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7.3 组 合
第2课时 组合数的性质及应用
探究点一 组合数的性质
探究点二 有限制条件的组合问题
探究点三 分组、分配问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明.
2.能解决有限制条件的组合问题.
知识点 组合数的性质
性质,，且 .
注意：规定 .
提示：（1）体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；
（2）等号两边下标相同，上标之和等于下标.
性质,，且 .
提示：（1）下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原
下标多1而上标与大的上标相同的一个组合数；
（2）体现了“含”与“不含”的分类思想.
探究点一 组合数的性质
例1（1）若，则 ( )
A.2 B.4 C.2或4 D.2或3
[解析] 由题意可得或，解得或 .
故选D.
√
（2）［2025·江苏海门高二期中］
( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
变式（1）［2024·江苏南京高二期末］若，则
( )
A.2 B.8 C.2或8 D.2或4
[解析] 由组合数的性质可得 ，
得，.
又，所以 或，
解得或 （舍去）.故选A.
√
（2） _____.
466
[解析] ，, ,
.
（3）若，则 的值是___.
6
[解析] ，，解得 .
［素养小结］
性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要
注意公式的正用和逆用，正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是
“合二为一”,在解题中要注意灵活应用.
探究点二 有限制条件的组合问题
考向1 “含有”与“至少”问题
例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派
5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法
（1）男运动员3名,女运动员2名;
解：第一步:选3名男运动员,有 种选法.
第二步:选2名女运动员,有种选法.
故共有 （种）选法.
例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派
5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法
（2）至少有1名女运动员;
解：方法一（直接法）:至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4
男,2女3男,3女2男,4女1男，共有
（种）选法.
方法二（间接法）:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,
从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有 种,所以
至少有1名女运动员的选法有 （种）.
例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派
5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法
（3）至少有1名队长;
解：方法一（直接法）:可分类求解.只有男队长的选法有 种，只有
女队长的选法有种，男、女队长都有的选法有 种，所以至少有1
名队长的选法共有 （种）.
方法二（间接法）:从10人中任选5人有 种选法,其中不选队长的选
法有种,所以至少有1名队长的选法有 （种）.
例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派
5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法
（4）既有队长,又有女运动员.
解：当选女队长时,其他人任意选,有 种选法;
当不选女队长时,必选男队长,从其他人中任选4人有 种选法,其中不
含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有 种.
所以既有队长,又有女运动员的选法共有 （种）.
变式 某旅行团要从八个景点中选两个作为当天的旅游地，满足下列
条件的选法分别有多少种？
（1）甲、乙两个景点至少选一个；
解：甲、乙两个景点都不去有 种选法，则甲、乙两个景点至少选
一个的选法有 （种）.
（2）甲、乙两个景点至多选一个；
解：甲、乙两个景点都不去有 （种）选法，甲、乙两个景点
只去一个有 （种）选法，
则甲、乙两个景点至多选一个有 （种）选法.
变式 某旅行团要从八个景点中选两个作为当天的旅游地，满足下列
条件的选法分别有多少种？
（3）甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个.
解：甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个，有 （种）
选法.
［素养小结］
组合问题常有以下两类题型:
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取
出,再由其他元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素
中选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型:当直接法分类复杂时,可
使用逆向思维,间接求解.
考向2 “多面手”问题
例3 ［2025·江苏盐城高二期末］某国际旅行社现有11名对外翻译人
员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语.现从
这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则不同的选法种数
为( )
A.225 B.185 C.145 D.110
√
[解析] 根据题意，按既会英语又会法语的2人的参与情况分成三类.
①既会英语又会法语的2人都不选，这时有 种选法；
②既会英语又会法语的2人中有1人入选，这时又分此人当英语翻译或
当法语翻译两种情况，因此有 种选法；
③既会英语又会法语的2人均入选，这时又分三种情况，2人都翻译英
语、2人都翻译法语、2人各翻译一个语种，因此有
种选法.
综上分析，共有
（种）选法.
故选B.
变式 有6名工人,其中2人只会电工,3人只会木工,还有1人既会电工又
会木工,若要选出电工2人、木工2人,且这4人能同时工作,则共有____
种不同的选法.
12
[解析] 由题意可分为三类:
①既会电工又会木工的1人没入选,有 （种）选法;
②既会电工又会木工的1人入选当电工,有 （种）选法;
③既会电工又会木工的1人入选当木工,有（种）选法.
综上,共有 （种）不同的选法.
［素养小结］
“多面手”问题以元素作为分析对象,按照选用几个“多面手”,“多面手”
做什么建立分类讨论的标准,并且要注意做到不重复不遗漏.
探究点三 分组、分配问题
考向1 不同元素分组、分配问题
例4 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
（1）分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
解：无序不均匀分组问题.首先选1本有 种方法,然后从余下的5本中
选2本有种方法,最后余下3本全选有种方法,故共有
（种）分配方法.
例4 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
解：有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第（1）
问的基础上再分配给三人,共有 （种）分配方法.
（3）平均分成3份,每份2本;
解：无序均匀分组问题.分三步进行,应有 种方法,但是这里出
现了三个位置上的重复,故共有 （种）分配方法.
例4 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
解：有序均匀分组问题.在第（3）问的基础上再分配给三人,故共有
（种）分配方法.
（5）分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
解：无序部分均匀分组问题.共有 （种）分配方法.
例4 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
解：有序部分均匀分组问题.在第（5）问的基础上再分配给三人,共
有 （种）分配方法.
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
解：直接分配问题.甲选1本有种方法,乙从余下的5本中选1本有
种方法,余下的4本留给丙有种方法,故共有 （种）分配
方法.
变式（1）［2025·江苏徐州期末］已知5位教师到4所学校去支教，
每所学校至少分配1位教师，每位教师只能去1所学校，则分配方案
有_____种.
240
[解析] 由题意可知，将5位教师分成4组，每组教师人数分别为2，
1,1,1，再将4组教师分配到4所学校，可得分配方案有
（种）.
（2）［2024·江苏如东期中］将编号为1，2，3，4的四个小球全部
放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子都不空，则不同的放法共有___
种.（用数字作答）
14
[解析] 若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有
（种）放法，若两个盒子中均放2个球，则有
（种）放法，综上可得共有 （种）放法.
考向2 相同元素分组、分配问题
例5 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列问题中不
同放法的种数.
（1）每个盒子都不空;
解：先把6个相同的小球排成一排,在首尾2个球的外侧各放置一块隔
板,然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板即可,故共
有 （种）放法.
例5 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列问题中不
同放法的种数.
（2）恰有1个空盒子;
解：恰有1个空盒子,插板分两步进行.
先在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各
插一块隔板,如,有 种插法;
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成空盒,
如,有种插法.
故共有 （种）放法.
例5 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列问题中不
同放法的种数.
（3）恰有2个空盒子.
解：恰有2个空盒子,插板分两步进行.先在首尾2个球的外侧各放置一
块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,如,有 种
插法,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
分两种情况:①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的2个空盒子,
如,有 种插法.
②将两块隔板与前面三块隔板之一并放,如,有 种插法.
故共有 （种）放法.
变式 ［2025·江苏苏州高二期末］将20个完全相同的球放入编号为1，
2，3，4，5的五个盒子中.
（1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
解：把20个球摆成一排，在首尾2个球的外侧各放置一块隔板，在球
中间的19个空隙中选择4个空隙各插一块隔板，所以一共有
（种）放法.
变式 ［2025·江苏苏州高二期末］将20个完全相同的球放入编号为1，
2，3，4，5的五个盒子中.
（2）若每个盒子可放任意数量的球，则一共有多少种放法？
解：由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆
成一排，在首尾2个球的外侧各放置一块隔板，在球中间的24个空隙
中选择4个空隙各插一块隔板，
所以一共有 （种）放法.
变式 ［2025·江苏苏州高二期末］将20个完全相同的球放入编号为1，
2，3，4，5的五个盒子中.
（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号，则一共有多少种
放法？
解：先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，
4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆
成一排，
在首尾2个球的外侧各放置一块隔板，在球中间的9个空隙中选择4个
空隙各插一块隔板，所以一共有 （种）放法.
［素养小结］
（1）不同元素的分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组,每组的元素个数均相等.
②部分均匀分组,应注意不要重复,有组均匀,最后必须除以!.
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
（2）相同元素的分配问题的处理策略
①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的
小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插
入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法.隔板
法专门解决相同元素的分配问题.
②将个相同的元素分给个不同的对象 ,每个对象至少分得
一个元素,有种方法.可描述为个空中插入 块板.
1.组合数的性质 .
证明:因为, ,所以
.
应用:（1）简化计算,当时,通常将计算转化为计算 ,如
.
（2）列等式,由，可得或,如由 可得
或 .
2.组合数的性质 .
证明: .
应用:恒等变形,简化运算,在学习“二项式定理”研究二项式系数时会有
具体应用.
1.组合应用问题
（1）无限制条件的组合应用题的解题步骤为:判断
（组合问题）;转化（组合模型）;求值（组合数）;作答.
（2）有限制条件的组合应用题的解法:
组合问题与顺序无关,组合问题的限制条件往往是对被取元素进行分
类,按每类取出元素的多少对事件分解,常用解法有直接法、间接法.
例1 一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组,每组2人.
（1）若任意2人可分为一组,求这样的分组方式有多少种
解：将10人平均分为5组共有 （种）分组方式.
（2）若这10人中有5名男生和5名女生,要求各组人员不能为同性,求
这样的分组方式有多少种
解：将5名男生视为5个不同的盒子,5名女生视为5个不同的小球,问题
转化为将5个不同的小球装入5个不同的盒子,每盒一个球,共有
（种）分组方式.
例1 一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组,每组2人.
（3）若这10人恰为5对夫妻,任意2人均可分为一组,问分组后恰有一
对夫妻在同组的概率是多少
解：先任选一对夫妻,有 种选法,再将剩余4对夫妻分组.
将4位丈夫分别视为,,,四个小球,4位妻子分别视为,,, 四个盒子,
则4个不同的小球装入4个不同的盒子,每盒一个球,且与自己的字母不
同,则，，，四个盒子内所放小球的字母的排列有 ,
, ,,,,,, ,共9个,故不同
的分组方法有 （种）,所以分组后恰有一对夫妻在同组的
概率是 .
例2 （多选题）某工程队有6辆不同的工程车,按下列方式分给工地
进行作业,每个工地至少分1辆工程车,则下列结论正确的有( )
A.分给甲、乙、丙三个工地，每个工地分2辆,有120种分配方式
B.分给甲、乙两个工地，每个工地分2辆,分给丙、丁两个工地，每个
工地分1辆,有180种分配方式
C.分给甲、乙、丙三个工地,其中一个工地分4辆,另两个工地各分1辆,
有60种分配方式
D.分给甲、乙、丙、丁四个工地,其中两个工地各分2辆,另两个工地
各分1辆,有1080种分配方式
√
√
[解析] 对于A,先从6辆工程车中分给甲工地2辆,有 种方法,再从剩余
的4辆工程车中分给乙工地2辆,有 种方法,最后的2辆分给丙工地,有
种方法,所以不同的分配方式有 （种）,故A错误;
对于B,6辆工程车先分给甲、乙两个工地，每个工地分2辆,有 种
方法, 剩余2辆分给丙、丁两个工地，每个工地分1辆,有 种方法,所以
不同的分配方式有 （种）,故B正确;
对于C,先把6辆工程车分成3组，4辆、1辆、1辆,有 种方法,再分给
甲、乙、丙三个工地, 所以不同的分配方式有 （种）,
故C错误;
对于D,先把6辆工程车分成4组，2辆、2辆、1辆、1辆,有 种
方法,再分给甲、乙、丙、丁四个工地,
所以不同的分配方式有 （种）,故D正确.
故选 .
2.要正确理解题中的关键词（如:“都”与“不都”,“至少”与“至多”,“含”
与“不含”等）的确切含义,正确分类,合理分步.
例3 某校开设类选修课3门, 类选修课4门,一位同学从中选3门.若要
求两类课程中各至少选1门,则不同的选法有多少种
解：需分两类:选类选修课1门、类选修课2门或选 类选修课2门、
类选修课1门.
故不同的选法有 （种）.
3.“多面手”问题可按只会一种本领的人中被选出的人数来分类,将“多
面手”和只会另一种本领的人放在一起；也可按“多面手”被选出的人
数来分类.
例4 ［2024·广东清远高二期中］“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是
端午节最重要的民俗活动之一.某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛,经
过训练后,龙舟队的8名队员在左、右桨位中至少会一个,其中有5人会
划左桨,5人会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比
赛,则不同的选派方法共有( )
A.26种 B.31种 C.36种 D.37种
√
[解析] 依题意,8名队员中有5人会划左桨,5人会划右桨,则既会划左桨
又会划右桨的有（人）,记这两人分别为, ,所以只会
划左桨的有（人）,只会划右桨的有 （人）.
分3种情况讨论:①从只会划左桨的3人中选3人划左桨,从剩下的5个人
中选3人划右桨,则有 （种）选派方法;
②从只会划左桨的3人中选2人划左桨,从, 中选1人划左桨,再从剩下
的4个人中选3人划右桨,则有 （种）选派方法;
③从只会划左桨的3人中选1人划左桨,,这2人划左桨,另外会划右桨
的3人划右桨,则有 （种）选派方法.
综上可得,一共有 （种）不同的选派方法.
故选D.
4.组合的综合应用,最短路径问题
例5 如图,在某城市中,, 两地之间有整齐的方格
形道路网,其中,,,, 是道路网中位于一
条对角线上的5个交汇处,现在道路网, 处的甲、
乙两人分别要到, 处,他们分别随机地选择一条
最短路径.
（1）甲从处出发到达 处共有多少种不同的走法
解：甲由道路网处出发,随机地选择一条最短路径到达 处,相当于
需走8步,横向走4步,纵向走4步,故共有 （种）不同的走法.
例5 如图,在某城市中,, 两地之间有整齐的方格
形道路网,其中,,,, 是道路网中位于一
条对角线上的5个交汇处,现在道路网, 处的甲、
乙两人分别要到, 处,他们分别随机地选择一条
最短路径.
（2）甲从处出发必须经过到达 处共有多少种不同的走法
解：甲由道路网 处出发,随机地选择一条最短路
径到达 处,相当于需走4步,横向走2步,纵向走2步,
有（种）不同的走法,
甲从 处出发,随机地选择一条最短路径到达 处,
相当于需走4步,横向走2步,纵向走2步,有 （种）不同的走法,
故甲从处出发必须经过到达处共有 （种）不同的走法.
例5 如图,在某城市中,, 两地之间有整齐的方
格形道路网,其中,,,, 是道路网中位于
一条对角线上的5个交汇处,现在道路网, 处的
甲、乙两人分别要到, 处,他们分别随机地选择
一条最短路径.
（3）甲、乙以相同的速度同时出发,直到到达, 处为止,若他们在
行走途中会相遇,则共有多少种不同的走法
解：甲、乙两人沿各自的最短路径行走,只可能在
,,,, 处相遇,
从处出发沿最短路径到达 处有
种不同的走法,
从处出发沿最短路径到达处有 种不同的走法,
故甲从处出发经过到达处有 种不同的走法.
同理乙从处出发经过到达处有 种不同的
走法.
故他们在处相遇有 种不同的走法,
所以若他们在行走途中会相遇,则共有
（种）不同的走法.
练习册
1.若，则 的值为( )
A.4 B.6 C.9 D.4或6
[解析] 依题意可知或，解得 或6.故选D.
√
2.［2025·江苏启东高二期末］若 ，则
的值为( )
A.45 B.55 C.120 D.165
[解析] 因为，所以，解得，故 .故选D.
√
3.［2025·江苏扬州期末］6名学生参加数学建模活动，有3个不同的
数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为
( )
A.45 B.90 C.180 D.360
[解析] 6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每
个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为
.
√
4.从11名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,
而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A.84 B.64 C.56 D.49
[解析] 甲、乙有且仅有1人入选，丙没有入选的情况有(种);
甲、乙都入选，丙没有入选的情况有 （种）.
故甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 .
故选B.
√
5.某楼梯一共有8个台阶,甲同学每步可以登一个或两个台阶,一共用6
步登上该楼梯,则甲同学登上该楼梯的不同方法种数是( )
A.10 B.15 C.20 D.30
[解析] 用6步走完8个台阶,则每步登的台阶数为2,2,1,1,1,1,即有2步每
步登2个台阶,4步每步登1个台阶,故甲同学登上该楼梯的不同方法种
数是 ,故选B.
√
6.（多选题）某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,
现有10名学生,其中5名男生5名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,
则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
√
√
[解析] 选取的4名学生都是女生的不同的选法共有 （种）,故A
正确;
选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有
（种）,故B错误;
选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有 (种),
故C错误;
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有
（种）,故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏扬州期中］某道路亮起一排13盏路灯，为节约用电且
不影响照明，现需要熄灭其中的3盏.若两端路灯不能熄灭，也不能熄
灭相邻的2盏，则所有不同熄灯方法的种数是____.（用数字作答）
84
[解析] 两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，相当于在10盏亮
光的路灯中间的9个空隙中安置熄灭的灯，那么所有不同熄灯方法的
种数是 .
8.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级
台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是_____.（用数字作答）
336
[解析] 当每级台阶上最多站1人时有 种站法;
当两个人站在同一级台阶上时有 种站法.
因此不同的站法种数为 .
9.（13分）部队是青年学生成长成才的大学校,是砥砺品格、增强意
志的好课堂,是施展才华、成就事业的大舞台,国防和军队现代化建设
迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国.为
响应征兵号召,某高等院校7名男生和5名女生报名参军,经过逐层筛选,
有5人通过入伍审核.
（1）若学生甲和乙都接到入伍通知,其余入伍人员尚未接到通知,求
所有可能结果有多少种
解：因为学生甲和乙都接到了入伍通知,其余入伍人员尚未接到通知,
所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人,所以所有的可能结果有
（种）.
9.（13分）部队是青年学生成长成才的大学校,是砥砺品格、增强意
志的好课堂,是施展才华、成就事业的大舞台,国防和军队现代化建设
迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国.为
响应征兵号召,某高等院校7名男生和5名女生报名参军,经过逐层筛选,
有5人通过入伍审核.
（2）若至少有2名女生通过入伍审核,但入伍人员尚未接到通知,求所
有可能结果有多少种
解：从12人中任选5人的所有可能结果有 种,选出的5人中没有女生
的所有可能结果有 种,选出的5人中有1名女生的所有可能结果有
种,
所以至少有2名女生通过入伍审核的结果有
（种）.
9.（13分）部队是青年学生成长成才的大学校,是砥砺品格、增强意
志的好课堂,是施展才华、成就事业的大舞台,国防和军队现代化建设
迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国.为
响应征兵号召,某高等院校7名男生和5名女生报名参军,经过逐层筛选,
有5人通过入伍审核.
（3）若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武
警各1人,且入伍陆军的是女生,入伍火箭军的是男生,求所有可能结果
有多少种
解：入伍陆军的是女生,入伍火箭军的是男生,先选1名女生,1名男生,
再从剩余的10人中任选3人进行排列,得所有可能结果有
（种）.
10.［2025·江苏连云港期末］某校去年11月份，高二年级有10人参加
了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既
能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，则不
同的选法有( )
A.675种 B.575种 C.512种 D.545种
√
[解析] 根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.
第一类，2个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择
3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌,故有 （种）
选法；
第二类，2个只会跳舞的有1人入选，有 种选法，再从既能唱歌又能
跳舞的5人中选择2人来跳舞，有 种选法，最后从剩余的6人中选择
3人唱歌，有种选法，故有 （种）选法；
第三类，2个只会跳舞的全入选，有 种选法，再从既能唱歌又能跳
舞的5人中选择1人来跳舞，有 种选法，最后从剩余的7人中选择3
人唱歌，有种选法，故有 （种）选法.
所以共有 （种）不同的选法，故选A.
11.甲、乙等五人去，， 三个不同的景区游览，每个人去一个景
区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一个景区游览，则
不同的游览方法的种数为( )
A.112 B.114 C.132 D.160
√
[解析] 去，， 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个
景区都有人去游览，因此先分组再分配，将五人分为3组，有
或两种分组方式.
当按分组时，有 （种）组合，当按分组时，
有 （种）组合，再分配到三个不同的景区，共有
（种）游览方法.
以上情况包含甲、乙去同一个景区的情况，需要再减去此种情况，将
甲、乙捆绑起来作为一个元素，此时有四个元素去三个不同的景区，
此时只有这种分组方式，因此有 （种）组合，
再分配给三个不同的景区，共有 （种）游览方法.
因此满足题意的有 （种）游览方法.故选B.
12.（多选题）［2025·江苏海门期末］2023年海峡两岸花博会的花卉
展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精
品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，
展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下
列选项正确的是( )
A.若 展馆需要3种花卉，则有4种安排方法
B.共有14种安排方法
C.若“绿水晶”去 展馆，则有8种安排方法
D.若2种三角梅不能去往同一个展馆，则有4种安排方法
√
√
[解析] A选项，若展馆需要3种花卉，则有 （种）
安排方法，A正确
选项，4种花卉分为2组，再分配到， 展馆，当按分组时，有
(种)方法;当按 分组时,有 (种)方法.
因此不同的安排方法种数是，B正确
选项，“绿水晶”去 展馆分三类：若展馆有1种花卉，则安排方法
有（种）；若 展馆有2种花卉，则安排方法有（种）；
若 展馆有3种花卉，则安排方法有（种）.所以共有
（种）安排方法，C错误
选项，由选项B知，4种精品花卉将去， 展馆参展共有14种安
排方法，若2种三角梅去往同一个展馆，则有 （种）安
排方法，所以2种三角梅不能去往同一个展馆有 （种）安
排方法，D错误.
故选 .
13.现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作,若小张和小赵只能
从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,每个工作仅需要一人
且每人只能从事一项工作,则不同的选派方案共有____种.
36
[解析] 分两类:①小张和小赵两人只有一人入选,则有
（种）选派方案;
②小张和小赵两人都入选,则有 （种）选派方案.
综上可得,一共有 （种）不同的选派方案.
14.（15分）［2025·江苏如皋期中］现有编号为，， 的3个不同
的红球和编号为， 的2个不同的白球.
（1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且， 不相邻，
则有多少种不同的排法？
解：将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且， 不相邻，
则先把放在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入， ，其余
小球任意排，方法有 （种）.
14.（15分）［2025·江苏如皋期中］现有编号为，， 的3个不同
的红球和编号为， 的2个不同的白球.
（2）若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子内，每个盒子至
少放一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结
果用数字表示）
解：将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子内，每个盒子至少
放一个球，则先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中.
若按3,1,1分组，则放法有 （种），若按2，2，1分组，
则放法有 （种）.
综上可得，放法共有 （种）.
15.为研究方程 正整数解的不同组数，我们可以用“挡板
法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空档”，在这7
个“空档”中选择2个“空档”，在每个“空档”插入1块挡板，2块挡板将
这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应,, 的一个正整数
解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为 .据此原理，方程
的正整数解的不同组数为____，该方程自然数解
的不同组数为_____.（用数字作答）
84
286
[解析] 根据题意，方程 的正整数解的不同组数为
，该方程自然数解的不同组数为 .
16.（15分）［2025·江苏徐州一中高二月考］
（1）我们学过组合恒等式 ，实际上可以理解为
，请你利用这个观点快速求解：
.（计算结果用组合
数表示）
解：方法一：
.
方法二：设置情境，原式等价于从15个相同的球中取出5个，共有
种选法，所以原式 .
（2）（ⅰ）求证： ；
证明： ，得证.
（ⅱ）求值： .
解： ，
由得，则有,, ,
，
原式 .
构造数列，令 ，
则 ，
所以
，
所以 ，即
，
即，所以，即数列 是周期为6的
数列.
又因为,,,,,, ,
, ，
所以
.
快速核答案（导学案）
课中探究 例1 （1）D （2）B 变式 （1）A （2）466 （3）6
例2 （1）（3）
变式 （1）（2） 例3 B 变式 12
例4 （1） （2）（3）（4） （5） （6）（7）
变式 （1）240 （2）14
例5 （1）（2）（3）变式 （1）（2）（3）126
快速核答案（练习册）
1.D 2.D 3.B 4.B 5.B 6.AD 7.84 8.336
9.（1）（2）10.A 11.B 12.AB 13.36
14.（1）
15.84 286 16.（1）（2）（ⅰ）略 （ⅱ）第2课时 组合数的性质及应用
1.若=,则x的值为 ( )
A.4 B.6
C.9 D.4或6
2.[2025·江苏启东高二期末] 若=,则+++…+的值为 ( )
A.45 B.55 C.120 D.165
3.[2025·江苏扬州期末] 6名学生参加数学建模活动,有3个不同的数学建模小组,每个小组分配2名学生,则不同的分配方法种数为 ( )
A.45 B.90
C.180 D.360
4.从11名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 ( )
A.84 B.64
C.56 D.49
5.某楼梯一共有8个台阶,甲同学每步可以登一个或两个台阶,一共用6步登上该楼梯,则甲同学登上该楼梯的不同方法种数是 ( )
A.10 B.15 C.20 D.30
6.(多选题)某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,现有10名学生,其中5名男生5名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,则 ( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
7.[2025·江苏扬州期中] 某道路亮起一排13盏路灯,为节约用电且不影响照明,现需要熄灭其中的3盏.若两端路灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的2盏,则所有不同熄灯方法的种数是 .(用数字作答)
8.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答)
9.(13分)部队是青年学生成长成才的大学校,是砥砺品格、增强意志的好课堂,是施展才华、成就事业的大舞台,国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国.为响应征兵号召,某高等院校7名男生和5名女生报名参军,经过逐层筛选,有5人通过入伍审核.
(1)若学生甲和乙都接到入伍通知,其余入伍人员尚未接到通知,求所有可能结果有多少种
(2)若至少有2名女生通过入伍审核,但入伍人员尚未接到通知,求所有可能结果有多少种
(3)若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武警各1人,且入伍陆军的是女生,入伍火箭军的是男生,求所有可能结果有多少种
10.[2025·江苏连云港期末] 某校去年11月份,高二年级有10人参加了赴日本交流访问团,其中3人只会唱歌,2人只会跳舞,其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演,3人唱歌,3人跳舞,则不同的选法有 ( )
A.675种 B.575种
C.512种 D.545种
11.甲、乙等五人去A,B,C三个不同的景区游览,每个人去一个景区,每个景区都有人游览,若甲、乙两人不去同一个景区游览,则不同的游览方法的种数为 ( )
A.112 B.114 C.132 D.160
12.(多选题)[2025·江苏海门期末] 2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州,某花卉种植园有2种兰花,2种三角梅共4种精品花卉,其中“绿水晶”是培育的兰花新品种,4种精品花卉将去A,B展馆参展,每种只能去一个展馆,每个展馆至少有1种花卉参展,下列选项正确的是 ( )
A.若A展馆需要3种花卉,则有4种安排方法
B.共有14种安排方法
C.若“绿水晶”去A展馆,则有8种安排方法
D.若2种三角梅不能去往同一个展馆,则有4种安排方法
13.现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作,若小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作,则不同的选派方案共有 种.
14.(15分)[2025·江苏如皋期中] 现有编号为A,B,C的3个不同的红球和编号为D,E的2个不同的白球.
(1)若将这些小球排成一排,要求A球排在正中间,且D,E不相邻,则有多少种不同的排法
(2)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子内,每个盒子至少放一个球,则有多少种不同的放法 (注:请列出解题过程,结果用数字表示)
15.为研究方程x+y+z=8正整数解的不同组数,我们可以用“挡板法”:取8个相同的小球排成一排,这8个小球间有7个“空档”,在这7个“空档”中选择2个“空档”,在每个“空档”插入1块挡板,2块挡板将这8个小球分成“三段”,每段小球的个数分别对应x,y,z的一个正整数解,由此可以得出此方程正整数解的不同组数为.据此原理,方程w+x+y+z=10的正整数解的不同组数为 ,该方程自然数解的不同组数为 .(用数字作答)
16.(15分)[2025·江苏徐州一中高二月考] (1)我们学过组合恒等式=+,实际上可以理解为=+,请你利用这个观点快速求解:+++++.(计算结果用组合数表示)
(2)(i)求证:=;
(ii)求值:.第2课时 组合数的性质及应用
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)B [解析] (1)由题意可得2=2n-2或2+2n-2=6,解得n=2或n=3.故选D.
(2)+++…++=+++…++=++…++=++…++=…=+=.故选B.
变式 (1)A (2)466 (3)6 [解析] (1)由组合数的性质可得n∈N*,得1≤n≤4,n∈N*.又=,所以3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18,解得n=2或n=8(舍去).故选A.
(2)∵∴9.5≤n≤10.5,∵n∈N*,∴n=10,∴+=+=+=+31=466.
(3)+==,∴n+1=3+4,解得n=6.
探究点二
例2 解:(1)第一步:选3名男运动员,有种选法.
第二步:选2名女运动员,有种选法.故共有×=120(种)选法.
(2)方法一(直接法):至少有1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,共有+++=246(种)选法.
方法二(间接法):“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有种,所以至少有1名女运动员的选法有-=246(种).
(3)方法一(直接法):可分类求解.只有男队长的选法有种,只有女队长的选法有种,男、女队长都有的选法有种,所以至少有1名队长的选法共有2+=196(种).
方法二(间接法):从10人中任选5人有种选法,其中不选队长的选法有种,所以至少有1名队长的选法有-=196(种).
(4)当选女队长时,其他人任意选,有种选法;当不选女队长时,必选男队长,从其他人中任选4人有种选法,其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有(-)种.所以既有队长,又有女运动员的选法共有+-=191(种).
变式 解:(1)甲、乙两个景点都不去有种选法,则甲、乙两个景点至少选一个的选法有-=28-15=13(种).
(2)甲、乙两个景点都不去有=15(种)选法,甲、乙两个景点只去一个有=12(种)选法,
则甲、乙两个景点至多选一个有15+12=27(种)选法.
(3)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个,有=12(种)选法.
例3 B [解析] 根据题意,按既会英语又会法语的2人的参与情况分成三类.①既会英语又会法语的2人都不选,这时有种选法;②既会英语又会法语的2人中有1人入选,这时又分此人当英语翻译或当法语翻译两种情况,因此有(+)种选法;③既会英语又会法语的2人均入选,这时又分三种情况,2人都翻译英语、2人都翻译法语、2人各翻译一个语种,因此有(++)种选法.综上分析,共有+++++=185(种)选法.故选B.
变式 12 [解析] 由题意可分为三类:①既会电工又会木工的1人没入选,有=3(种)选法;②既会电工又会木工的1人入选当电工,有=6(种)选法;③既会电工又会木工的1人入选当木工,有=3(种)选法.综上,共有3+6+3=12(种)不同的选法.
探究点三
例4 解:(1)无序不均匀分组问题.首先选1本有种方法,然后从余下的5本中选2本有种方法,最后余下3本全选有种方法,故共有=60(种)分配方法.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问的基础上再分配给三人,共有=360(种)分配方法.
(3)无序均匀分组问题.分三步进行,应有种方法,但是这里出现了三个位置上的重复,故共有=15(种)分配方法.
(4)有序均匀分组问题.在第(3)问的基础上再分配给三人,故共有·=90(种)分配方法.
(5)无序部分均匀分组问题.共有=15(种)分配方法.
(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问的基础上再分配给三人,共有·=90(种)分配方法.
(7)直接分配问题.甲选1本有种方法,乙从余下的5本中选1本有种方法,余下的4本留给丙有种方法,故共有=30(种)分配方法.
变式 (1)240 (2)14 [解析] (1)由题意可知,将5位教师分成4组,每组教师人数分别为2,1,1,1,再将4组教师分配到4所学校,可得分配方案有×=240(种).
(2)若一个盒子中放1个球,另一个盒子中放3个球,则有=8(种)放法,若两个盒子中均放2个球,则有·=6(种)放法,综上可得共有8+6=14(种)放法.
例5 解:(1)先把6个相同的小球排成一排,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板即可,故共有=10(种)放法.
(2)恰有1个空盒子,插板分两步进行.先在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如|0|000|00|,有种插法;然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成空盒,如|0|000||00|,有种插法.故共有=40(种)放法.
(3)恰有2个空盒子,插板分两步进行.先在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,如|00|0000|,有种插法,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.分两种情况:①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的2个空盒子,如||00||0000|,有种插法.②将两块隔板与前面三块隔板之一并放,如|00|||0000|,有种插法.故共有×(+)=30(种)放法.
变式 解:(1)把20个球摆成一排,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,在球中间的19个空隙中选择4个空隙各插一块隔板,所以一共有=3876(种)放法.
(2)由题意可知,可以出现空盒子,所以把20个球和5个虚拟的球摆成一排,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,在球中间的24个空隙中选择4个空隙各插一块隔板,
所以一共有=10 626(种)放法.
(3)先在编号为1,2,3,4,5的五个盒子中依次放入0,1,2,3,4个球,再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个,把10个球摆成一排,
在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,在球中间的9个空隙中选择4个空隙各插一块隔板,所以一共有=126(种)放法.第2课时 组合数的性质及应用
1.D [解析] 依题意可知x=4或10-x=4,解得x=4或6.故选D.
2.D [解析] 因为=,所以m+m+2=22,解得m=10,故+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+==165.故选D.
3.B [解析] 6名学生参加数学建模活动,有3个不同的数学建模小组,每个小组分配2名学生,则不同的分配方法种数为=15×6×1=90.
4.B [解析] 甲、乙有且仅有1人入选,丙没有入选的情况有=56(种);甲、乙都入选,丙没有入选的情况有=8(种).故甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为56+8=64.故选B.
5.B [解析] 用6步走完8个台阶,则每步登的台阶数为2,2,1,1,1,1,即有2步每步登2个台阶,4步每步登1个台阶,故甲同学登上该楼梯的不同方法种数是=15,故选B.
6.AD [解析] 选取的4名学生都是女生的不同的选法共有=5(种),故A正确;选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有=10×10=100(种),故B错误;选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有-=205(种),故C错误;选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有++=155(种),故D正确.故选AD.
7.84 [解析] 两端路灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的2盏,相当于在10盏亮光的路灯中间的9个空隙中安置熄灭的灯,那么所有不同熄灯方法的种数是=84.
8.336 [解析] 当每级台阶上最多站1人时有种站法;当两个人站在同一级台阶上时有种站法.因此不同的站法种数为+=210+126=336.
9.解:(1)因为学生甲和乙都接到了入伍通知,其余入伍人员尚未接到通知,所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人,所以所有的可能结果有=120(种).
(2)从12人中任选5人的所有可能结果有种,选出的5人中没有女生的所有可能结果有种,选出的5人中有1名女生的所有可能结果有·种,
所以至少有2名女生通过入伍审核的结果有--·=792-21-175=596(种).
(3)入伍陆军的是女生,入伍火箭军的是男生,先选1名女生,1名男生,再从剩余的10人中任选3人进行排列,得所有可能结果有××=25 200(种).
10.A [解析] 根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.第一类,2个只会跳舞的都不选,则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞,接着从剩余的5人中选择3人唱歌,故有·=100(种)选法;第二类,2个只会跳舞的有1人入选,有种选法,再从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞,有种选法,最后从剩余的6人中选择3人唱歌,有种选法,故有··=400(种)选法;第三类,2个只会跳舞的全入选,有种选法,再从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞,有种选法,最后从剩余的7人中选择3人唱歌,有种选法,故有··=175(种)选法.所以共有100+400+175=675(种)不同的选法,故选A.
11.B [解析] 去A,B,C三个不同的景区游览,每个人去一个景区,每个景区都有人去游览,因此先分组再分配,将五人分为3组,有(1,1,3)或(2,2,1)两种分组方式.当按(1,1,3)分组时,有=10(种)组合,当按(2,2,1)分组时,有=15(种)组合,再分配到三个不同的景区,共有(10+15)×=150(种)游览方法.以上情况包含甲、乙去同一个景区的情况,需要再减去此种情况,将甲、乙捆绑起来作为一个元素,此时有四个元素去三个不同的景区,此时只有(1,1,2)这种分组方式,因此有=6(种)组合,再分配给三个不同的景区,共有6×=36(种)游览方法.因此满足题意的有150-36=114(种)游览方法.故选B.
12.AB [解析] A选项,若A展馆需要3种花卉,则有×=4×1=4(种)安排方法,A正确.B选项,4种花卉分为2组,再分配到A,B展馆,当按(1,3)分组时,有×=4×2=8(种)方法;当按(2,2)分组时,有·=6(种)方法.因此不同的安排方法种数是×+·=8+6=14,B正确.C选项,“绿水晶”去A展馆分三类:若A展馆有1种花卉,则安排方法有=1(种);若A展馆有2种花卉,则安排方法有=3(种);若A展馆有3种花卉,则安排方法有=3(种).所以共有1+3+3=7(种)安排方法,C错误.D选项,由选项B知,4种精品花卉将去A,B展馆参展共有14种安排方法,若2种三角梅去往同一个展馆,则有+=6(种)安排方法,所以2种三角梅不能去往同一个展馆有14-6=8(种)安排方法,D错误.故选AB.
13.36 [解析] 分两类:①小张和小赵两人只有一人入选,则有=24(种)选派方案;②小张和小赵两人都入选,则有=12(种)选派方案.综上可得,一共有24+12=36(种)不同的选派方案.
14.解:(1)将这些小球排成一排,要求A球排在正中间,且D,E不相邻,则先把A放在正中间位置,从A的两侧各选一个位置插入D,E,其余小球任意排,方法有=16(种).
(2)将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子内,每个盒子至少放一个球,则先把5个小球分成3组,再放入3个盒子中.
若按3,1,1分组,则放法有·=60(种),若按2,2,1分组,则放法有·=90(种).
综上可得,放法共有60+90=150(种).
15.84 286 [解析] 根据题意,方程w+x+y+z=10的正整数解的不同组数为=84,该方程自然数解的不同组数为=286.
16.解:(1)方法一:+++++=++4+4+6+6+4+4++=+4+6+4+=++3+3+3+3++=+3+3+=++2+2++=+2+=+++=+=.
方法二:设置情境,原式等价于从15个相同的球中取出5个,共有种选法,所以原式=.
(2)(i)证明:=·===,得证.第2课时 组合数的性质及应用
【学习目标】
1.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.
2.能解决有限制条件的组合问题.
◆ 知识点 组合数的性质
性质1:=(m,n∈N*,且m≤n).
注意:规定=1.
提示:(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想;
(2)等号两边下标相同,上标之和等于下标.
性质2:=+(m,n∈N*,且m≤n).
提示:(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的上标相同的一个组合数;
(2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
◆ 探究点一 组合数的性质
例1 (1)若=,则n= ( )
A.2 B.4
C.2或4 D.2或3
(2)[2025·江苏海门高二期中] +++…++= ( )
A. B. C. D.
变式 (1)[2024·江苏南京高二期末] 若=,则n= ( )
A.2 B.8
C.2或8 D.2或4
(2)+= .
(3)若+=,则n的值是 .
[素养小结]
性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用和逆用,正用是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,在解题中要注意灵活应用.
◆ 探究点二 有限制条件的组合问题
考向1 “含有”与“至少”问题
例2 已知有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出比赛,按下列要求分别有多少种选法
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)至少有1名队长;
(4)既有队长,又有女运动员.
变式 某旅行团要从八个景点中选两个作为当天的旅游地,满足下列条件的选法分别有多少种
(1)甲、乙两个景点至少选一个;
(2)甲、乙两个景点至多选一个;
(3)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个.
[素养小结]
组合问题常有以下两类题型:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由其他元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:当直接法分类复杂时,可使用逆向思维,间接求解.
考向2 “多面手”问题
例3 [2025·江苏盐城高二期末] 某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语.现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为 ( )
A.225 B.185 C.145 D.110
变式 有6名工人,其中2人只会电工,3人只会木工,还有1人既会电工又会木工,若要选出电工2人、木工2人,且这4人能同时工作,则共有 种不同的选法.
[素养小结]
“多面手”问题以元素作为分析对象,按照选用几个“多面手”,“多面手”做什么建立分类讨论的标准,并且要注意做到不重复不遗漏.
◆ 探究点三 分组、分配问题
考向1 不同元素分组、分配问题
例4 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
(1)分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成3份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
变式 (1)[2025·江苏徐州期末] 已知5位教师到4所学校去支教,每所学校至少分配1位教师,每位教师只能去1所学校,则分配方案有 种.
(2)[2024·江苏如东期中] 将编号为1,2,3,4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内,若每个盒子都不空,则不同的放法共有 种.(用数字作答)
考向2 相同元素分组、分配问题
例5 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列问题中不同放法的种数.
(1)每个盒子都不空;
(2)恰有1个空盒子;
(3)恰有2个空盒子.
变式 [2025·江苏苏州高二期末] 将20个完全相同的球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中.
(1)若要求每个盒子至少放一个球,则一共有多少种放法
(2)若每个盒子可放任意数量的球,则一共有多少种放法
(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号,则一共有多少种放法
[素养小结]
(1)不同元素的分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组,每组的元素个数均相等.
②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!.
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
(2)相同元素的分配问题的处理策略
①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
②将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),每个对象至少分得一个元素,有种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板.
