第二章一元一次方程单元测试培优卷
整体难度：较难
考试范围：方程与不等式,数与式
试卷题型
题型 数量
单选题 8
填空题 8
解答题 12
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 3
适中 13
较难 10
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 等式的性质1；等式的性质2
2 0.94 列代数式
3 0.85 已知式子的值，求代数式的值；已知方程的解，求参数
4 0.85 合并同类项
5 0.65 等式的性质1；等式的性质2
6 0.4 数字问题(一元一次方程的应用)
7 0.4 行程问题(一元一次方程的应用)
8 0.4 绝对值方程
二、填空题
9 0.85 列代数式
10 0.65 已知式子的值，求代数式的值
11 0.65 已知式子的值，求代数式的值；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
12 0.65 行程问题(一元一次方程的应用)
13 0.4 单项式的系数、次数
14 0.4 方程的解
15 0.4 等式的性质
16 0.4 一元一次方程解的关系
三、解答题
17 0.4 解一元一次方程（二）——去括号；解一元一次方程（三）——去分母
18 0.65 解一元一次方程（三）——去分母
19 0.65 等式的性质1；等式的性质2
20 0.65 相反数的定义；已知式子的值，求代数式的值；绝对值的几何意义；倒数
21 0.65 数字问题(一元一次方程的应用)
22 0.65 古代问题(一元一次方程的应用)；解一元一次方程（二）——去括号
23 0.65 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）；几何问题(一元一次方程的应用)
24 0.65 解一元一次方程（三）——去分母；方程的解
25 0.65 方程的解；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号
26 0.65 列代数式；已知字母的值 ，求代数式的值；有理数乘法的实际应用
27 0.4 列代数式；几何问题(一元一次方程的应用)
28 0.4 其他问题(一元一次方程的应用)
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 方程与不等式 1,3,5,6,7,11,12,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24,25,27,28
2 数与式 2,3,4,8,9,10,11,13,20,23,26,272025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第二章一元一次方程·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是m分，语文和数学共得n分，则嘉嘉英语得（ ）
A．分 B．分
C．分 D．分
3．若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2017 B．2027 C．2045 D．2031
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
6．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或 D．1或
7．A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2022
二、填空题（每小题 3 分，共24 分）
9．飞机的无风速度是，风速为，飞机顺风飞行，后又逆风飞行3小时，共飞行 ．
10．若，则 ．
11．已知，则 ．
12．（行程问题）两人从甲地到乙地，同时出发，一人匀速3小时走完全程，另一人匀速4 小时走完全程，经过 小时，其中一人所剩路程是另一人所剩路程的2倍．
13．一个关于x的单项式，系数为正整数．甲将x换成2x后计算了所得单项式系数与次数之差（系数减次数）；乙将x换成x2后也计算了所得单项式系数与次数之差．现知甲得到的结果是2013，乙得到的结果是偶数，则乙得到的结果是 ．
14．已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ．
15．有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
16．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．
三、解答题（第 17，18，题每题 5分，第 19，20，21 题每题 6 分，第 22，23，24 题 每题 8 分，25，26题每题10 分，共 72 分）
17．解方程：．
18．解方程： ．
19．解方程．
(1)
(2)
(3)
20．如果互为倒数，互为相反数，且，求代数式的值．
21．我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以．
(1)填空： ； ； ；
(2)将循环小数写成分数的形式．
22．（1）解方程：；
（2）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满：两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车？
23．已知数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联络点”．例如，数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联络点”．
(1)若点表示的数为，点表示的数为 ，下列各数：，，，所对应的点分别是，，，，其中是点，的“联络点”的是 ．
(2)点表示的数为，点表示的数为，是数轴上一个动点．
① 若点在点的右侧，且点是点，的“联络点”，求出此时点表示的数．
② 若点在点的左侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联络点”，求出此时点表示的数．
24．某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘以6，求得方程的解为．请你求出的值，并正确地解方程．
25．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题，
(1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值．
26．某城市为增强人们的节水意识，规定生活用水的基本价格是每立方米元，每户每月用水限定为8立方米，超出部分按每立方米3元收费．
(1)小峰家上个月用水6立方米，上个月应交水费多少元？
(2)小峰家这个月用水n立方米(超过8立方米)，这个月应交水费多少元？(用含n的式子表示)
(3)当时，应交水费多少元？
27．如图，在长方形中，，，一只蚂蚁P从A点出发在长方形的边上运动一周，蚂蚁P的运动速度在两条水平线、上是，在上的运动速度是水平线上的一半，在上的运动速度是水平线上的两倍，点P的运动时间为t，点P与点A、点D连线所围成的三角形的面积表示为．
(1)P运动一周用时______秒；时P的运动路程为______；
(2)当点P在边上时线段的长为______，当点P在边上时线段的长为______，（用含t的式子表示这两条线段）；
(3)若，求t的值；
28．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天．已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？(共6张PPT)
北京版2024七年级上册
第二章一元一次方程单元测试·培优卷试卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 等式的性质1；等式的性质2
2 0.94 列代数式
3 0.85 已知式子的值，求代数式的值；已知方程的解，求参数
4 0.85 合并同类项
5 0.65 等式的性质1；等式的性质2
6 0.5 数字问题(一元一次方程的应用)
7 0.4 行程问题(一元一次方程的应用)
8 0.4 绝对值方程
三、知识点分布
二、填空题 9 0.85 列代数式
10 0.65 已知式子的值，求代数式的值
11 0.65 已知式子的值，求代数式的值；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
12 0.75 行程问题(一元一次方程的应用)
13 0.55 单项式的系数、次数
14 0.4 方程的解
15 0.45 等式的性质
16 0.4 一元一次方程解的关系
三、知识点分布
三、解答题 17 0.4 解一元一次方程（二）——去括号；解一元一次方程（三）——去分母
18 0.65 解一元一次方程（三）——去分母
19 0.65 等式的性质1；等式的性质2
20 0.55 相反数的定义；已知式子的值，求代数式的值；绝对值的几何意义；倒数
21 0.65 数字问题(一元一次方程的应用)
22 0.65 古代问题(一元一次方程的应用)；解一元一次方程（二）——去括号
23 0.65 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）；几何问题(一元一次方程的应用)
24 0.75 解一元一次方程（三）——去分母；方程的解
25 0.55 方程的解；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号
26 0.65 列代数式；已知字母的值 ，求代数式的值；有理数乘法的实际应用
27 0.45 列代数式；几何问题(一元一次方程的应用)
28 0.4 其他问题(一元一次方程的应用)2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第二章一元一次方程·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D B A B B
1．C
此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．
解：A．若， 成立的条件是，故选项A变形不正确，故该选项不符合题意，
B．若，无法得，故选项B不符合题意，
C．若，则，变形正确，故选项C符合题意，
D．若，则成立的条件是，故选项D变形不正确，故该选项不符合题意，
故选：C．
2．B
此题考查列代数式，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的数量关系进行解答．根据语文、数学和英语三科的平均分是m分可知总分为，再减去语文和数学的总得分即可．
解：因为语文、数学和英语三科的平均分是m分，
所以语文、数学和英语三科的总分为，
因为语文和数学共得n分，
所以嘉嘉英语得分，
故选：．
3．D
本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值．将代入中得，将整体代入中即可得出答案．
解：将代入，得：
，即，
∴．
故选：D．
4．D
本题考查合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可．
解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
5．B
本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两条基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或整式），等式仍成立，尤其要注意除法中除数不能为0．
根据等式的性质逐项分析即可．
解：根据等式的基本性质对各选项分析如下：
A.，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意；
B.，可推出，也可能推出，故变形错误，本选项符合题意；
C.，两边同时减去6，得，变形正确，本选项不符合题意；
D.，且，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意．
故选：B．
6．A
本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论．
解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图．
因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8，
又因为，
所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为，
所以，，，
所以，，．
所以当时，，此时；
当时，，此时．
综上可知的值为或．
故选A．
7．B
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为小时，相距要从相遇前和相遇后； 追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计种情况，经计算检验数据是否符合题意．
解：设两车相距时，行驶的时间为小时，依题意得：
当快车从地开往地，慢车从地开往地，两车相距时， 则有：，解得；
②当快车继续开往地，慢车继续开往地，相遇后背离而行，两车相距时，，解得 ；
③快车从地到地全程需要(小时)，此时慢车从地到地行驶，
，
∴快车又从地返回地是追慢车，则有：，
解得 ；
④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，解得 ；
⑤快车返回地终点所需时间是小时，此刻慢车行驶了 ，距终点还需行驶，则有：，解得 ；
综上所述，两车恰好相距的次数为次．
故选：B．
8．B
本题考查了绝对值方程．
先解绝对值方程，求出方程的四个解，再根据绝对值的非负性得到，即，可知，则四个解的大小为，根据关于x的方程恰有三个解，可知，计算即可．
解：∵，
∴或，
∴或，
∴或或或，
即或或或．
∵，
∴．
即
∵关于x的方程恰有三个解，
∴，
∴．
故选：B．
9．
本题主要考查列代数式，解题的关键是读懂题意．
根据“顺风速度=无风速度+风速，逆风速度=无风速度-风速”及题意可进行求解．
解：由题意得：；
故答案为．
10．
本题考查的是求解代数式的值，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键．由，可得，，再整体代入求解代数式的值即可．
解：，
，，
，
故答案为：．
11．
本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，先解方程，求出的值，最后代值计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：，
，
∴，
故答案为：．
12．
本题考查行程问题，掌握相关知识是解决问题的关键．把全程看单位“1”，表示出速度和已行驶的路程及剩余路程，根据一人所剩路程是另一人所剩路程的2倍为等量关系列方程即可．
解：把全程看作单位“1”，根据题意，一人用3小时走完全程，他的速度是，另一人用4小时走完全程，他的速度是，设已经出发了小时，则两人分别行驶了 ，剩下的路程是 和，
∵其中一人所剩路程是另一人所剩路程的2倍，
∴走得慢的人剩余的路程是走得快的人剩余路程的2倍，
∴，
解得：．
故答案为：．
13．246
本题考查了单项式的有关计算．
设原来的单项式为（a为正整数），则甲：，则①，乙：，则偶数②，结合a、n的奇偶性分类讨论即可．
解：设原来的单项式为（a为正整数），
甲：，则 ①，
乙：，则偶数 ②，
由②知，a是正偶数，又由①知，n是奇数，
当时，，则，，不合题意；
当时，，则，；
当时，，则，不合题意；
当时，，则，不合题意；
当时，，则，不合题意；
当时，，则，不合题意；
综上所述，．
故答案为：246．
14．
本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键．
解：∵是关于的方程的整数根，
∴，
∵，且，，，，是五个不同的整数，
∴，，，，也是五个不同的整数，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
先把个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
解：先把个球分成个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组；
再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；
若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
故至少次可以找出这个较轻的球．
故答案为：
本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键
16．
本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键．
解：方程变形得，，
设，
则方程的解即为方程的解，
∵方程的解为，
∴，
∴，
∴一元一次方程的解为，
故答案为：．
17．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解本题的关键．
方程去括号，去分母，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
解：，
去括号，得，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18．
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”是解题的关键．
根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可．
解：，
，
，
，
，
．
19．(1)
(2)
(3)
（）根据等式的性质解答即可；
（）根据等式的性质解答即可；
（）根据等式的性质解答即可；
本题考查了解方程，掌握等式的性质是解题的关键
（1）解： ，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
．
20．或/或17
本题考查了倒数的定义，相反数的定义，以及绝对值的意义，代数式求值，掌握以上知识是解题的关键．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，的相反数还是．正数的绝对值是其本身，的绝对值是，负数的绝对值是它的相反数；相乘等于的两个数互为倒数．根据倒数的定义，相反数的定义，以及绝对值的意义，求得，，，代入代数式进行计算即可求解．
解：∵互为倒数，互为相反数，且，
∴，，，
当时，原式，
当时，原式．
故答案为：或．
21．(1)，，1
(2)
（1）仿照题目中的方法列方程求解即可；
（2）设，则，从而可得，再解方程即可求解．
（1）解：设，则，
∴，
解得，，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：，，1；
（2）解：设，则，
∴，
解得，，
∴．
22．（1）；（2）共有人出行，辆车．
本题考查了一元一次方程的应用，以及解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．
（1）依次去括号、移项。合并同类项、系数化1，即可解方程；
（2）设共有辆车，根据人数一定列方程求解即可．
（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
（2）解：设共有辆车，
由题意得：，
解得：，
则（人），
答：共有人出行，辆车．
23．(1)
(2)
① 或或
②或或或
()根据定义求解作答即可；
()①设点表示的数，分两种情况讨论，当在点，的之间时，则，当在点左侧时，则，分别根据定义列式求解作答即可.
②设点表示的数为，则，则，，，分当点是点，的“联络点”；当点是点，的“联络点”；当点是点，的“联络点”，分别根据定义列式求解作答即可.
（1）解：由题意知，，
∴，是点，的“联络点”；
，
∴，不是点，的“联络点”；
，
∴，不是点，的“联络点”；
，
∴，不是点，的“联络点”；
故答案为：；
（2）①设点表示的数，
当在点，的之间时，则，，，
∵点是点，的 “联络点”，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
当在点右侧时，则，，，
∵点是点，的 “联络点”，
∴当，，解得，（不符合题意舍去），
当，，解得，，
综上所述，此时点表示的数为或或，
②解：设点表示的数为，则，则，，，
当点是点，的“联络点”，
当时，，解得，，
当时，，解得，（不符合题意舍去），
当点是点，的“联络点”，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
当点是点，的“联络点”，
当时，，解得，，
当时，，解得，（不符合题意舍去），
综上所述，此时点表示的数为或或或．
本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题是解题的关键．
24．，
本题考查了一元一次方程的错解问题，根据题意得方程的解为，据此求出即可求解.
解：由题意得：方程的解为，
将代入得：，
解得：
∴原方程为，即：
解得：
25．(1)是“乘解方程”，理由见解析；
(2)的值为．
（）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可；
（）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可；
本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
（1）解：是“乘解方程”，理由：
由解得：，
∵，
∴方程是“乘解方程”；
（2）解：由解得：，
∵关于的一元一次方程是“乘解方程”，
∴，
解得：，
∴的值为．
26．(1)上个月应交水费15元；
(2)；
(3)当时，应交水费26元．
本题考查了有理数的实际应用（阶梯水费计算）及代数式的表示与求值，解题的关键是根据用水量是否超过限定的8立方米进行分情况计算，明确基础水费与超额水费的计算方式．
（1）判断用水量6立方米未超过8立方米，直接用基本价格用水量计算水费；
（2）用水量n立方米超过8立方米，先算8立方米的基础水费，再算超出部分立方米的超额水费，两者相加得总水费并化简；
（3）将代入（2）中所得代数式，计算出具体水费．
（1）解：应交水费基本价格用水量（元）．
答：上个月应交水费元．
（2）解：
（元）．
答：这个月应交水费元．
（3）解：当时，代入得：（元）．
答：当时，应交水费元．
27．(1)，
(2)
(3)的值为或
本题是四边形综合题，考查长方形的性质，三角形的面积，路程，速度，时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据路程，速度，时间之间的关系，即可解决问题；
（2）根据路程速度时间，求解即可
（3）分两种情形：当点P在上时，当点P在线段上时，分别构建方程求解即可．
（1）点在线段上的运动时间为：，
点在线段上的运动时间为：，
点在线段上的运动时间为：，
点在线段上的运动时间为：，
∴运动一周用时：，
∵点在线段上的运动时间为：，点在线段上的运动时间为：
时，点在线段上，的运动路程为
故答案为: ，；
（2）当点在边上时, 线段的长为；当点在边上时，线段的长为 ，
故答案为：；
（3）当点在线段上时，
，
；
当点P在边上时，
，不符合题意，舍去；
当点在线段上时，
；
综上所述，的值为或．
28．10天
本题考查了列方程解决问题，根据题干从乙开始做完工时间要比前一种多半天，得出甲的工作效率要比乙的工作效率高，每次交替轮流做这项工程时，最后一次都是由甲做才能满足题意，这也是理解并解决本题的一个难点．
把这项工程总量看作单位“1”，根据题干可知，乙的工作效率是，设甲的工作效率为，则可以得出：（1）如果按照甲、乙、甲、乙…交替轮流做，；（2）如果按照乙、甲、乙、甲…交替轮流做，由上述推理可得：甲的工作效率=乙的工作效率甲的工作效率；由此即可解决问题，
解：把这项工程总量看作单位“1”，根据题干可知，乙的工作效率是，且甲的工作效率乙的工作效率甲的工作效率．
设甲的工作效率为，可得方程：
（天）
答：甲单独完成这项工程需要10天．
