平面PBC,∴CF⊥PB.
(2)如图,取BC的中点O,连接PO,
∵PB=PC,∴PO⊥BC,
又平面PBC∩平面BCFE=BC,平面PBC⊥平面BCFE,PO 平面PBC,
∴PO⊥平面BCFE.
又BC⊥CD,∴以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设BC=2,则P(1,0,1),D(0,2,0),设F(0,t,0)(0设E(m,2-m,0)(0∴E(1,1,0),则=,=(0,-1,1).
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则即令y=2,得n=(-1,2,2),故平面PEF的一个法向量为n=(-1,2,2).6.3 空间向量的应用
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
【学习目标】
1.联系空间向量与立体几何,知道直线的方向向量和平面的法向量.
2.结合空间几何体,能求出有关直线的方向向量和平面的法向量.
3.在空间点的向量表示的基础上,能借助直线的方向向量和平面的法向量来刻画直线和平面.
◆ 知识点一 直线的方向向量
把直线l上的向量e(e≠0)以及 的非零向量叫作直线l的方向向量.
注意:(1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
◆ 知识点二 平面的法向量
1.定义:如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作 .此时,我们把向量n叫作平面α的法向量.
注意:一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.
2.求平面法向量的方法
(1)几何体中有具体的直线与平面垂直,只需证明线面垂直,取该垂线的一个方向向量即得平面的法向量.
(2)几何体中没有具体的直线与平面垂直,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
(i)设出平面的法向量为n=(x,y,z);
(ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);
(iii)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
(iv)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解时取一个最简单的作为平面的法向量.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. ( )
(2)若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(1,-1,1). ( )
(3)若向量n1,n2为同一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. ( )
◆ 探究点一 求直线的方向向量
例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,BB1=5,建立恰当的空间直角坐标系,分别写出直线DA1与AC的一个方向向量.
变式 (1)若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的方向向量可以是 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和点B(-1,2,b),则a+b= ( )
A.0 B.1
C. D.3
[素养小结]
求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,用所给的基向量表示以这两个点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
◆ 探究点二 求平面的法向量
例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,回答下列问题.
(1)写出平面ACE的一个法向量;
(2)写出直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
变式 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O为AC的中点,A1O⊥平面ABC.建立适当的空间直角坐标系,分别写出平面A1ABB1与平面AA1C1C的一个法向量.
[素养小结]
平面法向量的确定通常有两种方法:
(1)直接寻找法:几何体中所求平面的垂线已给出或易作辅助线得出,则只需证明线面垂直即可.
(2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线的方向向量可作为平面的法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量.
◆ 探究点三 平面法向量的应用
例3 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC内任意一点.
(1)写出平面ABC的一个法向量;
(2)求x,y,z满足的关系式.
变式 在空间直角坐标系中,设平面α经过点P(-1,2,-2),平面α的一个法向量为n=(-1,1,2),M(x,y,z)是平面α内任意一点,求x,y,z满足的关系式.
[素养小结]
在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示,具体步骤为:①求出平面的一个法向量;②求出平面内任意一点(x,y,z)与平面α内的一个已知点构成的向量;③利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解.6.3 空间向量的应用
6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量
1.若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 ( )
A.(3,2,1) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(1,2,3)
2.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是 ( )
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
3.若向量=(1,2,3),=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为 ( )
A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)
C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)
4.在如图所示的空间直角坐标系中,几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体,则直线AC1的一个方向向量是 ( )
A.(0,1,1)
B.(1,1,1)
C.(1,1,0)
D.(1,0,1)
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,则平面A1BC1的一个法向量是 ( )
A.(1,1,1) B.(-1,1,1)
C.(1,-1,1) D.(1,1,-1)
6.[2025·山东泰安高二期中] 已知点P(1,2,3)沿着向量v=(-1,2,2)的方向移动到点Q,且||=6,则点Q的坐标为 ( )
A.(0,0,-1) B.(3,-2,-1)
C.(-1,6,7) D.(-2,4,4)
7.已知=(m,-2,1),若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1),则m= .
8.已知直线l的一个方向向量为d=(1,-2,0),平面α的一个法向量为n=(m,3,6),若l α,则m= .
9.(13分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为2,三棱柱的高为1,BC,B1C1的中点分别为D,D1,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz.写出下列直线的一个方向向量:
(1)AD1;(2)B1A.
10.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,点F在棱PB上,问当点F在何位置时,为平面DEF的一个法向量
11.已知平面α过点P(0,1,1),其一个法向量为n=(1,1,2),则下列点不在平面α内的是 ( )
A.(2,1,0) B.(-1,0,2)
C.(2,-1,2) D.(2,3,-1)
12.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),直线l与点M(1,2,3)在平面α内,则下列向量是平面α的法向量的是 ( )
A.(1,-4,2) B.(1,1,-2)
C.(-1,3,2) D.(0,-1,1)
13.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则下列结论正确的是 ( )
A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则点P的坐标满足的方程是 .
15.阅读下面材料:在空间直角坐标系O-xyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.根据上述材料,解决下面问题:直线l是两个平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的交线,则l的方向向量可以是 ( )
A.(2,1,4) B.(1,3,5) C.(1,-2,0) D.(2,0,-1)
16.(15分)[2024·浙江丽水高二联考] 在平面四边形ABDC中(如图①),∠BAC=
∠BCD=90°,AB=AC,BC=CD,E,F分别是边BD,CD上的点,将△ABC沿BC翻折,将△DEF沿EF翻折,使得点D与点A重合(记为点P),且平面PBC⊥平面BCFE(如图②).
(1)求证:CF⊥PB;
(2)求平面PEF的一个法向量.
