2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第一章 有理数单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，数轴上的点、分别表示数、，若点是的中点，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2．如果彤彤今天买零食支出53元记作元，那么家长给的零花钱100元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，④，以上说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如果，那么（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（ ）
A．23 B．22 C．21 D．3
6．如图所示，数轴上点分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
7．比较下列各组数的大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共24 分）
9．在数轴上将点A向右移动5个单位，再向左移动1个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ．
10．用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是 ．（参考数据提示：，）
11．一个三位小数，取近似值后是，这个三位小数最大是 ，最小是 ．
12．蓝光唱片的容量约为 ，一张普通唱片的容量约为25 GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示）
13．算式的计算结果是 ．
14．若a，b均为质数，且，则的值为 ．
15．若，则 ．
16．式子的最小值是 ．
三、解答题（第 17，18，题每题 5分，第 19，20，21 题每题 6 分，第 22，23，24 题 每题 8 分，25，26题每题10 分，共 72 分）
17．计算：
18．计算：．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米）
(1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？
(2)小李当天走过的路程是多少？
21．某商店一周内每天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：，，，，，，．
(1)求一周的盈亏总额是多少？
(2)若盈利元以上为盈利状况良好，问该商店这周盈利状况如何？
22．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加5分，答错一题扣5分．游戏结束时，各组的分数（单位：分）如下表：
组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
分数 100 150 350
(1)第一名超出第二名多少分？
(2)第一名超出第五名多少分？
23．出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米）如下：
，，，，，，，，，，．
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？
(2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油多少升？
24．王明准备改造自己的房间，想让它更智能、更舒适．
(1)王明想给正方形的书房地面铺设带有感应功能的方砖，用边长的方砖铺地正好需36块．改用边长的方砖需多少块？
(2)为了营造氛围，王明需要购买30个可调光调色的智能灯泡．现有甲、乙两家商城在销售，灯泡的单价都是10元．但两家商场的优惠活动不同：
甲商城：打8折销售 乙商城：购物每满200元，立减30元现金
王明想尽量节省费用，他应该选择哪家商场购买？为什么？（请写出计算过程）
25．北京石景山游乐园位于北京西山风景区南麓，下面是彬彬同学对某月日去石景山游乐园人数所做的统计表（“”表示比日多的人数，“”表示比日少的人数，单位：万人）
日期 日 日 日 日 日 日 日
人数变化
(1)请你判断这天中哪一天去石景山游乐园的人最多？哪一天最少？他们相差多少万人？
(2)若该月日去石景山游乐园的人数是万人，则这七天去石景山游乐园的总人数是多少？
(3)在（2）的条件下，平均每人就有一人购买纪念品，平均每个纪念品的利润为元，则石景山游乐园这七天共盈利多少元？（用科学记数法表示）
26．某中学举行踢毽子比赛，六年级一班组建了踢毽子训练小组，小组中男生有人，女生人数与男生人数的比是．
(1)求踢毽子小组的人数是多少人？
(2)踢毽子小组中男生人数占全班男生人数，踢毽子小组人数占全班人数的，求该班级未参加踢毽子的女生人数是多少人？
(3)由于活动的需要，未参加踢毽子训练的同学中有一些女生要参加训练，有一些参加训练的男生退出了训练，调整后踢毽子小组训练的总人数多了人，踢毽子小组中男生人数为女生人数的，求调整前踢毽子小组中退出训练的男生的人数．
27．小虫从原点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程记录依次为(单位：)：，，，，，，，．
(1)小虫最后是否能回到出发点？如果不能，它与出发点的位置是怎样的？
(2)小虫在爬行过程中离出发点最远时在什么位置？(要说明方向和距离)
(3)在爬行过程中，如果每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了多少粒芝麻？
28．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：．
(1)则______，______；
(2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”．
①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数；
②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值．(共6张PPT)
北京版2024七年级上册
第一章有理数单元测试·培优卷
试卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离
2 0.75 相反意义的量；正负数的实际应用
3 0.65 有理数加法运算；两个有理数的乘法运算；根据点在数轴的位置判断式子的正负；绝对值的几何意义
4 0.55 有理数大小比较；有理数乘法运算律
5 0.50 有理数的加减混合运算
6 0.55 数轴上两点之间的距离；有理数加法运算；根据点在数轴的位置判断式子的正负
7 0.65 有理数大小比较；化简多重符号；求一个数的绝对值
8 0.4 数轴上两点之间的距离；绝对值的几何意义；有理数的减法运算
三、知识点分布
二、填空题 9 0.85 用数轴上的点表示有理数
10 0.75 计算器——有理数；两个有理数的乘法运算
11 0.75 求一个数的近似数
12 0.65 用科学记数法表示绝对值大于1的数
13 0.65 含乘方的有理数混合运算
14 0.60 已知字母的值 ，求代数式的值；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；有理数的乘方运算
15 0.55 绝对值非负性；有理数的除法运算
16 0.4 绝对值的几何意义；带有字母的绝对值化简问题
三、知识点分布
三、解答题 17 0.4 含乘方的有理数混合运算
18 0.65 有理数的减法运算
19 0.65 有理数的加减混合运算；有理数加减中的简便运算；求一个数的绝对值；有理数的减法运算
20 0.95 有理数加法在生活中的应用；正负数的实际应用
21 0.85 正负数的实际应用；有理数加减混合运算的应用
22 0.85 有理数减法的实际应用
23 0.65 有理数加减混合运算的应用；有理数四则混合运算的实际应用；正负数的实际应用
24 0.75 有理数四则混合运算的实际应用；含乘方的有理数混合运算
25 0.75 有理数四则混合运算的实际应用；用科学记数法表示绝对值大于1的数；正负数的实际应用
26 0.55 有理数乘法的实际应用；有理数除法的应用；有理数加法运算；有理数减法的实际应用
27 0.65 有理数加减混合运算的应用；有理数乘法的实际应用；正负数的实际应用；绝对值的其他应用
28 0.4 数轴上两点之间的距离；绝对值非负性2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第一章 有理数单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B C B C D
1．C
本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离．
设点所表示的数是，根据题意得，解方程即可得点所表示的数．
解：设点所表示的数是，
根据题意得，
解得，
∴点所表示的数是．
故选：C．
2．B
本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若支出由负数表示，那么收入就用正数表示，据此可得答案．
解：如果彤彤今天买零食支出53元记作元，那么家长给的零花钱100元记作元，
故选：B．
3．C
本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法和乘法计算，根据数轴可知 ，，据此根据乘法和加法计算法则求解即可.
解：∵ ，
∴①，此项正确；
②，此项正确；
③，此项正确；
④，此项错误；
故选：C.
4．B
本题主要考查了有理数大小的比较，设，，得出，，根据，即可得出．
解：设，，
则，
，
因为，所以，
所以．
故选：B．
5．C
本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和即可得．
解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和．
即
，
即这个运算结果最大值是21，
故选：C．
6．B
本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间距离，有理数的加法运算法则，由可得，即得，又由数轴可得，得到，进而得到，再根据有理数的加法法则即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵，
∴，
∴，
又由数轴可得，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7．C
本题主要考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小一一比较即可．
解：．，原比较错误，故该选项不符合题意；
．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意；
．，则，原比较正确，故该选项符合题意；
．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．D
本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可．
解：，
的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和，
当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，
的最小值为，
的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3，
的最小值为，
的最小值是，
故选：．
9．－4
本题主要考查了数轴上点的移动，抓住向右为数轴的正方向即可．采用逆向移回的方法即可求解．
解：可采用逆向移回的方法来找点A所表示的数：
把原点向右移动1个单位得到1，
再把1向左移动5个单位得到，
所以点A表示的数是．
故答案为：．
10．
本题考查了有理数的混合运算，根据数字的特点得到分数，化简即可得到结果，根据数字的特点得到分数是解题的关键．
解：由题可得，
∵，，
∴，
即再按计算器的转换键显示的分数结果是，
故答案为：．
11．
本题考查了近似数，根据四舍五入法解答即可，掌握四舍五入法是解题的关键．
解：因为一个三位小数，取近似值后是，
所以这个三位小数最大是，最小是，
故答案为：，．
12．
本题考查科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
利用科学记数法的定义列式计算即可．
解：，
则，
即蓝光唱片的容量是普通唱片的倍，
故答案为：．
13．0
本题考查了有理数的混合运算，能计算出因数0是解题的关键．
根据题意先算出，再根据含有因数0的乘法运算乘积为0即可得到答案．
解：原式
．
故答案为：0．
14．2001
本题考查的是质数与合数，熟知“在所有质数中只有2是偶数”是解答此题的关键．
由于a，b均为质数，且，2003是质数，所以a、b中必有一数为偶数，再分别根据或进行计算即可．
解： a，b均为质数，且，2003是奇数，
和b必然一奇一偶，
由于唯一的偶质数是2，
或，
当时，可化为，，；
当时，可化为，，a是无理数，不合题意．
故答案为：2001．
15．
本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，有理数的除法运算．
先根据绝对值的非负性和平方的非负性求出，，再根据有理数的除法运算求解即可．
解：∵
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．8
本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键．
解法一：分，，，，，讨论，求出各股的最小值，再比较即得；
解法二：由绝对值的几何意义可知当时，有最小值，同理可知当时，有最小值，当时，有最小值，最小值为0，则当时，，，能同时取到最小值，进而可得当时，有最小值，据此求解即可．
解法一：设，
当时，
，
∴，最小值为：18；
当时，
，
∴，最小值为：11；
当时，
，
∴，最小值为：8；
当时，
，
∴，最小值为：8；
当时，
，
∴，最小值为：11；
当时，
，
∴，最小值为：18．
综上，原式的最小值为：8．
解法二：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数到表示1和5的数的距离之和，
∴当时，有最小值，最小值为，
同理可知当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为0，
综上所述，当时，，，能同时取到最小值，
∵
，
∴当时，有最小值，最小值为；
故答案为：8．
17．
本题考查了错位相减法求和，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据错位相减法即可计算．
解：令，
则，
∴，
即，
∴．
18．
本题考查有理数的减法运算，根据绝对值的意义和有理数的减法法则进行计算即可 ．
解：
．
19．(1)1
(2)
(3)
(4)
（1）按有理数减法法则计算即可；
（2）按有理数加减法法则计算即可；
（3）将分母相同的先进行相加即可；
（4）先将分数化为小数，并去掉绝对值符号和括号，再进行计算即可．
本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
20．(1)小李在站台的正东方向，离站台1千米
(2)小李当天走过的路程是19千米
本题主要考查了有理数的加法，正数和负数的意义，以及绝对值，熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义是解题的关键．
（1）先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定巡视在出发点的方向，相距多少千米；
（2）把已知数据的绝对值相加，即可得到答案．
（1）解：（千米），
答：小李在站台的正东方向，离站台1千米；
（2）解：（千米），
答：小李当天走过的路程是19千米．
21．(1)盈利元
(2)良好
本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的应用；
（1）将一周的数据相加，即可求解；
（2）根据题意结合（1）的结论，即可求解．
（1）解：∵，
∴这一周的盈亏情况是盈利元，
（2）解：根据条件，盈利元以上为盈利状况良好，
由（1）知，一周总盈利为元，且，满足盈利状况良好的标准，
因此，该商店这周盈利状况良好．
22．(1)第一名超出第二名200分；
(2)第一名超出第五名750分．
本题考查了有理数的大小比较、有理数的减法的实际应用，依据表格正确得出第一名、第二名和第五名的分数是解题关键．
（1）先根据表格得出第一名和第二名的分数，再计算有理数的减法即可得；
（2）先根据表格得出第一名和第五名的分数，再计算有理数的减法即可得．
（1）解：由表格可以看出，第一名得了350分，第二名得了150分，
（分）．
答：第一名超出第二名200分；
（2）解：由题表可以看出，第一名得了350分，第五名得了分．
（分）．
答：第一名超出第五名750分．
23．(1)千米
(2)升
本题考查有理数的运算在实际中的应用，绝对值的应用，
（1）将各数相加所得的数即是距出发点的距离，若得数为正则在出车的东边，若为负则在出车的西边；
（2）耗油量总路程每千米的耗油量，总路程为所走路程的绝对值的和，据此列式计算即可；
掌握相应的运算法则是解题的关键，注意总路程为所走路程的绝对值的和．
（1）解：
（千米)，
答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点千米，此时在出车点的东边；
（2）∵汽车耗油量为升/千米，即升/千米，
∴
（升），
答：若汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油升．
24．(1)改用边长的方砖需81块
(2)应该选择甲商场购买，原因见解析
本题考查正方形的面积，折扣问题，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键：
（1）求出总面积，再除以边长的方砖的面积，进行计算即可；
（2）根据优惠方法，求出分别到两个商城购买所需要的费用，进行比较即可．
（1）解：（块）；
答：改用边长的方砖需81块；
（2）应该选择甲商场购买，原因如下：
去甲商场购买所需费用为：（元）；
（元），，
故去乙商场购买所需费用为：（元）；
因为，
所以他应该选择甲商场购买．
25．(1)日去石景山游乐园的人最多，日去石景山游乐园的人最少，相差万人
(2)这七天去石景山游乐园的总人数是万人
(3)石景山游乐园这七天共盈利元
本题考查有理数混合运算的应用，科学记数法，掌握有理数混合运算顺序和法则是解题的关键．
（1）比较统计表中的数据，即可得出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，以及它们相差多少万人；
（2）用加上所记录数据的代数和即可；
（3）计算出购买奖品的人数，乘以每个纪念品的利润即可．
（1）解：因为，
所以日去石景山游乐园的人最多，日去石景山游乐园的人最少，
他们相差万人；
（2）解：万人．
答：这七天去石景山游乐园的总人数是万人；
（3）解：购买纪念品的人数为人，
所以元，
答：石景山游乐园这七天共盈利元．
26．(1)人；
(2)人；
(3)人．
本题考查了有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据有理数乘除法，有理数加法列出算式即可求解；
（）根据有理数除法，有理数减法列出算式即可求解；
（）根据有理数乘法，有理数加减法列出算式即可求解．
（1）解：（人），
（人），
答：踢毽子小组的人数是人，
（2）解：（人），
（人），
（人），
答：该班级未参加踢毽子的女生人数是人；
（3）解：（人），（人），
（人），
答：调整前踢毽子小组中退出训练的男生的人数为人．
27．(1)小虫不能回到出发点，在出发点的左边，距离出发点.
(2)小虫离开出发点最远是，在出发点的左边.
(3)每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了粒芝麻.
本题考查正数与负数的意义及有理数的加减混合运算，理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示,并熟练掌握有理数加减混合运算法则是解题关键.
（1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置.
（2）分别计算出每次爬行后距离原点的距离即可得答案.
（3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数即可．
（1）解：.
答：小虫不能回到出发点，在出发点的左边，距离出发点.
（2）解：第一次，
第二次，
第三次，
第四次，
第五次，
第六次，
第七次，
第八次.
∴小虫离开出发点最远是，在出发点的左边.
（3）解：，
∴，
∴每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了粒芝麻.
28．(1)，12
(2)①6，0；②45，60，
（1）利用平方数和绝对值的非负性来确定a、b的值；
（2）①通过设点M对应的数，根据“友好点”的定义列出方程求解；
②先根据求出的值，再设点P、Q对应的数，分情况讨论当B、P、Q分别为“友好点”时列出方程求解的值．
（1），，且，
，，
解得，，
故答案为，12；
（2）①设数轴上点M表示的数为x，
，，
根据“友好点”的定义，M到A、B两点的距离满足其中一个距离是另一个距离的2倍，即或，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得
所以数轴上点M对应的有理数是6或0；
②，且，
，
设点P表示的数为p，
点P在点A右侧，A表示的数为，
，
解得，
设点Q表示的数为q，则，
当点B是P、Q的“友好点”时：有或，，
当时，，
解得，
此时点表示的数是，点表示的数是，点在点的右侧，不合题意，舍去；
当时，，
当点P是B、Q的“友好点”时：有或，，，
当时，，
解得，则，
当时，，
解得，则，
当点Q是B、P的“友好点”时：有或，，，
当时，，
解得，则，
当时，，
解得（因为点Q在B右侧，所以舍去），
综上分析可得，的值为45或60或90．
本题是一道综合性较强的数轴与绝对值应用问题，非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
