(共76张PPT)
7.1 两个基本计数原理
第2课时 分类计数原理与分步计数
原理的综合应用
探究点一 数字组数问题
探究点二 选（抽）取与分配问题
探究点三 涂色与种植问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的区别.
2.会正确应用这两个计数原理计数.
知识点 分类计数原理和分步计数原理的区别
1.分类计数原理和分步计数原理的区别在于一个和分类有关，一个和
分步有关.
完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这 类办法是相互独立的，
且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则完成这
件事的方法的种数用分类计数原理；
若完成某件事需分个步骤，这 个步骤相互依存，具有连续性，当
且仅当这 个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的
方法的种数需用分步计数原理计算.
2.利用两个基本计数原理解决具体问题时的思考程序
（1）首先明确要完成的事情是什么，条件有哪些？
（2）再考虑如何完成，主要有三种类型：
①分类或分步；
②先分类，然后在每一类里再分步；
③先分步，然后在每一步里再分类.
（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少.
探究点一 数字组数问题
例1 ［2024·江苏南京高二期中］用0，1，2，3， ，9这十个数字.
（1）可组成多少个三位数？
解：要确定一个三位数，可分三步进行：
第一步，确定百位数，因为百位数不能为0，所以有9种选法；
第二步，确定十位数，有10种选法；
第三步，确定个位数，有10种选法.
根据分步计数原理，共有 （个）三位数.
例1 ［2024·江苏南京高二期中］用0，1，2，3， ，9这十个数字.
（2）可组成多少个无重复数字的三位数？
解：要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：
第一步，确定百位数，有9种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法.
根据分步计数原理，共有 （个）无重复数字的三位数.
例1 ［2024·江苏南京高二期中］用0，1，2，3， ，9这十个数字.
（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？
解：小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类.
第一类，满足条件的一位自然数：有10（个）.
第二类，满足条件的两位自然数：有 （个）.
第三类，满足条件的三位自然数：
第一步，确定百位数，百位数可取1，2，3，4，有4种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法.
根据分步计数原理，有 （个）.
由分类计数原理知共有 （个）小于500且无重复
数字的自然数.
变式 ［2025·江苏南通高二期末］从数字1，2，3，4中取出3个数字
（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数
的个数为( )
A.7 B.9 C.10 D.13
[解析] 各位数字之和等于6的三位数可分为以下三类：
①由1，1，4三个数字组成的三位数，为114，141，411，共3个；
②由1,2,3三个数字组成的三位数,为123,132,213,231,312,321,共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，为222.
综上共有 （个）符合条件的三位数，故选C.
√
［素养小结］
解决组数问题的方法
（1）对于组数问题,一般按特殊位置（一般是末位和首位）优先的方
法分类或分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解.
（2）解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善
于挖掘.
提醒：数字“0”不能排在两位数或两位以上的数的最高位.
探究点二 选（抽）取与分配问题
例2 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
（1）从中任选一幅画布置房间,有多少种不同的选法
解：分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;
从油画中选,有2种不同的选法;
从水彩画中选,有7种不同的选法.
根据分类计数原理,共有 （种）不同的选法.
例2 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
（2）从国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有多少种不同的选法
解：分为三步:第一步,从国画中选,有5种不同的选法;
第二步,从油画中选,有2种不同的选法;
第三步,从水彩画中选,有7种不同的选法.
根据分步计数原理,共有 （种）不同的选法.
例2 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有多少种不同的选法
解：分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,有
（种）不同的选法;
第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有 (种)不同的选法;
第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有 (种)不同的选法.
根据分类计数原理,共有 （种）不同的选法.
变式（1）［2024·江苏徐州一模］中国灯笼又统称为灯彩，主要有
宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中
选购1种，则不同的选购方式有( )
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有 种.
故选A.
√
（2）现有天平及重量为1,2,4的砝码各一个,每一步,我们选取任意一
个砝码,将其放入天平的左边或者右边,直至所有砝码全部放到天平两
边,但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边,则不同顺
序的放法共有( )
A.15种 B.13种 C.11种 D.10种
√
[解析] 根据每次放的砝码重量分类讨论,有以下三种情况.①第一步先
放重量为4的砝码,则重量为4的砝码只能放在左边,接下来重量为1,2的
砝码的放置顺序随意,有2种,每一种放置顺序中重量为1,2的砝码均可以
在左、右两边随意放,此时共有 （种）放法.
②第一步先放重量为2的砝码,则重量为2的砝码只能放在左边,若第二步
放重量为4的砝码,则重量为4的砝码只能放在左边,第三步重量为1的砝码
左、右两边随意放,有2种放法;
若第二步放重量为1的砝码,则重量为1的砝码左、右两边随意放,有2种
放法,第三步重量为4的砝码只能放在左边,有1种放法.
此时共有 （种）放法.
③第一步先放重量为1的砝码,则重量为1的砝码只能放在左边,若第二步
放重量为4的砝码,则重量为4的砝码只能放在左边,第三步重量为2的砝码
左、右两边随意放,有2种放法;
若第二步放重量为2的砝码,则重量为2的砝码只能放在左边,第三步重量
为4的砝码只能放在左边,有1种放法.此时共有 （种）放法.
综上,共有 （种）不同顺序的砝码放法.故选A.
［素养小结］
解决抽取（分配）问题的方法
（1）当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或
者图表法.
（2）当涉及对象数目较大时,一般有两种方法:
①直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,
则按分步进行;若按对象特征抽取,则按分类进行.
②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合
条件的抽取方法数即可.
探究点三 涂色与种植问题
例3 一个同心圆形花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌
木,周围的圆环分为 等份,现有红、黄、蓝三种颜色不
同的花可供种植,要求相邻两部分种植不同颜色的花.
（1）如图①,圆环分成3等份,分别为,, ,
则有多少种不同的种植方法
解：先种植部分,有3种不同的种植方法,再种植 部分，
有2种不同的种植方法，最后种植 部分，有1种种植方法，
所以由分步计数原理得,共有 （种）不同的种植方法.
例3 一个同心圆形花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌
木,周围的圆环分为 等份,现有红、黄、蓝三种颜色不
同的花可供种植,要求相邻两部分种植不同颜色的花.
（2）如图②,圆环分成4等份,分别为,,, ,
则有多少种不同的种植方法
解：当,部分种植的花的颜色不同时,有 （种）种
植方法；
当,部分种植的花同色时,有 （种）种植方法.
由分类计数原理得,共有 （种）不同的种植方法.
变式 ［2025·江苏徐州高二课时练习］某城市在中心广场建造一个
花圃，花圃分为6个部分，如图所示.现要栽种4种不同颜色的花，每
部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方
法有( )
A.80种 B.120种 C.160种 D.240种
√
[解析] 第一步，栽种1号区域，有4种栽种选择；
第二步，栽种2号区域，有3种栽种选择；
第三步，栽种3号区域，有2种栽种选择；
第四步，栽种5号区域，分为三种情况， 号区域与2号区域栽种相
同颜色的花，则4号区域仅有1种栽种选择，6号区域有2种栽种选择，
号区域与3号区域栽种相同颜色的花，则4号区域有2种栽种选择，
6号区域仅有1种栽种选择，
号区域与2，3号区域栽种的花颜色都不同，则4号区域和6号区域
都只有1种颜色的花可供选择.
综上所述，共有 （种）不
同的栽种方法.故选B.
［素养小结］
求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计数原理求解,常用方法有:
（1）按区域的不同以区域为主分步计数,用分步计数原理分析;
（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问
题,用分类计数原理分析;
（3）对于空间中的涂色问题,通常考虑将空间问题平面化,转化为平
面区域涂色问题.
1.分类计数原理中各类方案相互独立,各类方案中的各种方法也相互
独立.用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
2.分步计数原理是完成一件事要分成若干步,各个步骤相互依存,完不
成其中任何的一步都不能完成这件事,只有当各个步骤都完成之后,才
能完成这件事.
3.从集合的角度来加以理解
（1）完成一件事有,两类不同的方案,即集合 .在
类方案中有种方法,在类方案中有种方法,即 ,
,那么完成这件事的不同方法的种数是
.
（2）完成一件事需要,两个步骤,完成步骤有 种方法,完成
步骤有种方法,即, ,那么完成这件事的
不同方法的种数是 .
1.解决较为复杂的计数问题需要合理分类,准确分步.
（1）处理计数问题,应扣紧两个原理,根据具体问题首先弄清楚
是“分类”还是“分步”,其次要明确“分类”或者“分步”的具体标准.
（2）分类时要满足两个条件:①类与类之间要互斥（保证不重复）;
②总数要完备（保证不遗漏）.这就需要确定一个合理的分类标准.
（3）分步时应按事情发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步
之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.
2.对于复杂问题,当不能只用分类计数原理或分步计数原理解决时,可
以综合运用两个计数原理.可以先分类,在某一类中再分步;也可以先
分步,在某一步中再分类.
（1）“类中有步”计数问题
用流程图描述计数问题,“类中有步”的
情形如图所示.
从到 视为完成一件事,完成这件事有两类方案,在第1类方案中有3
步,在第2类方案中有2步,完成每一步的方法种数如图所示,所以完成这
件事的方法种数为 .
（2）“步中有类”计数问题
用流程图描述计数问题,“步中有类”的情形如图所示.
由到视为完成一件事,可简单地记为 .
完成这件事,需分三步,为,,,其中 这一
步又分为三类,完成每一步的方法种数如图所示,所以完成 这件
事的方法种数为 .
“类”与“步”可进一步地理解为:
“类”用“ ”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的
完成,“步”则缺一不可.
3.特殊优先原则,在解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,一般应
先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置.
例1 由0,1,2,3,4,5,6这七个数字可以组成_____个无重复数字的四位偶数.
420
[解析] 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”,所以千位
数字不能为0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中的四个数字不
重复,因此应先分类,再分步.
第1类,当千位数字为奇数,即取1,3,5中的任意一个时,个位数字可取0,2,
4,6中的任意一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字
不能取与这三个数字重复的数字,根据分步计数原理,取法有
（种）；
第2类,当千位数字为偶数,即取2,4,6中的任意一个时,个位数字可以取除
千位数字外任意一个偶数数字,百位数字不能取与这两个数字重复的数
字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字,根据分步计数原理,取法有
（种）.
根据分类计数原理知,一共可以组成 （个）无重复数
字的四位偶数.
例2（1）［2025·江苏南京二十九中高二月考］如
图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同
品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使
用同一种菊花，则不同的布置方法有_____种.
420
[解析] 先布置中心区域，有5种方法.
从 开始沿逆时针方向布置四周的区域，则有4种布置方法，有3种
布置方法.
如果与 选用同一种菊花，则有3种布置方法；如果与选用不同
种菊花，则 有2种布置方法， 有2种布置方法.
按照分步与分类计数原理，
则全部的布置方法有 （种）.
（2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作
物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则有多少种不同的种植方法
解：用,, 代表3种作物,先安排第一块田,有3种种植方法,不妨设种
植,再安排第二块田,有2种种植方法,不妨设种植 ,然后安排第三块田,
也有2种种植方法,即种植或 .
若第三块田种植第三种作物，即种植 ,如图，
则第四、五块田各有2种种植方法.
若第三块田与第一块田种植相同的作物，即种植 ,如图，
则第四块田有2种种植方法,即种植或 .
①若第四块田种植第三种作物，即种植 ,如图，
则第五块田有2种种植方法;
②若第四块田与第二块田种植相同的作物，即种植 ,如图，
则第五块田只能种植第三种作物，即种植 ,有1种种植方法.
综上,共有 （种）不同的种植方法.
例3 如图有， 两组电路图.
（1）对于 组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？
解：对于 组电路，可分上、中、下路三类.
上路：第一步接通有1种方法，第二步接通有3种方法，由分步计数
原理，闭合两个开关即可通电的方法数为 .
中路：第一步接通有2种方法，第二步接通有2种方法，由分步计数
原理，闭合两个开关即可通电的方法数为 .
下路：第一步接通有2种方法，第二步接通有3种方法，由分步计数
原理，闭合两个开关即可通电的方法数为 .
故所求方法数为 .
（2）若组电路与组电路从衔接点， 处连接，把两组电路串联
起来，只需闭合三个开关就可通电的方法有多少种？
解：对于 组，合上一个开关可使电路通电，可分两路：从上路接通
有2种方法，从下路接通有3种方法.由分类计数原理，总方法数为
.
A,两组电路串联后要使电路通电，需,两组电路均通电， 组电
路通电有5种方法，由（1）知 组电路通电有13种方法，
所以串联后的电路通电有 （种）方法.
练习册
1.一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类
读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有
( )
A.3种 B.504种 C.24种 D.12种
[解析] 从书架上取一本书，由分类计数原理可知，不同的取法共有
（种）.故选C.
√
2.某邮局有4个不同的信箱,现有5封不同的信需要邮寄,则不同的投递
方法共有( )
A.种 B. 种 C.256种 D.225种
[解析] 将5封不同的信通过4个不同的信箱邮寄,每封信都有4种不同
的投递方法,因此5封不同的信的不同的投递方法共有 种.故选A.
√
3.［2025·江苏盐城中学高二月考］用1，2，3，4这四个数字组成没
有重复数字的三位偶数，共有( )
A.6个 B.18个 C.24个 D.12个
[解析] 先排个位，有2种选择，再排十位和百位，有 （种）
选择，根据分步计数原理可得，共有 （个）没有重复数字
的三位偶数.故选D.
√
4.如图，给编号为1，2，3， ，6的区域涂色，
要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜
色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区
域4）所涂颜色相同.若有5种不同颜色的颜料可供
选择，则不同的涂色方案有( )
A.60种 B.80种 C.100种 D.125种
√
[解析] 因为中心对称的两个区域（如区域1与
区域4）所涂颜色相同，所以只需确定区域1，
2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色，
先涂区域1，有5种选择，再涂区域2,有4种选择，
最后涂区域3，有3种选择，故不同的涂色方案
有 （种）.故选A.
5.现有印有数字0,1,2,6,12,20,22,26的卡片,每种卡片均相同且有若干张.
若从中任选几张卡片并摆成一排,则数字20220126的摆放方式共有
( )
A.14种 B.16种 C.18种 D.20种
[解析] 依题意,摆放20的方式有2,0或20两种方式;
摆放220的方式有2,2,0或22,0或2,20三种方式;
摆放126的方式有1,2,6或12,6或1,26三种方式.
由分步计数原理知,数字20220126的摆放方式共有 (种).
故选C.
√
6.（多选题）现安排高二年级,, 三名同学到甲、乙、丙、丁、戊
五个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择
同一个工厂,则下列说法正确的是( )
A.所有可能的安排方法有 种
B.若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有61种
C.若同学 必须去工厂甲,则不同的安排方法有20种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有60种
√
√
[解析] 对于A, 每名同学有5种选法, 所有可能的安排方法有
（种）,故A错误;
对于B,若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有(种),
故B正确;
对于C,若同学 必须去工厂甲,则不同的安排方法有 （种）,
故C错误;
对于D,若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有
（种）,故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏盐城阶段练］由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字
的三位数，则能被5整除的三位数共有____个.
78
[解析] 能被5整除的三位数说明个位数字是5或0.
当个位数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位数字有6种
不同的选法，根据分步计数原理，共有 （种）选法；
当个位数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位数字有6种不同
的选法，根据分步计数原理，共有（种）选法.
因此，共有 （个）能被5整除的三位数.
8.某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从中选出2人分
别参加篮球赛和足球赛,则不同的选派方案有____种.
28
[解析] 某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,则有
（人）既会踢足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人
只会踢足球,所以选派的方案有四类:
选派两种球都会的运动员,有2种方案;
选派两种球都会的运动员中的一人参加足球赛,只会打篮球的运动员中
的一人参加篮球赛,有 （种）方案;
选派两种球都会的运动员中的一人参加篮球赛,只会踢足球的运动员
中的一人参加足球赛,有 （种）方案;
选派只会打篮球和踢足球的运动员中的各一人分别参加篮球赛和足球
赛,有 （种）方案.
综上可知,共有 （种）不同的选派方案.
9.（13分）已知集合,,,0,1,，点 在直角坐标平
面上，且, .
（1）平面上共有多少个满足条件的点 ？
解：第一步，先安排横坐标，,,,0,1,，所以 有
6种选择；
第二步，安排纵坐标，,,,0,1, ，所以 有6种选择.
所以共有（个）满足条件的点 .
9.（13分）已知集合,,,0,1,，点 在直角坐标平
面上，且, .
（2）有多少个点 在第二象限内？
解：在第二象限，则, ，
故可从,, 这3个数字中选择1个，有3种选择，
可从1,2这2个数字中选择1个，有2种选择，
故共有（个）满足条件的点 .
9.（13分）已知集合,,,0,1,，点 在直角坐标平
面上，且, .
（3）有多少个点不在直线 上？
解：直线上的点的坐标满足，此时有点 ,
,，,, ，共有6个，
所以不在直线上的点有 （个）.
10.（13分）一个正方形花圃,被分为 部分,种植红、
黄、蓝、绿4种不同颜色的花,要求每部分种植一种颜色的花,且相邻
两部分种植不同颜色的花.
（1）如图①,正方形被分为,, 三部分,有多少种不同的种植方法
解：对于题图①,先对部分种植,有4种不同的种植方法;再对 部分种
植,有3种不同的种植方法;最后对 部分种植,有2种不同的种植方法.故
共有 （种）不同的种植方法.
10.（13分）一个正方形花圃,被分为 部分,种植红、
黄、蓝、绿4种不同颜色的花,要求每部分种植一种颜色的花,且相邻
两部分种植不同颜色的花.
（2）如图②,正方形被分为,,, 四部分,有多少种不同的种植方法
解：对于题图②,先对部分种植,有4种不同的种植方法.再对 部分种
植,有3种不同的种植方法.
然后对 部分种植,分两类:
若与种植的花颜色相同,则 有3种不同的种植方法,此时有
（种）不同的种植方法;
若与种植的花颜色不同,则有2种不同的种植方法, 有2种不同的
种植方法,此时有 （种）不同的种植方法.
故共有 （种）不同的种植方法.
10.（13分）一个正方形花圃,被分为 部分,种植红、
黄、蓝、绿4种不同颜色的花,要求每部分种植一种颜色的花,且相邻
两部分种植不同颜色的花.
（3）如图③,正方形被分为,,,, 五部分,有多少种不同的种植方法
解：对于题图③,先对部分种植,有4种不同的种
植方法.再对 部分种植,有3种不同的种植方法.
然后对部分种植,分两类:若与种植的花颜色相同,则 有2种不同
的种植方法,有2种不同的种植方法,此时有
（种）不同的种植方法；
若与种植的花颜色不同,则有2种不同的种植方法, 有1种不同的
种植方法,有2种不同的种植方法,此时有 （种）
不同的种植方法.
故共有 （种）不同的种植方法.
11.［2025·江苏徐州高二阶段练］如图为我国数学
家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验
证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个
小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区
域颜色不同，则区域不同的涂色方法种数为( )
A.36 B.400 C.420 D.480
√
[解析] 根据题意，分4步进行分析：
①对于区域 ，有5种颜色可选；
②对于区域，与 区域相邻，有4种颜色可选；
③对于区域，与， 区域相邻，有3种颜色可选；
④对于区域，，若与 颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与 颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域， 有（种）选择.
则不同的涂色方法有 （种）.故选C.
12.某班团支部换届选举,从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选
出三人分别担任书记、副书记和组织委员,并且规定:上届任职的甲、
乙、丙三人不能连任原职,则不同的任职结果有( )
A.15种 B.14种 C.11种 D.23种
√
[解析] 从甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副
书记和组织委员,上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则选法有
两类：①当丁不入选,即甲、乙、丙三个人入选时,甲有2种选择,余下
的乙和丙只有1种选择,则有2种任职结果；
②当丁入选时,丁有3种职务选择，丁若担任三个人中没有入选的人的
原来的职务,则只有1种任职结果,丁若担任入选的两个人的原来的职务,
则有2种任职结果，所以共有（种）任职结果.
综上可知,共有 （种）任职结果.故选C.
13.（多选题）已知集合,2,3,,, ,则对于方程
的说法正确的是( )
A.可表示3个不同的圆
B.可表示6个不同的椭圆
C.可表示3个不同的双曲线
D.可表示3个不同的焦点位于 轴上的椭圆
√
√
√
[解析] 对于A,若方程表示圆,则符合条件的有 ,
,,故A正确;
对于B,若方程 表示椭圆,则符合条件的有,,
,,, ,故B正确;
对于C,若方程表示双曲线,则符合条件的有,
, ,,,,故C错误;
对于D,若方程 表示焦点位于轴上的椭圆,则符合条件的
有,, ,故D正确.
故选 .
14.［2025·江苏无锡期中］正整数2160的不同正因数的个数为____.
40
[解析] 因为 ，所以其正因数属于集合
,,, ，该集合的元素
个数为 ，所以正整数2160的不同正因数的个数为40.
15.现有一只蜜蜂沿如图所示的用8个完全一样
的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的
相互垂直的三个方向从点飞行到 点，可能
的飞行路径共有_____种.（用数字作答）
296
[解析] 根据题意，该蜜蜂只能沿小正方体的
棱，按照“向右”“向前”或“向上”的方向，一步
一步地飞行，因此在各个小正方体的顶点处标
上蜜蜂经过该点所有可能的路径数，得到如图
所示的示意图，根据图形可知，该蜜蜂可能的
飞行路径共有 （种）.
16.（15分）［2025·江苏启东一中月考］把1，2，3，4，5这五个数
字组成无重复数字的五位数，并把它们按照由小到大的顺序排成一
个数列.
（1）求43 251是这个数列的第几项；
解：所有的五位数有 （个）.
大于43 251的数可分为以下三类：
第一类，以5开头的数有 （个）；
第二类，以45开头的数有 （个）；
第三类，以435开头的数有 （个）.
故不大于43 251的五位数有 （个），即
43 251是第88项.
16.（15分）［2025·江苏启东一中月考］把1，2，3，4，5这五个数
字组成无重复数字的五位数，并把它们按照由小到大的顺序排成一
个数列.
（2）求这个数列的所有项的和.
解：1,2,3,4,5各在万位上时都有24个五位数，
所以万位数字的和为 .
同理可得，1,2,3,4,5在千位、百位、十位、个位上时也有24个五位数，
所以这个数列的所有项的和为
.
快速核答案（导学案）
课中探究 例1 （1）（2）（3）例2 （1） （2）（3） 变式 （1）A （2）A
例3 （1） （2） 变式 B
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.BD 7.78 8.28
9.（1）（2）（3）
10.（1） （2）（3）
11.C 12.C 13.ABD 14.40
15.296 16.（1）第88项（2）第2课时 分类计数原理与分步计数原理的综合应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)要确定一个三位数,可分三步进行:
第一步,确定百位数,因为百位数不能为0,所以有9种选法;
第二步,确定十位数,有10种选法;
第三步,确定个位数,有10种选法.
根据分步计数原理,共有9×10×10=900(个)三位数.
(2)要确定一个无重复数字的三位数,可分三步进行:
第一步,确定百位数,有9种选法;
第二步,确定十位数,有9种选法;
第三步,确定个位数,有8种选法.
根据分步计数原理,共有9×9×8=648(个)无重复数字的三位数.
(3)小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类.
第一类,满足条件的一位自然数:有10(个).
第二类,满足条件的两位自然数:有9×9=81(个).
第三类,满足条件的三位自然数:
第一步,确定百位数,百位数可取1,2,3,4,有4种选法;
第二步,确定十位数,有9种选法;
第三步,确定个位数,有8种选法.
根据分步计数原理,有4×9×8=288(个).
由分类计数原理知共有10+81+288=379(个)小于500且无重复数字的自然数.
变式 C [解析] 各位数字之和等于6的三位数可分为以下三类:①由1,1,4三个数字组成的三位数,为114,141,411,共3个;②由1,2,3三个数字组成的三位数,为123,132,213,231,312,321,共6个;③由2,2,2三个数字可以组成1个三位数,为222.综上共有3+6+1=10(个)符合条件的三位数,故选C.
探究点二
例2 解:(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类计数原理,共有5+2+7=14(种)不同的选法.
(2)分为三步:第一步,从国画中选,有5种不同的选法;第二步,从油画中选,有2种不同的选法;第三步,从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分步计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法.
(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,有5×2=10(种)不同的选法;第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法;第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法.根据分类计数原理,共有10+35+14=59(种)不同的选法.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)由题可知,每名同学都有3种选法,故不同的选购方式有34种.故选A.
(2)根据每次放的砝码重量分类讨论,有以下三种情况.①第一步先放重量为4的砝码,则重量为4的砝码只能放在左边,接下来重量为1,2的砝码的放置顺序随意,有2种,每一种放置顺序中重量为1,2的砝码均可以在左、右两边随意放,此时共有2×22=8(种)放法.②第一步先放重量为2的砝码,则重量为2的砝码只能放在左边,若第二步放重量为4的砝码,则重量为4的砝码只能放在左边,第三步重量为1的砝码左、右两边随意放,有2种放法;若第二步放重量为1的砝码,则重量为1的砝码左、右两边随意放,有2种放法,第三步重量为4的砝码只能放在左边,有1种放法.此时共有2+2=4(种)放法.③第一步先放重量为1的砝码,则重量为1的砝码只能放在左边,若第二步放重量为4的砝码,则重量为4的砝码只能放在左边,第三步重量为2的砝码左、右两边随意放,有2种放法;若第二步放重量为2的砝码,则重量为2的砝码只能放在左边,第三步重量为4的砝码只能放在左边,有1种放法.此时共有2+1=3(种)放法.综上,共有8+4+3=15(种)不同顺序的砝码放法.故选A.
探究点三
例3 解:(1)先种植a1部分,有3种不同的种植方法,再种植a2部分,有2种不同的种植方法,最后种植a3部分,有1种种植方法,所以由分步计数原理得,共有3×2×1=6(种)不同的种植方法.
(2)当a1,a3部分种植的花的颜色不同时,有3×2×1×1=6(种)种植方法;当a1,a3部分种植的花同色时,有3×1×2×2=12(种)种植方法.由分类计数原理得,共有6+12=18(种)不同的种植方法.
变式 B [解析] 第一步,栽种1号区域,有4种栽种选择;第二步,栽种2号区域,有3种栽种选择;第三步,栽种3号区域,有2种栽种选择;第四步,栽种5号区域,分为三种情况,①5号区域与2号区域栽种相同颜色的花,则4号区域仅有1种栽种选择,6号区域有2种栽种选择,②5号区域与3号区域栽种相同颜色的花,则4号区域有2种栽种选择,6号区域仅有1种栽种选择,③5号区域与2,3号区域栽种的花颜色都不同,则4号区域和6号区域都只有1种颜色的花可供选择.综上所述,共有4×3×2×(1×2+2×1+1×1)=120(种)不同的栽种方法.故选B.7.2 排 列
第2课时 分类计数原理与分步计数原理的综合应用
1.C [解析] 从书架上取一本书,由分类计数原理可知,不同的取法共有7+8+9=24(种).故选C.
2.A [解析] 将5封不同的信通过4个不同的信箱邮寄,每封信都有4种不同的投递方法,因此5封不同的信的不同的投递方法共有45种.故选A.
3.D [解析] 先排个位,有2种选择,再排十位和百位,有3×2=6(种)选择,根据分步计数原理可得,共有2×6=12(个)没有重复数字的三位偶数.故选D.
4.A [解析] 因为中心对称的两个区域(如区域1与区域4)所涂颜色相同,所以只需确定区域1,2,3的颜色,即可确定所有区域的涂色,先涂区域1,有5种选择,再涂区域2,有4种选择,最后涂区域3,有3种选择,故不同的涂色方案有5×4×3=60(种).故选A.
5.C [解析] 依题意,摆放20的方式有2,0或20两种方式;摆放220的方式有2,2,0或22,0或2,20三种方式;摆放126的方式有1,2,6或12,6或1,26三种方式.由分步计数原理知,数字20220126的摆放方式共有2×3×3=18(种).故选C.
6.BD [解析] 对于A,∵每名同学有5种选法,∴所有可能的安排方法有5×5×5=53(种),故A错误;对于B,若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有53-43=61(种),故B正确;对于C,若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有5×5=25(种),故C错误;对于D,若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有5×4×3=60(种),故D正确.故选BD.
7.78 [解析] 能被5整除的三位数说明个位数字是5或0.当个位数字是5时,百位数字除了0有6种不同的选法,十位数字有6种不同的选法,根据分步计数原理,共有6×6=36(种)选法;当个位数字是0时,百位数字有7种不同的选法,十位数字有6种不同的选法,根据分步计数原理,共有7×6=42(种)选法.因此,共有36+42=78(个)能被5整除的三位数.
8.28 [解析] 某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,则有5+6-9=2(人)既会踢足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人只会踢足球,所以选派的方案有四类:选派两种球都会的运动员,有2种方案;选派两种球都会的运动员中的一人参加足球赛,只会打篮球的运动员中的一人参加篮球赛,有2×3=6(种)方案;选派两种球都会的运动员中的一人参加篮球赛,只会踢足球的运动员中的一人参加足球赛,有2×4=8(种)方案;选派只会打篮球和踢足球的运动员中的各一人分别参加篮球赛和足球赛,有3×4=12(种)方案.综上可知,共有2+6+8+12=28(种)不同的选派方案.
9.解:(1)第一步,先安排横坐标a,a∈M={-3,-2,-1,0,1,2},所以a有6种选择;第二步,安排纵坐标b,b∈M={-3,-2,-1,0,1,2},所以b有6种选择.
所以共有6×6=36(个)满足条件的点P.
(2)P(a,b)在第二象限,则a<0,b>0,
故a可从-3,-2,-1这3个数字中选择1个,有3种选择,
b可从1,2这2个数字中选择1个,有2种选择,
故共有3×2=6(个)满足条件的点P.
(3)直线y=x上的点的坐标满足a=b,此时有点(-3,-3),(-2,-2),(-1,-1,),(0,0),(1,1),(2,2),共有6个,
所以不在直线y=x上的点P有36-6=30(个).
10.解:(1)对于题图①,先对A部分种植,有4种不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种植方法;最后对C部分种植,有2种不同的种植方法.故共有4×3×2=24(种)不同的种植方法.
(2)对于题图②,先对A部分种植,有4种不同的种植方法.再对B部分种植,有3种不同的种植方法.
然后对C部分种植,分两类:
若C与B种植的花颜色相同,则D有3种不同的种植方法,此时有4×3×1×3=36(种)不同的种植方法;
若C与B种植的花颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有2种不同的种植方法,此时有4×3×2×2=48(种)不同的种植方法.
故共有36+48=84(种)不同的种植方法.
(3)对于题图③,先对A部分种植,有4种不同的种植方法.再对B部分种植,有3种不同的种植方法.
然后对C部分种植,分两类:若C与B种植的花颜色相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,此时有4×3×1×2×2=48(种)不同的种植方法;
若C与B种植的花颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,此时有4×3×2×1×2=48(种)不同的种植方法.
故共有48+48=96(种)不同的种植方法.
11.C [解析] 根据题意,分4步进行分析:①对于区域A,有5种颜色可选;②对于区域B,与A区域相邻,有4种颜色可选;③对于区域C,与A,B区域相邻,有3种颜色可选;④对于区域D,E,若D与B颜色相同,E区域有3种颜色可选,若D与B颜色不相同,D区域有2种颜色可选,E区域有2种颜色可选,则区域D,E有3+2×2=7(种)选择.则不同的涂色方法有5×4×3×7=420(种).故选C.
12.C [解析] 从甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员,上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则选法有两类:①当丁不入选,即甲、乙、丙三个人入选时,甲有2种选择,余下的乙和丙只有1种选择,则有2种任职结果;②当丁入选时,丁有3种职务选择,丁若担任三个人中没有入选的人的原来的职务,则只有1种任职结果,丁若担任入选的两个人的原来的职务,则有2种任职结果,所以共有3×(2+1)=9(种)任职结果.综上可知,共有9+2=11(种)任职结果.故选C.
13.ABD [解析] 对于A,若方程+=1表示圆,则符合条件的(m,n)有(2,2),(3,3),(4,4),故A正确;对于B,若方程+=1表示椭圆,则符合条件的(m,n)有(2,3),(2,4),(3,4),(3,2),(4,2),(4,3),故B正确;对于C,若方程+=1表示双曲线,则符合条件的(m,n)有(-1,2),(-1,3),(-1,4),(2,-1),(3,-1),(4,-1),故C错误;对于D,若方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆,则符合条件的(m,n)有(3,2),(4,2),(4,3),故D正确.故选ABD.
14.40 [解析] 因为2160=24×33×5,所以其正因数属于集合{t|t=2x3y5z,x∈{0,1,2,3,4},y∈{0,1,2,3},z∈{0,1}},该集合的元素个数为5×4×2=40,所以正整数2160的不同正因数的个数为40.
15.296 [解析] 根据题意,该蜜蜂只能沿小正方体的棱,按照“向右”“向前”或“向上”的方向,一步一步地飞行,因此在各个小正方体的顶点处标上蜜蜂经过该点所有可能的路径数,得到如图所示的示意图,根据图形可知,该蜜蜂可能的飞行路径共有87+111+98=296(种).
16.解:(1)所有的五位数有5×4×3×2×1=120(个).
大于43 251的数可分为以下三类:
第一类,以5开头的数有4×3×2×1=24(个);
第二类,以45开头的数有3×2×1=6(个);
第三类,以435开头的数有2×1=2(个).
故不大于43 251的五位数有120-(24+6+2)=88(个),即43 251是第88项.
(2)1,2,3,4,5各在万位上时都有24个五位数,
所以万位数字的和为(1+2+3+4+5)×24=360.
同理可得,1,2,3,4,5在千位、百位、十位、个位上时也有24个五位数,所以这个数列的所有项的和为360×(1+10+100+1000+10 000)=3 999 960.第2课时 分类计数原理与分步计数原理的综合应用
1.一个三层书架,分别放置语文类读物7本,政治类读物8本,英语类读物9本,每本图书各不相同,从中取出1本,则不同的取法共有 ( )
A.3种 B.504种
C.24种 D.12种
2.某邮局有4个不同的信箱,现有5封不同的信需要邮寄,则不同的投递方法共有 ( )
A.45种 B.54种
C.256种 D.225种
3.[2025·江苏盐城中学高二月考] 用1,2,3,4这四个数字组成没有重复数字的三位偶数,共有 ( )
A.6个 B.18个 C.24个 D.12个
4.如图,给编号为1,2,3,…,6的区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,中心对称的两个区域(如区域1与区域4)所涂颜色相同.若有5种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有 ( )
A.60种 B.80种
C.100种 D.125种
5.现有印有数字0,1,2,6,12,20,22,26的卡片,每种卡片均相同且有若干张.若从中任选几张卡片并摆成一排,则数字20220126的摆放方式共有 ( )
A.14种 B.16种 C.18种 D.20种
6.(多选题)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是 ( )
A.所有可能的安排方法有35种
B.若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有61种
C.若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有20种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有60种
7.[2025·江苏盐城阶段练] 由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数,则能被5整除的三位数共有 个.
8.某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛,则不同的选派方案有 种.
9.(13分)已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},点P(a,b)在直角坐标平面上,且a,b∈M.
(1)平面上共有多少个满足条件的点P
(2)有多少个点P在第二象限内
(3)有多少个点P不在直线y=x上
10.(13分)一个正方形花圃,被分为n(n≥3,n∈N*)部分,种植红、黄、蓝、绿4种不同颜色的花,要求每部分种植一种颜色的花,且相邻两部分种植不同颜色的花.
(1)如图①,正方形被分为A,B,C三部分,有多少种不同的种植方法
(2)如图②,正方形被分为A,B,C,D四部分,有多少种不同的种植方法
(3)如图③,正方形被分为A,B,C,D,E五部分,有多少种不同的种植方法
11.[2025·江苏徐州高二阶段练] 如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同,则区域不同的涂色方法种数为 ( )
A.36 B.400
C.420 D.480
12.某班团支部换届选举,从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员,并且规定:上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则不同的任职结果有 ( )
A.15种 B.14种
C.11种 D.23种
13.(多选题)已知集合A={-1,2,3,4},m,n∈A,则对于方程+=1的说法正确的是 ( )
A.可表示3个不同的圆
B.可表示6个不同的椭圆
C.可表示3个不同的双曲线
D.可表示3个不同的焦点位于x轴上的椭圆
14.[2025·江苏无锡期中] 正整数2160的不同正因数的个数为 .
15.现有一只蜜蜂沿如图所示的用8个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点飞行到B点,可能的飞行路径共有 种.(用数字作答)
16.(15分)[2025·江苏启东一中月考] 把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按照由小到大的顺序排成一个数列.
(1)求43 251是这个数列的第几项;
(2)求这个数列的所有项的和.第2课时 分类计数原理与分步计数原理的综合应用
【学习目标】
1.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的区别.
2.会正确应用这两个计数原理计数.
◆ 知识点 分类计数原理和分步计数原理的区别
1.分类计数原理和分步计数原理的区别在于一个和分类有关,一个和分步有关.
完成一件事的方法种数若需“分类”思考,则这n类办法是相互独立的,且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,则完成这件事的方法的种数用分类计数原理;
若完成某件事需分n个步骤,这n个步骤相互依存,具有连续性,当且仅当这n个步骤依次都完成后,这件事才算完成,则完成这件事的方法的种数需用分步计数原理计算.
2.利用两个基本计数原理解决具体问题时的思考程序
(1)首先明确要完成的事情是什么,条件有哪些
(2)再考虑如何完成,主要有三种类型:
①分类或分步;
②先分类,然后在每一类里再分步;
③先分步,然后在每一步里再分类.
(3)最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少.
◆ 探究点一 数字组数问题
例1 [2024·江苏南京高二期中] 用0,1,2,3,…,9这十个数字.
(1)可组成多少个三位数
(2)可组成多少个无重复数字的三位数
(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数
变式 [2025·江苏南通高二期末] 从数字1,2,3,4中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,则这样的三位数的个数为( )
A.7 B.9 C.10 D.13
[素养小结]
解决组数问题的方法
(1)对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解.
(2)解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.
提醒:数字“0”不能排在两位数或两位以上的数的最高位.
◆ 探究点二 选(抽)取与分配问题
例2 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间,有多少种不同的选法
(2)从国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有多少种不同的选法
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有多少种不同的选法
变式 (1)[2024·江苏徐州一模] 中国灯笼又统称为灯彩,主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,则不同的选购方式有 ( )
A.34种 B.43种
C.3×2×1种 D.4×3×2种
(2)现有天平及重量为1,2,4的砝码各一个,每一步,我们选取任意一个砝码,将其放入天平的左边或者右边,直至所有砝码全部放到天平两边,但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边,则不同顺序的放法共有 ( )
A.15种 B.13种
C.11种 D.10种
[素养小结]
解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目较大时,一般有两种方法:
①直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若按对象特征抽取,则按分类进行.
②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
◆ 探究点三 涂色与种植问题
例3 一个同心圆形花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N*)等份,现有红、黄、蓝三种颜色不同的花可供种植,要求相邻两部分种植不同颜色的花.
(1)如图①,圆环分成3等份,分别为a1,a2,a3,则有多少种不同的种植方法
(2)如图②,圆环分成4等份,分别为a1,a2,a3,a4,则有多少种不同的种植方法
变式 [2025·江苏徐州高二课时练习] 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图所示.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,则不同的栽种方法有 ( )
A.80种 B.120种
C.160种 D.240种
[素养小结]
求解涂色(种植)问题一般直接利用两个计数原理求解,常用方法有:
(1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步计数原理分析;
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类计数原理分析;
(3)对于空间中的涂色问题,通常考虑将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题.
