(共110张PPT)
6.3 空间向量的应用
6.3.4 空间距离的计算
探究点一 点到直线的距离
探究点二 点到平面的距离
探究点三 线面距和面面距
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、
点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行
时两者间的距离、两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综
合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作
用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
知识点一 点到平面的距离
如图所示，是平面 外一点， ,垂足
为,为平面 内任意一点，设为平面 的
法向量，则 ，其中
，.从而 .因为
的绝对值即为点到平面 的距离，所以 _ _____.
知识点二 点到直线的距离
如图，是直线外一点，，为垂足，是上任意一点，设
是直线的方向向量，记，，则，故点 到直
线的距离为 __________.
知识点三 直线（平面）到平面的距离
（1）如果一条直线与一个平面 平行，可在直线上任取一点 ,将
线面距离转化为____到______的距离求解.
（2）如果两个平面 , 互相平行，可在其中一个平面 内任取一
点 ,将两个平行平面之间的距离转化为____到______的距离求解.
点
平面
点
平面
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面 外一点到平面 的距离,就是点与平面 内一点 所
成向量 的长度.( )
×
（2）若直线平面 ,则直线到平面 的距离就是直线 上的点到
平面 的距离.( )
√
（3）若平面平面 ,则两平面 , 之间的距离可转化为平面
内某条直线到平面 的距离,也可转化为平面 内某点到平面 的距
离.( )
√
探究点一 点到直线的距离
例1（1）已知点，直线过原点且平行于向量 ，则
点到直线 的距离为( )
A. B.1 C. D.
[解析] 根据题意，可取直线上一点,又 ，所以
，则点到直线 的距离
.故选A.
√
（2）［2025·江苏南通一中质检］在长方体 中，
,，为的中点，则点到直线 的距离为
_ ___.
[解析] 如图，连接，以，， }
为正交基底，建立空间直角坐标系 ，
则,, ，
所以,，故点 到直线
的距离为 .
变式 如图,三棱柱 的所有棱的长
都为2,且 ,平面 平面
,点,分别在棱,上,且 .
（1）求证:平面 ;
证明:如图,作,交于点 ,则由
,得 ,
, ,
又， ,
，， ，
即,连接 ,
四边形为平行四边形, .
平面,且 平面 ,
平面 .
变式 如图,三棱柱 的所有棱的长
都为2,且 ,平面 平面
,点,分别在棱,上,且 .
（2）当点是棱的中点时,求点到直线
的距离.
解：取的中点,连接, ,
,, ,
, ，
则,
又平面 平面,平面 平面,
平面， 平面 .
根据余弦定理得 ,
是等边三角形,,
以 ，， }为正交基底，建立如图所示
的空间直角坐标系 ,
则,, ,
,, ,
, ,
,, 点 到直线 的距离为
.
［素养小结］
用向量法求点到直线的距离的一般步骤:
（1）建立空间直角坐标系;
（2）求直线的方向向量;
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量
的长度;
（4）利用勾股定理求解.
另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
探究点二 点到平面的距离
例2 如图所示，在正三棱柱中，
是棱的中点，，点在 上，
且，求点到平面 的距离.
解：取的中点，连接 ，根据题意易知
，， 两两垂直，
如图，以，， }为正交基底，建立空
间直角坐标系 ，
则，，, ，
可得， .
设平面的法向量为 ，
则
令，则， ，可得
.
又，所以点到平面 的距离为
.
变式 ［2025·江苏无锡一中期中］如图，在棱长为4的正方体
中，点在棱上，且 .
（1）求平面与平面 夹角的余弦值；
解：以，， }为正交基底，建立如
图所示的空间直角坐标系 ，
则，，， ，
所以， ，
.
设平面的法向量为 ，则
取，则，，得 .
因为 平面，所以平面 的
一个法向量为 ，
则平面与平面 的夹角的余弦值
为, .
变式 ［2025·江苏无锡一中期中］如图，在棱长
为4的正方体中，点在棱
上，且 .
（2）若点在棱上，且到平面 的距
离为，求到直线 的距离.
解：连接，设， ，则
.
由（1）可知平面 的一个法向量为
，
则到平面的距离为 ，
解得或（舍去），即 .
连接，因为， ，
所以到直线 的距离为
.
［素养小结］
用向量法求点到平面的距离的步骤:
（1）建系:建立恰当的空间直角坐标系;
（2）求点的坐标:写出（求出）相关点的坐标;
（3）求向量:求出相关向量的坐标;
（4）利用公式即可求得点到平面的距离.
拓展 ［2025·安徽滁州高二期中］如图，在四棱锥
中，底面 是边长为6的正方形，
是等边三角形，平面 平面 .已
知,,分别是线段,, 上一点，且
,,，若是线段
上的一点，且点到平面的距离为，求 的值.
解：取,的中点，分别记为, ，连接
， ，
因为底面 是正方形，
所以 .
因为是正三角形，为 的中点，所以
，
又平面 平面，平面 平面, 平
面，所以 平面 ，
又, 平面，所以, .
以,, }为正交基底，建立空间直角坐标系
，如图所示，
由题意可知,, ,
, , .
因为,,分别是线段,, 上一点，
且,, ，
所以,, ，
所以, .
设平面的法向量为 ，
则即令 ，
则,，即平面 的一个法向量为
.
设，连接 ，
则 ,
，
，
解得，即 .
探究点三 线面距和面面距
例3 如图,在四棱锥中,底面 是边长
为2的正方形, 底面,,,, 分别
是,, 的中点.
（1）求直线到平面 的距离;
解：因为 平面,四边形为正方形,所以,, 两
两垂直.
以,, }为正交基底，建立如图所示的空
间直角坐标系,则, ,
, .
因为,分别为,的中点,所以 ,
又因为 平面, 平面 ,所以
平面 .
因为且,,分别为,的中点,所以 且
,
所以四边形为平行四边形,所以 .
因为 平面, 平面 ,
所以平面 .
因为,, 平面 ,
所以平面平面 .
因为 平面,所以平面 ,所以
直线到平面的距离等于点到平面
的距离.
设平面的法向量为 ,
由, ,
得取,则 ，
，可得 .
又,所以直线到平面 的距离
.
例3 如图,在四棱锥中,底面 是边长
为2的正方形, 底面,,,, 分别
是,, 的中点.
（2）求平面与平面 之间的距离.
解：由（1）知平面平面 ,所以平面
与平面之间的距离 .
变式 已知正方体 的棱长为2，求：
（1）直线到平面 的距离;
解：以,, }为正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系,则 ,
,,, ,
所以, ,
,
所以,即 ,
又 平面, 平面 ,
所以平面,所以直线 到平面
的距离等于点到平面 的距离.
设平面的法向量为 ,
则令 ,则
,
又,所以点到平面 的距
离 ,
即直线到平面的距离为 .
变式 已知正方体 的棱长为2，求：
（2）平面与平面 之间的距离.
解：由（1）知平面,同理可得平面 ,
又,, 平面 ,
所以平面平面,即平面与平面 之间的距离等
于点到平面 的距离.
由（1）知,点到平面的距离 ,
所以平面与平面之间的距离为 .
［素养小结］
（1）当直线与平面平行时，求线面距离可以转化为求直线上任意一
点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.
（2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求
点到平面的距离的方法求解即可.
1.四种类型的距离求法
距离类 型 求解（转化）方法
点到直 线的距 离
点到平 面的距 离
距离类 型 求解（转化）方法
线面距 离 线面距离可以转化为点面距离求解
面面距 离 面面距离可以转化为点面距离求解
2.用空间向量解决立体几何问题可用两种方法
（1）向量法:可具体表示为“设基底——巧运算——译结果”,其
中设不共线的三个向量构成空间的一个基底,并把相关向量用基底表
示出来是关键.
续表
（2）坐标法:可具体表示为“建系设点——巧运算——译结果”,
其中建立适当的空间直角坐标系,并确定相关点的坐标是关键.
1.求点到直线的距离,一般先计算所求点与直线上某一点所构成的向
量在直线上的投影向量的长度,再利用勾股定理求解.
例1 ［2025·安徽六安一中月考］如图所示，已
知在四棱锥中, 平面 ，底
面是直角梯形，， ，
,，点为的中点，则到直线
的距离为_ ___.
[解析] 由题意知， 平面， ,
平面，所以, ，
又，所以,, 两两垂直，
以,, }为正交基底，建立如图所示的空
间直角坐标系，连接 ，
则,,,， ，所以
,.
记 ,，
则 ，
，所以到直线 的距离
.
2.空间线面、面面距离问题一般转化为点面距离问题解决.若点 为平
面 外一点,点为平面 内任意一点,平面 的法向量为,则点 到
平面 的距离 .
例2 ［2025·浙江台州十校联盟高二期中］如图
所示，在几何体中，四边形
和四边形 均为边长为2的正方形，
， 底面，， 分别为
，的中点， .
（1）求证：平面 ；
证明：因为四边形为正方形， 底面 ，所以
，， 两两相互垂直，
如图，以，， }为正交基底，建立空
间直角坐标系 ，
由题意可得，， ，
，，， ，
， ，
则，， .
设平面的法向量为，则
即则令 ，
则， ，
所以为平面 的一个法向量.
因为，所以 ，
又 平面，所以平面 .
例2 ［2025·浙江台州十校联盟高二期中］如图
所示，在几何体中，四边形
和四边形 均为边长为2的正方形，
， 底面，， 分别为
，的中点， .
（2）求点到平面 的距离.
解：连接，由（1）知平面的一个
法向量为 ， .
设点到平面的距离为，则 .
例3 ［2025·安徽黄山八校联盟高二期中］
如图，在直三棱柱 中，
，点，，分别为,,
的中点.
（1）证明：平面 ；
证明：因为几何体 为直
三棱柱，所以 ，
又，分别为， 的中点，所以
，
所以 ，
又 平面, 平面 ，
所以平面 .
例3 ［2025·安徽黄山八校联盟高二期中］
如图，在直三棱柱 中，
，点，，分别为,,
的中点.
（2）若，求直线与平面 的距离.
解：直线与平面的距离等于点到平面 的距离，
因为几何体为直三棱柱，且 ，
所以，，两两垂直.
因为，所以,， ，
则， .
设平面的法向量为 ，
则取，
则 ， ，
以,, }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
所以平面的一个法向量为 .
连接，因为，所以 ，
所以点到平面 的距离
.
故直线与平面的距离为 .
练习册
1.空间内有三点,,，则点到直线 的距离
为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 的一个单位方向向量为
.
因为，所以点到直线 的距离为
.故选A.
√
2.已知点,,,,那么过点 且平行于平
面的平面与平面 间的距离是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接,因为点,,, ,所以
,,.
设平面 的法向量为,
则即令,得, ,则
,所以过点且平行于平面的平面与平面 间的距离
,故选C.
3.棱长均为2的正三棱柱中，顶点到平面 的距
离是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，连接 ，根据正三棱柱
的几何特征，可知，， 两两互相垂直，
所以以，， }为正交基底，建立空间
直角坐标系 ，如图所示，
因为正三棱柱的棱长均为2，所以,
, ,，
所以 , .
设平面 的法向量为 ，
则所以
取，则, ，所以
.
设到平面的距离为 ，因为 ，所以
，故选A.
4.在长方体中，，，， 为
的中点，则异面直线与 之间的距离为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 以,, 为正交基底，建立
如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，为 的
中点，所以，， ，
，则 ， .
√
设与 的公垂线的方向
向量为 ，则
取 ，得
，则 ，
又，所以异面直线与 之
间的距离 .故选C.
5.如图,在直三棱柱 中,
,是棱 的中点,且
,则直线到平面
的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以,, 为单位正交基底,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,, ,
,,所以 ,
, .
设平面的法向量为 ,则
即令 , 则 .
因为,所以,
又 平面,所以平面.
设直线 到平面的距离为 ,因为
,所以 .
故选A.
6.（多选题）如图,在棱长为2的正方体
中,是棱上一动点,则
到平面 的距离可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 如图,以,, 为正交基
底，建立空间直角坐标系 ,则
,, ,故
, ,
设,平面 的法向量
为 ,则
取 ,则 .
连接，则 ,所
以到平面的距离 .
因为,所以.故选 .
7.［2025·广州番禺区实验中学高二期中］已知直线 的一个方向向量
为，若点为直线外一点， 为
直线上一点，则_____，点到直线 的距离为_____.
[解析] 依题意可得 ，所以
，
点到直线 的距离 .
8.［2025·山东青岛高二质检］已知平面 ，平面 的一个法向
量为，平面 内一点的坐标为，点 的坐标为
，则直线到平面 的距离为___.
[解析] 因为平面 ，所以直线到平面 的距离可转化为点
到平面 的距离，
又，则点到平面 的距离 .
9.（13分）如图，在三棱锥中，
平面， ，，， 分别是棱
，，的中点，， .
（1）求点到直线 的距离；
解：以,, 为正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系，
又， ，分别是棱，， 的中点，
, ，
所以,,, ,
,, ，
所以， ，
所以点到直线 的距离为
.
9.（13分）如图，在三棱锥中，
平面， ，，， 分别是棱
，，的中点，， .
（2）求点到平面 的距离.
解：由（1）得 ，
,.
设平面 的法向量为 ，
则取 ，则
，
故点到平面的距离 .
10.［2025·江苏扬州中学高二月考］在直四棱柱 中，
底面是正方形，，，点在棱 上，若直线
到平面的距离为，则 的值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 由题意知，该几何体为长方体，以
, , 为正交基底，建立空间直角坐标
系，如图所示，则, ,
，设 .
因为， 平面， 平面
，所以平面，故直线 到
平面的距离为点到平面 的距离.
,，，设平面 的法向量
为 ，
则由可得取 ，
故到平面 的距离
，得，故 .
故选C.
11.［2025·江苏南京金陵中学高二期末］已知正方体
的棱长为1，为棱的中点，为侧面
的中心，点，分别为直线，上的动点，且 ，当
取得最小值时，点到平面 的距离为( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 如图，以,, 为单位正交基底，
建立空间直角坐标系，则 ，
，设， ，所以
， ，
因为，
所以 ，即，所以，
又 ，所以
，当且仅当 时取 等号，
此时， ，
，.
设平面 的法向量为
，所以 取
，所以当 取得最小值时，点
到平面的距离 .故选A.
12.（多选题）已知正方体的棱长为1，点, 分别
是,的中点， 在正方体内部且满足
，则下列说法正确的是( )
A.点到直线的距离是
B.点到平面的距离为
C.点到直线的距离为
D.平面与平面间的距离为
√
√
√
[解析] 如图，以,, 为单位正交基
底，建立空间直角坐标系 ，则
,,, ,
,,, .
对于A，, ，设
，则 ,，
故到直线 的 距离 ，故A正确；
对于B，，因为
平面， 平面 ，所以
，又， ,
, 平面,所以 平面
，平面 的一个法向量为
，则点到平面 的距
离 ，故B正确；
对于C， 因为 ，所以
,，则 ，所
以点到直线 的距离
，故C
错误；
对于D， , , ，设平面
的法向量为 ，则
所以令 ，得
,，所以，所以点 到
平面的距离 ，因
为， ，所以四边形
为平行四边形，所以 ，又
平面， 平面 ，所
以平面，同理可证 平面 ，
又，, 平
面，所以平面平面 ，所以
平面与平面间的距离等于点 到
平面的距离，即为 ，故D正确.故选
.
13.［2025·江苏无锡一中期中］在棱长为1的正方体
中，为的中点，设平面与平面 的
交线为，则点到直线 的距离为____.
[解析] 以，， 为单位正交基底，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，则
，，， ，
，，所以 ，
， ，
.
设平面 的法向量为，则即
令，得.
设平面 的法向量为，
则 即
令，得.
设交线 的方向向量为，
则 即 令 ，得
.
连接，则 ，
点，则 ，
，所以点 到
直线 的距离为
.
14.（15分）如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱
底面,,,,为 的中点.
（1）求异面直线与 间的距离;
解：由题意得,, ，所
以以，， }为正交基底，建立如图所
示的空间直角坐标系,则 ,
,,, ,
, .
设异面直线, 的公垂线的方向向量为,则 即
取 ,得.
设异面直线与 间的距离为,
则 .
14.（15分）如图,在四棱锥 中,底面
为矩形,侧棱 底面, ,
,,为 的中点.
（2）在侧面内（包括边界）找一点 ,使
平面,并求出点到直线和 的距离.
解：设,, ,且
.
由（1）知, ,
由题意得 解得
, 点到直线 的距离为
1,点到直线的距离为 .
15.［2025·江苏盐城期末］已知长方体 中，
，，，用过该长方体体对角线 的平面去截
该长方体，则所得截面的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 假设截面为，易知截面为平行四边形，
过点 作，垂足为，
则截面面积，
因为 为定值，所以只需求的最小值，
以，， }为正交基底，建立空间直角
坐标系.
当在 上（不含两端点）时，如图①所示，
则当为异面直线和的公垂线段时，最小，连接 ，
易知异面直线和之间的距离即到平面 的距离，
由，，，，得 ,
,，
设平面 的法向量为，
则
令，则，，即，
所以到平面 的距离.
当在 上（不含两端点）时，如图②所示，此
时当为和的公垂线段时，最小，
同上可得和 的公垂线段长.
当在 上（不含两端点）时，如图③所示，
此时当为和的公垂线段时，最小，
同上可得和 的公垂线段长.
由 ，得在所讨论的情况下，
，此时 ，易得
， ，
，比较可得 .
故选C.
16.（15分）如图,正四棱柱 的底
面边长为2,与底面 所成角的正切值为2,
是的中点,是 上的一个动点,设
.
（1）当时,证明:平面 ;
证明:连接 ,如图,
,为 的中点,
又是的中点,为 的中位线,则
.
平面 ,
平面 ,
平面 .
16.（15分）如图,正四棱柱 的底
面边长为2,与底面 所成角的正切值为2,
是的中点,是 上的一个动点,设
.
（2）若点到平面的距离为,试用 表示 ,
并求出 的取值范围.
解：由题意可知与底面 所成的角为
,即,则 .
以,, 为正交基底，建立如图所示的
空间直角坐标系,则, ,
, ,
, , ,
,
, .
设平面的法向量为 ,
则解得
令,则, 点到平面 的距
离 .
, .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 知识点二 知识点三 （1）点 平面
（2）点 平面 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√
课中探究 探究点一 例1 （1）A （2） 变式 （1）证明略（2）
探究点二 例2 . 变式 （1） （2） 拓展
探究点三 例3 （1）.（2） 变式 （1） （2）
练习册
基础巩固
1.A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.BC 7. 8.
9.（1） （2）
综合提升
10.C 11.A 12.ABD 13.
14.（1） （ 2）,点到直线的距离为
思维探索
15.C 16.（1）证明略（2）6.3.4 空间距离的计算
【课前预习】
知识点一
知识点二
||sin φ
知识点三
(1)点 平面 (2)点 平面
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2) [解析] (1)根据题意,可取直线l上一点P(0,1,2),又A(1,1,1),所以=(-1,0,1),则点A到直线l的距离d===.故选A.
(2)如图,连接AP,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,2,1),P(0,1,0),所以=(0,2,1),=(-1,1,0),故点P到直线AB1的距离为||=×=.
变式 解:(1)证明:如图,作PD∥AC,交BC于点D,则由A1Q=AP,得BP=QC1,
∵PD∥AC,∴=,
又AB=AC,∴PD=BP=QC1,
∵PD∥AC,AC∥A1C1,∴PD∥A1C1,
即PD∥QC1,连接DC1,
∴四边形C1QPD为平行四边形,∴PQ∥C1D.
∵PQ 平面BCC1B1,且C1D 平面BCC1B1,
∴PQ∥平面BCC1B1.
(2)取AC的中点O,连接A1O,BO,
∵AO=AC=1,AA1=2,∠A1AO=60°,
∴根据余弦定理得A1O2=A+AO2-2AA1·AO·cos 60°=4+1-2×2×1×=3,
∴A1O=,∴A1O2+AO2=A,
则A1O⊥AC,又平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,A1O 平面A1ACC1,∴A1O⊥平面ABC.
∵△ABC是等边三角形,∴BO⊥AC,以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则A(0,-1,0),B(,0,0),A1(0,0,),P,Q(0,1,),B1(,1,),
∴=,=(,0,0),
∴cos<,>===,∴点B1到直线PQ的距离为||·=×=.
探究点二
例2 解:取AC的中点M,连接MB,根据题意易知MB,AC,AA1两两垂直,
如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,
则C1(0,1,1),E,F,C(0,1,0),
可得=,=.
设平面C1EF的法向量为n=(x,y,z),
则
令y=3,则x=,z=-2,可得n=.
又=(0,0,1),所以点C到平面C1EF的距离为==.
变式 解:(1)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),E(4,0,1),C(0,4,0),B1(4,4,4),所以=(4,0,1),=(0,4,0),=(4,4,4).
设平面B1DE的法向量为n=(x,y,z),则
取x=1,则y=3,z=-4,得n=(1,3,-4).
因为DC⊥平面ADD1A1,所以平面ADD1A1的一个法向量为=(0,4,0),
则平面ADD1A1与平面B1DE的夹角的余弦值为|cos<,n>|==.
(2)连接DP,设P(0,a,4),0≤a≤4,则=(0,a,4).
由(1)可知平面B1DE的一个法向量为n=(1,3,-4),
则P到平面B1DE的距离为==,解得a=1或a=(舍去),即P(0,1,4).
连接PB1,因为=(4,3,0),=(0,4,3),
所以P到直线EB1的距离为==.
拓展 解:取AB,CD的中点,分别记为O,O1,连接OO1,OM,
因为底面ABCD是正方形,
所以OO1⊥AB.
因为△MAB是正三角形,O为AB的中点,所以MO⊥AB,
又平面MAB⊥平面ABCD,平面MAB∩平面ABCD=AB,MO 平面MAB,所以MO⊥平面ABCD,
又AB,OO1 平面ABCD,所以MO⊥AB,MO⊥OO1.
以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,
由题意可知O(0,0,0),A(-3,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(-3,6,0),M(0,0,3).
因为E,F,G分别是线段AM,DM,CD上一点,
且AE=AM,DF=DM,CG=CD,
所以E(-2,0,),F(-1,2,2),G(1,6,0),
所以=(1,2,),=(3,6,-).
设平面EFG的法向量为u=(a,b,c),
则即令a=2,则b=-1,c=0,即平面EFG的一个法向量为u=(2,-1,0).
设=λ(0≤λ≤1),连接GH,
则=λ,=+λ=(2,-6,0)+λ(-3,0,3)=(2-3λ,-6,3λ),所以点H到平面EFG的距离d===,
解得λ=,即=.
探究点三
例3 解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,所以AB,AD,AO两两垂直.
以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),N(2,1,0).
因为M,R分别为OA,AD的中点,所以MR∥OD,又因为MR 平面OCD,OD 平面OCD,所以MR∥平面OCD.
因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,所以CN∥RD且CN=RD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD.
因为RN 平面OCD,CD 平面OCD,
所以RN∥平面OCD.
因为MR∩RN=R,MR,RN 平面MNR,
所以平面MNR∥平面OCD.
因为MN 平面MNR,所以MN∥平面OCD,所以直线MN到平面OCD的距离等于点N到平面OCD的距离.
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
由=(2,0,0),=(0,-2,2),
得取y=1,则x=0,z=1,可得n=(0,1,1).
又=(0,1,0),所以直线MN到平面OCD的距离d1===.
(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD之间的距离d2=d1=.
变式 解:(1)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),
所以=(2,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0),
所以∥,即B1C∥DA1,
又B1C 平面A1BD,DA1 平面A1BD,
所以B1C∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,则n=(1,-1,-1),
又=(0,2,0),所以点B1到平面A1BD的距离d===,
即直线B1C到平面A1BD的距离为.
(2)由(1)知B1C∥平面A1BD,同理可得D1B1∥平面A1BD,又B1C∩D1B1=B1,B1C,D1B1 平面B1CD1,
所以平面A1BD∥平面B1CD1,即平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点B1到平面A1BD的距离.
由(1)知,点B1到平面A1BD的距离d=,
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为.6.3.4 空间距离的计算
1.A [解析] 因为=(-1,1,1),所以EF的一个单位方向向量为u=(-1,1,1).因为=(3,-1,-2),所以点P到直线EF的距离为==.故选A.
2.C [解析] 连接AP,因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),所以=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得y=1,z=,则n=,所以过点P且平行于平面ABC的平面与平面ABC间的距离d==,故选C.
3.A [解析] 取BC的中点O,连接AO,根据正三棱柱的几何特征,可知AO,CO,CC1两两互相垂直,所以以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,因为正三棱柱的棱长均为2,所以C1(1,0,2),B1(-1,0,2),A(0,,0),C(1,0,0),所以=(1,-,0),=(2,0,-2).设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),则所以
取y=1,则x=,z=,所以n=(,1,).设C1到平面B1AC的距离为d,因为=(0,0,-2),所以d===,故选A.
4.C [解析] 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AA1=1,AB=2,AD=3,E为AB的中点,所以D(0,0,0),C1(0,2,1),B1(3,2,1),E(3,1,0),则=(-3,0,0),=(3,1,0).设B1C1与DE的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则取z=1,得x=y=0,则n=(0,0,1),又=(0,2,1),所以异面直线B1C1与DE之间的距离d===1.故选C.
5.A [解析] 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),C1(1,0,1),D,A(0,1,0),B1(0,0,1),所以=(1,0,1),=,=(0,-1,1).设平面BC1D的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,-1).因为·n=0×1+(-1)×(-1)+1×(-1)=0,所以⊥n,又AB1 平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.设直线AB1到平面BC1D的距离为d,因为=(0,1,0),所以d===.故选A.
6.BC [解析] 如图,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D1-xyz,则A1(2,0,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),故=(-2,2,0),=(-2,0,2),设P(2,λ,2)(0≤λ≤2),平面A1C1D的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则n=(1,1,1).连接A1P,则=(0,λ,2),所以P到平面A1C1D的距离d==.因为0≤λ≤2,所以d∈.故选BC.
7. [解析] 依题意可得=(-5,0,1),所以||==,点P到直线l的距离d===.
8. [解析] 因为AB∥平面α,所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离,又=(-1,-2,0),则点A到平面α的距离d===.
9.解:(1)以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,又D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,
所以A(0,0,0),P(0,0,2),C(0,1,0),F,D,B(1,0,0),E,
所以=,=,
所以点P到直线EF的距离为==.
(2)由(1)得=,=,=.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,则n=(2,0,1),
故点P到平面DEF的距离d===.
10.C [解析] 由题意知,该几何体为长方体,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),设N(0,2,t)(0≤t≤3).因为A1B1∥AB,A1B1 平面ABN,AB 平面ABN,所以A1B1∥平面ABN,故直线A1B1到平面ABN的距离为点B1到平面ABN的距离.=(0,2,0),=(-2,0,t),=(0,0,3),设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),则由可得取n=(t,0,2),故B1到平面ABN的距离d===,得t=1,故=.故选C.
11.A [解析] 如图,以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,则M,G,设P(x,0,0),Q(1,y,0),所以=,=,因为PG⊥MQ,所以·=-x+y-=0,即x-y+1=0,所以y=x+1,又=(1-x,x+1,0),所以||==≥,当且仅当x=0时取等号,此时y=1,=,=,=.设平面PMG的法向量为m=(a,b,c),所以取m=(2,1,-1),所以当||取得最小值时,点Q到平面PMG的距离d===.故选A.
12.ABD [解析] 如图,以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O.对于A,=(-1,0,0),=,设∠ABE=θ,则cos θ==,sin θ==,故A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A正确;对于B,=,因为AB⊥平面ADD1A1,DA1 平面ADD1A1,所以AB⊥DA1,又DA1⊥AD1,AB∩AD1=A,AB,AD1 平面ABC1D1,所以DA1⊥平面ABC1D1,平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确;对于C,因为=++,所以=,=(1,0,0),则=,所以点P到直线AB的距离d===,故C错误;对于D,=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3===,因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形BCD1A1为平行四边形,所以A1B∥D1C,又D1C 平面B1CD1,A1B 平面B1CD1,所以A1B∥平面B1CD1,同理可证A1D∥平面B1CD1,又A1B∩A1D=A1,A1B,A1D 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离d3,即为,故D正确.故选ABD.
13. [解析] 以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示,则A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=(1,0,-1),=(1,1,0),=(0,0,1),=.设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得n=(1,-1,1).设平面CC1E的法向量为v=(x1,y1,z1),则即
令y1=2,得v=(-1,2,0).设交线m的方向向量为m=(x2,y2,z2),则即令y2=1,得m=(2,1,-1).连接AC1,则=(1,1,1),点C1∈m,则·m=2,|m|==,所以点A到直线m的距离为==.
14.解:(1)由题意得AB⊥AD,PA⊥AD,PA⊥AB,所以以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),C(,1,0),P(0,0,2),B(,0,0),∴=(,1,0),=(,0,-2),=(0,0,2).
设异面直线AC,PB的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则即取x=1,得n=.设异面直线AC与PB间的距离为d,则d===.
(2)设N(a,0,c),0≤a≤,0≤c≤2,且2a+c≤2.
由(1)知E,∴=,
由题意得解得∴N,∴点N到直线AB的距离为1,点N到直线AP的距离为.
15.C [解析] 假设截面为AFC1G,易知截面为平行四边形,过点F作FE⊥AC1,垂足为E,则截面面积S=AC1×FE,因为AC1=5为定值,所以只需求FE的最小值,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系C-xyz.当F在BC上(不含两端点)时,如图①所示,则当FE为异面直线AC1和BC的公垂线段时,EF最小,连接C1D,易知异面直线AC1和BC之间的距离即BC到平面ADC1的距离,由C(0,0,0),D(0,3,0),A(4,3,0),C1(0,0,5),得=(-4,0,0),=(0,-3,5),=(0,-3,0),设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则
令y=5,则z=3,x=0,即n=(0,5,3),所以BC到平面ADC1的距离d1==.当F在CD上(不含两端点)时,如图②所示,此时当FE为AC1和CD的公垂线段时,FE最小,同上可得AC1和CD的公垂线段长d2=.当F在BB1上(不含两端点)时,如图③所示,此时当EF为BB1和AC1的公垂线段时,FE最小,同上可得BB1和AC1的公垂线段长d3=.由d316.解:(1)证明:连接D1B,如图,
∵λ=,∴N为DB的中点,
又M是DD1的中点,∴MN为△BDD1的中位线,则MN∥D1B.
∵MN 平面ABC1D1,
D1B 平面ABC1D1,
∴MN∥平面ABC1D1.
(2)由题意可知BC1与底面ABCD所成的角为∠C1BC,即tan∠C1BC==2,则C1C=4.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(0,0,2),
∴=(2,2,0),=(-2,0,0),=(-2,-2,2),
∵=λ=(2λ,2λ,0)(0<λ<1),
∴N(2λ,2λ,0),∴=(-2λ,-2λ,2).
设平面BCM的法向量为n=(x,y,z),
则解得
令y=1,则n=(0,1,1),∴点N到平面BCM的距离d===-λ.
∵0<λ<1,∴0【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
◆ 知识点一 点到平面的距离
如图所示,P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,则·n=|||n|cos θ,其中θ=<,n>.从而||·cos θ=.因为||cos θ的绝对值即为点P到平面α的距离d,所以 d= .
◆ 知识点二 点到直线的距离
如图,P是直线l外一点,PO⊥l,O为垂足,A是l上任意一点,设e是直线l的方向向量,记φ=<,e>,则cos φ=,故点P到直线l的距离为d= .
◆ 知识点三 直线(平面)到平面的距离
(1)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为
到 的距离求解.
(2)如果两个平面α,β互相平行,可在其中一个平面α内任取一点P,将两个平行平面之间的距离转化为 到 的距离求解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面α内一点B所成向量的长度. ( )
(2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. ( )
(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β之间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. ( )
◆ 探究点一 点到直线的距离
例1 (1)已知点A(1,1,1),直线l过原点且平行于向量a=(0,1,2),则点A到直线l的距离为( )
A. B.1
C. D.
(2)[2025·江苏南通一中质检] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,P为CD的中点,则点P到直线AB1的距离为 .
变式 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的长都为2,且∠A1AC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,点P,Q分别在棱AB,A1C1上,且AP=A1Q.
(1)求证:PQ∥平面B1BCC1;
(2)当点P是棱AB的中点时,求点B1到直线PQ的距离.
[素养小结]
用向量法求点到直线的距离的一般步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量;
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量的长度;
(4)利用勾股定理求解.
另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
◆ 探究点二 点到平面的距离
例2 如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱BB1的中点,AB=AA1=1,点F在AC上,且CF=2FA,求点C到平面C1EF的距离.
变式 [2025·江苏无锡一中期中] 如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱AA1上,且AE=1.
(1)求平面ADD1A1与平面B1DE夹角的余弦值;
(2)若点P在棱D1C1上,且P到平面B1DE的距离为,求P到直线EB1的距离.
[素养小结]
用向量法求点到平面的距离的步骤:
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系;
(2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标;
(3)求向量:求出相关向量的坐标;
(4)利用公式即可求得点到平面的距离.
拓展 [2025·安徽滁州高二期中] 如图,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为6的正方形,△MAB是等边三角形,平面MAB⊥平面ABCD.已知E,F,G分别是线段AM,DM,CD上一点,且AE=AM,DF=DM,CG=CD,若H是线段BM上的一点,且点H到平面EFG的距离为,求的值.
◆ 探究点三 线面距和面面距
例3 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.
(1)求直线MN到平面OCD的距离;
(2)求平面MNR与平面OCD之间的距离.
变式 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)直线B1C到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1之间的距离.
[素养小结]
(1)当直线与平面平行时,求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.6.3.4 空间距离的计算
1.空间内有三点P(-1,2,3),E(2,1,1),F(1,2,2),则点P到直线EF的距离为 ( )
A. B. C.2 D.2
2.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P且平行于平面ABC的平面与平面ABC间的距离是 ( )
A. B. C. D.
3.棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,顶点C1到平面B1AC的距离是 ( )
A. B.
C. D.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=2,AD=3,E为AB的中点,则异面直线B1C1与DE之间的距离为 ( )
A. B.
C.1 D.
5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=1,则直线AB1到平面BC1D的距离为 ( )
A. B. C. D.
6.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AB上一动点,则P到平面A1C1D的距离可能是 ( )
A. B. C. D.2
7.[2025·广州番禺区实验中学高二期中] 已知直线l的一个方向向量为m=(1,,-1),若点P(-1,1,-1)为直线l外一点,A(4,1,-2)为直线l上一点,则||= ,点P到直线l的距离为 .
8.[2025·山东青岛高二质检] 已知AB∥平面α,平面α的一个法向量为n=(1,0,1),平面α内一点C的坐标为(0,0,1),点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面α的距离为 .
9.(13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.
(1)求点P到直线EF的距离;
(2)求点P到平面DEF的距离.
10.[2025·江苏扬州中学高二月考] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,点N在棱CC1上,若直线A1B1到平面ABN的距离为,则的值为 ( )
A.1 B.
C. D.
11.[2025·江苏南京金陵中学高二期末] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为棱A1D1的中点,G为侧面CDD1C1的中心,点P,Q分别为直线AD,AB上的动点,且PG⊥MQ,当||取得最小值时,点Q到平面PMG的距离为 ( )
A. B. C.1 D.
12.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 ( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面ABC1D1的距离为
C.点P到直线AB的距离为
D.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
13.[2025·江苏无锡一中期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AD的中点,设平面A1BC1与平面CC1E的交线为m,则点A到直线m的距离为 .
14.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(1)求异面直线AC与PB间的距离;
(2)在侧面PAB内(包括边界)找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出点N到直线AB和AP的距离.
15.[2025·江苏盐城期末] 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=5,用过该长方体体对角线AC1的平面去截该长方体,则所得截面的面积的最小值为 ( )
A.3 B.
C.12 D.
16.(15分)如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,BC1与底面ABCD所成角的正切值为2,M是DD1的中点,N是BD上的一个动点,设=λ(0<λ<1).
(1)当λ=时,证明:MN∥平面ABC1D1;
(2)若点N到平面BCM的距离为d,试用λ表示d,并求出d的取值范围.
