(共62张PPT)
7.3 组 合
第1课时 组合与组合数公式
探究点一 组合的概念
探究点二 组合数公式及其应用
探究点三 简单的组合问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解组合的意义.
2.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题.
3.理解组合数的概率.
4.会推导组合数公式，并会应用公式求值.
知识点一 组合
1.定义：
一般地，从个不同元素中取出 个元素__________，叫作
从个不同元素中取出 个元素的一个组合.
并成一组
2.排列与组合的异同点:
排列 组合
相同点 从 个不同元素中取出__________个元素
不同点 与元素的顺序______ 与元素的顺序______
有关
无关
注意：
如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的
组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因
此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.
知识点二 组合数及其公式
组合数 定义 从个不同元素中取出 个元素的__________的个 数，叫作从个不同元素中取出 个元素的组合数
表示法 ____
组合数 公式 乘积式 _ ___ __________________
阶乘式 _ _______
备注 , 且_______
所有组合
注意：
（1）“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从个不同的元素中取出 个元素并成一组”，
它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从 个不同元素中
取出 个元素的所有组合的个数”，它是一个数.
（2）乘积式一般用于计算，但当数值， 较大时，利用阶乘式计
算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证
时，常用阶乘式.
探究点一 组合的概念
例1 ［2025·江苏盐城高二课时练习］下列问题中，组合问题的个数
是( )
①从全班50人中选出5人组成班委会；
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习
委员、生活委员；
③从1，2，3， ，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3， ，9中任取出两个数求差或商.
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序，是组合
问题.
②为排列问题.
对于③，从1，2，3， ，9中任取两个数求积是组合问题，因为乘
法满足交换律.
因为减法和除法不满足交换律，所以④为排列问题.
所以组合问题的个数是2.故选B.
变式（1）［2024·江苏如东期中］下列四个问题中属于组合问题的
是( )
A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B.从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长
√
[解析] 对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，
将2人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题
为排列问题；
对于B，从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，
选出3个数字之后,还要将这3个数安排至个位、十位、百位这三个数位，
与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将3
名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D,从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,将2人选出后，
还要安排班长、副班长两个职务,与顺序有关,这个问题为排列问题.
故选C.
（2）（多选题）下列问题中,属于组合问题的是( )
A.7支战队以单循环进行比赛（每两支战队比赛一次）,共进行多少次
比赛
B.7支战队以单循环进行比赛,这次比赛的第一、二名获得者有多少种
可能
C.从7名员工中选出3名参加同一种娱乐活动,有多少种选派方法
D.从7名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动,有多少种选派方法
√
√
[解析] A是组合问题,因为每两支战队进行一次比赛,并没有谁先谁后,
没有顺序的区别;
B是排列问题,因为甲队获得第一名、乙队获得第二名和甲队获得第二名、
乙队获得第一名是不一样的,存在顺序区别;
C是组合问题,因为选出的3名员工参加相同的活动,没有顺序区别;
D是排列问题,因为选出的3名员工参加的活动不相同,存在顺序区别.
故选 .
［素养小结］
区分排列与组合的方法
首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方
法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元
素的位置,看是否会产生新的变化.若有新变化,则说明有顺序,是排列
问题;若无新变化,则说明无顺序,是组合问题.
探究点二 组合数公式及其应用
角度1 组合数的计算与化简
例2（1）计算: .
解：原式 .
（2）若等式成立，求正整数 的值.
解：由 ，
得 ，
因为，，所以 ，
即，解得或（舍去），故 .
（3）解关于的不等式： .
解：由题意可得，且 ，
，，解得 ，
，
又， ,4,5,6,7.
故不等式的解集为 .
角度2 与组合数有关的证明
例3（1）证明: ;
证明: ,原式得证.
（2） .
证明：
,
,
,原式得证.
变式（1）求使成立的 的值.
解：由题意可得， ，
根据排列数和组合数公式,原方程可化为 ,
即,即 ,
,解得或 （舍去），故原方程的解为
.
（2）若求 满足的条件.
解：由
得
即即故 ,
又,或 .
［素养小结］
进行组合数的相关计算时,注意以下几点:
（1）像排列数公式一样,公式一般用于计
算，而公式及一般用于证明、解方程
（不等式）等；
（2）要注意公式的逆向运用,如例中可利用“”
简化计算过程；
（3）在解决与组合数有关的问题时,要注意隐含条件“且 ,
”的运用；
（4）例3（1）所推导的结论“ ”以及它的变形公式是
非常重要的公式,应熟练掌握.
探究点三 简单的组合问题
例4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名参加会议，有多少种不同的选法
解：根据题意，从10名教师中选2名教师参加会议，是组合问题，
有 （种）选法.
（2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法
解：根据题意，若选2名男教师，有 （种）选法，
若选2名女教师，有 （种）选法，
则选出2名男教师或2名女教师参加会议的选法有 （种）.
例4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（3）现要从中选出男、女教师各2名参加会议，有多少种不同的选法
解：根据题意，选2名男教师，有 （种）选法，选2名女教师，
有 （种）选法，
则从10名教师中选出男、女教师各2名参加会议，有 （种）
选法.
变式 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前都没有参加
过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
（1）这位教练从这17名学员中可以组成多少种学员上场方案
解：由于上场学员没有角色差异，所以可以组成的学员上场方案有
（种）.
变式 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前都没有参加
过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教
练员有多少种不同的选法
解：教练员可以分两步完成这件事情.
第一步:从17名学员中选出11人组成上场小组，共有 种选法；
第二步：从选出的11人中选出1名守门员，共有 种选法.
所以教练员有 （种）不同的选法.
［素养小结］
（1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合
问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有
关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
（2）要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用.在分类
和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
1.组合的特性:元素的无序性.取出的 个元素不讲究顺序,即元素没有
位置的要求.
2.根据组合的定义,只要两个组合的元素完全相同,不论元素的顺序如
何,都是相同的组合;如果两个组合的元素不完全相同,那么这两个组
合就是不同的组合.
3.怎样理解组合,它与排列有何区别
提示:（1）组合要求个元素是不同的,取出的 个元素也是不同的,即
从个不同的元素中进行 次不放回地抽取.
（2）取出的 个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无
序性是组合的特点.
（3）辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺
序是否有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则
是排列问题,否则就是组合问题.例如,在数的运算当中,加法运算和乘
法运算就是组合问题,除法运算则是排列问题;“寄信”是排列问题,“握
手”是组合问题等.
4.如何理解组合与组合数这两个概念
提示:同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”
也是两个不同的概念.“组合”是指“从个不同的元素中取 个
元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从
个不同的元素中取出 个元素的所有不同组合的个数”,它是
一个数.
5.组合数公式乘积式体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算
具体的组合数时会用到.
6.组合数公式阶乘式的主要作用有:（1）计算, 较大时的组合数;
（2）对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.
排列问题和组合问题的区分方法
排列问 题 若交换某两个元素的位置对结果有影响,则是排列问题,即
排列问题与选取的顺序有关
组合问 题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问
题,即组合问题与选取的顺序无关
例 判断下列各问题是排列问题,还是组合问题.
（1）10个人相互通一次电话,共通了多少次电话
解：是组合问题.
甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别.
例 判断下列各问题是排列问题,还是组合问题.
（2）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次）,需要进行多少
场比赛
解：是组合问题.
每两队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别.
(3)10支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能
解：是排列问题,
因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样
的,是有顺序区别的.
练习册
1.［2025·江苏通州高二期中］下列问题中不是组合问题的是( )
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B.平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以
构成多少条直线
C.集合,,, , 的含有三个元素的子集有多少个
D.从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独
唱、独舞节目，有多少种选法
√
[解析] 因为两人握手没有顺序之分，所以A是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以B是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以C是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以D不是组合问题.
故选D.
2. ( )
A.130 B.98 C.124 D.148
[解析] .故选A.
√
3.已知，且，则 的值为( )
A.30 B.42 C.56 D.72
[解析] 因为，所以，
解得或 （舍去），所以 .故选C.
√
4.已知集合,,,,从集合中任取2个元素组成集合 ,则含有
元素的集合 的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 从集合中任取2个元素组成集合,则含有元素的集合 只需在
元素,,中再选1个即可，则符合题意的集合有 （个）,故选C.
√
5.空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过3个点可作一个平面，
则可以作的平面个数为( )
A.42 B.56 C.64 D.81
[解析] 根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平
面与点的顺序无关，所以可确定的平面个数是 .故选B.
√
6.（多选题）已知， 为自然数，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] A选项，，A错误；
B选项， ，B正确；
C选项， ，C正确；
D选项，
，D正确.
故选 .
√
√
√
7.满足关系式的正整数 组成的集合为_______.
[解析] 由题意可知且 ，根据组合数以及排列数的计算公
式可得，解得,所以 的取值集合为
.
8.将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空
盒的放法种数为____.
30
[解析] 将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，
则恰有2个空盒的放法种数为 .
9.（13分）
（1）已知,,，,证明： .
证明：因为 ，
，所以
.
（2）已知，求 .
解： ，
，且, ，等号两
边同乘，得 ，
即，解得或 ，
,，， .
10.（13分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
解： 根据题意,从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活
动，是组合问题,共有 （种）不同的选择方法.
10.（13分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、
文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？
解：根据题意,分2步进行分析:
①从10名志愿者中选2男1女,选择方法共有 （种）；
②安排选出的3人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,有
（种）方法.
故不同的选派方法共有 （种）.
11.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个
盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为( )
A.3 B.6 C.10 D.15
[解析] 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求
每个盒子中至少放2个小球，先每个盒子中放1个小球，然后将剩下
的5个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放1个
小球，则不同放法的种数为 .故选B.
√
12.［2025·江苏扬州期中］如图为某地街道路
线图，甲从街道的处出发，先到达 处与乙
会合，再一起去到 处，则可以选择的最短路
径条数为( )
A.20 B.18 C.12 D.9
[解析] 计算最短路径条数需要两步，从到的最短路径条数为 ，
从到的最短路径条数为 ，所以可以选择的最短路径条数为
.故选B.
√
13.（多选题）［2025·江苏苏州高二期中］一个口袋内装有大小相同
编号不同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是( )
A.从中取3个球，则不同的取法种数是
B.从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10
C.从中取3个球，则颜色不同的取法种数是
D.从中取3个球，则颜色相同的取法种数是
√
√
√
[解析] 根据题意，一个口袋内装有大小相同编号不同的5个白球和2
个黑球，共7个球，从中取3个球，则有 种取法，A正确；
从中取2个球，则颜色不同的取法种数是 ，B正确；
从中取3个球，则颜色不同的取法种数是 ，C错误；
从中取3个球，则颜色相同的取法种数是，D正确.
故选 .
14.现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件
零件中选取3件，甲、乙两类均被选到的方法共有____种.（用数字填
写答案）
36
[解析] 甲、乙两类均被选到分两种情况：
①甲类2件，乙类1件，有（种）选法；
②甲类1件，乙类2件，有 （种）选法.
所以共有 （种）选法.
15.［2025·江苏盐城七校联考高二月考］如图，在 的矩形长条
中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不
同色，则不同的涂色方法共有( )
A.28种 B.29种 C.30种 D.31种
√
[解析] 分2类（先涂前3个矩形，再涂后3个矩形） 第1类，前3个矩
形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色，有 （种）涂法；
第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，有
（种）涂法.
综上，不同的涂法种数为 .故选C.
16.（15分）设,,在集合,2, , 的所有子集中,取出只
有2个元素的子集，再把每个只有2个元素的子集中的较大元素相加,
和记为,把较小元素也相加,和记为 .
（1）当时,求, 的值;
解：当时,集合的所有元素个数为2的子集为, ,
,
所以, .
16.（15分）设,,在集合,2, , 的所有子集中,取出只
有2个元素的子集，再把每个只有2个元素的子集中的较大元素相加,
和记为,把较小元素也相加,和记为 .
（2）求证:对任意的,, 为定值.
证明:当, 时,依题意得
,
,
则,所以 .
又 ,
所以,所以 （定值）.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.并成一组 2. 有关 无关
知识点二 所有组合
课中探究 例1 B 变式 （1）C （2）AC
例2 （1）（2）（3）
例3 略 变式 （1）（2）或
例4 （1）
变式 （1）（2）快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.BCD 7. 8.30
9.（1）略（2） 10.（1） （2）
11.B 12.B 13.ABD 14.36 15.C
16.（1）,（2）略7.3 组 合
第1课时 组合与组合数公式
【课前预习】
知识点一
1.并成一组 2.m(m≤n) 有关 无关
知识点二
所有组合
m≤n
【课中探究】
探究点一
例1 B [解析] 对于①,从50人中选出5人组成班委会,不考虑顺序,是组合问题.②为排列问题.对于③,从1,2,3,…,9中任取两个数求积是组合问题,因为乘法满足交换律.因为减法和除法不满足交换律,所以④为排列问题.所以组合问题的个数是2.故选B.
变式 (1)C (2)AC [解析] (1)对于A,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;对于B,从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数,选出3个数字之后,还要将这3个数安排至个位、十位、百位这三个数位,与顺序有关,这个问题为排列问题;对于C,从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,只需将3名同学选出,与顺序无关,这个问题为组合问题;对于D,从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,将2人选出后,还要安排班长、副班长两个职务,与顺序有关,这个问题为排列问题.故选C.
(2)A是组合问题,因为每两支战队进行一次比赛,并没有谁先谁后,没有顺序的区别;B是排列问题,因为甲队获得第一名、乙队获得第二名和甲队获得第二名、乙队获得第一名是不一样的,存在顺序区别;C是组合问题,因为选出的3名员工参加相同的活动,没有顺序区别;D是排列问题,因为选出的3名员工参加的活动不相同,存在顺序区别.故选AC.
探究点二
例2 解:(1)原式=-=-7×6×5=210-210=0.
(2)由n+=4,得n×+n(n-1)(n-2)=4×,
因为n≥3,n∈N*,所以n(n-2)+6(n-2)=4(n+1),
即n2=16,解得n=4或n=-4(舍去),故n=4.
(3)由题意可得∴3≤n≤12,且n∈N*,
∵<,∴<,解得n<7.5,∴3≤n≤7,
又∵n∈N*,∴n=3,4,5,6,7.
故不等式的解集为{3,4,5,6,7}.
例3 证明:(1)m=m·==n,原式得证.
(2)∵·=·
=,
·=·=,
∴·=·,原式得证.
变式 解:(1)由题意可得x≥7,x∈N*,根据排列数和组合数公式,原方程可化为3·=5·,
即=,即(x-3)(x-6)=40,
∴x2-9x-22=0,解得x=11或x=-2(舍去),故原方程的解为x=11.
(2)由
得
即即故5≤r≤6,
又∵r∈N*,∴r=5或r=6.
探究点三
例4 解:(1)根据题意,从10名教师中选2名教师参加会议,是组合问题,有=45(种)选法.
(2)根据题意,若选2名男教师,有=15(种)选法,
若选2名女教师,有=6(种)选法,
则选出2名男教师或2名女教师参加会议的选法有15+6=21(种).
(3)根据题意,选2名男教师,有=15(种)选法,选2名女教师,有=6(种)选法,
则从10名教师中选出男、女教师各2名参加会议,有15×6=90(种)选法.
变式 解:(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以组成的学员上场方案有= 12 376(种).
(2)教练员可以分两步完成这件事情.
第一步:从17名学员中选出11人组成上场小组,共有种选法;
第二步:从选出的11人中选出1名守门员,共有种选法.
所以教练员有×=136 136(种)不同的选法.7.3 组 合
第1课时 组合与组合数公式
1.D [解析] 因为两人握手没有顺序之分,所以A是组合问题;因为两点组成直线没有顺序之分,所以B是组合问题;因为集合元素具有无序性,所以C是组合问题;因为这2名学生参加的节目有顺序之分,所以D不是组合问题.故选D.
2.A [解析] 4+5=4×5×4+5×=130.故选A.
3.C [解析] 因为=28,所以=28,解得n=8或n=-7(舍去),所以==8×7=56.故选C.
4.C [解析] 从集合A中任取2个元素组成集合B,则含有元素b的集合B只需在元素a,c,d中再选1个即可,则符合题意的集合B有=3(个),故选C.
5.B [解析] 根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”,且所确定的平面与点的顺序无关,所以可确定的平面个数是==56.故选B.
6.BCD [解析] A选项,=,A错误;B选项,==,B正确;C选项,=×==,C正确;D选项,+=+==,D正确.故选BCD.
7.{3,4,5} [解析] 由题意可知n≥3且n∈N,根据组合数以及排列数的计算公式可得2≤n(n-1),解得n≤5,所以n的取值集合为{3,4,5}.
8.30 [解析] 将6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰有2个空盒的放法种数为×=30.
9.解:(1)证明:因为=·=,=·=,所以=.
(2)∵-=,
∴-=,且0≤m≤5,m∈Z,等号两边同乘,得1-=,
即m2-23m+42=0,解得m=2或m=21,
∵0≤m≤5,m∈Z,∴m=2,∴===28.
10.解: (1 )根据题意,从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动,是组合问题,共有=120(种)不同的选择方法.
(2)根据题意,分2步进行分析:
①从10名志愿者中选2男1女,选择方法共有=60(种);
②安排选出的3人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,有=6(种)方法.
故不同的选派方法共有=360(种).
11.B [解析] 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,先每个盒子中放1个小球,然后将剩下的5个相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放1个小球,则不同放法的种数为=6.故选B.
12.B [解析] 计算最短路径条数需要两步,从A到B的最短路径条数为,从B到C的最短路径条数为,所以可以选择的最短路径条数为=18.故选B.
13.ABD [解析] 根据题意,一个口袋内装有大小相同编号不同的5个白球和2个黑球,共7个球,从中取3个球,则有种取法,A正确;从中取2个球,则颜色不同的取法种数是=10,B正确;从中取3个球,则颜色不同的取法种数是+,C错误;从中取3个球,则颜色相同的取法种数是,D正确.故选ABD.
14.36 [解析] 甲、乙两类均被选到分两种情况:①甲类2件,乙类1件,有·=30(种)选法;②甲类1件,乙类2件,有·=6(种)选法.所以共有30+6=36(种)选法.
15.C [解析] 分2类(先涂前3个矩形,再涂后3个矩形):第1类,前3个矩形用3种颜色,后3个矩形也用3种颜色,有=24(种)涂法;第2类,前3个矩形用2种颜色,后3个矩形也用2种颜色,有=6(种)涂法.综上,不同的涂法种数为24+6=30.故选C.
16.解:(1)当n=3时,集合{1,2,3}的所有元素个数为2的子集为{1,2},{1,3},{2,3},
所以a=2+3+3=8,b=1+1+2=4.
(2)证明:当n≥3,n∈N*时,依题意得b=1×+2×+3×+…+(n-2)×+(n-1)×,a=2×+3×+4×+…+(n-1)×+n×=2×1+3×2+4×3+…+(n-1)×(n-2)+n×(n-1),
则=+++…+=+++…+=++…+=…=,所以a=2.
又a+b=(1+2+3+…+n)×=×(n-1)=3,所以b=,所以=(定值).7.3 组 合
第1课时 组合与组合数公式
【学习目标】
1.理解组合的意义.
2.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题.
3.理解组合数的概率.
4.会推导组合数公式,并会应用公式求值.
◆ 知识点一 组合
1.定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.排列与组合的异同点:
排列 组合
相同点 从n个不同元素中取出 个元素
不同点 与元素的顺序 与元素的顺序
注意:
如果两个组合中的元素相同,那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题,它主要涉及元素被取到或未被取到.
◆ 知识点二 组合数及其公式
组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数
表示法
组合数公式 乘积式 = =
阶乘式 =
备注 n,m∈N*且
注意:
(1)“组合”与“组合数”是两个不同的概念:
一个组合是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数”,它是一个数.
(2)乘积式一般用于计算,但当数值m,n较大时,利用阶乘式计算组合数较为方便,在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时,常用阶乘式.
◆ 探究点一 组合的概念
例1 [2025·江苏盐城高二课时练习] 下列问题中,组合问题的个数是 ( )
①从全班50人中选出5人组成班委会;
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员;
③从1,2,3,…,9中任取出两个数求积;
④从1,2,3,…,9中任取出两个数求差或商.
A.1 B.2
C.3 D.4
变式 (1)[2024·江苏如东期中] 下列四个问题中属于组合问题的是 ( )
A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B.从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长
(2)(多选题)下列问题中,属于组合问题的是( )
A.7支战队以单循环进行比赛(每两支战队比赛一次),共进行多少次比赛
B.7支战队以单循环进行比赛,这次比赛的第一、二名获得者有多少种可能
C.从7名员工中选出3名参加同一种娱乐活动,有多少种选派方法
D.从7名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动,有多少种选派方法
[素养小结]
区分排列与组合的方法
首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化.若有新变化,则说明有顺序,是排列问题;若无新变化,则说明无顺序,是组合问题.
◆ 探究点二 组合数公式及其应用
角度1 组合数的计算与化简
例2 (1)计算:-·.
(2)若等式n+=4成立,求正整数n的值.
(3)解关于n的不等式:<.
角度2 与组合数有关的证明
例3 证明:(1)m=n;
(2)·=·.
变式 (1)求使3=5成立的x的值.
(2)若求r满足的条件.
[素养小结]
进行组合数的相关计算时,注意以下几点:
(1)像排列数公式一样,公式=一般用于计算,而公式=及=一般用于证明、解方程(不等式)等;
(2)要注意公式=的逆向运用,如例2(1)中可利用“=”简化计算过程;
(3)在解决与组合数有关的问题时,要注意隐含条件“m≤n且m,n∈N*”的运用;
(4)例3(1)所推导的结论“m=n”以及它的变形公式是非常重要的公式,应熟练掌握.
◆ 探究点三 简单的组合问题
例4 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选2名参加会议,有多少种不同的选法
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法
(3)现要从中选出男、女教师各2名参加会议,有多少种不同的选法
变式 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前都没有参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以组成多少种学员上场方案
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种不同的选法
[素养小结]
(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.
(2)要注意两个计数原理的运用,即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.7.3 组 合
第1课时 组合与组合数公式
1.[2025·江苏通州高二期中] 下列问题中不是组合问题的是 ( )
A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次
B.平面上有9个不同点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条直线
C.集合{a1,a2,a3,…,an}的含有三个元素的子集有多少个
D.从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法
2.4+5= ( )
A.130 B.98
C.124 D.148
3.已知=28(n∈N,且n≥2),则的值为 ( )
A.30 B.42
C.56 D.72
4.已知集合A={a,b,c,d},从集合A中任取2个元素组成集合B,则含有元素b的集合B的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过3个点可作一个平面,则可以作的平面个数为 ( )
A.42 B.56
C.64 D.81
6.(多选题)已知m,n为自然数,则下列等式正确的是 ( )
A.=
B.=
C.=
D.+=
7.满足关系式2≤的正整数n组成的集合为 .
8.将6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,恰有2个空盒的放法种数为 .
9.(13分)(1)已知m,n,k∈N*,m≥k≥n,证明:=.
(2)已知-=,求.
10.(13分)从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动.
(1)共有多少种不同的选择方法
(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女,且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,求共有多少种不同的选派方法
11.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为 ( )
A.3 B.6
C.10 D.15
12.[2025·江苏扬州期中] 如图为某地街道路线图,甲从街道的A处出发,先到达B处与乙会合,再一起去到C处,则可以选择的最短路径条数为 ( )
A.20 B.18
C.12 D.9
13.(多选题)[2025·江苏苏州高二期中] 一个口袋内装有大小相同编号不同的5个白球和2个黑球,下列说法正确的是 ( )
A.从中取3个球,则不同的取法种数是
B.从中取2个球,则颜色不同的取法种数是10
C.从中取3个球,则颜色不同的取法种数是
D.从中取3个球,则颜色相同的取法种数是
14.现有甲、乙两类零件共8件,其中甲类6件,乙类2件,若从这8件零件中选取3件,甲、乙两类均被选到的方法共有 种.(用数字填写答案)
15.[2025·江苏盐城七校联考高二月考] 如图,在1×6的矩形长条中,涂上红、黄、蓝3种颜色,每种颜色限涂2格,并且相邻两格不同色,则不同的涂色方法共有 ( )
A.28种 B.29种
C.30种 D.31种
16.(15分)设n≥3,n∈N*,在集合{1,2,…,n}的所有子集中,取出只有2个元素的子集,再把每个只有2个元素的子集中的较大元素相加,和记为a,把较小元素也相加,和记为b.
(1)当n=3时,求a,b的值;
(2)求证:对任意的n≥3,n∈N*,为定值.
