(共75张PPT)
6.3 空间向量的应用
6.3.2 空间线面关系的判定
第1课时 空间向量与平行关系
探究点一 直线与直线平行
探究点二 直线与平面平行
探究点三 平面和平面平行
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与
平面、平面与平面的平行.
2.能分析和解决一些立体几何中的平行问题,体会向量方法与综
合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作
用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
知识点 用向量方法判定空间中的平行关系
设直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则
平行 关系 对应线面 图形 满足条件
线线 平行 ___________________________________________________
平行 关系 对应线面 图形 满足条件
线面 平行 ___________________________________________________
面面 平行 __________________________________________________
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( )
√
[解析] 若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量
的方向相同或相反.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线
与平面平行.( )
√
[解析] 由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与
平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若两条不同直线,的方向向量分别为 ,
,则 .( )
√
[解析] 因为,所以，又，不重合，所以 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.( )
√
[解析] 若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.
探究点一 直线与直线平行
例1 在长方体中，，分别是面对角线 ，
上的点，且，.求证： .
证明：如图所示，以，， }为正交基底，建
立空间直角坐标系 ，
设，，，则可得 ，
，，， ，
.
由即，可得 ，
由，即，可得 ，
.
又， ，
又与不重合， .
变式 如图，在平行六面体中， ，
分别是， 的中点，请选择恰当的基向量证
明： .
证明：取空间的一个基底为,, ，因为
，，所以 ，
所以，
又，无公共点，所以 .
探究点二 直线与平面平行
例2 ［2025·江苏南通一中期中］如图，在四面体
中， 平面，， ，
，是的中点，是的中点，点
在棱上，且.证明：平面 .
证明：因为， 平面，所以 ，
，两两垂直.
以，， }为正交基底，建立如图所示的
空间直角坐标系 ，
设,，则 ，可得
，，，，
因为是 的中点，所以，
又是 的中点，所以.
由，即 ，得 ，
可得 .
易知平面的一个法向量为 ，则
，
又 平面，所以 平面 .
变式 ［2025·山东菏泽外国语学校高二月考］如图，在长方体
中，,, .
（1）以，，}为正交基底建立空间直角坐标系 ，
写出平面 的一个法向量；
解：空间直角坐标系 如图所示，
则,, ，
故, .
设平面的法向量为 ，
则
令，则 ,，所以 ，
所以平面的一个法向量为 .
变式 ［2025·山东菏泽外国语学校高二月考］
如图，在长方体中， ,
, .
（2）线段的中点为，求证： 平面
.
证明：由（1）可得,，则 ，故
.
因为，所以，
又 平面，所以平面 .
［素养小结］
用向量法证明线面平行的常见思路:①证明直线的方向向量与平面内
的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可
以用平面内两个不共线的向量表示,且直线不在平面内;③证明直线的
方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
探究点三 平面和平面平行
例3 如图，在直四棱柱 中，底
面为等腰梯形，， ，
，，是棱 的中点.试用
向量法证明：平面平面 .
证明：因为底面为等腰梯形，，， 是棱
的中点，所以，所以 为正三角形，所以
.
如图，取的中点，连接 ，
则，所以 .
以，， }为正交基底，建立空间直
角坐标系，则， ，
，，， ，所以
，，， ，
所以，，所以， .
因为， 平面， 平面，所以
平面，
因为， 平面， 平面 ，所以平面，
又，, 平面 ，
所以平面平面 .
变式 如图所示，在棱长为4的正方体中，， ，
，分别是棱，，， 的中点，求证：平面
平面 .
证明：以，， }为正交基底，建立
如图所示的空间直角坐标系 ，
则，，， ，
，， .
方法一：取的中点，的中点， 的
中点，连接，，则，，
，， ，，
，，， ，
平面， 平面 ，
平面， 平面 ，
平面,平面 ，
又， 平面平面 .
方法二：设平面 的法向量是
,平面 的法向量是 .
， ，
即取 ，
则, ,得
， ，
即取 ，则
，，得 .
， 平面平面 .
［素养小结］
证明面面平行的方法
（1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
（2）将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明.
空间平行关系的向量表示
（1）线线平行
设直线,的方向向量分别为, ,则
存在,使得, ,
.
（2）线面平行
设直线的方向向量为,平面 的法向量为
, ,则
.
（3）面面平行
设平面 , 的法向量分别为, ,则
存在,使得, ,
.
空间平行关系的解题策略
几何法 向量法
线 线 平 行
几何法 向量法
线 面 平 行
面 面 平 行
续表
例1 已知空间中的正方形与正方形有一条公共边 ,设
,分别是,的中点.给出如下结论:; 平面
;;, 为异面直线.其中所有正确结论的序号为
_________.
①②③
[解析] 如图所示,设,, ,则
且.
连接,则为 的中点,可得
,
则,故 ,故①正
确.
,故,又
平面, 平面,所以平面 ,故②③正确,④不正确.
故所有正确结论的序号为①②③.
例2 ［2025·四川绵阳高二期中］如图，在棱长为2的正方体
中，，分别为棱， 的中点.
求证：平面 .
证明：以，， }为正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
由题意得，, ，
， ，
所以， ，
.
设平面的法向量为 ，
易知即
令，得,，所以 .
因为 ，
所以，
又 平面 ,所以平面 .
例3 如图,在平面内,四边形是边长为2的正方形,四边形
和四边形都是正方形.将这两个正方形分别沿, 折起,使
与重合于点,连接，，设直线过点 且垂直于正方形
所在的平面,点是直线上的一个动点,且与点 位于平面
同侧,设.当时,在线段上是否存在点 ,使
平面平面 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
解：以,,}为正交基底,建立空间直角坐标系 ,
则,,,,, .
假设存在满足题意的点 ,
设,则 ,
解得,,,即 ,
所以 .
设平面的法向量为,
由 , ,
得, ,
即得
令,则,所以 .
因为， 平面，
平面，所以 平面，
又 平面， 平面 ，所以要得到平
面平面，需满足平面 .
所以需满足,即,可得 ,
所以在线段上存在点,使平面平面 ,
此时 .
练习册
1.已知直线的一个方向向量为,直线 的一个方向向量
为,若,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,,易知，则, .
√
2.若直线的方向向量为，平面 的法向量为 ，且直线不在平面
内，则下列各组向量中，能使 的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 直线的方向向量为，平面 的法向量为 ，且直线不在平
面内，若 ，则，即 ，
结合选项可知，当， 时，满足题意.故选D.
√
3.［2025·江苏南通天星湖中学质检］已知直线 的一个方向向量为
，平面 的一个法向量为，则直线 与平
面 的位置关系是( )
A. B.
C. D. 或
[解析] ，，则 ，故
，故直线与平面 的位置关系是 或 .故选D.
√
4.［2024·陕西宝鸡高二期中］在正方体中, 与直
线和都垂直,则直线与 的位置关系是( )
A.异面 B.平行或重合 C.垂直不相交 D.垂直且相交
√
[解析] 设正方体的棱长为1,以,, }为单
位正交基底，建立空间直角坐标系,则, ,
,,,,所以 ,.
设,则 可得.
又,所以 ,所以,
所以与 平行或重合.故选B.
5.已知平面 的法向量为.若对任意，直线 平
面 或直线 平面 ，则直线 的方向向量的坐标可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 设的方向向量为,易知，即 .
对于A, ，不满足题意；
对于B, ，不满足题意；
对于C, ，不满足题意；
对于D, ，满足题意.故选D.
√
6.（多选题）若平面 ， 平行，则下列各组向量可以是这两个平
面的法向量的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
√
√
[解析] 对于A， ，则两个法向量平行，故A正确；
对于B，不存在实数 使得 ，则两个法向量不平行，故B错误；
对于C，，则两个法向量平行，故C正确；
对于D， ，则两个法向量平行，故D正确.故选 .
7.已知直线,的方向向量分别为和 ，
若，则 ____.
[解析] 因为，所以存在实数 ，使 ，即
，所以解得 ,
.
8.如图，在四棱台中，底面 是边长为2的正
方形， 平面，，，为 的中点，
则与平面 的位置关系为______.
平行
[解析] 底面是边长为2的正方形， 平
面，故，，两两垂直.
以, , }为正交基底，建立如图所示的
空间直角坐标系，连接.
在四棱台 中，，，为的
中点，故 ,,,,则,
,所以，即，
又 平面， 平面，所以平面 .
9.（13分）［2025·江苏如东中学质检］如图，已知
在正方体中，，， 分别是
，， 的中点.证明：
（1）平面 ；
证明：以，， }为正交基底，建立如图所
示的空间直角坐标系 .
设正方体的棱长为2，
则，，， ，
， .
由正方体的性质，知 平面 ，
所以为平面 的一个法向量.
由于，则 ，
所以.又 平面，所以平面 .
9.（13分）［2025·江苏如东中学质检］如图，
已知在正方体中，，，
分别是，， 的中点.证明：
（2）平面平面 .
证明： 因为为平面 的一个法向量，
且，，所以 即
也是平面 的一个法向量，
所以平面平面 .
10.若平面 的一个法向量为, ,
,且平面 与平面 不重合,则( )
A.平面平面
B.平面 平面
C.平面 与平面 相交但不垂直
D.以上均有可能
√
[解析] 设平面的法向量为 ,则
取,则,,即 ,
此时,
又平面 与平面不重合,所以平面平面 .故选A.
11.（多选题）如图，在正方体中，，，，
均是所在棱的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B.平面
C.平面平面
D.
√
√
√
[解析] 以，， }为正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，
则 ,, ,,,
,, ,
所以 , ，
所以，即，即 ，故A正确；
, ，设平
面的法向量为，则
即令，则, ，所以 ，所以
，即，
又 平面，所以 平面，故B正确；
, ，设
平面的法向量为 ，则
即令 ，则
,，所以 ，所以
，即，所以平面平面 ，故C正确；
因为 , ,所以和 不平行，
故D错误. 故选 .
12.如图，在棱长为3的正方体
中，点在上，且，点在 上，
且，在平面上存在一点 ，在
平面上存在一点，使得平面 平面
，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
（答案不唯一）
则一个满足条件的点 的坐标为_______________________.
[解析] 因为平面平面， 平面
，所以平面，
由题得 ，,,，
则 ，，
设，平面 的法向量 为，
则 即 令，则 .
又，
所以，即 .
取，则，故点 满足题意.
13.［2025·江苏常州中学质检］如图，在正方体
中，点为线段 上的动点，
, 分别为棱,的中点，若平面 ，
则 __.
[解析] 如图所示,以，， }为正交基底，
建立空间直角坐标系 .
设正方体的棱长为2,可得 ,
,，，, ,
则， ，.
设 ，可得,可得 ,
所以.
，
则即
不妨令，则.
因为平面 ，所以，解得，即 .
14.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面
为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.
如图,在阳马中, 平面,底面
是正方形,与交于点,,分别为, 的中点,
点满足,, ,若
平面,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 平面,, 平面 ,所以
,,又底面是正方形,所以 ,
则,,两两垂直.
以,, }为正交基底，建立如图所示的空间直角
坐标系,则 , ,,,
所以 ,.
设平面的法向量为 ,则
令,得 .
,则,
因为 平面,所以,即 ,解得
,故,所以 .故选B.
15.（15分）如图,在正三棱柱中, ,
,是的中点,,点在 上,且
.是否存在实数 ,使得
若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
解：假设存在实数 ,使得 .
如图,取的中点,连接,可得 ,
又在正三棱柱中,平面 平面,平面
平面, 平面,所以 平面 .
又，所以以,, }为正交基底,建立如
图所示的空间直角坐标系,则 ,
,,, ,
, ,
连接,则 ,, .
因为 ,所以
.
由,得,则存在实数,使得 ,
即方程组无解,故不存在实数 ,使
得 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）√
课中探究 探究点一 例1 证明略 变式 证明略
探究点二 例2 证明略
变式 （1）平面
的一个法向量为
（2）证明略
探究点三 例3 证明略 变式 证明略
练习册
基础巩固
1.B 2.D 3.D 4.B 5.D 6.ACD 7.
8.平行 9. 证明略
综合提升
10.A 11.ABC 12.
（答案不唯一） 13.
思维探索
14.B 15. 不存在实数
,使得
，理由略6.3.2 空间线面关系的判定
第1课时 空间向量与平行关系
1.B [解析] ∵l1∥l2,∴v1∥v2,易知λ≠0,则==,∴λ=2.
2.D [解析] 直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,且直线不在平面内,若l∥α,则m⊥n,即m·n=0,结合选项可知,当m=(1,-1,3),n=(0,3,1)时,满足题意.故选D.
3.D [解析] a=(-1,2,1),b=(-2,-2,2),则a·b=2-4+2=0,故a⊥b,故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l α.故选D.
4.B [解析] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),所以=(1,0,1),=(-1,1,0).设=(a,b,c)(a≠0),则可得=(a,a,-a).又=(-1,-1,1),所以-a=,所以∥,所以PQ与BD1平行或重合.故选B.
5.D [解析] 设l的方向向量为n=(x,y,z),易知m⊥n,即m·n=0.对于A,m·n=t-1+t+1=2t,不满足题意;对于B,m·n=-t+1-t-1=-2t,不满足题意;对于C,m·n=-t+1+t+1=2,不满足题意;对于D,m·n=t+1-t-1=0,满足题意.故选D.
6.ACD [解析] 对于A,n1=n2,则两个法向量平行,故A正确;对于B,不存在实数λ使得n1=λn2,则两个法向量不平行,故B错误;对于C,n1=-n2,则两个法向量平行,故C正确;对于D,n1=-n2,则两个法向量平行,故D正确.故选ACD.
7.-2 [解析] 因为a∥b,所以存在实数λ,使m=λn,即(4,k,k-1)=λ,所以解得λ=-2,k=-2.
8.平行 [解析] 底面ABCD是边长为2的正方形,DD1⊥平面ABCD,故DD1,DA,DC两两垂直.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,连接BC1.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2A1B1=2,DD1=1,P为AB的中点,故D1(0,0,1),B(2,2,0),C1(0,1,1),P(2,1,0),则=(2,1,-1),=(-2,-1,1),所以=-,即D1P∥BC1,又D1P 平面BCC1B1,BC1 平面BCC1B1,所以D1P∥平面BCC1B1.
9.证明:(1)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).
由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D,
所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥.又MN 平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.
(2)因为=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量,
且=(0,2,0),=(0,1,-1),所以即=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量,
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
10.A [解析] 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则x=2,y=-3,即m=(2,-3,1),此时n=m,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α∥平面ABC.故选A.
11.ABC [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),G(0,1,0),M(2,1,2),E(2,1,0),F(1,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),所以=(-2,-1,-2),=(2,1,2),所以=-,即∥,即B1G∥DM,故A正确;=(0,1,-2),=(-1,0,-2),设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=-2,y=2,所以n=(-2,2,1),所以n·=(-2)×(-2)+(-1)×2+(-2)×1=0,即n⊥,又B1G 平面A1EF,所以B1G∥平面A1EF,故B正确;=(2,1,2),=(2,2,0),设平面BDM的法向量为m=(x1,y1,z1),则即令x1=2,则y1=-2,z1=-1,所以m=(2,-2,-1),所以n=-m,即n∥m,所以平面BDM∥平面A1EF,故C正确;因为=(-2,-1,-2),=(-1,0,-2),所以B1G和A1F不平行,故D错误.故选ABC.
12.(答案不唯一) [解析] 因为平面B1GK∥平面DEF,B1G 平面B1GK,所以B1G∥平面DEF,由题得D(0,0,0),E(2,2,0),F(1,3,1),B1(3,3,3),则=(2,2,0),=(1,3,1),设G(a,0,b),平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,2).又=(a-3,-3,b-3),所以n·=a-3+3+2(b-3)=a+2b-6=0,即a+2b=6.取a=3,则b=,故点G满足题意.
13. [解析] 如图所示,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,可得D(0,0,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),M(1,2,0),N(2,1,0),则=(2,2,-2),=(-1,0,-2),=(0,-1,-2).设=λ,可得=λ=(2λ,2λ,-2λ),可得P(2λ,2λ,2-2λ),所以=(2λ,2λ,2-2λ).设平面B1MN的法向量为n=(x,y,z),则即不妨令x=-2,则n=(-2,-2,1).因为DP∥平面B1MN,所以·n=(2λ,2λ,2-2λ)·(-2,-2,1)=-4λ-4λ+2-2λ=0,解得λ=,即=.
14.B [解析] 因为PA⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又底面ABCD是正方形,所以AB⊥AD,则PA,AB,AD两两垂直.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则O(1,1,0),C(2,2,0),E(0,1,2),F(1,0,2),所以=(1,-1,0),=(2,1,-2).设平面CEF的法向量为m=(x,y,z),则令x=2,得m=(2,2,3).设G(0,0,a)(0
15.解:假设存在实数λ,使得MP∥BC1.
如图,取BC的中点O,连接AO,可得AO⊥BC,又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO 平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.
又BC⊥BB1,所以以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,2),B(2,0,0),A1(0,3,2),B1(2,3,0),M(1,0,),N(0,2,2),C1(-2,3,0),连接MB1,则=(-4,3,0),=(-2,-1,2),=(1,3,-).
因为=λ(0≤λ≤1),所以=+=+λ=(1-2λ,3-λ,-+2λ).
由MP∥BC1,得∥,则存在实数t,使得=t,即方程组无解,故不存在实数λ,使得MP∥BC1.6.3.2 空间线面关系的判定
第1课时 空间向量与平行关系
1.已知直线l1的一个方向向量为v1=(1,2,3),直线l2的一个方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,且直线不在平面内,则下列各组向量中,能使l∥α的是 ( )
A.m=(0,2,1),n=(-1,0,1)
B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.m=(1,2,0),n=(-2,-4,0)
D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
3.[2025·江苏南通天星湖中学质检] 已知直线l的一个方向向量为a=(-1,2,1),平面α的一个法向量为b=(-2,-2,2),则直线l与平面α的位置关系是 ( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l∩α=P D.l∥α或l α
4.[2024·陕西宝鸡高二期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的位置关系是 ( )
A.异面 B.平行或重合
C.垂直不相交 D.垂直且相交
5.已知平面α的法向量为m=(t,1,t+1).若对任意t∈R,直线l∥平面α或直线l 平面α,则直线l的方向向量的坐标可以是 ( )
A.(1,-1,1) B.(-1,1,-1)
C.(-1,1,1) D.(1,1,-1)
6.(多选题)若平面α,β平行,则下列各组向量可以是这两个平面的法向量的是 ( )
A.n1=(1,2,0),n2=(2,4,0)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,0,1),n2=(-2,0,-2)
D.n1=(0,1,0),n2=(0,-1,0)
7.已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k= .
8.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,DD1⊥平面ABCD,AB=2A1B1,DD1=1,P为AB的中点,则D1P与平面BCC1B1的位置关系为 .
9.(13分)[2025·江苏如东中学质检] 如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点.证明:
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
10.若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1),=(1,0,-2),=(1,1,1),且平面α与平面ABC不重合,则 ( )
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α与平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
11.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.B1G∥DM
B.B1G∥平面A1EF
C.平面BDM∥平面A1EF
D.B1G∥A1F
12.如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在BD上,且BE=BD,点F在CB1上,且CF=CB1,在平面ADD1A1上存在一点G,在平面ABCD上存在一点K,使得平面B1GK∥平面DEF,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则一个满足条件的点G的坐标为 .
13.[2025·江苏常州中学质检] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段D1B上的动点,M,N分别为棱BC,AB的中点,若DP∥平面B1MN,则= .
14.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,E,F分别为PD,PB的中点,点G满足=λ(0<λ<1),PA=4,AB=2,若OG∥平面CEF,则λ= ( )
A. B.
C. D.
15.(15分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=3,M是AB的中点,AN=2NA1,点P在B1N上,且=λ(0≤λ≤1).是否存在实数λ,使得MP∥BC1 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.6.3.2 空间线面关系的判定
第1课时 空间向量与平行关系
【课前预习】
知识点
u1∥u2 λu2 u1⊥n1 0 n1∥n2 λn2
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量的方向相同或相反.
(2)由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.
(3)因为b=-2a,所以a∥b,又l1,l2不重合,所以l1∥l2.
(4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:如图所示,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,
设DA=a,DC=b,DD1=c,则可得A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),A1(a,0,c).
由D1E=2EB1即=2,可得E,
由BF=2FA1,即=2,可得F,
∴=.
又=(-a,b,c),∴=,
又FE与AC1不重合,∴EF∥AC1.
变式 证明:取空间的一个基底为{,,},因为=+=+,=+,所以=2,所以∥,又EG,AC无公共点,所以EG∥AC.
探究点二
例2 证明:因为BC⊥CD,AD⊥平面BCD,所以BC,CD,AD两两垂直.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设CD=a,0可得=.
易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),则·n=0,又PQ 平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
变式 解:(1)空间直角坐标系D-xyz如图所示,
则A(3,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,2),
故=(-3,4,0),=(-3,0,2).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则令x=4,则y=3,z=6,所以n=(4,3,6),
所以平面ACD1的一个法向量为n=(4,3,6).
(2)证明:由(1)可得A1(3,0,2),B1(3,4,2),则P,故=.
因为n·=-6+12-6=0,所以n⊥,又A1P 平面ACD1,所以A1P∥平面ACD1.
探究点三
例3 证明:因为底面ABCD为等腰梯形,AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,所以△BCF为正三角形,所以∠BAD=∠ABC=60°.
如图,取AF的中点M,连接DM,
则DM⊥AB,所以DM⊥CD.
以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),所以=(0,0,2),=(,-1,0),=(,-1,0),=(0,0,2),
所以∥,∥,所以DD1∥CC1,DA∥CF.
因为DD1∥CC1,CC1 平面FCC1,DD1 平面FCC1,所以DD1∥平面FCC1,因为DA∥CF,CF 平面FCC1,DA 平面FCC1,所以DA∥平面FCC1,又DD1∩DA=D,DD1,DA 平面AA1D1D,所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
变式 证明:以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),A(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4).
方法一:取MN的中点K,EF的中点G,BD的中点O,连接AK,GO,则O(2,2,0),K(3,1,4),G(1,3,4).∵=(2,2,0),=(2,2,0),=(-1,1,4),=(-1,1,4),∴∥,∥,∴MN∥EF,AK∥OG,∵EF 平面EFBD,OG 平面EFBD,MN 平面EFBD,AK 平面EFBD,∴MN∥平面EFBD,AK∥平面EFBD,又MN∩AK=K,∴平面AMN∥平面EFBD.
方法二:设平面AMN的法向量是a=(a1,a2,a3),平面EFBD的法向量是b=(b1,b2,b3).
∵=(-2,0,4),=(0,2,4),
∴即取a3=1,则a1=2,a2=-2,得a=(2,-2,1).∵=(0,2,4),=(4,4,0),
∴即取b3=1,则b1=2,b2=-2,得b=(2,-2,1).
∵a∥b,∴平面AMN∥平面EFBD.6.3.2 空间线面关系的判定
第1课时 空间向量与平行关系
【学习目标】
1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行.
2.能分析和解决一些立体几何中的平行问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
◆ 知识点 用向量方法判定空间中的平行关系
设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
平行关系 对应线面 图形 满足条件
线线平行 l1与l2 l1∥l2 存在λ∈R,使得u1=
线面平行 l1与α (l1 α) l1∥α u1·n1=
面面平行 α与β α∥β 存在λ∈R,使得n1=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. ( )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. ( )
(3)若两条不同直线l1,l2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l1∥l2. ( )
(4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. ( )
◆ 探究点一 直线与直线平行
例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
变式 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E,G分别是A'D',D'C'的中点,请选择恰当的基向量证明:EG∥AC.
◆ 探究点二 直线与平面平行
例2 [2025·江苏南通一中期中] 如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在棱AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
变式 [2025·山东菏泽外国语学校高二月考] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.
(1)以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz,写出平面ACD1的一个法向量;
(2)线段B1C的中点为P,求证:A1P∥平面ACD1.
[素养小结]
用向量法证明线面平行的常见思路:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线的向量表示,且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
◆ 探究点三 平面和平面平行
例3 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.试用向量法证明:平面AA1D1D∥平面FCC1.
变式 如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD.
[素养小结]
证明面面平行的方法
(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行,然后用向量共线进行证明.