(共70张PPT)
7.2 排 列
第2课时 排列数公式
探究点一 排列数公式的计算
探究点二 数字排列问题
探究点三 排队问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明.
2.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解决方法.
3.能应用排列知识解决简单的实际问题.
知识点 排列数与排列数公式
排列数定义 及表示 一般地，从个不同元素中取出 个元素的
__________的个数，叫作从个不同元素中取出 个
元素的排列数，用符号 表示
全排列的概 念 个不同元素__________的一个排列，叫作 个不同元
素的一个全排列
所有排列
全部取出
阶乘的概念 称为 的阶乘,通常用
!表示
排列数公式 ____________________________
阶乘式_ ______
特殊情况 ____,___, ___
!
续表
注意：
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从 个不同的
元素中，任取 个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不
是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）从 个人中选出2个人,分别从事两项不同的工作的排列
数,可以用 表示.( )
√
（2）集合,,则 的取值个数是4.( )
√
（3）将8名同学排成两排,每排4人,则不可以用 表示.( )
×
[解析] 相当于8名同学排成一排,可以用 表示.
（4） .( )
√
（5） .( )
√
探究点一 排列数公式的计算
角度1 直接利用排列数公式求值
例1 计算:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
变式 ［2025·江苏启东高二课时练习］ ____.
40
[解析] ，， ，
故 .
角度2 排列数的化简与证明
例2（1）化简: ____________.
[解析] !,
原式 .
（2）解关于正整数的方程： .
解：由排列数的定义，得，解得， .
原方程可化为 ，
化简可得 ，
即，即，解得 （舍去）
或 .
变式（1）解方程: .
解：由，可得,且, ，
即 ,
故,可得 .
（2）［2025·江苏徐州高二课时练习］求证： .
证明：左边 !，
右边 !，
所以 ，得证.
［素养小结］
1.排列数的计算方法
（1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,连续正整数的
积可以写成某个排列数;
（2）应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取
公因式.
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明,化简的过
程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要
灵活地运用如下变式:!; ;
!; .
提醒：在解含有排列数的方程或不等式时,必须注意中 ,
且 这些限制条件.在解出方程或不等式后,要进行检验,把
不合题意的解舍掉.
探究点二 数字排列问题
例3 用0,1,2,3,4这五个数字.
（1）可组成多少个五位数
解：各个数位上数字允许重复,万位上不能为0,根据分步计数原理,可
组成 （个）五位数.
（2）可组成多少个无重复数字的五位数
解：从1,2,3,4中任选一个放在万位,共有4种选法,其余四个位置,四个
数字全排列,故共有 （个）无重复数字的五位数.
例3 用0,1,2,3,4这五个数字.
（3）可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数
解：是3的倍数的三位数,其各个位上数字之和是3的倍数,则由0,1,2或
0,2,4或1,2,3或2,3,4组成三位数.
由0,1,2或0,2,4组成的三位数有（个）；
由1,2,3或2,3,4组成的三位数有 （个）.
故满足题意的三位数共有 （个）.
例3 用0,1,2,3,4这五个数字.
（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数
解：考虑特殊位置个位和万位,先确定个位上的数字,从1,3中选一个放
在个位,有 种选法,然后从剩余三个非零数字中选一个放在万位,有
种选法,
其余三个数字在中间三个位置上全排列,有 种排法,故满足题意的五
位数共有 （个）.
例3 用0,1,2,3,4这五个数字.
（5）组成没有重复数字的五位数,将这些数由小到大排列,42 130是
第几个数
解：本题的本质是求不大于42 130的五位数有多少个.
按分类计数原理,当万位数字为1,2,3时均满足,共有 个；
当万位数字为4,千位数字为0,1时均满足,共有 个；
当万位数字为4,千位数字为2,而百位数字为0和1时均满足,共有 个.
所以42 130是第 （个）数.
变式 ［2025·江苏徐州高二联考］用0，1，2，3，4，5这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
解：因为数字中有0，0不能放在千位，所以先安排千位的数字，从
五个非0数字中选一个放在千位，共有5种结果，
从余下的五个数字中选出三个进行排列放在百位、十位和个位，
共有 种结果，
由分步计数原理可知，能组成 （个）无重复数字
的四位数.
变式 ［2025·江苏徐州高二联考］用0，1，2，3，4，5这六个数字.
（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
解：先排个位，有3种方法，然后排千位，有4种方法，剩下百位和
十位任意排，有 种方法，由分步计数原理可知，能组成
（个）无重复数字的四位奇数.
变式 ［2025·江苏徐州高二联考］用0，1，2，3，4，5这六个数字.
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
解：分以下三种情况讨论：
①首位是2，3，4，5中的一个，则其他数位可以任意排列，共有
（个）；
②首位是1，百位数字为4或5，剩余两个数位可以任意排列，共有
（个）；
③首位是1，百位数字为3，则十位上的数字为4或5，个位数字可以
任意排列，共有 （个）.
综上所述，由分类计数原理可知，能组成 （个）
无重复数字且比1325大的四位数.
［素养小结］
数字排列问题的解题原则：
排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限
制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元
素；解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元
素或优先满足特殊位子,当一个位子安排的元素影响到另一个位子的
元素个数时,应分类讨论.
提醒：解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和
分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.
探究点三 排队问题
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法种数.
（1）选5人排成一排;
解：无条件的排列问题,排法有 （种）.
（2）全体站成一排,甲、乙均不在两端;
解：先安排甲、乙,有种方法,再安排余下的5人,有 种方法,故排法
有 （种）.
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法种数.
（3）全体站成一排,甲不在最左端,乙不在最右端;
解：由题知甲在最左端或乙在最右端的排法均有 种,甲在最左端且
乙在最右端的排法有 种,故甲不在最左端，乙不在最右端的排法有
（种）.
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法种数.
（4）全体站成一排,男生站在一起，女生站在一起;
解：把男生看成一个整体,男生全排列的排法有 种,再把女生看成一
个整体,女生全排列的排法有 种,最后把这两个整体全排列，排法有
种.故男生站在一起、女生站在一起的排法共有 (种).
（5）全体站成一排,男生彼此不相邻;
解：先排女生,有 种排法,排好后有5个空位,让男生插入5个空位中,
有种排法,故共有 （种）排法.
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法种数.
（6）全体站成一排,男生各不相邻，女生各不相邻;
解：先排男生,有种排法,让女生插空,有 种排法,
故共有 （种）排法.
（7）全体站成一排,甲、乙中间有2个人;
解：任选2人与甲、乙组成一个整体,与余下3个人全排列,
故共有 （种）排法.
（8）排成前后两排,前排3人,后排4人.
解：分步完成,共有 （种）排法.
变式 （多选题）［2025·江苏连云港期中］身高各不相同的六位同
学，，，，， 站成一排照相，则下列说法正确的是
( )
A.若，， 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，则共有120
种站法
B.若与同学不相邻，则共有 种站法
C.若，，三位同学必须站在一起，且只能在与 的中间，则
共有144种站法
D.若不在排头， 不在排尾，则共有504种站法
√
√
√
[解析] 对于A，6个人全排列有种方法，，，全排列有 种方
法，则，，从左到右按由高到矮的顺序排列有 （种）
方法，A正确；
对于B，先排列除与外的4个人,有 种方法,4个人排列共有5个空，
利用插空法将和插入5个空,有 种方法,则共有种方法,B正确；
对于C,,,必须排在一起且 在， 中间的排法有2种，将这3个人
捆绑在一起,与其余3个人全排列,有种方法,则共有 (种)方法，
C错误；
对于D，6个人全排列有种方法，当在排头时，有种方法，当
在排尾时，有种方法，当在排头且在排尾时，有种方法，
则 不在排头，不在排尾共有(种),D正确.
故选 .
［素养小结］
排队问题的解题策略
（1）合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位
置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.
（2）恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过
程中要恰当结合两个计数原理.
（3）正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用排除法可起到事
半功倍的效果.
拓展 ［2025·江苏如东高二期中］中国古代中的“礼、乐、射、御、
书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”
就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学
社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一
次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有
( )
A.480种 B.336种 C.144种 D.96种
√
[解析] 依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序有 种，
“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序有
种，所以所求“六艺”讲座不同的次序共有
（种）.故选B.
1.排列与排列数的区别
“一个排列”是指从个不同的元素中任取 个元素,按照一定
的顺序排成一列,不是数,是一种排法;“排列数”是指从 个不同的元素
中取出个元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号 只
表示排列数,而不表示具体的排列.
2.排列数的两个公式的特点
（1）第一个公式右边是若干数的连乘积,其特点是:第一个因数
是 （下标）,后面的每一个因数都比它前面的因数少1,最后一个因数
为（下标-上标）,共有 （上标）个连续自然数相乘.
（2）排列数的第二个公式是阶乘的形式,所以又叫排列数的阶乘
式.它是一个分式的形式,分子是下标 的阶乘,分母是下标减上标即
的阶乘.公式中的,应该满足,,,当 时不
成立.
一般来说,在直接进行具体计算时,选用连乘积形式较好;当对含有字
母的排列数的式子进行变形、解方程或证明时,采用阶乘形式较好.
公式主要有两个作用:一是当, 较大时,由于科学计算器
上可直接求出相应的阶乘数,因此用上面的公式计算排列数较为方便;
二是当对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时,写成这种形式
有利于发现相互之间的关系.
例1（1）（多选题）下列关于排列数的等式中,正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] !,故A正确;
,
故B正确;
,故C不正确;
,故D正确.
故选 .
√
√
√
（2）［2025·江苏盐城五校联盟高二月考］用排列数表示
且 _______.
[解析] 对于 ，由
，且，， 都为
正整数，可得，，所以 ，即用
排列数表示为 .
例2 ［2025·江苏徐州三中高二月考］求解下列问题.
（1）计算： .
解： .
（2）求证： .
证明：
.
例2 ［2025·江苏徐州三中高二月考］求解下列问题.
（3）解关于的不等式： .
解：依题意，有可得 ，
由，得，即 ，
整理得，解得，所以 ，
又，所以，所以的解集为 .
练习册
1.［2025·江苏宿迁高二联考］
可
表示为( )
A. B. C. D.
[解析] 总共有
（个）数连乘，故
.故选B.
√
2.甲、乙分别从《扬州民间艺术》《扬州盐商文化》《扬州评话》和
《大运河的前世今生》4门课程中选修1门,且2人选修的课程不同,则
不同的选法有( )
A.6种 B.8种 C.12种 D.16种
[解析] 甲、乙分别从4门课程中选修1门,且2人选修的课程不同,
则有 （种）选法.故选C.
√
3.已知,，则 ( )
A.3 B.3或13 C.6 D.2
[解析] 因为，所以，且 ，
，，所以，解得或
（舍去），所以 .故选A.
√
4.由1,2,3,4组成的没有重复数字的三位数中,偶数的个数为( )
A.6 B.12 C.24 D.36
[解析] 由题意可得,个位上的数字可以是2或4,有2种排法；
百位和十位上的数字可以从剩余的三个数字中任选两个进行排列,
有 种排法.
由分步计数原理可得,满足条件的三位偶数共有 （个）.故选B.
√
5.有五个节目（甲、乙、丙、丁、戊）,现对这五个节目的出场顺序
进行排序,其中甲不能第一个出场,乙不能第三个出场,则不同的出场顺
序共有( )
A.72种 B.78种 C.96种 D.120种
[解析] 当甲第三个出场时,乙、丙、丁、戊全排列,有
（种）出场顺序;
当甲不在第一、三个出场时,有（种）出场顺序.
故共有 （种）不同的出场顺序.故选B.
√
6.（多选题）［2025·江苏启东中学月考］下列等式正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A， ，
所以A正确；
对于B， ，所以B错误；
对于C， !，所以C正确；
对于D，，所以D正确.
故选 .
7.不等式 的解集为________________.
，4，5，6，
[解析] 由题设可知且，所以 且
.由，得，则 ，所
以，解得或 .
又，，所以且 ，则原不等式的解集为
.
8.［2025·江苏苏州高二联考］市内某公共汽车站有6个候车座位
（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个
连续空座位的候车方式的种数是____.
72
[解析] 根据题意，先将3名乘客全排列，形成4个空隙，再将两个空
座位捆绑在一起和另一个空座位放入4个空隙中的两个，所以共有
（种）候车方式.
9.（13分）有0,1,2,3,4,5这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数
解：符合要求的四位偶数可分为三类:第一类,0在个位时,有 个四位
偶数;
第二类,2在个位时,千位从1,3,4,5中选定1个（有 种选法）,十位和百
位从余下的数字中选（有种选法）,有 个四位偶数;
第三类,4在个位时,与第二类同理,也有 个四位偶数.
由分类计数原理知,能组成 （个）无重复
数字的四位偶数.
9.（13分）有0,1,2,3,4,5这六个数字.
（2）能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数
解：符合要求的四位数可分为两类:第一类,四位数的十位和个位分别
是2,5,需要先从余下的非零数字中选一个放在千位,剩下的三个数字中
选一个放在百位,共有 个四位数;
第二类,四位数的十位和个位分别是5,0,共有个四位数.
由分类计数原理知,能组成 （个）符合题意的四位数.
9.（13分）有0,1,2,3,4,5这六个数字.
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数
解：符合要求的四位数可分为三类:第一类,形如, ,
,,共有个;
第二类,形如,,共有 个;第三类,形如,,
共有 个.
由分类计数原理知,能组成 （个）符合
题意的四位数.
10.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的四位数中,比2021大的四位数的
个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
√
[解析] 根据题意,分两种情况讨论.①当千位为3时,将剩下的三个数字
全排列,安排在后面的三个数位上,有 （种）情况,即有6个符合
条件的四位数.
②当千位为2时,若百位为1或3,则将剩下的两个数字全排列,安排在后面
的两个数位上,有 （种）情况,即有4个符合条件的四位数;
若百位为0,则只有2031这1个符合条件的四位数.
综上,共有 （个）符合条件的四位数,故选B.
11.［2025·江苏海门期中］甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两
端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有( )
A.128种 B.96种 C.72种 D.48种
[解析] 因为乙和丙之间恰有2人，所以乙、丙及中间人占据前四个位
置或中间四个位置或后四个位置.
当乙、丙及中间人占据前四个位置时，还剩最后两个位置，甲不在两
端，第一步先排末位有 种排法，第二步将甲和中间人排入有种
排法，第三步排乙、丙有 种排法，由分步计数原理可得有
（种）排法；
√
当乙、丙及中间人占据中间四个位置时，两端还剩两个位置，甲不在
两端，第一步先排两端有种排法，第二步将甲和另一位中间人排入
有 种排法，第三步排乙、丙有种排法，由分步计数原理可得有
（种）排法；
当乙、丙及中间人占据后四个位置时，还剩前两个位置，甲不在两端，
第一步先排首位有 种排法，第二步将甲和中间人排入有种排法，
第三步排乙、丙有 种排法,由分步计数原理可得有 (种)
排法.
由分类计数原理可知，一共有 （种）排法.故选B.
12.（多选题）［2024·江苏启东高二期中］下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，
故A正确；
由上述可知,，因此 ，故B错误；
，故C正确；
由上述可知，故D错误.
故选 .
√
√
13.［2024·浙江嘉兴八校联盟高二期中］用1至9这9个正整数组成无
重复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的九位数,这样的九位
数有______个（用数字作答）.
1296
[解析] 将1至9这9个正整数分为3组:1,4,7;2,5,8;3,6,9.
若这个九位数任意相邻的三个数字之和是3的倍数,则这个九位数从左
至右数第一、四、七个数为这3组中一组的一个排列,第二、五、八个
数为剩余2组中一组的一个排列,第三、六、九个数为最后的一组的一
个排列,故这样的九位数有 （个）.
14.（15分）［2024·江苏淮安期中］话说唐僧师徒四人去西天取经，
某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六
位如何站位各人有自己的想法.（结果用数值表示）
（1）唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧.”请问一
共有多少种站法？
解：由题意可得，符合条件的站法共有 （种）.
14.（15分）［2024·江苏淮安期中］话说唐僧师徒四人去西天取经，
某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六
位如何站位各人有自己的想法.（结果用数值表示）
（2）八戒提出：两个妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！
那么按照八戒的想法，一共有多少种站法？
解：总共有六个位置，两个妖怪不能站在排头和排尾，先将两个妖
怪排好，有种排法，剩下四个人排在剩余四个位置上，有 种排
法，故共有 （种）站法.
14.（15分）［2024·江苏淮安期中］话说唐僧师徒四人去西天取经，
某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六
位如何站位各人有自己的想法.（结果用数值表示）
（3）悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃
走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说
法，请问一共有多少种站法？
解：师傅和悟空站在一起有种排法，八戒站在两个妖怪中间有
种排法，
最后将师傅和悟空、八戒和两个妖怪、沙僧共3个大元素全排列，有
种排法，故共有 （种）排法.
15.自然对数是以常数为底数的对数,记作 ,在物理学、生
物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符号
是由瑞士数学家和物理学家欧拉 命名的,取的正是
的首字母,.某教师为帮助同学们了解 ,让同学
们把小数点后的7位数字进行随机排列,整数部分2的位置不变,那么大
于2.72的数的个数为( )
A.216 B.220 C.340 D.460
√
[解析] 由题意,当小数点后第一个数字为8时,后面6个数字中有2个1,2
个8,1个2和1个7,两个相同数字之间是没有顺序的,所以共有
（个）大于2.72的数;
当小数点后第一个数字为7时,后面6个数字中有2个1,3个8和1个2,相同
数字之间是没有顺序的,所以共有 （个）大于2.72的数.
综上,大于2.72的数共有 （个）.故选B.
16.（15分）［2025·江苏淮安高二期中］现有7位老师（含甲、乙）
排成一排拍照留念.
（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；
解：7位老师（含甲、乙）随意排成一排有 个样本点，
事件“甲、乙不相邻且不在两端”包含的样本点个数为 ，
所以甲、乙不相邻且不在两端的概率 .
16.（15分）［2025·江苏淮安高二期中］现有7位老师（含甲、乙）
排成一排拍照留念.
（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？
解：从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有 种排法，
排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体，同余下的2
位老师全排列有种排法，甲、乙的排列有 种排法.
由分步计数原理，得共有 （种）不同的排法.
快速核答案（导学案）
课前预习 所有排列 全部取出
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）√ （5）√
课中探究 例1 （1） （2） （3） 变式 40
例2 （1） （2） 变式 （1）（2）略
例3 （1）（2） （3）（4）变式 （1）（2） （3）
例4 (1)(2)（3） （5） （6）（8）
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.ACD 7.，4，5，6， 8.72
9.（1）（2）10.B 11.B 12.AC 13.1296
14.（1）
15.B 16.（1）（2）【课前预习】
知识点
所有排列 全部取出 n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
n! 1 1
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ [解析] (3)相当于8名同学排成一排,可以用表示.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)=10×9×8×7=5040.
(2)-=9×8×7×6-9×8×7=2520.
(3)===5.
变式 40 [解析] =4,=4×3=12,=4×3×2=24,故++=4+12+24=40.
例2 (1)(n+1)!-1 [解析] ∵n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)!-n!,∴原式=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.
(2)解:由排列数的定义,得n∈N*,解得n≥3,n∈N*.
原方程可化为(2n+1)2n(2n-1)(2n-2)=140n(n-1)(n-2),化简可得(2n+1)(2n-1)=35(n-2),
即4n2-35n+69=0,即(n-3)(4n-23)=0,解得n=(舍去)或n=3.
变式 解:(1)由=28,可得=,且n≥2,n∈N*,
即2n(2n-1)(2n-2)=28n(n-1),
故2n-1=7,可得n=4.
(2)证明:左边==n!,
右边==·(n-m)!=n!,
所以=,得证.
探究点二
例3 解:(1)各个数位上数字允许重复,万位上不能为0,根据分步计数原理,可组成4×5×5×5×5=2500(个)五位数.
(2)从1,2,3,4中任选一个放在万位,共有4种选法,其余四个位置,四个数字全排列,故共有4=96(个)无重复数字的五位数.
(3)是3的倍数的三位数,其各个位上数字之和是3的倍数,则由0,1,2或0,2,4或1,2,3或2,3,4组成三位数.由0,1,2或0,2,4组成的三位数有2=8(个);由1,2,3或2,3,4组成的三位数有2=12(个).故满足题意的三位数共有8+12=20(个).
(4)考虑特殊位置个位和万位,先确定个位上的数字,从1,3中选一个放在个位,有种选法,然后从剩余三个非零数字中选一个放在万位,有种选法,
其余三个数字在中间三个位置上全排列,有种排法,故满足题意的五位数共有=36(个).
(5)本题的本质是求不大于42 130的五位数有多少个.按分类计数原理,当万位数字为1,2,3时均满足,共有个;当万位数字为4,千位数字为0,1时均满足,共有个;当万位数字为4,千位数字为2,而百位数字为0和1时均满足,共有个.所以42 130是第++=88(个)数.
变式 解:(1)因为数字中有0,0不能放在千位,所以先安排千位的数字,从五个非0数字中选一个放在千位,共有5种结果,从余下的五个数字中选出三个进行排列放在百位、十位和个位,共有种结果,由分步计数原理可知,能组成5=5×60=300(个)无重复数字的四位数.
(2)先排个位,有3种方法,然后排千位,有4种方法,剩下百位和十位任意排,有种方法,由分步计数原理可知,能组成3×4×=144(个)无重复数字的四位奇数.
(3)分以下三种情况讨论:
①首位是2,3,4,5中的一个,则其他数位可以任意排列,共有4=240(个);
②首位是1,百位数字为4或5,剩余两个数位可以任意排列,共有2=24(个);
③首位是1,百位数字为3,则十位上的数字为4或5,个位数字可以任意排列,共有2×3=6(个).
综上所述,由分类计数原理可知,能组成240+24+6=270(个)无重复数字且比1325大的四位数.
探究点三
例4 解:(1)无条件的排列问题,排法有=2520(种).
(2)先安排甲、乙,有种方法,再安排余下的5人,有种方法,故排法有·=2400(种).
(3)由题知甲在最左端或乙在最右端的排法均有种,甲在最左端且乙在最右端的排法有种,故甲不在最左端,乙不在最右端的排法有-2+=3720(种).
(4)把男生看成一个整体,男生全排列的排法有种,再把女生看成一个整体,女生全排列的排法有种,最后把这两个整体全排列,排法有种.故男生站在一起、女生站在一起的排法共有=288(种).
(5)先排女生,有种排法,排好后有5个空位,让男生插入5个空位中,有种排法,故共有=1440(种)排法.
(6)先排男生,有种排法,让女生插空,有种排法,故共有=144(种)排法.
(7)任选2人与甲、乙组成一个整体,与余下3个人全排列,故共有=960(种)排法.
(8)分步完成,共有==5040(种)排法.
变式 ABD [解析] 对于A,6个人全排列有种方法,A,C,D全排列有种方法,则A,C,D从左到右按由高到矮的顺序排列有=120(种)方法,A正确;对于B,先排列除A与C外的4个人,有种方法,4个人排列共有5个空,利用插空法将A和C插入5个空,有种方法,则共有种方法,B正确;对于C,A,C,D必须排在一起且A在C,D中间的排法有2种,将这3个人捆绑在一起,与其余3个人全排列,有种方法,则共有2=48(种)方法,C错误;对于D,6个人全排列有种方法,当A在排头时,有种方法,当B在排尾时,有种方法,当A在排头且B在排尾时,有种方法,则A不在排头,B不在排尾共有-2+=504(种),D正确.故选ABD.
拓展 B [解析] 依题意,“数”不在第一次也不在第六次的不同次序有种,“数”不在第一次也不在第六次时,“礼”和“乐”相邻的不同次序有种,所以所求“六艺”讲座不同的次序共有-=336(种).故选B.第2课时 排列数公式
1.B [解析] (n-1998)(n-1999)…(n-2024)(n-2025)总共有(n-1998)-(n-2025)+1=28(个)数连乘,故(n-1998)(n-1999)…(n-2024)(n-2025)=.故选B.
2.C [解析] 甲、乙分别从4门课程中选修1门,且2人选修的课程不同,则有=4×3=12(种)选法.故选C.
3.A [解析] 因为=2,所以=2,且1≤x≤5,2≤x≤7,x∈N*,所以(7-x)(6-x)=12,解得x=3或x=10(舍去),所以x=3.故选A.
4.B [解析] 由题意可得,个位上的数字可以是2或4,有2种排法;百位和十位上的数字可以从剩余的三个数字中任选两个进行排列,有种排法.由分步计数原理可得,满足条件的三位偶数共有2=12(个).故选B.
5.B [解析] 当甲第三个出场时,乙、丙、丁、戊全排列,有=4×3×2×1=24(种)出场顺序;当甲不在第一、三个出场时,有3×3×=54(种)出场顺序.故共有54+24=78(种)不同的出场顺序.故选B.
6.ACD [解析] 对于A,(n+1)=(n+1)·==,所以A正确;对于B,==,所以B错误;对于C,==(n-2)!,所以C正确;对于D,=·==,所以D正确.故选ACD.
7.{3,4,5,6,7} [解析] 由题设可知且x∈N*,所以26,得>6×,则<1,所以x2-21x+104=(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13.又28.72 [解析] 根据题意,先将3名乘客全排列,形成4个空隙,再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位放入4个空隙中的两个,所以共有=6×12=72(种)候车方式.
9.解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第一类,0在个位时,有个四位偶数;第二类,2在个位时,千位从1,3,4,5中选定1个(有种选法),十位和百位从余下的数字中选(有种选法),有·个四位偶数;第三类,4在个位时,与第二类同理,也有·个四位偶数.
由分类计数原理知,能组成+·+·=156(个)无重复数字的四位偶数.
(2)符合要求的四位数可分为两类:第一类,四位数的十位和个位分别是2,5,需要先从余下的非零数字中选一个放在千位,剩下的三个数字中选一个放在百位,共有个四位数;第二类,四位数的十位和个位分别是5,0,共有个四位数.由分类计数原理知,能组成+=21(个)符合题意的四位数.
(3)符合要求的四位数可分为三类:第一类,形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有·个;第二类,形如14□□,15□□,共有·个;第三类,形如134□,135□,共有·个.由分类计数原理知,能组成·+·+·=270(个)符合题意的四位数.
10.B [解析] 根据题意,分两种情况讨论.①当千位为3时,将剩下的三个数字全排列,安排在后面的三个数位上,有=6(种)情况,即有6个符合条件的四位数.②当千位为2时,若百位为1或3,则将剩下的两个数字全排列,安排在后面的两个数位上,有2=4(种)情况,即有4个符合条件的四位数;若百位为0,则只有2031这1个符合条件的四位数.综上,共有6+4+1=11(个)符合条件的四位数,故选B.
11.B [解析] 因为乙和丙之间恰有2人,所以乙、丙及中间人占据前四个位置或中间四个位置或后四个位置.当乙、丙及中间人占据前四个位置时,还剩最后两个位置,甲不在两端,第一步先排末位有种排法,第二步将甲和中间人排入有种排法,第三步排乙、丙有种排法,由分步计数原理可得有=36(种)排法;当乙、丙及中间人占据中间四个位置时,两端还剩两个位置,甲不在两端,第一步先排两端有种排法,第二步将甲和另一位中间人排入有种排法,第三步排乙、丙有种排法,由分步计数原理可得有=24(种)排法;当乙、丙及中间人占据后四个位置时,还剩前两个位置,甲不在两端,第一步先排首位有种排法,第二步将甲和中间人排入有种排法,第三步排乙、丙有种排法,由分步计数原理可得有=36(种)排法.由分类计数原理可知,一共有36+24+36=96(种)排法.故选B.
12.AC [解析] =n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]==,故A正确;由上述可知=,=,因此≠,故B错误;==n·=n,故C正确;由上述可知=20,故D错误.故选AC.
13.1296 [解析] 将1至9这9个正整数分为3组:1,4,7;2,5,8;3,6,9.若这个九位数任意相邻的三个数字之和是3的倍数,则这个九位数从左至右数第一、四、七个数为这3组中一组的一个排列,第二、五、八个数为剩余2组中一组的一个排列,第三、六、九个数为最后的一组的一个排列,故这样的九位数有=1296(个).
14.解:(1)由题意可得,符合条件的站法共有=720(种).
(2)总共有六个位置,两个妖怪不能站在排头和排尾,先将两个妖怪排好,有种排法,剩下四个人排在剩余四个位置上,有种排法,故共有=288(种)站法.
(3)师傅和悟空站在一起有种排法,八戒站在两个妖怪中间有种排法,
最后将师傅和悟空、八戒和两个妖怪、沙僧共3个大元素全排列,有种排法,故共有=24(种)排法.
15.B [解析] 由题意,当小数点后第一个数字为8时,后面6个数字中有2个1,2个8,1个2和1个7,两个相同数字之间是没有顺序的,所以共有=180(个)大于2.72的数;当小数点后第一个数字为7时,后面6个数字中有2个1,3个8和1个2,相同数字之间是没有顺序的,所以共有-=40(个)大于2.72的数.综上,大于2.72的数共有180+40=220(个).故选B.
16.解:(1)7位老师(含甲、乙)随意排成一排有个样本点,
事件“甲、乙不相邻且不在两端”包含的样本点个数为,
所以甲、乙不相邻且不在两端的概率P==.
(2)从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种排法,排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体,同余下的2位老师全排列有种排法,甲、乙的排列有种排法.
由分步计数原理,得共有=720(种)不同的排法.第2课时 排列数公式
【学习目标】
1.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明.
2.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解决方法.
3.能应用排列知识解决简单的实际问题.
◆ 知识点 排列数与排列数公式
排列数定 义及表示 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示
全排列的 概念 n个不同元素 的一个排列,叫作n个不同元素的一个全排列
阶乘的概念 n(n-1)(n-2)×…×3×2×1称为n的阶乘,通常用n!表示
排列数 公式 =
阶乘式= (n,m∈N*,m≤n)
特殊情况 = ,1!= ,0!=
注意:
“排列”和“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从n(n≥2)个人中选出2个人,分别从事两项不同的工作的排列数,可以用表示. ( )
(2)集合P={x|x=,m∈N*},则m的取值个数是4. ( )
(3)将8名同学排成两排,每排4人,则不可以用表示. ( )
(4)n!=. ( )
(5)=. ( )
◆ 探究点一 排列数公式的计算
角度1 直接利用排列数公式求值
例1 计算:(1);(2)-;(3).
变式 [2025·江苏启东高二课时练习] ++= .
角度2 排列数的化简与证明
例2 (1)化简:1!+2×2!+3×3!+…+n×n!= .
(2)解关于正整数n的方程:=140.
变式 (1)解方程:=28.
(2)[2025·江苏徐州高二课时练习] 求证:=.
[素养小结]
1.排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,连续正整数的积可以写成某个排列数;
(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式.
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明,化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活地运用如下变式:①n!=n(n-1)!;②=n;
③n·n!=(n+1)!-n!;④=-.
提醒:在解含有排列数的方程或不等式时,必须注意中m∈N*,n∈N*且m≤n这些限制条件.在解出方程或不等式后,要进行检验,把不合题意的解舍掉.
◆ 探究点二 数字排列问题
例3 用0,1,2,3,4这五个数字.
(1)可组成多少个五位数
(2)可组成多少个无重复数字的五位数
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数
(5)组成没有重复数字的五位数,将这些数由小到大排列,42 130是第几个数
变式 [2025·江苏徐州高二联考] 用0,1,2,3,4,5这六个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位数
(2)能组成多少个无重复数字的四位奇数
(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数
[素养小结]
数字排列问题的解题原则:
排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素;解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子,当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
提醒:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.
◆ 探究点三 排队问题
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法种数.
(1)选5人排成一排;
(2)全体站成一排,甲、乙均不在两端;
(3)全体站成一排,甲不在最左端,乙不在最右端;
(4)全体站成一排,男生站在一起,女生站在一起;
(5)全体站成一排,男生彼此不相邻;
(6)全体站成一排,男生各不相邻,女生各不相邻;
(7)全体站成一排,甲、乙中间有2个人;
(8)排成前后两排,前排3人,后排4人.
变式 (多选题)[2025·江苏连云港期中] 身高各不相同的六位同学A,B,C,D,E,F站成一排照相,则下列说法正确的是 ( )
A.若A,C,D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,则共有120种站法
B.若A与C同学不相邻,则共有·种站法
C.若A,C,D三位同学必须站在一起,且A只能在C与D的中间,则共有144种站法
D.若A不在排头,B不在排尾,则共有504种站法
[素养小结]
排队问题的解题策略
(1)合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.
(2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理.
(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.
拓展 [2025·江苏如东高二期中] 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”,合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次,“礼”和“乐”不相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有 ( )
A.480种 B.336种
C.144种 D.96种第2课时 排列数公式
1.[2025·江苏宿迁高二联考] (n-1998)(n-1999)…(n-2024)(n-2025)(n∈N,n>2025)可表示为 ( )
A. B.
C. D.
2.甲、乙分别从《扬州民间艺术》《扬州盐商文化》《扬州评话》和《大运河的前世今生》4门课程中选修1门,且2人选修的课程不同,则不同的选法有 ( )
A.6种 B.8种
C.12种 D.16种
3.已知=2,x∈N*,则x= ( )
A.3 B.3或13
C.6 D.2
4.由1,2,3,4组成的没有重复数字的三位数中,偶数的个数为 ( )
A.6 B.12
C.24 D.36
5.有五个节目(甲、乙、丙、丁、戊),现对这五个节目的出场顺序进行排序,其中甲不能第一个出场,乙不能第三个出场,则不同的出场顺序共有 ( )
A.72种 B.78种
C.96种 D.120种
6.(多选题)[2025·江苏启东中学月考] 下列等式正确的是 ( )
A.(n+1)=
B.=
C.=(n-2)!
D.=
7.不等式>6的解集为 .
8.[2025·江苏苏州高二联考] 市内某公共汽车站有6个候车座位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 .
9.(13分)有0,1,2,3,4,5这六个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数
(2)能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数
(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数
10.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的四位数中,比2021大的四位数的个数为 ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
11.[2025·江苏海门期中] 甲、乙、丙等6人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法有 ( )
A.128种 B.96种
C.72种 D.48种
12.(多选题)[2024·江苏启东高二期中] 下列等式正确的是 ( )
A.= B.=
C.=n D.=20
13.[2024·浙江嘉兴八校联盟高二期中] 用1至9这9个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的九位数,这样的九位数有 个(用数字作答).
14.(15分)[2024·江苏淮安期中] 话说唐僧师徒四人去西天取经,某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙,可是取经路上,凶险颇多,那么六位如何站位各人有自己的想法.(结果用数值表示)
(1)唐僧说:“徒儿们,妖怪本性不错,我们六个随便站吧.”请问一共有多少种站法
(2)八戒提出:两个妖怪不能站在排头和排尾,否则他们会逃走!那么按照八戒的想法,一共有多少种站法
(3)悟空说:“师傅!师傅!你必须和我站在一起!如果怕妖怪逃走,让八戒和妖怪站在一起,并且八戒在妖怪中间!”按照悟空的说法,请问一共有多少种站法
15.自然对数是以常数e为底数的对数,记作ln N(N>0),在物理学、生物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符号e是由瑞士数学家和物理学家欧拉(Leonhard Euler)命名的,取的正是Euler的首字母e,e≈2.718 281 8.某教师为帮助同学们了解e,让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列,整数部分2的位置不变,那么大于2.72的数的个数为 ( )
A.216 B.220
C.340 D.460
16.(15分)[2025·江苏淮安高二期中] 现有7位老师(含甲、乙)排成一排拍照留念.
(1)求甲、乙不相邻且不在两端的概率;
(2)如果甲、乙之间所隔人数为3,那么共有多少种不同的排法
