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7.2 排 列
第1课时 排 列
探究点一 排列的概念
探究点二 简单的排列问题
探究点三 实际中的简单排列问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.
知识点 排列
1.排列的定义：一般地，从个不同的元素中取出 个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫作从个不同元素中取出 个元素的一
个排列.
2.两个排列相同的充要条件:两个排列的______完全相同,且元素的
__________也相同.
元素
排列顺序
注意：
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按
照一定的顺序排列”.
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全
相同时，才是同一个排列.
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从 个不同元
素中取出个元素后，再安排这 个元素时是有顺序还是无顺序，有
顺序就是排列，无顺序就不是排列.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）1,2,3与3,2,1为同一个排列.( )
×
[解析] 元素相同,但排列顺序不同,故不是同一个排列.
（2）在一个排列中,同一个元素不能重复出现.( )
√
（3）从1,2,3,4中任选两个数字,可以组成一个排列.( )
×
[解析] 任选两个数字,可以组成两个排列.
（4）从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同
的选法是一个排列问题.( )
√
探究点一 排列的概念
例1 判断下列问题是否是排列问题,并说明理由.
（1）从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字，能组成多
少个两位数？
解：是.
从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，
因为数字所在位置有顺序,所以是排列问题.
例1 判断下列问题是否是排列问题,并说明理由.
（2）从1到10这十个自然数中任取两个不同的数组成直角坐标平面
内的点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标
解：是.
因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标,哪一个数是
纵坐标有关,即与顺序有关,所以是排列问题.
例1 判断下列问题是否是排列问题,并说明理由.
（3）从十名同学中任选两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的选
取方法
解：不是.
因为从十名同学中选取两名同学去学校开座谈会不需要考虑两个人的
顺序,所以不是排列问题.
例1 判断下列问题是否是排列问题,并说明理由.
（4）某商场有四个大门,若从一个大门进去,购买物品后,再从另一个
大门出来,不同的出入方式有多少种
解：是.
因为从一个大门进,从另一个大门出是有顺序的,所以是排列问题.
变式 ［2025·江苏盐城高二期中］给出下列问题：
①从2，3，5，7，11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2，3，5，7，11中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③从2，3，5，7，11中任取两数相加，可得多少个不同的和？
以上问题中，属于排列问题的是____.（写出所有满足要求的问题序号）
②
[解析] 对于①，从2，3，5，7，11中任取两数相乘，且乘法满足交
换律，故不是排列问题;
对于②，从2，3，5，7，11中任取两数相除，且除法不满足交换律，
故是排列问题;
对于③，从2，3，5，7，11中任取两数相加，且加法满足交换律，
故不是排列问题.
故属于排列问题的是②.
［素养小结］
判断一个具体问题是否为排列问题,就看安排取出的元素时是有序的
还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”
（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定）,看其结果是否
有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
探究点二 简单的排列问题
例2（1）从1,2,3,4这四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两
位数,一共可以组成多少个
解：方法一:可以从1,2,3,4这四个数字中选取一个放在十位上,然后在
剩余的三个数字中选取一个放在个位上,按照分步计数原理,一共可以
组成 （个）没有重复数字的两位数.
方法二:由题意作出树形图如下:
故组成的所有没有重复数字的两位数为
12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共12个.
（2）从0,1,2,3这四个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位
数,一共可以组成多少个
解：首先从1,2,3这三个数字中选取一个放在百位上,然后在剩余的三
个数字中选取一个放在十位上,最后在剩余的两个数字中选取一个放
在个位上.
由分步计数原理得,一共可以组成 （个）没有重复数字
的三位数.
（3）从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给
甲、乙、丙三人,每人一本,试将所有不同的分法列举出来.
解：从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给
甲、乙、丙三人,每人一本,相当于从4个不同的元素中任意取出3个元
素,按甲、乙、丙的顺序进行排列,每一个排列就对应着一种分法,所以
共有 （种）不同的分法.
取语文书、数学书、英语书、物理书的简称分别为语、数、英、物,
画出树形图如图.
由树形图可知,按甲、乙、丙的顺序分书的分法为:
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
变式 ［2025·江苏扬州高二期中］已知有0，1，2，3，4，5六个数字.
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
解：若组成的数为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位
和十位的数字无限制，
所以数字不重复的三位数有 （个）.
变式 ［2025·江苏扬州高二期中］已知有0，1，2，3，4，5六个数字.
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
解：若组成的数为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个
位和十位的数字无限制，
所以数字允许重复的三位数有 （个）.
变式 ［2025·江苏扬州高二期中］已知有0，1，2，3，4，5六个数字.
（3）可以组成多少个数字不重复且小于1000的自然数？
解：若组成的数为数字不重复且小于1000的自然数，分以下三种讨论：
①自然数为一位数，共6个；
②自然数为两位数,则首位不能为零,个位无限制,共（个）；
③自然数为三位数，由（1）可知，共有100个.
综上所述,数字不重复且小于1000的自然数有(个).
［素养小结］
利用树形图法解决简单排列问题的适用范围及策略
（1）适用范围:树形图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比
较有效的表示方式.
（2）策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元
素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,
直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.
拓展 写出,,,四名同学站成一排照相, 不站在两端的所有可能站法.
解：作出树形图如图所示:
故所有可能的站法是,,,,,, ,
,,,, ,共12种.
探究点三 实际中的简单排列问题
例3 上午要上语文、数学、体育和外语四门课,数学老师不能上第二
节和第四节,则不同的排课方案的种数是( )
A.24 B.22 C.20 D.12
√
[解析] 因为数学老师不能上第二节和第四节,所以先排数学老师的课,
有2种排课方案,然后再排剩下三位老师的课,有 （种）排
课方案.
由分步计数原理可得共有 （种）排课方案.故选D.
变式 ［2025·江苏泰州高二期中］“数独九宫格”原创者
是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，
将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空
格里，每个空格填一个数，且9个空格的
A.70 B.120 C.140 D.144
数字各不相同.若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并
要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排
列的，则不同的填法种数为 ( )
√
[解析] 比4小的有1,2,3，共3个，从中选出2个排在4的左边和上方，
方法有 （种）；
比4大的有5,6,7,8,9，共5个，从中选出2个排在4的右边和下方，
方法有 （种）.
所以不同的填法为 （种）.故选B.
［素养小结］
解决简单的排列实际应用问题的策略
（1）明确要研究的元素是什么,有无顺序.
（2）确定在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成.
1.排列中元素所满足的两个特征
（1）无重复性:从个不同元素中取出 个不同的元素,
否则不是排列问题.
（2）有序性:安排这 个元素时是有顺序的,有序的就是排列,无
序的不是排列.而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置,看结果
是否发生变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.
2.从定义知,只有当两个排列中的元素完全相同,并且元素排列的顺序
也完全相同时,才是同一个排列；元素不完全相同或元素完全相同而
排列的顺序不同的排列,都不是同一个排列.
3.在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关,在实际问题中,究竟何时
有关,何时无关,要由具体问题的性质和条件来决定,这一点要特别注意,
这也是与后面学习的组合的根本区别.
树状图,亦称树枝状图.树状图是数据树的图形表示形式,也是枚举法的
一种表达方式.画树状图的关键:一是确定层数,二是确定每层分叉的
个数.树状图也是学生学习排列组合、概率问题所需要画的一种图形.
例1 在1,2,3,4的排列中,求满足, ,排列个数.
解：首先满足 的树状图是:
其次满足 的树状图是:
最后满足 的排列有2143,3142,3241,4132,4231,共5个.
例2 （多选题）已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法
正确的是( )
A.若其中某道工序不能放在最后，则有96种加工顺序
B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，则有72种加
工顺序
C.若其中某2道工序必须相邻，则有48种加工顺序
D.若其中某2道工序不能相邻，则有36种加工顺序
[解析] 假设这5道工序分别为甲乙丙丁戊.对于A，假设甲工序不能放
到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，所有的加工顺序
有 （种），故A正确.
√
√
对于B，假设甲、乙2道工序既不能放到最前，也不能放到最后，先安
排甲、乙，则共有（种）安排方式；再安排剩余3道工序，
共有 （种）安排方式.根据分步计数原理，所有的加工顺
序有 （种），故B错误.
对于C，假设甲、乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道
工序放在一起排序，则共有 （种）加工顺序，
故C正确.
对于D，假设甲、乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的
4个空中，安排甲、乙，故共有 （种）加工顺序，
故D错误.
故选 .
练习册
1.［2025·江苏南京高二课时练习］下列问题是排列问题的是( )
A.从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D.从1，2，3，4这四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
√
[解析] 选项A，从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人
并未排序，因而不是排列问题，不合题意；
选项B，10个人互相通信一次，选出2人后要分出寄信人和收信人，
是排列问题，符合题意；
选项C，平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点，即可确
定1条直线，这2个点不分顺序，因而不是排列问题，不合题意；
选项D，从1，2，3，4这四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，
这2个数字不分顺序,且有 ,因而不是排列问题,不合题意.
故选B.
2.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为( )
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲 B.甲乙丙,乙丙甲
C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 D.甲乙,甲丙,乙丙
[解析] 若选出的是甲、乙,则站法为甲乙、乙甲;
若选出的是甲、丙,则站法为甲丙、丙甲;
若选出的是乙、丙,则站法为乙丙、丙乙.
故选C.
√
3.某高校有4名志愿者参加社区工作,若每天早、中、晚三班,每班1人,
每人每天最多值一班,则值班当天不同的排班种数为( )
A.12 B.18 C.24 D.144
[解析] 由题意,4名志愿者参加社区志愿工作,每天早、中、晚三班,每
班1人,每人每天最多值一班,则值班当天不同的排班种数为
.故选C.
√
4.从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的
种数为( )
A.5 B.10 C.20 D.60
[解析] 此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素进行排列,即共有
（种）不同的送书方法.故选C.
√
5.小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩,购票后依次入园,为安
全起见,首尾一定要排家长,则这4个人的入园顺序的种数是( )
A.4 B.6 C.12 D.24
[解析] 根据题意,由于首尾一定要排家长,则首尾两个位置的排法有2种,
小明和妹妹排在中间,有2种排法,则有 （种）入园顺序.故选A.
√
6.（多选题）从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数字组成一个三位数,则
在所组成的三位数中( )
A.三位偶数有60个
B.比300大的三位奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的三位数有24个
D.能被3整除的三位数有48个
[解析] 对于A,其个位数字为2或4或6,有3种情况;
在剩余5个数字中任选2个,安排在百位和十位,有 (种)情况.
则共有 （个）三位偶数,故A正确.
√
√
√
对于B,分2种情况讨论：若百位数字为3或5,则有 （个）
三位奇数；若百位数字为4或6,则有 （个）三位奇数.
则符合题意的三位奇数有 （个）,故B错误.
对于C,个位和百位数字之和为7有,, ,共3种情况,则符合
题意的三位数有 （个）,故C正确.
对于D,若三位数能被3整除,则三个数字之和为3的倍数,有,
,,, ,,, ,共8种情况,故能被
3整除的三位数有（个）,故D正确.
故选 .
7.4个人排成一排，则甲不站两边的站法有____种.
12
[解析] 甲不站两边的站法有 （种）.
8.南阳市博物院为国家一级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物
馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳
市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2025年3月3日
（周一）至3月9日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南
阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需
要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有____种.
60
[解析] 因为博物院每周一闭馆，所以高一年级可以从周二和周三，
周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去
参观，共5种选择，
再从剩下的四天里安排高二、高三年级,有 （种）安排方法，
根据分步计数原理，知不同的方案有 （种）.
9.（13分）写出下列问题的所有排列:
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票
解：列出每一个起点和终点情况,如图所示.
故符合题意的机票种类有:
北京 广州,北京 南京,北京 天津,广州 南京,广州 天津,广
州 北京,南京 天津,南京 北京,南京 广州,天津 北京,天津
广州,天津 南京,共12种.
9.（13分）写出下列问题的所有排列:
（2）,,,四名同学排成一排照相,要求自左向右,不排第一, 不
排第四,共有多少种不同的排列方法
解：因为不排第一,所以排第一的情况有3类（可从,, 中任选一
人排）,兼顾分析 的排法,列树形图如图.
所以符合题意的所有排列是,,,,, ,
,,,,,,, ,共14种.
10.（13分）在三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上
的数字都小,那么这个数为凹数,如524,746等都是凹数,那么用0,1,2,3,4
这五个数字能组成多少个无重复数字的凹数 请列举出来.
解：符合要求的凹数的十位上的数字只能为0,1,2.第1类,十位上的数字
为0,则个位和百位上的数字从数字1,2,3,4中选取,共有 （个）
满足题意的数,分别为102,103,104,201,203,204,301,302,304,401,402,403；
第2类,十位上的数字为1,则个位和百位上的数字从数字2,3,4中选取,共
有 （个）满足题意的数,分别为213,214,312,314,412,413；
第3类,十位上的数字为2,则个位和百位上的数字从数字3,4中选取,共有
（个）满足题意的数,分别为324,423.
所以由0,1,2,3,4可组成 （个）无重复数字的凹数.分别为
102,103,104,201,203,204,301,302,304,401,402,403,213,214,312,314,412,413,
324,423.
11.沪宁城际铁路线上有六个大站:上海、苏州、无锡、常州、镇江、
南京,铁路部门应为这六个大站之间准备不同的火车票的种数为
( )
A.15 B.30 C.12 D.36
[解析] 对于两个大站和,从到的火车票与从到 的火车票不同.
因为每张车票对应一个起点站和一个终点站,所以每张火车票对应从6
个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种
排列,故应准备不同的火车票的种数为 .故选B.
√
12.［2025·江苏南通高二联考］四名护士和一名医生站成一排照相，
则医生站在正中间的不同站法有( )
A.64种 B.12种 C.120种 D.24种
[解析] 根据题意，分2步进行分析：
①将四名护士全排列，有 （种）排法；
②医生站在正中间，有1种排法.
则五人不同的站法有 （种）.故选D.
√
13.［2025·江苏常州高二期中］用1，2，3，4，5，6组成的没有重复
数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的六位数有( )
A.18个 B.36个 C.72个 D.86个
[解析] 由题意,可先对奇数1,3,5进行全排列,共有 （种）排法；
再从形成的4个空隙中，选择连续的三个空隙，有2种选法；
最后将偶数2,4,6放入选择的连续的三个空隙中,有 (种)放法.
根据分步计数原理,可得共有 （个）满足题意的六位数.
故选C.
√
14.某个游戏的一个环节是要打开一个密码箱,已知该密码箱的密码由
四个数字组成（每个数字均为 这十个整数中的一个）,且从之前
的游戏环节得知,该密码的四个数字互不相同,且前两个数字均大于6,
后两个数字均小于5,则该密码的可能的情况种数为_____.
120
[解析] 依题意,从7,8,9中任取两个不同的数字排在前两位,有
（种）情况；
从0,1,2,3,4中任取两个不同的数字排在后两位,有 （种）情况.
由分步计数原理得,该密码的可能的情况种数为 .
15.某学校社团将举办红歌展演,现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南
泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》
《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌
曲安排演出,要求最后一首歌曲必须是合唱,则不同的安排方法共有
( )
A.40种 B.240种 C.120种 D.360种
√
[解析] 根据题意,在3首合唱歌曲中任选1首,安排在最后,有3种安排方法；
在其他6首歌曲中任选3首,作为前3首歌曲,有 （种）
安排方法.
则共有 （种）不同的安排方法.故选D.
16.（15分）某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁
4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，
则不同的停车方案有多少种？
解：当甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，有
（种）停车方案；
当丙、丁中的一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排时，有
（种）停车方案.
所以共有 （种）停车方案.
快速核答案（导学案）
课前预习 2.元素 排列顺序 【诊断分析】（1）× （2）√ （3）× （4）√
课中探究 例1 （1）是（2）是 （3）不是（4）是 变式 ②
例2 （1）数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
变式 （1）（2）
拓展 ,,,,,,,, ,,,
,共12种
例3 D 变式 B
1.B 2.C 3.C 4.C 5.A 6.ACD 7.12 8.60
9.（1）北京 广州,北京 南京,北京 天津,广州 南京,广州 天津,广州 北京,南
京 天津,南京 北京,南京 广州,天津 北京,天津 广州,天津 南京,共12种.
（2）,,,,,,,
,,,,,,,共14种.
10. 由0,1,2,3,4可组成个无重复数字的凹数.分别为102,103,104,201,
203,204,301,302,304,401,402,403,213,214,312,314,412,413,324,423.
11.B 12.D 13.C 14.120 15.D 16. 快速核答案（练习册）7.2 排列
第1课时 排列
【课前预习】
知识点
2.元素 排列顺序
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)元素相同,但排列顺序不同,故不是同一个排列.
(3)任选两个数字,可以组成两个排列.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)是.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数,因为数字所在位置有顺序,所以是排列问题.
(2)是.因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标,哪一个数是纵坐标有关,即与顺序有关,所以是排列问题.
(3)不是.因为从十名同学中选取两名同学去学校开座谈会不需要考虑两个人的顺序,所以不是排列问题.
(4)是.因为从一个大门进,从另一个大门出是有顺序的,所以是排列问题.
变式 ② [解析] 对于①,从2,3,5,7,11中任取两数相乘,且乘法满足交换律,故不是排列问题;对于②,从2,3,5,7,11中任取两数相除,且除法不满足交换律,故是排列问题;对于③,从2,3,5,7,11中任取两数相加,且加法满足交换律,故不是排列问题.故属于排列问题的是②.
探究点二
例2 解:(1)方法一:可以从1,2,3,4这四个数字中选取一个放在十位上,然后在剩余的三个数字中选取一个放在个位上,按照分步计数原理,一共可以组成4×3=12(个)没有重复数字的两位数.
方法二:由题意作出树形图如下:
故组成的所有没有重复数字的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共12个.
(2)首先从1,2,3这三个数字中选取一个放在百位上,然后在剩余的三个数字中选取一个放在十位上,最后在剩余的两个数字中选取一个放在个位上.由分步计数原理得,一共可以组成3×3×2=18(个)没有重复数字的三位数.
(3)从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人,每人一本,相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素,按甲、乙、丙的顺序进行排列,每一个排列就对应着一种分法,所以共有4×3×2=24(种)不同的分法.取语文书、数学书、英语书、物理书的简称分别为语、数、英、物,画出树形图如图.
由树形图可知,按甲、乙、丙的顺序分书的分法为:
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
变式 解:(1)若组成的数为数字不重复的三位数,则首位数字不为零,个位和十位的数字无限制,
所以数字不重复的三位数有5×5×4=100(个).
(2)若组成的数为数字允许重复的三位数,则首位数字不为零,个位和十位的数字无限制,
所以数字允许重复的三位数有5×6×6=180(个).
(3)若组成的数为数字不重复且小于1000的自然数,分以下三种讨论:
①自然数为一位数,共6个;
②自然数为两位数,则首位不能为零,个位无限制,共5×5=25(个);
③自然数为三位数,由(1)可知,共有100个.
综上所述,数字不重复且小于1000的自然数有6+25+100=131(个).
拓展 解:作出树形图如图所示:
故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种.
探究点三
例3 D [解析] 因为数学老师不能上第二节和第四节,所以先排数学老师的课,有2种排课方案,然后再排剩下三位老师的课,有3×2×1=6(种)排课方案.由分步计数原理可得共有2×6=12(种)排课方案.故选D.
变式 B [解析] 比4小的有1,2,3,共3个,从中选出2个排在4的左边和上方,方法有3×2=6(种);比4大的有5,6,7,8,9,共5个,从中选出2个排在4的右边和下方,方法有5×4=20(种).所以不同的填法为6×20=120(种).故选B.7.2 排列
第1课时 排列
1.B [解析] 选项A,从10名同学中选取2名去参加知识竞赛,选出的2人并未排序,因而不是排列问题,不合题意;选项B,10个人互相通信一次,选出2人后要分出寄信人和收信人,是排列问题,符合题意;选项C,平面上有5个点,任意三点不共线,从中任选2个点,即可确定1条直线,这2个点不分顺序,因而不是排列问题,不合题意;选项D,从1,2,3,4这四个数字中,任选两个数字相加即得1个结果,这2个数字不分顺序,且有1+4=2+3,因而不是排列问题,不合题意.故选B.
2.C [解析] 若选出的是甲、乙,则站法为甲乙、乙甲;若选出的是甲、丙,则站法为甲丙、丙甲;若选出的是乙、丙,则站法为乙丙、丙乙.故选C.
3.C [解析] 由题意,4名志愿者参加社区志愿工作,每天早、中、晚三班,每班1人,每人每天最多值一班,则值班当天不同的排班种数为4×3×2=24.故选C.
4.C [解析] 此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素进行排列,即共有5×4=20(种)不同的送书方法.故选C.
5.A [解析] 根据题意,由于首尾一定要排家长,则首尾两个位置的排法有2种,小明和妹妹排在中间,有2种排法,则有2×2=4(种)入园顺序.故选A.
6.ACD [解析] 对于A,其个位数字为2或4或6,有3种情况;在剩余5个数字中任选2个,安排在百位和十位,有5×4=20(种)情况.则共有3×20=60(个)三位偶数,故A正确.对于B,分2种情况讨论:若百位数字为3或5,则有2×2×4=16(个)三位奇数;若百位数字为4或6,则有2×3×4=24(个)三位奇数.则符合题意的三位奇数有16+24=40(个),故B错误.对于C,个位和百位数字之和为7有(1,6),(2,5),(3,4),共3种情况,则符合题意的三位数有3×(2×1)×4=24(个),故C正确.对于D,若三位数能被3整除,则三个数字之和为3的倍数,有(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6),共8种情况,故能被3整除的三位数有8×(3×2×1)=48(个),故D正确.故选ACD.
7.12 [解析] 甲不站两边的站法有2×3×2×1=12(种).
8.60 [解析] 因为博物院每周一闭馆,所以高一年级可以从周二和周三,周三和周四,周四和周五,周五和周六,周六和周日中选择两天去参观,共5种选择,再从剩下的四天里安排高二、高三年级,有4×3=12(种)安排方法,根据分步计数原理,知不同的方案有5×12=60(种).
9.解:(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示.
故符合题意的机票种类有:
北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共12种.
(2)因为A不排第一,所以排第一的情况有3类(可从B,C,D中任选一人排),兼顾分析B的排法,列树形图如图.
所以符合题意的所有排列是BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种.
10.解:符合要求的凹数的十位上的数字只能为0,1,2.第1类,十位上的数字为0,则个位和百位上的数字从数字1,2,3,4中选取,共有4×3=12(个)满足题意的数,分别为102,103,104,201,203,204,301,302,304,401,402,403;第2类,十位上的数字为1,则个位和百位上的数字从数字2,3,4中选取,共有3×2=6(个)满足题意的数,分别为213,214,312,314,412,413;第3类,十位上的数字为2,则个位和百位上的数字从数字3,4中选取,共有2×1=2(个)满足题意的数,分别为324,423.所以由0,1,2,3,4可组成12+6+2=20(个)无重复数字的凹数.分别为102,103,104,201,203,204,301,302,304,401,402,403,213,214,312,314,412,413,324,423.
11.B [解析] 对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同.因为每张车票对应一个起点站和一个终点站,所以每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列,故应准备不同的火车票的种数为6×5=30.故选B.
12.D [解析] 根据题意,分2步进行分析:①将四名护士全排列,有4×3×2×1=24(种)排法;②医生站在正中间,有1种排法.则五人不同的站法有1×24=24(种).故选D.
13.C [解析] 由题意,可先对奇数1,3,5进行全排列,共有3×2=6(种)排法;再从形成的4个空隙中,选择连续的三个空隙,有2种选法;最后将偶数2,4,6放入选择的连续的三个空隙中,有3×2=6(种)放法.根据分步计数原理,可得共有6×2×6=72(个)满足题意的六位数.故选C.
14.120 [解析] 依题意,从7,8,9中任取两个不同的数字排在前两位,有3×2=6(种)情况;从0,1,2,3,4中任取两个不同的数字排在后两位,有5×4=20(种)情况.由分步计数原理得,该密码的可能的情况种数为6×20=120.
15.D [解析] 根据题意,在3首合唱歌曲中任选1首,安排在最后,有3种安排方法;在其他6首歌曲中任选3首,作为前3首歌曲,有6×5×4=120(种)安排方法.则共有3×120=360(种)不同的安排方法.故选D.
16.解:当甲、乙两车停泊在同一排,丙、丁两车停泊在同一排时,有2×4×3×4×3=288(种)停车方案;
当丙、丁中的一辆与甲、乙停泊在同一排,另一辆单独一排时,有2×2×4×3×2×4=384(种)停车方案.
所以共有288+384=672(种)停车方案.7.2 排 列
第1课时 排列
【学习目标】
理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.
◆ 知识点 排列
1.排列的定义:一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.两个排列相同的充要条件:两个排列的 完全相同,且元素的 也相同.
注意:
(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按照一定的顺序排列”.
(2)从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列.
(3)如何判断一个具体问题是不是排列问题,就要看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序,有顺序就是排列,无顺序就不是排列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)1,2,3与3,2,1为同一个排列. ( )
(2)在一个排列中,同一个元素不能重复出现. ( )
(3)从1,2,3,4中任选两个数字,可以组成一个排列. ( )
(4)从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题.( )
◆ 探究点一 排列的概念
例1 判断下列问题是否是排列问题,并说明理由.
(1)从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个不同的数字,能组成多少个两位数
(2)从1到10这十个自然数中任取两个不同的数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标
(3)从十名同学中任选两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的选取方法
(4)某商场有四个大门,若从一个大门进去,购买物品后,再从另一个大门出来,不同的出入方式有多少种
变式 [2025·江苏盐城高二期中] 给出下列问题:
①从2,3,5,7,11中任取两数相乘,可得多少个不同的积
②从2,3,5,7,11中任取两数相除,可得多少个不同的商
③从2,3,5,7,11中任取两数相加,可得多少个不同的和
以上问题中,属于排列问题的是 .(写出所有满足要求的问题序号)
[素养小结]
判断一个具体问题是否为排列问题,就看安排取出的元素时是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
◆ 探究点二 简单的排列问题
例2 (1)从1,2,3,4这四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两位数,一共可以组成多少个
(2)从0,1,2,3这四个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位数,一共可以组成多少个
(3)从语文书、数学书、英语书、物理书4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人,每人一本,试将所有不同的分法列举出来.
变式 [2025·江苏扬州高二期中] 已知有0,1,2,3,4,5六个数字.
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数
(3)可以组成多少个数字不重复且小于1000的自然数
[素养小结]
利用树形图法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:树形图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.
拓展 写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法.
◆ 探究点三 实际中的简单排列问题
例3 上午要上语文、数学、体育和外语四门课,数学老师不能上第二节和第四节,则不同的排课方案的种数是 ( )
A.24 B.22 C.20 D.12
变式 [2025·江苏泰州高二期中] “数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉,它的游戏规则很简单,将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里,每个空格填一个数,且9个空格的数字各不相同.若中间空格已填数字4,且只填第二行和第二列,并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的,则不同的填法种数为 ( )
A.70 B.120
C.140 D.144
[素养小结]
解决简单的排列实际应用问题的策略
(1)明确要研究的元素是什么,有无顺序.
(2)确定在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成.7.2 排列
第1课时 排列
1.[2025·江苏南京高二课时练习] 下列问题是排列问题的是 ( )
A.从10名同学中选取2名去参加知识竞赛,共有多少种不同的选取方法
B.10个人互相通信一次,共写了多少封信
C.平面上有5个点,任意三点不共线,这5个点最多可确定多少条直线
D.从1,2,3,4这四个数字中,任选两个相加,其结果共有多少种
2.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为 ( )
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙丙,乙丙甲
C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
3.某高校有4名志愿者参加社区工作,若每天早、中、晚三班,每班1人,每人每天最多值一班,则值班当天不同的排班种数为 ( )
A.12 B.18
C.24 D.144
4.从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为 ( )
A.5 B.10
C.20 D.60
5.小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排家长,则这4个人的入园顺序的种数是 ( )
A.4 B.6
C.12 D.24
6.(多选题)从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数字组成一个三位数,则在所组成的三位数中 ( )
A.三位偶数有60个
B.比300大的三位奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的三位数有24个
D.能被3整除的三位数有48个
7.4个人排成一排,则甲不站两边的站法有 种.
8.南阳市博物院为国家一级博物馆,是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标,是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆(节假日除外).某学校计划于2025年3月3日(周一)至3月9日(周日)组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学,每天只能有一个年级参观,其中高一年级需要连续两天,高二、高三年级各需要一天,则不同的方案有 种.
9.(13分)写出下列问题的所有排列:
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票
(2)A,B,C,D四名同学排成一排照相,要求自左向右,A不排第一,B不排第四,共有多少种不同的排列方法
10.(13分)在三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,那么这个数为凹数,如524,746等都是凹数,那么用0,1,2,3,4这五个数字能组成多少个无重复数字的凹数 请列举出来.
11.沪宁城际铁路线上有六个大站:上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京,铁路部门应为这六个大站之间准备不同的火车票的种数为 ( )
A.15 B.30
C.12 D.36
12.[2025·江苏南通高二联考] 四名护士和一名医生站成一排照相,则医生站在正中间的不同站法有 ( )
A.64种 B.12种
C.120种 D.24种
13.[2025·江苏常州高二期中] 用1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中,满足相邻的数字奇偶性不同的六位数有 ( )
A.18个 B.36个
C.72个 D.86个
14.某个游戏的一个环节是要打开一个密码箱,已知该密码箱的密码由四个数字组成(每个数字均为0~9这十个整数中的一个),且从之前的游戏环节得知,该密码的四个数字互不相同,且前两个数字均大于6,后两个数字均小于5,则该密码的可能的情况种数为 .
15.某学校社团将举办红歌展演,现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出,要求最后一首歌曲必须是合唱,则不同的安排方法共有 ( )
A.40种 B.240种
C.120种 D.360种
16.(15分)某停车场有两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有多少种
