(共122张PPT)
6.3 空间向量的应用
6.3.3 空间角的计算
探究点一 求异面直线所成的角
探究点二 求直线和平面所成的角
探究点三 求平面与平面的夹角
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的
法向量,能求直线与直线、直线与平面所成的角,平面与平面的夹角.
2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综
合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作
用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
知识点 空间角
设直线,的方向向量分别为,,平面 , 的法向量分别为, ,则
空间图形 范围 向量法 几何法
异面 直线 所成 的角 __________________________________________________ 平移交
于一点,
解三角
形
空间图形 范围 向量法 几何法
直线 与平 面所 成的 角 __________________________________________________ _____ _____ _____ 过直线
上一点
作平面
的垂线,
解三角
形
续表
空间图形 范围 向量法 几何法
二面 角 _________________________________________________________ _____ _____ _____ 作两平
面的垂
线,解三
角形
续表
注意：若,分别为平面 , 的法向量， ，
则二面角的平面角的大小为或，即二面角 等于
它的两个半平面所在平面的法向量的夹角或夹角的补角.
①当法向量与 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角
的大小等于 的大小.
②当法向量,的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角
的大小等于 的大小.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )
×
[解析] 当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直
线所成的角相等;
当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.
故错误.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若平面 的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面 所
成的角为 ,则 .( )
×
[解析] ,故错误.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）二面角的大小等于平面与平面夹角的大小.( )
×
[解析] 两个平面相交时所形成的四个二面角中，不大于 的二面
角称为平面与平面的夹角，故错误.
探究点一 求异面直线所成的角
例1 如图，在四棱锥中，底面 为正
方形， 底面，，为 上一
点，且，则异面直线与 所成角的余
弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以，， }为正交基底，建立如
图所示的空间直角坐标系，
设 ，
则，可得 ，
，，，
根据 ，求得，所以 ，，
可得 ， ，
所以异面直线与 所成角的余弦值为 .故选B.
变式 在直三棱柱中，， ，则
异面直线与 所成角的大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，在直三棱柱中， ，
，
设，可得 ，，
， ，
可得， ，
√
所以
，，所以，
，.
设异面直线与 所成的角为 ， ，所以
， ，所以 .故选C.
［素养小结］
用向量法求异面直线所成的角的一般思路：在异面直线
与
上分别
取点
,
和
,
,则
与
分别为直线
,
的一个方向向量,若异面直线
,
所成的角为
,则
.
运用向量法求异面直线所成的角常有两种方法.
①基底法:在一些不适合建立空间直角坐标系的题型中,经常采用取基
底的方法.在由公式
求向量
,
的夹角时,关键是求出
,
与
,一般是把
,
用基向量表示出来,再求有关的量.
②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的
坐标,利用坐标法求异面直线所成的角,避免了传统找角或作角的步骤,
使过程变得简单.
探究点二 求直线和平面所成的角
例2 如图，在直三棱柱中，， ，
，求直线与平面 所成角的正弦值.
解：如图，以，， }为正交基底，建
立空间直角坐标系 ，
由，，得 ，
，， ，
所以， ，
.
设平面的法向量为 ，
则令，则 ，
，
所以平面的一个法向量为 .
设直线与平面所成的角为 ，
则 ， ，
故直线与平面所成角的正弦值为 .
变式 如图，在棱长都为2的平行六面体中，
，点在底面上的射影恰为 与
的交点，求直线与平面 所成角
的正弦值.
解：由题意可知，底面 为菱形，可得
，
又点在底面上的射影为，所以,,
两两垂直，以,, }为正交基底，建立空间直角坐标系
，如图所示.
易知,,, ，, ，
则,, .
设直线与平面所成的角为 ，
平面 的法向量为 ，
则即
取 ，则，，
可得平面的一个法向量为 .
又 ，因此
，
故直线与平面 所成角的正弦值为 .
［素养小结］
用向量法求直线与平面所成的角的步骤:
①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;
②求出直线的方向向量
和平面的法向量
;
③求出夹角
,
;
④判断直线与平面所成的角
和
,
的关系,求出角
.
探究点三 求平面与平面的夹角
例3 如图,在直三棱柱中,
是边长为2的正三角形,为 的中点.
（1）证明: 平面 ;
证明:是正三角形,为 的中点,
.
在直三棱柱中,可得 平面 ,
又 平面, .
又,, 平面 , 平面 .
例3 如图,在直三棱柱中, 是边长为2的正三角形,
为 的中点.
（2）若,求平面与平面 夹角的余弦值.
解： 设的中点为,连接 ,易知
, ,两两垂直,以,, }为正交
基底,建立空间直角坐标系 ,如图.
是边长为2的正三角形,
,则,, ,
,, , ,
.
设平面的法向量为 ,
则即
取,则,,故
,, .
设平面的法向量为 ,
则即
取,则,,故 .
设平面与平面的夹角为 ,则
,
,
故平面与平面夹角的余弦值为 .
变式 ［2025·广东惠州期中］如图，在四棱锥
中， 底面, ,
， , .
（1）求证： 平面 ；
证明：因为 平面，且 平面，所以 .
由 ，可得.又,, 平面 ，
所以 平面 .
变式 ［2025·广东惠州期中］如图，在四棱锥中，
底面,,， , .
（2）若，求平面与平面 夹角的余弦值.
解：取的中点，连接.
由, ，可得 ，
又因为，所以三角形 是正三角形，
故,所以 .
在中， ,，所以 .
以，， }为正交基底，建立如图所
示的空间直角坐标系，则 ,
,,, ，
由（1）可知，是平面
的一个法向量.
设平面的法向量为 ，
则由 ，，
得
令，则， ，得
.
设平面与平面的夹角为 ，
所以 ,
，
所以平面与平面夹角的余弦值为 .
［素养小结］
设
,
分别是平面
,
的法向量,则向量
与
的夹角（或其补角）
就是两个平面的夹角
,用坐标法求
的解题步骤如下:
（1）建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;
（2）求法向量:在建立的空间直角坐标系下求两个平面的法向量
,
;
（3）计算:
.
若直线,的一个方向向量分别为,,平面 , 的一个法向量分别为
, ,则有
（1）线线夹角:若异面直线,所成的角为 ,则
;
（2）线面角:若与 所成的角为,则 ;
（3）面面夹角:若 与 的夹角为,则 .
注意:空间两条直线夹角的取值范围与空间两个向量夹角的取值范围
不同.二面角的大小是指两个半平面的张开程度,可以用其平面角 的
大小来度量,它的取值范围为 ,平面与平面的夹角的取值范围为
.
用空间向量求空间角的过程基本上程序化,求解形式直观,相比传统几
何方法具有优越性.因此,我们应该熟练灵活地应用向量这一工具,快而
准地解决立体几何中有关角的问题.
例1 如图所示,在棱长为的正方体中,, 分别是
, 的中点.
（1）求异面直线与 所成角的余弦值;
解：以,, }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
.
易知,,,,
, ,
, ,
故异面直线与所成角的余弦值为 .
例1 如图所示,在棱长为的正方体中,, 分别是
, 的中点.
（2）求直线与平面 所成角的余弦值;
解：由已知得, ,
,则, .
设平面的法向量为 ,
由得
令,得 .
设直线与平面所成的角为,易知 ,
则,, ,
故直线与平面所成角的余弦值为 .
例1 如图所示,在棱长为的正方体中,, 分别是
, 的中点.
（3）求平面与平面 夹角的余弦值.
解：由（2）知,平面的一个法向量为 ,
易知平面的一个法向量为 .
则, ,
平面与平面夹角的余弦值为 .
例2 ［2025·湖北鄂北联考高二期中］如图，在
四棱锥中，平面 平面 ，
是斜边为 的等腰直角三角形，
,,, .
（1）求证： 平面 .
证明： 平面 平面 ，平面
平面 ,
平面， ，
平面 ，
平面, .
又且，， 平面
, 平面 .
例2 ［2025·湖北鄂北联考高二期中］如图，在
四棱锥中，平面 平面 ，
是斜边为 的等腰直角三角形，
,,, .
（2）求与平面 所成角的正弦值.
解：取的中点，记为，连接， ，
, ，
则，
又平面 平面 ，
平面 平面， 平面
， 平面 .
,,, ，
则 .
以,, }为正交基底，建立如图所示的
空间直角坐标系 ，
则,,, ，
, ,
.
设为平面 的法向量，
由得令 ，
则，，则 .
设与平面所成的角为 ，
, .
例2 ［2025·湖北鄂北联考高二期中］如图，在
四棱锥中，平面 平面 ，
是斜边为 的等腰直角三角形，
,,, .
（3）在棱上是否存在点，使得平面与平面 夹角的余
弦值为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：假设在棱上存在点，使得平面 与
平面夹角的余弦值为 .
由（2）可知，,, ，
，
, ，
,
设, ,
.
设为平面 的法向量，
由
得 取
，则, ,则 .
易知平面的一个法向量为 .
,
，解得，
在棱上存在点 ，使得平面与平面夹角的余弦值为，且 .
例3 新课标Ⅰ卷］如图，在正四棱柱
中，，.点 ，
,，分别在棱，，， 上，
，， .
（1）证明： ；
证明：方法一：如图①，作交 于
，交于，连接 ，
易知，且 ，所以四边形
是平行四边形，所以 .
因为，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 .
方法二：因为
，,, ,
四点不共线，所以 .
例3 新课标Ⅰ卷］如图，在正四棱柱
中，，.点 ，
,，分别在棱，，， 上，
，， .
（2）点在棱上，当二面角 为
时，求 .
解：方法一：如图②，以为原点，以 ,
, 所在直线分别为,, 轴，建立空间直
角坐标系，则， ，
，
设 ，
则， ，
.
设, 分别为平面
, 的法向量，
则取 ，得
，
同理 .
由题得
, ，
整理得 ，
解得或，则 .
方法二：如图③，连接 ，易证四边形
为菱形，连接，设与 相
交于点 .
因为二面角为 ，所以直线
与平面所成的角为 ，
易知，所以点到平面 的距离
.
连接，，，，，由 ，得
，
由，得 ，
又，所以 平面 .
因为二面角为 ，
所以与平面所成的角为 ，
易知 ，
所以点到平面 的距离
.
所以 .
又到平面和平面 的距离都为2
（平面和平面 为同一个平面），
所以，所以 ，解得
.
练习册
1.若直线的一个方向向量与平面 的一个法向量的夹角等于 ,
则直线与平面 所成的角等于( )
A. B. C. D.以上均不正确
[解析] 直线的一个方向向量与平面 的一个法向量的夹角为
, 直线与平面 所成的角为 .故选C.
√
2.已知两个平面的一个法向量分别是, ,则
这两个平面的夹角的余弦值为( )
A.或 B. C. D.
[解析] 设这两个平面的夹角为 ,则, ,
故选D.
√
3.若直线的一个方向向量为，直线 的一个方向向量
为，则直线， 所成角的大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 直线的一个方向向量为，直线 的一个方
向向量为，
，，
， ，，， 直线，所成角的大小
为 .故选B.
√
4.［2025·江苏徐州期末］如图所示，在正方体
中，，分别是， 的
中点，则异面直线与 所成角的大小为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以,, }为正交基底，建立如
图所示的空间直角坐标系 ，
设正方体的棱长为2，
则 ，，， ，
所以， .
设异面直线与所成的角为 , ，
则,所以 .故选C.
5.在正方体中，是的中点，则直线 与平
面 所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，以，， }为正交基底，
建立空间直角坐标系 ，
设正方体的棱长为2，则，，
，，所以 ，
，.
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 .
设直线与平面 所成的角为 ，
则,，
则，所以直线 与
平面所成角的余弦值为 .故选A.
6.（多选题）［2025·山东潍坊高二期中］将正方形 沿对角线
折叠，使平面 平面 ，则下列结论中正确的是
( )
A. B.
C.与平面所成的角为 D.与所成的角为
√
√
√
[解析] 取的中点，连接， ，则
,，由二面角 为
直二面角，得，以，， }
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标
系，
令，则 , ,, ，所以
,, , .
对于A，，则，即 ，A正确；
，B正确；
对于C，平面的一个法向量为，
,，因此 与
平面所成的角为 ，C错误；
对于D，,，
因此 与所成的角为 ，D正确.故选 .
7.已知平面 的一个法向量为，直线 的一个方向向量
为，则直线与平面 所成角的正弦值为__.
[解析] 设直线与平面 所成的角为 ，则 ,
，即直线与平面 所成角的正弦值为 .
8.如图，在多面体中， 平面， 平面 ，
，且，是 的中点，则平面
与平面 夹角的余弦值为__.
[解析] 因为 平面， 平面
， 平面，所以 ，
，
又，故以，, } 为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，
所以,,,, ，则 ,
, ,.
设平面 的法向量为 ，则
取 ，可得
.
易知平面 的一个法向量为.
设平面与平面 的夹角为 ，
则, .
9.（13分）如图,在直三棱柱中, ,
,为的中点,为的中点,为 的中点.
（1）求证:平面 ;
证明:根据题意，以，， }
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
,则,, ,
,,, ,
.
易知平面的一个法向量为 ,
, ,
又 平面,平面 .
9.（13分）如图,在直三棱柱中, ,
,为的中点,为的中点,为 的中点.
（2）求直线与平面 所成角的正弦值;
解：由（1）知,, ,
.
设平面 的法向量为 ,
则取 ,可得
,
则, ,
直线与平面所成角的正弦值为 .
9.（13分）如图,在直三棱柱中, ,
,为的中点,为的中点,为 的中点.
（3）求平面与平面 夹角的余弦值.
解：由（1）知,, .
设平面的法向量为 ,
则取 ,可得
,则,,
平面与平面夹角的余弦值为 .
10.如图,在正方体中,是 的
中点,点在线段上,若直线与平面
所成的角为 ,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设正方体的棱长为1,
,则.
以 ,, }为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系,
则 , ,,,
,,所以,则 ,
所以,所以.
连接 ,在正方体中,可知 平面,
所以 是平面的一个法向量,所以 ,
.
当时, 取得最大值;
当 或1时, 取得最小值 .故选A.
11.（多选题）在棱长为的正方体中,,分别是 ,
的中点,则下列说法正确的是( )
A.四边形 是菱形
B.异面直线与所成角的余弦值是
C.直线与平面所成角的正弦值是
D.平面与平面的夹角的正弦值是
√
√
√
[解析] 如图,以,, }为正交基底，建立
空间直角坐标系,则, ,
,,, ,
,所以, ,
则,所以四边形 是平行四边形,由
正方体的性质知,因此四边形 为菱形,A正确;
, ,故异
面直线与所成角的余弦值是 ,B正确;
设平面的法向量为 ,则
即取,则 ,
,即,
因为 ,所以
,,所以直线 与
平面所成角的正弦值是 ,C错误;
易知平面的一个法向量是 ,因为,,所以平面 与平面的夹角的余弦值为,其正弦值为 ,D正确.故选 .
12.［2024·长沙一中高二月考］如图,在三棱锥
中,, ,
,点在棱 上,且
,则直线与直线 所成角的余弦
值为_ ___.
[解析] 根据题意得
,
,
,
,
.
, .
,
, ,
, 直线 与直
线所成角的余弦值为 .
13.［2025·江苏苏大附中月考］在棱长为2的正方体
中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与 所成的
角最小时， 的面积为____.
[解析] 以,, }为正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系，则 ，
，， ，
设，则 ，
，
设直线与 所成的角为 ，则
，
.
当 时，；
当 时， ，由对勾函数的性质可知函数在 上单调递减，所以 当时，，此时
最大，最大为.
因为，所以当时， 最
大，即角 最小，此时与点 重合，此
时是以 为直角的直角三角形，
易求得，，所以 的面积
.
14.（15分）［2025·江苏盐城七校高二联考］如图，已
知正方体的棱长为2，点为棱 上
一点，直线与所成的角为 .
（1）求与平面 所成角的正弦值；
解：以，， }为正交基底，建立如图所示的
空间直角坐标系 ，
因为正方体 的棱长为2，
所以，，， ，
设，，则 ，
则， ，可得
，
，
，所以 ，
，
因为直线与所成的角为 ，
所以 ，
化简得，解得 ，
所以，， .
设平面的法向量为 ，
则即
取，得 ，
可得 ，
，
，
所以， .
设与平面所成的角为 ，
可得， ，
所以与平面所成角的正弦值为 .
14.（15分）［2025·江苏盐城七校高二联考］如图，已知正方体
的棱长为2，点为棱上一点，直线与 所
成的角为 .
（2）求二面角 的余弦值.
解：易知平面的一个法向量为 ，
因为 ，
，
所以， .
设二面角的平面角为 ，易知 为锐
角，
则， .
15.［2025·江苏海安期末］如图，已知多面体
的底面是边长为2的菱形，
底面，，且 .若直线
与平面所成的角为 ，则二面角
的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接，交于点，取 的
中点，连接，
因为,分别为 , 的中点，
所以在中， ，
因为 平面，
所以 平面,
又 平面， 平面，所以, .
两两互相垂直，所以以
,, } 为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示.
所成的角为 ，所以
，所以 ，
在菱形中， ，
所以为等边三角形，
又 ，且，
所以 ,,, ,
，则 ,
, .
设平面 的法向量为，
由 可得 所以
令，则, ，得
.
同理设平面 的法向量为，
由 可得 所以
令 ，则
,，得 .
设二面角的大小为 ，由
图可知 为钝角，所以
,
，即二
面角的余弦值为 .故选B.
16.（15分）图①是直角梯形,其中, ,
,,,,以为折痕将 折起,使点
到达的位置,且 ,如图②.
（1）求证:平面 平面 .
证明:在题图①中,连接,由题意可得,
因为 , ,所以四边形 为菱形.
在题图①中,连接,交于点,则 .
在中,,
所以 .
因为,所以,所以 ,
又,且,所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
16.（15分）图①是直角梯形,其中, ,
,,,,以为折痕将 折起,使点
到达的位置,且 ,如图②.
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：以，， }为正交基底，建立如图所
示的空间直角坐标系,
则 ,,,,
, ,
所以, ,
.
设平面的法向量为,则 即
令,则, ,
故 .
因为, ,
所以直线与平面
所成角的正弦值为 .
16.（15分）图①是直角梯形,其中, ,
,,,,以为折痕将 折起,使点
到达的位置,且 ,如图②.
（3）在棱（不包括端点）上是否存在点,使得平面 与平面
的夹角为 若存在,求 的长度;若不存在,请说明理由.
解：假设在棱（不包括端点）上存在点,使得平面 与平面
的夹角为 .
设,,则 ,
又，,所以 ,
.
易知 平面,所以平面 的一个法向量为
.
设平面 的法向量为 ,
则即
取，则,
所以 ,,可得 ,
所以存在满足条件的点,此时,
又,所以 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】（1）× （2）× （3）×
课中探究 探究点一 例1 B 变式 C
探究点二 例2 > 变式 >
探究点三 例3 （1）证明略（2）
变式 （1）证明略（2）><
练习册
基础巩固
1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.ABD 7. 8.
9.（1）证明略（2） （3）
综合提升
10.A 11.ABD 12. 13. 14.（1）>（2）
思维探索
15.B
16.（1）证明略 （2）（3）存在满足条件的点
,此时
6.3.3 空间角的计算
【课前预习】
知识点
0°≤θ≤90° 0°≤θ≤180°
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误.
(2)sin θ=,故错误.
(3)两个平面相交时所形成的四个二面角中,不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角,故错误.
【课中探究】
探究点一
例1 B [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设PD=2,则AB=AD=BC=CD=1,可得A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),根据=4,求得E,所以=(-1,1,0),=,可得cos<,>==
=,所以异面直线AC与BE所成角的余弦值为.故选B.
变式 C [解析] 由题可知,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,设AB=AC=AA1=a(a>0),可得·=0,·=0,·=0,BC=a,可得=+=+,=-,所以=++2·=a2+a2+0=2a2,·=(+)·(-)=·-+·-·=0-a2+0-0=-a2,所以||=a,又||=a,所以cos<,>===-.设异面直线AB1与BC所成的角为θ,0°<θ≤90°,所以cos θ=|cos<,>|=,所以θ=60°.故选C.
探究点二
例2 解:如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,
由AB=1,AC=AA1=2,得A1(0,0,2),A(0,0,0),B(1,0,0),C1(0,2,2),
所以=(1,0,-2),=(0,2,0),=(0,2,2).
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
则令x=2,则z=1,y=0,
所以平面A1BC1的一个法向量为n=(2,0,1).
设直线AC1与平面A1BC1所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|===,
故直线AC1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
变式 解:由题意可知,底面ABCD为菱形,可得AO⊥BO,
又点A'在底面上的射影为O,所以OA,OB,OA'两两垂直,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.
易知O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),D(0,-1,0),A'(0,0,1),则=(-2,0,0),=(0,2,0),==(-,0,1).
设直线AC'与平面B'BDD'所成的角为θ,平面B'BDD'的法向量为m=(i,j,k),
则即取i=1,则j=0,k=,可得平面B'BDD'的一个法向量为m=(1,0,).
又=+=(-3,0,1),因此sin θ=|cos|==,
故直线AC'与平面B'BDD'所成角的正弦值为.
探究点三
例3 解:(1)证明:∵△ABC是正三角形,O为AB的中点,∴CO⊥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得AA1⊥平面ABC,又CO 平面ABC,∴AA1⊥CO.
又AB∩AA1=A,AB,AA1 平面ABB1A1,
∴CO⊥平面ABB1A1.
(2)设A1B1的中点为O1,连接OO1,易知OB,OO1,OC两两垂直,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,如图.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴CO=,则B(1,0,0),A(-1,0,0),A1(-1,2,0),C1(0,2,),∴=(-2,2,0),=(-1,2,),=(2,0,0),=(1,2,).
设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),
则即
取x=,则y=,z=-1,故m=(,,-1).
设平面ABC1的法向量为n=(a,b,c),
则即
取b=-,则a=0,c=2,故n=(0,-,2).
设平面A1BC1与平面ABC1的夹角为θ,则cos θ=|cos|===,
故平面A1BC1与平面ABC1夹角的余弦值为.
变式 解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,且BC 平面ABCD,所以PA⊥BC.
由∠ACB=90°,可得BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,所以BC⊥平面PAC.
(2)取CD的中点E,连接AE.由AB∥CD,∠BAD=120°,可得∠ADC=60°,
又因为AD=CD=1,所以三角形ADC是正三角形,
故AE⊥CD,所以AE⊥AB.
在Rt△ACB中,∠BAC=60°,AC=1,所以AB=2.
以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,),C,D,B(0,2,0),
由(1)可知,=是平面PAC的一个法向量.
设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则由=(0,1,0),=,得
令a=,则b=0,c=,得n=.
设平面PCD与平面PCA的夹角为θ,
所以cos θ=|cos<,n>|===,
所以平面PCD与平面PCA夹角的余弦值为.6.3.3 空间角的计算
1.C [解析] ∵直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角为120°,∴直线l与平面α所成的角为90°-(180°-120°)=30°.故选C.
2.D [解析] 设这两个平面的夹角为θ,则cos θ=|cos|==,故选D.
3.B [解析] ∵直线l1的一个方向向量为n1=(2,1,-3),直线l2的一个方向向量为n2=(1,-3,2),∴cos===-,∵0≤≤π,∴=,∴直线l1,l2所成角的大小为.故选B.
4.C [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(2,1,0),F(1,0,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),所以=(-2,0,-2),=(-1,-1,0).设异面直线B1C与EF所成的角为θ,0°<θ≤90°,则cos θ===,所以θ=60°.故选C.
5.A [解析] 如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,1,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),所以=(0,2,0),=(-2,0,2),=(0,1,2).设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,0,1).设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==,则cos θ==,所以直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值为.故选A.
6.ABD [解析] 取BD的中点O,连接OA,OC,则OA⊥BD,OC⊥BD,由二面角A-BD-C为直二面角,得OA⊥OC,以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,令BD=2,则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),所以=(0,-1,-1),=(0,2,0),=(1,0,-1),=(-1,1,0).对于A,·=0,则⊥,即AC⊥BD,A正确;对于B,||==||,B正确;对于C,平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),|cos<,n>|===,因此AB与平面BCD所成的角为45°,C错误;对于D,|cos<,>|===,因此AB与CD所成的角为60°,D正确.故选ABD.
7. [解析] 设直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos|===,即直线l与平面α所成角的正弦值为.
8. [解析] 因为DB⊥平面ABC,AB 平面ABC,BC 平面ABC,所以DB⊥BA,DB⊥BC,又AB⊥BC,故以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,因为AB=BC=BD=2AE=2,所以B(0,0,0),C(2,0,0),M(0,1,0),D(0,0,2),E(0,2,1),则=(0,1,1),=(2,-1,0),=(0,0,2),=(2,0,0).设平面EMC的法向量为m=(x,y,z),则取x=1,可得m=(1,2,-2).易知平面BCD的一个法向量为n=(0,1,0).设平面EMC与平面BCD的夹角为θ,则cos θ=|cos|===.
9.解:(1)证明:根据题意,以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,则B(2,2,0),C(2,0,2),A1(0,0,0),C1(0,0,2),D(0,1,0),E(1,0,0),F,∴=.
易知平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0),
∵·m=0,∴⊥m,
又EF 平面ABC,∴EF∥平面ABC.
(2)由(1)知,=(2,0,0),=(0,1,-2),=(1,2,0).设平面CC1D的法向量为u=(x1,y1,z1),
则取y1=2,可得u=(0,2,1),
则cos<,u>==,
∴直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为.
(3)由(1)知,=(2,0,2),=(0,1,0).
设平面A1CD的法向量为v=(x2,y2,z2),
则取x2=1,可得v=(1,0,-1),则cos===-,∴平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为.
10.A [解析] 设正方体的棱长为1,=λ(0≤λ≤1),则=λ.以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),O,B1(1,1,1),A1(1,0,1),所以==(-1,1,0),则=(-λ,λ,0),所以P(1-λ,λ,1),所以=.连接B1D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可知B1D⊥平面A1BC1,所以=(1,1,1)是平面A1BC1的一个法向量,所以sin θ=|cos<,>|==
.当λ=时,sin θ取得最大值;当λ=0或1时,sin θ取得最小值.故选A.
11.ABD [解析] 如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A'(0,0,a),B'(a,0,a),E,F,所以=,=,则=,所以四边形B'EDF是平行四边形,由正方体的性质知DE=DF,因此四边形B'EDF为菱形,A正确;=(a,a,-a),=,则cos<,>===,故异面直线A'C与DE所成角的余弦值是,B正确;设平面B'EDF的法向量为n=(x,y,z),则即取y=2,则x=1,z=1,即n=(1,2,1),因为=(0,a,0),所以cos<,n>===,所以直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值是,C错误;易知平面ABCD的一个法向量是m=(0,0,1),因为cos===,所以平面B'EDF与平面ABCD的夹角的余弦值为,其正弦值为,D正确.故选ABD.
12. [解析] 根据题意得·=||||cos =1×1×=,·=||||cos =1×2×=1,·=||||cos =1×2×=1.∵=+=+=+(-)=+,=-,∴·=·(-)=·+-·-·=×+--=-.∵==++2××·=++=,∴||=.∵=(-)2=+-2·=1+4-2=3,∴||=,∴cos<,>===-,∴直线AD与直线PC所成角的余弦值为.
13. [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A'(2,0,2),C(0,2,0),F(1,2,0),D'(0,0,2),设E(a,0,2)(0≤a≤2),则=(-2,2,-2),=(1-a,2,-2),设直线EF与A'C所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|====×.当a=0时,cos θ=;当a≠0时,cos θ=×,由对勾函数的性质可知函数y=a+-2在(0,2]上单调递减,所以当a=2时,ymin=,此时cos θ最大,最大为.因为>,所以当a=2时,cos θ最大,即角θ最小,此时E(2,0,2)与点A'重合,此时△AEF是以∠EAF为直角的直角三角形,易求得EA=2,AF=,所以△AEF的面积S=×AE×AF=×2×=.
14.解:(1)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
所以B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),设AE=t,0≤t≤2,则E(2,t,0),
则=(2,t,-2),=(2,2,0),可得·=2×2+t×2+(-2)×0=4+2t,||==,||==2,所以cos<,>===,
因为直线D1E与DB所成的角为,
所以cos==,
化简得8+t2=(2+t)2,解得t=1,
所以=(2,1,-2),=(2,2,0),=(0,2,2).
设平面BC1D的法向量为n=(x,y,z),
则即
取x=1,得n=(1,-1,1),可得·n=2×1+1×(-1)+(-2)×1=-1,||==3,|n|==,
所以cos<,n>===-.
设D1E与平面BC1D所成的角为θ,
可得sin θ=|cos<,n>|=,
所以D1E与平面BC1D所成角的正弦值为.
(2)易知平面BC1C的一个法向量为m=(0,1,0),
因为m·n=0×1+1×(-1)+0×1=-1,|m|=1,
所以cos===-.
设二面角D-BC1-C的平面角为β,易知β为锐角,
则cos β=|cos|=.
15.B [解析] 连接BD,交AC于点O,取PC的中点F,连接OF,因为O,F分别为AC,PC的中点,所以在△PAC中,PA∥OF,因为PA⊥平面ABCD,所以OF⊥平面ABCD,又OB 平面ABCD,OC 平面ABCD,所以OF⊥OB,OF⊥OC.在菱形ABCD中,AC⊥BD,所以OB,OC,OF两两互相垂直,所以以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.又PA⊥平面ABCD,直线PC与平面ABCD所成的角为45°,所以∠PCA=45°,所以PA=AC=2,在菱形ABCD中,AB=BC=2,所以△ABC为等边三角形,又ED∥PA,且PA=2ED=2,所以O(0,0,0),P(0,-1,2),C(0,1,0),D(-,0,0),E(-,0,1),则=(0,-2,2),=(-,-1,1),=(-,-1,0).设平面PCE的法向量为n=(x1,y1,z1),由可得所以
令y1=1,则x1=0,z1=1,得n=(0,1,1).同理设平面CDE的法向量为m=(x2,y2,z2),由可得所以令x2=1,则y2=-,z2=0,得m=(1,-,0).设二面角P-CE-D的大小为θ,由图可知θ为钝角,所以cos θ=-|cos|=-=-=-,即二面角P-CE-D的余弦值为-.故选B.
16.解:(1)证明:在题图①中,连接AE,由题意可得AE=2,因为CE∥BA,CE=BA=AE,所以四边形ABCE为菱形.
在题图①中,连接AC,交BE于点F,则CF⊥BE.
在Rt△ACD中,AC==2,所以AF=CF=.
因为AC1=,所以AF2+C1F2=A,所以C1F⊥AF,
又C1F⊥BE,且BE∩AF=F,所以C1F⊥平面ABED.
因为C1F 平面BC1E,所以平面BC1E⊥平面ABED.
(2)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(,0,0),B(,2,0),E(0,1,0),F,C1,
所以=,=(,0,0),=.设平面AC1D的法向量为n=(x,y,z),则即令z=,则x=0,y=-2,故n=(0,-2,).
因为|cos<,n>|===,所以直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值为.
(3)假设在棱DC1(不包括端点)上存在点P,使得平面PEB与平面EBC1的夹角为45°.
设=k=,k∈(0,1),则P,又B(,2,0),E(0,1,0),所以=(-,-1,0),=.易知AF⊥平面C1BE,所以平面C1BE的一个法向量为t==.设平面PEB的法向量为m=(a,b,c),
则即
取a=k,则m=(k,-3k,k-),所以|cos|===,可得k=,所以存在满足条件的点P,此时DP=DC1,又||=,所以C1P=DC1=.6.3.3 空间角的计算
【学习目标】
1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面所成的角,平面与平面的夹角.
2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
◆ 知识点 空间角
设直线l1,l2的方向向量分别为u,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
空间图形 范围 向量法 几何法
异面直线所成的角 0°<θ≤90° cos θ=|cos|= 平移交于一点,解三角形
(续表)
空间图形 范围 向量法 几何法
直线与 平面所 成的角 sin θ=|cos|= 过直线上一点作平面的垂线,解三角形
二面角 |cos θ|=|cos|= 作两平面的垂线,解三角形
注意:若n1,n2分别为平面α,β的法向量,cos=,则二面角的平面角的大小为或π-,即二面角θ等于它的两个半平面所在平面的法向量的夹角或夹角的补角.
①当法向量n1与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角θ的大小等于的大小.
②当法向量n1,n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角θ的大小等于π-的大小.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等. ( )
(2)若平面α的法向量为u,直线l的方向向量为v,直线l与平面α所成的角为θ,则cos θ=. ( )
(3)二面角的大小等于平面与平面夹角的大小.( )
◆ 探究点一 求异面直线所成的角
例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=2DC,E为PC上一点,且PC=4EC,则异面直线AC与BE所成角的余弦值为 ( )
A.- B.
C. D.-
变式 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,则异面直线AB1与BC所成角的大小为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[素养小结]
用向量法求异面直线所成的角的一般思路:在异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则与分别为直线a,b的一个方向向量,若异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ=.
运用向量法求异面直线所成的角常有两种方法.
①基底法:在一些不适合建立空间直角坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos=求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b,|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量.
②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求异面直线所成的角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.
◆ 探究点二 求直线和平面所成的角
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,求直线AC1与平面A1BC1所成角的正弦值.
变式 如图,在棱长都为2的平行六面体中,∠DAB=60°,点A'在底面上的射影恰为AC与BD的交点O,求直线AC'与平面B'BDD'所成角的正弦值.
[素养小结]
用向量法求直线与平面所成的角的步骤:
①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;
②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;
③求出夹角;
④判断直线与平面所成的角θ和的关系,求出角θ.
◆ 探究点三 求平面与平面的夹角
例3 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,O为AB的中点.
(1)证明:CO⊥平面ABB1A1;
(2)若BB1=2,求平面A1BC1与平面ABC1夹角的余弦值.
变式 [2025·广东惠州期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,∠ACB=90°.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)若PA=,求平面PCD与平面PCA夹角的余弦值.
[素养小结]
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角θ,用坐标法求θ的解题步骤如下:
(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;
(2)求法向量:在建立的空间直角坐标系下求两个平面的法向量n1,n2;
(3)计算:cos θ=.6.3.3 空间角的计算
1.若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于 ( )
A.120° B.60°
C.30° D.以上均不正确
2.已知两个平面的一个法向量分别是m=(1,2,-1),n=(1,-1,0),则这两个平面的夹角的余弦值为 ( )
A.-或 B.
C.- D.
3.若直线l1的一个方向向量为n1=(2,1,-3),直线l2的一个方向向量为n2=(1,-3,2),则直线l1,l2所成角的大小为 ( )
A. B. C. D.
4.[2025·江苏徐州期末] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值是 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选题)[2025·山东潍坊高二期中] 将正方形ABCD沿对角线BD折叠,使平面ABD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是 ( )
A.AC⊥BD
B.AB=AC
C.AB与平面BCD所成的角为60°
D.AB与CD所成的角为60°
7.已知平面α的一个法向量为n=(1,,2),直线l的一个方向向量为v=(1,0,-1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .
8.如图,在多面体ABCDE中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AB⊥BC,且AB=BC=BD=2AE=2,M是AB的中点,则平面EMC与平面BCD夹角的余弦值为 .
9.(13分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,AC⊥AB,D为A1B1的中点,E为AA1的中点,F为CD的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值;
(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是BC,A'D'的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.四边形B'EDF是菱形
B.异面直线A'C与DE所成角的余弦值是
C.直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值是
D.平面B'EDF与平面ABCD的夹角的正弦值是
12.[2024·长沙一中高二月考] 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=1,PA=2,∠PAB=∠PAC=∠CAB=,点D在棱BC上,且BD=BC,则直线AD与直线PC所成角的余弦值为 .
13.[2025·江苏苏大附中月考] 在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是棱A'D'上的动点,F是棱BC的中点,当直线EF与A'C所成的角最小时,△AEF的面积为 .
14.(15分)[2025·江苏盐城七校高二联考] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB上一点,直线D1E与DB所成的角为.
(1)求D1E与平面BC1D所成角的正弦值;
(2)求二面角D-BC1-C的余弦值.
15.[2025·江苏海安期末] 如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED∥PA,且PA=2ED=2.若直线PC与平面ABCD所成的角为45°,则二面角P-CE-D的余弦值为 ( )
A. B.-
C. D.-
16.(15分)图①是直角梯形ABCD,其中AB∥DC,∠ADC=90°,AB=2,DC=3,AD=,CE=2ED,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达C1的位置,且AC1=,如图②.
(1)求证:平面BC1E⊥平面ABED.
(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值.
(3)在棱DC1(不包括端点)上是否存在点P,使得平面PEB与平面EBC1的夹角为45° 若存在,求C1P的长度;若不存在,请说明理由.