(共63张PPT)
7.2 排 列
第3课时 排列的应用
探究点一 相邻问题
探究点二 不相邻问题
探究点三 定序问题
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◆
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课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解决方法.
2.能综合应用排列的概念和公式解决简单的实际问题.
知识点 有限制条件的排列问题常见类型
1.解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素
看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元
素间的顺序.
2.解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制
的元素，使每两个元素之间（及两端）形成“空”，然后将不相邻的
元素进行“插空”.
注意:根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”.
3.解决定序问题的方法
有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻），
即要把个元素排成一列，其中 个元素之间的先后顺序确定
不变，解决这类问题的基本方法有“倍缩法”“空位插空法”“逐步插空
法”等.
探究点一 相邻问题
例1 ［2024·江苏无锡高二期中］第19届亚运会于2023年9月28日至
10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机
器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西
湖和京杭大运河.某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和
“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的2个吉祥物
相邻，则不同的排法种数为( )
A.48 B.24 C.12 D.6
√
[解析] 由题意可知，名称相同的2个吉祥物相邻，分别看成一个整体
共有种排法，名称相同的吉祥物内部排列共有 种排法，
故共有 （种）不同的排法，故选A.
变式 ［2025·江苏常州高二期中］停车场规划出一排12个停车位置，
今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则
不同的停车方法有( )
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 将4个空车位视为一个整体，与8辆车共9个元素进行全排列，
共有 （种）不同的停车方法.故选D.
√
［素养小结］
用捆绑法求解相邻问题“将个不同元素排成一排，其中某个元素相邻”.
（1）将个相邻元素“捆绑”并排列，有种方法；
（2）将个相邻元素“捆绑”后视为一个元素，再与其余的个
元素进行排列，有种方法；
（3）根据分步计数原理可知，符合条件的排列方法种数为
.
探究点二 不相邻问题
例2 ［2024·江苏扬州高二期末］某5位同学排成一排准备照相时，
又来了甲、乙、丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序
不变，且甲、乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加
入方法共有( )
A.360种 B.144种 C.180种 D.192种
√
[解析] 分两种情况：当丙不在甲、乙中间时，先加入甲，有 种方
法，再加入乙，有种方法，最后加入丙，有 种方法，此时不同
的加入方法共有 （种）；
当丙在甲、乙中间时，共有（种）方法.
故不同的加入方法共有 （种）.故选D.
变式 五名同学在彝族新年期间去邛海国家湿地公园采风观景，在观
鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁
不相邻，则不同的排法共有( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
[解析] 甲和乙相邻，捆绑在一起有 （种）方法，再与丙和丁
外的一人排列有（种）方法，再排丙和丁有 （种）方
法，故共有 （种）排法.故选B.
√
［素养小结］
用插空法、排除法求解不相邻问题“将个不同元素排成一排，其中
某个元素两两不相邻”.
“插空法”：（1）将其余个元素排成一排，有种方法；
（2）将个元素插入个空档里，有种方法，根据
分步计数原理，排法种数为.
“排除法”：当不相邻的元素较多时，不宜采用“排除法”；当有多个
限制条件时，可先部分满足条件再排除.
探究点三 定序问题
例3 ［2025·江苏南通高二期末］某次演出有6个节目，若甲、乙、
丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有_____种.
120
[解析] 演出中的6个节目全排列有
（种）排法,甲、乙、丙3个节目全排列有 （种）
排法,所以演出的6个节目中，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确
定，则不同的排法有 （种）.
变式 ［2025·江苏泰州高二期末］在一个单层书架上已竖放着《诗
经》《西游记》《菜根谭》《呐喊》《文化苦旅》五本书，现欲将
《围城》《骆驼祥子》《四世同堂》三本书放回到书架上（竖放），
要求不打乱原有五本书的相对顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》
必须相邻，则不同的放法共有( )
A.40种 B.42种 C.60种 D.84种
√
[解析] 分以下两种情况讨论：①《围城》与《骆驼祥子》《四世同
堂》这两本书不相邻，将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑，形成
一个“大元素”，然后将“大元素”与《围城》插入由《诗经》《西游
记》《菜根谭》《呐喊》《文化苦旅》五本书所形成的6个空位中的
2个，由捆绑法结合插空法可知，不同的放法种数为
.
②《四世同堂》与《骆驼祥子》相邻且《围城》与《四世同堂》或
《骆驼祥子》相邻，将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑，然后将
《围城》放在《骆驼祥子》或《四世同堂》旁边（相邻），然后将
这三本书形成的“大元素”插入书架上原有的五本书所形成的6个空位
中的1个，此时，不同的放法种数为 .
由分类计数原理可知，不同的放法种数为 .故选D.
［素养小结］
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序的问题称为定序问
题.这类问题常用缩小倍数的方法求解.
用排列与排列数解排列应用题的基本思想
1.简单的排列问题
例1 12名选手参加校园歌唱比赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各
一名,每人最多获得一种奖项,每个奖项均有人获得,共有多少种不同的
获奖情况
解：从12名选手中选出3名获奖选手并安排奖项,
共有 （种）不同的获奖情况.
例2 某地区足球比赛共有12个队参加,每队都要与其他各队在主客场
分别比赛一次,则共要进行多少场比赛
解：若把每一场比赛都看成主场队在前、客场队在后的一个排列,
则所求比赛场数等于从12个对象中任取2个的排列数,故共要进行
（场）比赛.
2.解有限制条件的排列问题的基本思路
限制条件 解题策略
特殊元素 通常采用“元素分析”法,即以元素为主,优先考虑特殊元
素的要求,再考虑其他元素
特殊位置 通常采用“位置分析”法,即以位置为主,优先考虑特殊位
置的要求,再考虑其他位置
元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体与其他
元素一起排列
元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再
将不相邻元素插在前面元素排列的空档中
例3 （多选题）定义“圆排列”：从个不同元素中选 个元素围成一
个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为 .圆排列是排列的
一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以 .
现有2名女生4名男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则
( )
A.共有 种排法
B.若2名女生相邻，则有 种排法
C.若2名女生不相邻，则有 种排法
D.若男生甲位置固定，则有 种排法
√
√
√
[解析] 对于A，现有2名女生4名男生共6名同学围坐成一圈，共有
（种）排法，A正确；
对于B，若2名女生相邻，则有 （种）排法，B正确；
对于C，若2名女生不相邻，则有 （种）排法，C错误；
对于D，若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的逆时针排列，
则有 （种）排法，D正确.
故选 .
例4 ［2025·启东中学月考］若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》
《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》
排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻
且均不排在最后,则后六场的排法有( )
A.144种 B.288种 C.360种 D.720种
√
[解析] 第一步,将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外的四首
诗词进行排列,由于《将进酒》排在《望岳》前面,故不同排法有
（种）;
第二步,排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,由于第一步中的4首
诗词排好后,不含最后,有4个空位,在4个空位中任选2个,安排《山居秋暝》
与《送杜少府之任蜀州》,安排方法有 （种）.
由分步计数原理知,后六场的排法有 （种）.
例5 5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊排成一排.
（1）共有多少种不同的排法
解：5名篮球队员排成一排,共有 （种）
不同的排法.
（2）若甲必须站在排头,则共有多少种不同的排法
解：因为甲必须站在排头,所以将其余4人全排列即可,
有 （种）不同的排法,
所以若甲必须站在排头,则共有24种不同的排法.
例5 5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊排成一排.
（3）若甲既不能站在排头,也不能站在排尾,则共有多少种不同的排法
解：因为甲既不能站在排头,也不能站在排尾,所以先排甲,有
（种）不同的排法,
然后将其余4人全排列,有 （种）不同的排法,
所以若甲既不能站在排头,也不能站在排尾,则共有 （种）
不同的排法.
练习册
1.［2024·江苏镇江高二期末］由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满
足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为( )
A.3 B.6 C.9 D.24
[解析] 由题得3个2,1个0,2个3中,组成2023后,还剩一个2,一个3,
将2023进行捆绑，对2,2023,3进行全排列有 （种）排法.故选B.
√
2.［2025·江苏泰州期中］在某个单位的迎新晚会上有，， ，
，， 共六个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有
如下具体要求：节目必须安排在第三位，节目， 必须安排连在
一起.则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A.36种 B.48种 C.60种 D.72种
[解析] 由题意，在第一、二位或第四、五位或第五、六位， 是
固定的，其他三个节目任意排列，因此编排方案共有
（种）.故选A.
√
3.［2025·江苏如皋期末］2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕
式当晚，周明一家约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李
亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起
（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同
的坐法有( )
A.432种 B.72种 C.1152种 D.144种
√
[解析] 依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有 （种）坐法，
此时周明家其余3人有 （种）坐法，
同理李亮家其余3人有（种）坐法，
所以他们不同的坐法有 （种）.
故选B.
4.［2025·江苏徐州高二联考］某学校筹备元旦晚会节目单时，准备
在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，
若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法种数为( )
A.75 B.80 C.84 D.96
[解析] 三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的
排列数为，其中三个歌唱节目都相邻的排法种数为 ，故满足
条件的排法种数为 ，所以三个歌唱节目
最多有两个相邻的排法种数为84.故选C.
√
5.［2024·江苏扬州高二期中］班会课上原定有3位同学依次发言，现
临时加入甲、乙2位同学也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺
序不变，且甲、乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为
( )
A.6 B.12 C.18 D.24
[解析] 在原来3位同学的发言顺序一定时，他们之间会形成4个空位，
插入甲、乙2位同学，可得共有 （种）发言顺序.故选B.
√
6.（多选题）［2025·江苏徐州高二期末］象棋作为一种古老的传统
棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两个阵营，将、
车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子.现将3个红色的“将（同帅）”
“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确
的是( )
A.共有120种排列方式
B.若两个“将”相邻，则有24种排列方式
C.若两个“将”不相邻，则有72种排列方式
D.若同色棋子不相邻，则有12种排列方式
√
√
√
[解析] A选项，由排列知识可得共有 （种）排列方式,A正确；
B选项，两个“将”捆绑，有 （种）排列方式，再和剩余的3个棋
子进行全排列，故共有 （种）排列方式，B错误；
C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，得到4个空，
再将两个“将”插空，故共有 （种）排列方式，C正确；
D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，得到3个空，再将3个红色的棋
子进行插空，则有（种）排列方式，D正确.
故选 .
7.［2025·江苏扬州高二期末］寿宁北路戏是珍贵的国家非物质文化
遗产.在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》《反五关》《龙
虎斗》《宏碧缘》《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求
《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排方法的种数
为____（用数字作答）.
72
[解析] 先将《济公传》《反五关》《龙虎斗》三个节目进行排序，
然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》《反五
关》《龙虎斗》这三个节目形成的四个空位中的两个空位中，由分
步计数原理可知，不同的排法有 （种）.
8.［2024·江苏南通高二期末］第三届“一带一路”国际高峰论坛于
2023年10月在北京召开，某记者与参会的5名代表一起合影留念
（6人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻，则不同
的排列方式有_____种.
144
[解析] 只考虑代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余4人
进行排序，共有 （种）不同的站法；
若记者站两端，且代表甲与代表乙相邻，则记者有2种站法，然后将
代表甲与代表乙捆绑，与剩余3人进行排序，此时不同的站法有
（种）.
因此，若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻，则不同的排列方式
有 （种）.
9.（13分）［2025·江苏海门高二校考］4名男生和5名女生站成一排.
（1）甲不在正中间也不在两端的站法有多少种？
解：先排甲有6种排法，再排其余8人有 种排法，
故共有 （种）站法.
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
解：先排甲、乙，再排其余7人，共有 （种）站法.
9.（13分）［2025·江苏海门高二校考］4名男生和5名女生站成一排.
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
解：把男生和女生分别看成一个元素，男生和女生内部还有一个全
排列，共 （种）站法.
（4）男、女相间的站法有多少种？
解：先排4名男生有 种方法，
再将5名女生插在男生形成的5个空上有 种方法，
故共有 （种）站法.
9.（13分）［2025·江苏海门高二校考］4名男生和5名女生站成一排.
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
解：九人全排列共有种站法，甲、乙、丙三人全排列有 种站法，
因而在种站法中每 种对应一种符合条件的站法，故共有
（种）站法.
10.（13分）［2025·江苏连云港期中］某电影表现了在极寒严酷环境
下，中国人民志愿军的钢铁意志和英勇无畏的精神.现有4名男生和3
名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.
（列出算式，并计算出结果）
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
解：根据题意，先将3名女生排在一起，有 （种）排法，将排
好的女生视为一个整体，与4名男生进行排列，有 （种）排法，
由分步计数原理可得，共有 （种）坐法.
10.（13分）［2025·江苏连云港期中］某电影表现了在极寒严酷环境
下，中国人民志愿军的钢铁意志和英勇无畏的精神.现有4名男生和3
名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.
（列出算式，并计算出结果）
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
解：根据题意，先将4名男生排好，有 （种）排法，
再在这4名男生之间及两头的5个空位中插入3名女生有 （种）
排法，
故符合条件的坐法共有 （种）.
10.（13分）［2025·江苏连云港期中］某电影表现了在极寒严酷环境
下，中国人民志愿军的钢铁意志和英勇无畏的精神.现有4名男生和3
名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.
（列出算式，并计算出结果）
（3）甲、乙两名同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
解：根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有 （种）
排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有 （种）排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两
头的5个空档中有 （种）排法，
故符合条件的坐法共有 （种）.
11.［2025·江苏无锡高二期末］2022年11月30日,神舟十四号航天员陈
冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利
“太空会师”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假
设六人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号
三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有( )
A.72种 B.144种 C.36种 D.108种
√
[解析] 由题意,不妨先将神舟十四号三名航天员全排列，有
（种）站法,
再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中,因为神舟
十四号三名航天员互不相邻,所以先从神舟十五号三名航天员中选出两
名，插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上,
有 （种）站法,
最后一名神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站,有 (种)站法,
故不同站法有 （种）.故选A.
12.［2025·江苏常州期中］今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色
球不加以区分，将这9个球排成一列的排法种数为( )
A.1782 B.1720 C.2520 D.1260
[解析] 同色球不加以区分可以理解为定序问题，故将这9个球排成一
列的排法种数为 .故选D.
√
13.（多选题）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确
的是( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有48种
B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法有72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
[解析] 对于A,甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,将甲、乙看成一个整
体,与丙、丁、戊全排列,有 （种）排法,故A错误.
√
√
√
对于B,分2种情况讨论:若甲站在最左端,乙和丙、丁、戊全排列,有
（种）排法;若乙站在最左端,则甲有3种站法,剩下3人全排列,有
（种）排法.则共有 （种）不同的排法,故B正确.
对于C, 先将丙、丁、戊三人排成一排,有 种排法,再将甲、乙安排在
三人形成的4个空位中,有种排法,故共有 (种)排法,故C正确.
对于D,甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有 （种）排法,甲、
乙、丙全排列有 （种）排法,则甲、乙、丙按从左到右的顺序
排列的排法有（种）,故D正确.
故选 .
14.如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每
次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同
取法的种数是____（用数字作答）.
90
[解析] 因为有六个集装箱，需要全部装运，所以共有 （种）
取法，又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，所以由
排列中的定序问题，可知不同的取法有 （种）.
15.（多选题）［2025·江苏常州高二期末］2023年国外某智库发布
《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了极超音速、水下
无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显
示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这
19个领域中选取,,,, 这5个领域给班级同学进行介绍，每天随
机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论
中正确的是( )
A., 都在后3天介绍的方法种数为36
B., 相隔一天介绍的方法种数为36
C.不在第一天， 不在最后一天介绍的方法种数为72
D.在， 之前介绍的方法种数为40
√
√
√
[解析] A选项，,在后3天中选择2天介绍，有 （种）选择；
再将,,在剩余的3天中进行全排列，有 （种）选择.故有
（种）介绍方法，A正确
选项，先把, 进行全排列，再从,,中选择1个放在,之间，
有 （种）方法；最后将这3个领域捆绑，和剩余的2个领域进
行全排列，共有 （种）方法.综上，共有（种）介绍
方法，B正确
选项，若 在最后一天进行介绍，则将剩余4个领域进行全排列，有
（种）方法；
若不在最后一天进行介绍，则从中间3天中选择1天安排 ，再从除了
最后一天的剩余3天中选择1天安排，有 （种）方法，最后
将剩余的3个领域在3天中进行全排列，有 （种）方法，则此时
有（种）方法.
综上，不在第一天， 不在最后一天介绍的方法种数为，
C错误
选项，,,, , 进行全排列，共有（种）方法，将,,
进行全排列，共有（种）方法，其中在， 之前的有2种，
故120种排列中,在,之前的介绍方法有 (种),D正确.
故选 .
16.（15分）某校举办元旦晩会,现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场
顺序.（结果用数字作答）
（1）如果4首歌曲相邻,那么有多少种不同的出场顺序
解：先将4首歌曲捆绑,有 种情况,再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈
排序,有种情况,所以有 （种）不同的出场顺序.
（2）如果3个舞蹈互不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
解：先将4首歌曲排好,有 种情况,再将3个舞蹈排入4首歌曲中间及
首尾5个空中,有种情况,所以有 （种）不同的出场顺序.
16.（15分）某校举办元旦晩会,现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场
顺序.（结果用数字作答）
（3）如果歌曲甲不在第一个出场,舞蹈乙不在最后一个出场,那么有
多少种不同的出场顺序
解：方法一:7个节目全排列,有 种情况.当歌曲甲在第一个出场时,有
种情况,当舞蹈乙在最后一个出场时,有 种情况,其中都包含了歌
曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况,有 种情况,故共
有 （种）不同的出场顺序.
方法二:当歌曲甲在最后一个出场时,其他节目全排列,有 种情况;当
歌曲甲不在最后一个出场时,可从余下的5个位置任选一个,有 种情
况,而舞蹈乙可排在除去甲排的位置及最后一个位置后剩下的5个位置
中,有种情况,其余节目全排列,有 种情况,
故共有 （种）不同的出场顺序.
快速核答案（导学案）
课中探究 例1 A 变式 D
例2 D 变式 B
例3 120 变式 D
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.ACD 7.72 8.144
9.（1）（3）10.（1）（2）11.A 12.D 13.BCD 14.90 15.ABD
16.（1）1.B [解析] 由题得3个2,1个0,2个3中,组成2023后,还剩一个2,一个3,将2023进行捆绑,对2,2023,3进行全排列有=6(种)排法.故选B.
2.A [解析] 由题意D,F在第一、二位或第四、五位或第五、六位,C是固定的,其他三个节目任意排列,因此编排方案共有3=36(种).故选A.
3.B [解析] 依题意周明与李亮坐中间两个位置,则有=2(种)坐法,此时周明家其余3人有=6(种)坐法,同理李亮家其余3人有=6(种)坐法,所以他们不同的坐法有··=72(种).故选B.
4.C [解析] 三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为,其中三个歌唱节目都相邻的排法种数为,故满足条件的排法种数为-=120-36=84,所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法种数为84.故选C.
5.B [解析] 在原来3位同学的发言顺序一定时,他们之间会形成4个空位,插入甲、乙2位同学,可得共有=12(种)发言顺序.故选B.
6.ACD [解析] A选项,由排列知识可得共有=120(种)排列方式,A正确;B选项,两个“将”捆绑,有=2(种)排列方式,再和剩余的3个棋子进行全排列,故共有2=48(种)排列方式,B错误;C选项,两个“将”不相邻,先将剩余3个棋子进行全排列,得到4个空,再将两个“将”插空,故共有=72(种)排列方式,C正确;D选项,将2个黑色的棋子进行全排列,得到3个空,再将3个红色的棋子进行插空,则有=12(种)排列方式,D正确.故选ACD.
7.72 [解析] 先将《济公传》《反五关》《龙虎斗》三个节目进行排序,然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》《反五关》《龙虎斗》这三个节目形成的四个空位中的两个空位中,由分步计数原理可知,不同的排法有=6×12=72(种).
8.144 [解析] 只考虑代表甲与代表乙相邻,只需将这两人捆绑,与剩余4人进行排序,共有=240(种)不同的站法;若记者站两端,且代表甲与代表乙相邻,则记者有2种站法,然后将代表甲与代表乙捆绑,与剩余3人进行排序,此时不同的站法有2=96(种).因此,若记者不站两端,且代表甲与代表乙相邻,则不同的排列方式有240-96=144(种).
9.解:(1)先排甲有6种排法,再排其余8人有种排法,
故共有6×=241 920(种)站法.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有·=10 080(种)站法.
(3)把男生和女生分别看成一个元素,男生和女生内部还有一个全排列,共··=5760(种)站法.
(4)先排4名男生有种方法,
再将5名女生插在男生形成的5个空上有种方法,
故共有·=2880(种)站法.
(5)九人全排列共有种站法,甲、乙、丙三人全排列有种站法,因而在种站法中每种对应一种符合条件的站法,故共有=60 480(种)站法.
10.解:(1)根据题意,先将3名女生排在一起,有=6(种)排法,将排好的女生视为一个整体,与4名男生进行排列,有=120(种)排法,
由分步计数原理可得,共有6×120=720(种)坐法.
(2)根据题意,先将4名男生排好,有=24(种)排法,
再在这4名男生之间及两头的5个空位中插入3名女生有=60(种)排法,
故符合条件的坐法共有24×60=1440(种).
(3)根据题意,先排甲、乙、丙以外的其他4人,有=24(种)排法,
由于甲、乙相邻,故再把甲、乙排好,有=2(种)排法,
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两头的5个空档中有=20(种)排法,故符合条件的坐法共有24×2×20=960(种).
11.A [解析] 由题意,不妨先将神舟十四号三名航天员全排列,有=6(种)站法,再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中,因为神舟十四号三名航天员互不相邻,所以先从神舟十五号三名航天员中选出两名,插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上,有=6(种)站法,最后一名神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站,有=2(种)站法,故不同站法有××=6×6×2=72(种).故选A.
12.D [解析] 同色球不加以区分可以理解为定序问题,故将这9个球排成一列的排法种数为=1260.故选D.
13.BCD [解析] 对于A,甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,将甲、乙看成一个整体,与丙、丁、戊全排列,有=24(种)排法,故A错误.对于B,分2种情况讨论:若甲站在最左端,乙和丙、丁、戊全排列,有=24(种)排法;若乙站在最左端,则甲有3种站法,剩下3人全排列,有3×=18(种)排法.则共有24+18=42(种)不同的排法,故B正确.对于C,先将丙、丁、戊三人排成一排,有种排法,再将甲、乙安排在三人形成的4个空位中,有种排法,故共有=72(种)排法,故C正确.对于D,甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有=120(种)排法,甲、乙、丙全排列有=6(种)排法,则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有=20(种),故D正确.故选BCD.
14.90 [解析] 因为有六个集装箱,需要全部装运,所以共有=720(种)取法,又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,所以由排列中的定序问题,可知不同的取法有==90(种).
15.ABD [解析] A选项,A,B在后3天中选择2天介绍,有=6(种)选择;再将C,D,E在剩余的3天中进行全排列,有=6(种)选择.故有6×6=36(种)介绍方法,A正确.B选项,先把A,B进行全排列,再从C,D,E中选择1个放在A,B之间,有=6(种)方法;最后将这3个领域捆绑,和剩余的2个领域进行全排列,共有=6(种)方法.综上,共有6×6=36(种)介绍方法,B正确.C选项,若A在最后一天进行介绍,则将剩余4个领域进行全排列,有=24(种)方法;若A不在最后一天进行介绍,则从中间3天中选择1天安排A,再从除了最后一天的剩余3天中选择1天安排B,有=9(种)方法,最后将剩余的3个领域在3天中进行全排列,有=6(种)方法,则此时有9×6=54(种)方法.综上,A不在第一天,B不在最后一天介绍的方法种数为24+54=78,C错误.D选项,A,B,C,D,E进行全排列,共有=120(种)方法,将A,B,C进行全排列,共有=6(种)方法,其中A在B,C之前的有2种,故120种排列中,A在B,C之前的介绍方法有×2=40(种),D正确.故选ABD.
16.解:(1)先将4首歌曲捆绑,有种情况,再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序,有种情况,所以有·=576(种)不同的出场顺序.
(2)先将4首歌曲排好,有种情况,再将3个舞蹈排入4首歌曲中间及首尾5个空中,有种情况,所以有·=1440(种)不同的出场顺序.
(3)方法一:7个节目全排列,有种情况.当歌曲甲在第一个出场时,有种情况,当舞蹈乙在最后一个出场时,有种情况,其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况,有种情况,故共有-2+=3720(种)不同的出场顺序.
方法二:当歌曲甲在最后一个出场时,其他节目全排列,有种情况;当歌曲甲不在最后一个出场时,可从余下的5个位置任选一个,有种情况,而舞蹈乙可排在除去甲排的位置及最后一个位置后剩下的5个位置中,有种情况,其余节目全排列,有种情况,
故共有+=3720(种)不同的出场顺序.第3课时 排列的应用
1.[2024·江苏镇江高二期末] 由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为 ( )
A.3 B.6
C.9 D.24
2.[2025·江苏泰州期中] 在某个单位的迎新晚会上有A,B,C,D,E,F共六个节目,单位为了考虑整体效果,对节目演出顺序有如下具体要求:节目C必须安排在第三位,节目D,F必须安排连在一起.则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( )
A.36种 B.48种
C.60种 D.72种
3.[2025·江苏如皋期末] 2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚,周明一家约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐,李亮一家四口也相邻而坐,已知他们两家人的8个座位连在一起(在同一排且一人一座),且周明与李亮也相邻而坐,则他们不同的坐法有 ( )
A.432种 B.72种
C.1152种 D.144种
4.[2025·江苏徐州高二联考] 某学校筹备元旦晚会节目单时,准备在前五个节目排三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声节目,若三个歌唱节目最多有两个相邻,则不同的排法种数为( )
A.75 B.80 C.84 D.96
5.[2024·江苏扬州高二期中] 班会课上原定有3位同学依次发言,现临时加入甲、乙2位同学也发言,若保持原来3位同学发言的相对顺序不变,且甲、乙的发言顺序不能相邻,则不同的发言顺序种数为 ( )
A.6 B.12 C.18 D.24
6.(多选题)[2025·江苏徐州高二期末] 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏,具有深远的意义和价值.它具有红黑两个阵营,将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子.现将3个红色的“将(同帅)”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列,则下列说法正确的是 ( )
A.共有120种排列方式
B.若两个“将”相邻,则有24种排列方式
C.若两个“将”不相邻,则有72种排列方式
D.若同色棋子不相邻,则有12种排列方式
7.[2025·江苏扬州高二期末] 寿宁北路戏是珍贵的国家非物质文化遗产.在某次文化表演中,主办方安排了《济公传》《反五关》《龙虎斗》《宏碧缘》《旗王哭将》五个北路戏传统剧目,其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻,则不同的节目安排方法的种数为 (用数字作答).
8.[2024·江苏南通高二期末] 第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开,某记者与参会的5名代表一起合影留念(6人站成一排).若记者不站两端,且代表甲与代表乙相邻,则不同的排列方式有 种.
9.(13分)[2025·江苏海门高二校考] 4名男生和5名女生站成一排.
(1)甲不在正中间也不在两端的站法有多少种
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种
(4)男、女相间的站法有多少种
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
10.(13分)[2025·江苏连云港期中] 某电影表现了在极寒严酷环境下,中国人民志愿军的钢铁意志和英勇无畏的精神.现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片,他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式,并计算出结果)
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种
(2)女生互不相邻的坐法有多少种
(3)甲、乙两名同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种
11.[2025·江苏无锡高二期末] 2022年11月30日,神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利“太空会师”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假设六人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有 ( )
A.72种 B.144种
C.36种 D.108种
12.[2025·江苏常州期中] 今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列的排法种数为 ( )
A.1782 B.1720 C.2520 D.1260
13.(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是 ( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有48种
B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法有72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
14.如图所示,某货场有三堆集装箱,每堆2个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是 (用数字作答).
15.(多选题)[2025·江苏常州高二期末] 2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告,涵盖了极超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示,中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者,打算从这19个领域中选取A,B,C,D,E这5个领域给班级同学进行介绍,每天随机介绍其中一个领域,且每个领域只在其中一天介绍,则下列结论中正确的是 ( )
A.A,B都在后3天介绍的方法种数为36
B.A,B相隔一天介绍的方法种数为36
C.A不在第一天,B不在最后一天介绍的方法种数为72
D.A在B,C之前介绍的方法种数为40
16.(15分)某校举办元旦晩会,现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果4首歌曲相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果3个舞蹈互不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果歌曲甲不在第一个出场,舞蹈乙不在最后一个出场,那么有多少种不同的出场顺序 第3课时 排列的应用
【课中探究】
探究点一
例1 A [解析] 由题意可知,名称相同的2个吉祥物相邻,分别看成一个整体共有种排法,名称相同的吉祥物内部排列共有··种排法,故共有·()3=48(种)不同的排法,故选A.
变式 D [解析] 将4个空车位视为一个整体,与8辆车共9个元素进行全排列,共有=9(种)不同的停车方法.故选D.
探究点二
例2 D [解析] 分两种情况:当丙不在甲、乙中间时,先加入甲,有种方法,再加入乙,有种方法,最后加入丙,有种方法,此时不同的加入方法共有=180(种);当丙在甲、乙中间时,共有=12(种)方法.故不同的加入方法共有180+12=192(种).故选D.
变式 B [解析] 甲和乙相邻,捆绑在一起有=2(种)方法,再与丙和丁外的一人排列有=2(种)方法,再排丙和丁有=6(种)方法,故共有··=2×2×6=24(种)排法.故选B.
探究点三
例3 120 [解析] 演出中的6个节目全排列有=6×5×4×3×2×1=720(种)排法,甲、乙、丙3个节目全排列有=3×2×1=6(种)排法,所以演出的6个节目中,若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定,则不同的排法有==120(种).
变式 D [解析] 分以下两种情况讨论:①《围城》与《骆驼祥子》《四世同堂》这两本书不相邻,将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑,形成一个“大元素”,然后将“大元素”与《围城》插入由《诗经》《西游记》《菜根谭》《呐喊》《文化苦旅》五本书所形成的6个空位中的2个,由捆绑法结合插空法可知,不同的放法种数为=2×30=60.
②《四世同堂》与《骆驼祥子》相邻且《围城》与《四世同堂》或《骆驼祥子》相邻,将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑,然后将《围城》放在《骆驼祥子》或《四世同堂》旁边(相邻),然后将这三本书形成的“大元素”插入书架上原有的五本书所形成的6个空位中的1个,此时,不同的放法种数为=24.由分类计数原理可知,不同的放法种数为60+24=84.故选D.第3课时 排列的应用
【学习目标】
1.进一步理解排列的概念,掌握一些排列问题的常用解决方法.
2.能综合应用排列的概念和公式解决简单的实际问题.
◆知识点 有限制条件的排列问题常见类型
1.解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列,通常采用“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列,再考虑这个整体内部各元素间的顺序.
2.解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列,通常采用“插空法”,即先排不受限制的元素,使每两个元素之间(及两端)形成“空”,然后将不相邻的元素进行“插空”.
注意:根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”.
3.解决定序问题的方法
有些排列问题中,某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻),即要把(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,解决这类问题的基本方法有“倍缩法”“空位插空法”“逐步插空法”等.
◆ 探究点一 相邻问题
例1 [2024·江苏无锡高二期中] 第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行,本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”“莲莲”和“宸宸”,分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河.某同学买了6个不同的吉祥物,其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个,现将这6个吉祥物排成一排,且名称相同的2个吉祥物相邻,则不同的排法种数为 ( )
A.48 B.24
C.12 D.6
变式 [2025·江苏常州高二期中] 停车场规划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,则不同的停车方法有 ( )
A.种 B.2种
C.8种 D.9种
[素养小结]
用捆绑法求解相邻问题“将n个不同元素排成一排,其中某k个元素相邻”.
(1)将k个相邻元素“捆绑”并排列,有种方法;
(2)将k个相邻元素“捆绑”后视为一个元素,再与其余的(n-k)个元素进行排列,有种方法;
(3)根据分步计数原理可知,符合条件的排列方法种数为.
◆ 探究点二 不相邻问题
例2 [2024·江苏扬州高二期末] 某5位同学排成一排准备照相时,又来了甲、乙、丙3位同学要加入,若保持原来5位同学的相对顺序不变,且甲、乙2位同学互不相邻,丙同学不站在两端,则不同的加入方法共有 ( )
A.360种 B.144种
C.180种 D.192种
变式 五名同学在彝族新年期间去邛海国家湿地公园采风观景,在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念,若甲与乙相邻,丙与丁不相邻,则不同的排法共有 ( )
A.12种 B.24种
C.48种 D.96种
[素养小结]
用插空法、排除法求解不相邻问题“将n个不同元素排成一排,其中某k个元素两两不相邻”.
“插空法”:(1)将其余(n-k)个元素排成一排,有种方法;(2)将k个元素插入(n-k+1)个空档里,有种方法,根据分步计数原理,排法种数为.
“排除法”:当不相邻的元素较多时,不宜采用“排除法”;当有多个限制条件时,可先部分满足条件再排除.
◆ 探究点三 定序问题
例3 [2025·江苏南通高二期末] 某次演出有6个节目,若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定,则不同的排法有 种.
变式 [2025·江苏泰州高二期末] 在一个单层书架上已竖放着《诗经》《西游记》《菜根谭》《呐喊》《文化苦旅》五本书,现欲将《围城》《骆驼祥子》《四世同堂》三本书放回到书架上(竖放),要求不打乱原有五本书的相对顺序,且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻,则不同的放法共有 ( )
A.40种 B.42种
C.60种 D.84种
[素养小结]
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序的问题称为定序问题.这类问题常用缩小倍数的方法求解.
