(共64张PPT)
7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
探究点一 二项式定理的正用与逆用
探究点二 二项展开式通项的应用
探究点三 与展开式中的特定项有关的问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及二项展开式的通项.
3.能解决与二项式定理有关的简单问题.
知识点 二项式定理
二项式定理 公式
叫作二项式定理
二项展开式 公式右边的多项式
二项展开式的通 项
二项式系数
二项式 的展开式的特点.
（1）项数：共有 项，比二项式的次数大1.
（2）二项式系数：第项的二项式系数为 ，二项式系数最大
的项居中.
（3）次数：字母降幂排列，次数由到0；字母 升幂排列，次数由
0到.每一项中，，次数之和均为 .
探究点一 二项式定理的正用与逆用
例1（1）利用二项式定理展开下列各式:
① ;
解： .
例1（1）利用二项式定理展开下列各式:
② .
解： 的展开式的通项为
，则原式的展开式为
.
（2）化简: .
解： .
变式 ［2025·江苏扬州期中］化简多项式 的结果是( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意可知，多项式的每一项都可以写成
的形式，所以该多项式为 的展
开式，则原式 .故选D.
√
［素养小结］
二项式定理的双向应用
（1）正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左
到右使用是展开.对于较复杂的式子,一般先化简再用二项式定理展开.
（2）逆用:将多项式合并成二项式的形式,即二项式定理从右
到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的
特点，即项数、各项次数的规律以及各项系数的规律.
探究点二 二项展开式通项的应用
例2 已知 .
解： 的展开式的通项为
，其中
且 .
（1）求展开式中第4项的二项式系数；
展开式中第4项的二项式系数为 .
例2 已知 .
（2）求展开式中第4项的系数；
解：展开式中第4项的系数为
.
例2 已知 .
（3）求展开式的第4项.
解：展开式的第4项为 .
变式 在 的二项展开式中，回答下列问题.
（1）若，且第3项与第6项相等，求实数 的值；
解：当时，可得 的展开式的通项为
.
令，可得 ，
令，可得 ，
因为第3项与第6项相等,
所以，解得 .
变式 在 的二项展开式中，回答下列问题.
（2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求 的值.
解：二项式 的展开式的通项为
，
则展开式中第5项的系数为，第3项的系数为 ，
因为第5项系数是第3项系数的10倍，
所以，则 ，
即 ，
可得，解得或 （舍去），
所以 的值为8.
［素养小结］
（1）展开式中某一项的二项式系数都是组合数,
它与展开式中对应项的系数不一定相等.要注意区分“二项式系数”与
“项的系数”这两个概念.
（2）二项展开式中第项的系数是此项字母前的数连同符号，而
此项的二项式系数为.
探究点三 与展开式中的特定项有关的问题
例3 在 的展开式中,第6项为常数项.
（1）求 的值;
解： 的展开式的通项为
.
因为展开式的第6项为常数项,
所以,解得 .
例3 在 的展开式中,第6项为常数项.
（2）求展开式中含 的项的系数;
解：令,解得,则展开式中含 的项的系数为
.
例3 在 的展开式中,第6项为常数项.
（3）求展开式中所有的有理项.
解：根据题意得所以 ,5,8,
所以展开式中第3项、第6项与第9项为有理项,
它们分别为,, ,
即,, .
变式 在 的二项展开式中，回答下列问题.
（1）若，求展开式中含 的项的系数；
解：当时， ，
其展开式的通项为 ，
令，解得 ，
所以展开式中含的项的系数为 .
变式 在 的二项展开式中，回答下列问题.
（2）若展开式含有常数项，求正整数 的最小值.
解： 的展开式的通项为
,
由，得 ，
因为，，所以满足题意的正整数 的最小值为5.
［素养小结］
1.求二项展开式中的特定项的常见题型:
（1）求第项,一般利用公式求解;
（2）求含的项（或含的项）;
（3）求常数项;
（4）求有理项.
2.求二项展开式中的特定项的注意点:
（1）对于常数项,隐含条件是字母的次数为0.
（2）对于有理项,一般先写出展开式的通项,再求所有的字母的次数
恰好都是整数的项.解决这类问题必须合并通项中同一字母的次数,然
后根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.
拓展（1）的展开式中含 的项的系数为( )
A.8 B.12 C. D.
[解析] 的展开式的通项为
，，1，2，3， ，10.
令，可得二项式的展开式中的系数为 ；
令，可得二项式的展开式中的系数为 .
所以的展开式中 的系数为
.故选B.
√
（2）［2025·江苏常州期中］的展开式中 的系数
为______.
[解析] 因为，所以
的展开式的通项为，令 ，可得
.
设二项式 的展开式的通项为 ，
令，可得.
因此展开式中 的系数为 .
1.二项式定理的结构特点:
（1）各项的次数都等于二项式的次数 ;
（2）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由 逐项减1直到0,字
母按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到 ;
（3）二项展开式共有 项.
2.应用二项展开式的通项的注意点:
（1）是展开式中的第项,而不是第 项;
（2）公式中,的指数和为,且, 不能随便交换位置;
（3）要将通项中的系数与字母“分离”开,以便于解决问题;
（4）对二项式 的展开式的通项要特别注意符号问题.
3.二项展开式的第项的二项式系数是,与, 的取值无关,且是
正数;而二项展开式的第项的系数则是二项式系数 与数字系数
的积,可能为负数.如的展开式的第二项的二项式系数是 ,
而第二项的系数则是 .
4.与的二项展开式相同,但是 的展开式的第
项为,的展开式的第项为 .因此,
应用二项式定理时,与 不能随便交换位置.
5.展开式的通项中含有,,,, 五个量,只要知道其中的四个量,就
可以求出第五个量.在应用二项式定理时,常常遇到已知这五个量中的
若干个,求另外几个量的问题,这类问题一般利用通项的表达式,通过解
方程（或方程组）得到答案.这里必须注意是正整数, 是非负整数且
.
1.三项式求特定项的方法
（1）因式分解法:通过分解因式将三项式变成两个二项式,然后用二
项式定理分别展开.
（2）逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含
两项的一组展开.
（3）利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分
析项的构成,注意最后应把各个同类项合并.
例1 的展开式共有____项.
[解析] 方法一:
,
的展开式有11项,的展开式有10项, ,
的展开式有2项, 有1项,并且所有项中都没有同类
项,所以的展开式的项数为 .
66
方法二:展开式中每一项的次数都是10,其形式为 ,
则,于是展开式的项数等价于方程 的自
然数解的个数,
利用“隔板法”得其自然数解的个数为 .故展开式共有66项.
2.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项 的特
点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意,1,2, , .
例2 已知（其中 ）的展开式中第9项与第11项的二
项式系数之和是第10项的二项式系数的2倍.
（1）求 的值；
解：因为（其中 ）的展开式中第9项与第11项的二
项式系数之和是第10项的二项式系数的2倍，
所以 ，
则 ，
化简得，解得或 .
因为，所以 .
例2 已知（其中 ）的展开式中第9项与第11项的二
项式系数之和是第10项的二项式系数的2倍.
（2）写出该二项式的展开式中所有的有理项.
解：由（1）知， ，
所以二项式 的展开式的通项为
，
则当且仅当 是6的倍数时，展开式中对应的项是有理项，
又， ，
所以当 ，6，12时，展开式中对应的项为有理项.
当时， ；
当时， ；
当时， .
所以所求有理项为，， .
练习册
1.的展开式中，含 项的系数为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
[解析] 二项式 的展开式的通项为
，
令，可得含 项的系数是 .故选C.
√
2.［2025·江苏常州高二期末］在二项式的展开式中，含 项
的二项式系数为( )
A. B.5 C.10 D.40
[解析] 的展开式的通项为
, ,1,2,3,4,5,
令，解得，所以含项的二项式系数为 .故选C.
√
3. 的展开式中的第7项为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知展开式中的第7项为 ，故选B.
√
4.已知 ，若
，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 的展开式的通项为，
又 ，所以当，即时，可得，所以
，则 .故选C.
√
5.在 的展开式中，系数为整数的项数是( )
A.9 B.4 C.3 D.2
[解析] 二项式 的展开式的通项为
， ，1，2，3，4，5，
6，7，8，
令，得 ，3，6，所以系数为整数的项为第1，4，7项，共
有3项.故选C.
√
6.在的展开式中含 的项的系数为( )
A.20 B.40 C.120 D.80
[解析] 的展开式的通项为，
令 ，则，即的展开式中含
的项的系数为80.故选D.
√
7. 的展开式中第4项的系数是______.
[解析] 二项式 的展开式的通项为
，所以 的展开式中第4项的
系数是 .
8.已知 的展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，
则 ___.
9
[解析] 依题意得， ，整理得
，则，所以 .
9.（13分）在 的二项展开式中.
解： 的展开式的通项为
， ，1，2，3，4，
5，6，7，8，9.
（1）求常数项；
令，解得，则常数项为 .
9.（13分）在 的二项展开式中.
（2）求含 的项的系数.
解：令，解得，则，即含
的项的系数为 .
10.（13分）［2025·江苏扬州七校联考］在 的展开式中.
（1）求含 项的系数；
解：由题知展开式的通项为
，,1,2, ,6，
令，解得 ，
所以展开式中含的项为 ，
所以展开式中含 项的系数为60.
10.（13分）［2025·江苏扬州七校联考］在 的展开式中.
（2）求展开式中所有的有理项.
解：令，,1,2, ,6，则 ,2,4,6.
当时， ,
当时， ,
当时， ,
当时， .
综上所述，展开式中所有的有理项为,,, .
11.［2025·江苏常州期中］的展开式中， 的系数为
( )
A.60 B. C.120 D.
√
[解析] 的展开式的通项为， ，
1， ，6， 的展开式的通项为
，
令 ，，可得，，所以的系数为
.故选A.
12.（多选题）在 的展开式中,下列说法正确的是( )
A.有理项共有3项 B.常数项为第4项
C.常数项为135 D.有理项共有4项
[解析] 的展开式的通项为 ,
,1,2,3,4,5,6.
令为整数,可得 ,2,4,6,所以有理项共有4项, 故A错误,D正确;
令,解得 ,则常数项为第5项,且常数项为
,故B错误,C正确.故选 .
√
√
13.（多选题）若二项式的展开式中含有常数项，则 的值
可以是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
√
√
[解析] 的展开式的通项为，
因为 的展开式中含有常数项，所以有解，
即有解.
当 ，时，成立；
当，时， 成立；
当时，不存在使得；
当 时，不存在使得.故选 .
14.［2025·江苏盐城期末］的展开式中 的系数为
___（用数字作答）.
9
[解析] 二项式的展开式的通项为， ，
1， ，6.
当时，，当时， ，所以
含的项为 ，
故 的系数为9.
15.把二项式 的展开式中所有的项重新排成一列，则有理
项都互不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 二项式 的展开式的通项为
，，1，2， ，6，故展开式共有7项，
当，4时， 为有理项.
把展开式中所有的项重新排成一列，样本空间中的样本点总数为 ，
有理项都互不相邻，即把其他的5个无理项先任意排列，再把这两个
有理项插入到其中的6个空中，包含的样本点个数为，故有理项
都互不相邻的概率 .故选A.
16.（15分）［2024·河南洛阳期中］已知 的展开式中第3
项与第9项的二项式系数相等.
（1）求展开式的通项公式和中间一项;
解：由题意得，所以，解得 .
的展开式的通项为
，
令，得展开式的中间一项为 .
16.（15分）［2024·河南洛阳期中］已知 的展开式中第3
项与第9项的二项式系数相等.
（2）设
，求
.
解：
，
易知的展开式的通项为 ，
令，得 ，
令，得，则 .
快速核答案（导学案）
课中探究 探究点一例（1）①
② （2） 变式 D
探究点二 例2 （1）120（2） （3）
变式 （1）（2）8
探究点三 例3 （1）10 （2） （3）,,
变式 （1） （2）
练习册
基础巩固
1.C 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7. 8.9
9. （1） （2） 10.（1）60（2）,,,
综合提升
11.A 12.CD 13.AD 14.9
思维探索
15.A 16.（1） （2）<-407.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)①(a+2b)5=a5+a4(2b)1+a3(2b)2+a2(2b)3+a(2b)4+(2b)5=a5+10a4b+40a3b2+80a2b3+80ab4+32b5.
②的展开式的通项为Tr+1=()5-r=(-1)r,则原式的展开式为-5+10-10+5-.
(2)1+2+4+…+2n-1+2n=×1n×20+×1n-1×21+×1n-2×22+…+×11×2n-1+×10×2n=(1+2)n=3n.
变式 D [解析] 依题意可知,多项式的每一项都可以写成(2x+1)5-r·(-1)r的形式,所以该多项式为[(2x+1)-1]5的展开式,则原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.故选D.
探究点二
例2 解:的展开式的通项为Tk+1=·(3)10-k·=·310-k··,其中0≤k≤10且k∈N.
(1)展开式中第4项的二项式系数为=120.
(2)展开式中第4项的系数为×37×=120×34×(-2)3=-77 760.
(3)展开式的第4项为T4=-77 760=-77 760.
变式 解:(1)当n=7时,可得的展开式的通项为Tr+1=·(2x)r=2r·x3r-14.
令r=2,可得T3=22·x-8,
令r=5,可得T6=25·x,
因为第3项与第6项相等,
所以22·x-8=25·x,解得x=.
(2)二项式的展开式的通项为Tr+1=·(2x)r=2r·x3r-2n,
则展开式中第5项的系数为24·,第3项的系数为22·,因为第5项系数是第3项系数的10倍,
所以24·=10×22·,则2·=5·,
即2×=5×,
可得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),
所以n的值为8.
探究点三
例3 解:(1)的展开式的通项为Tr+1=×(-3)r×=×(-3)r.
因为展开式的第6项为常数项,
所以=0,解得n=10.
(2)令=2,解得r=2,则展开式中含x2的项的系数为×(-3)2=405.
(3)根据题意得所以r=2,5,8,
所以展开式中第3项、第6项与第9项为有理项,
它们分别为×(-3)2x2,×(-3)5,×(-3)8x-2,
即405x2,-61 236,295 245x-2.
变式 解:(1)当n=6时,=,
其展开式的通项为Tr+1=(3x2)6-r=36-r·,
令12-=7,解得r=2,
所以展开式中含x7的项的系数为34·=1215.
(2)的展开式的通项为Tr+1=(3x2)n-r·=3n-r,
由2n-r=0,得r=n,
因为n∈N*,r∈N,所以满足题意的正整数n的最小值为5.
拓展 (1)B (2)-320 [解析] (1)(1-x)10的展开式的通项为Tr+1=×110-r(-x)r=(-1)rxr,r=0,1,2,3,…,10.令r=3,可得二项式(1-x)10的展开式中x3的系数为(-1)3;令r=5,可得二项式(1-x)10的展开式中x5的系数为(-1)5.所以(1-x)10的展开式中x3的系数为2(-1)3-(-1)5=12.故选B.
(2)因为(x-2y+2z)5=[(x-2y)+2z]5,所以(x-2y+2z)5的展开式的通项为Tr+1=·(x-2y)5-r·(2z)r,令r=1,可得T2=·(x-2y)4·2z=10(x-2y)4z.设二项式(x-2y)4的展开式的通项为T'n+1=·x4-n·(-2y)n,
令n=3,可得T'4=·x·(-2y)3=-32xy3.因此展开式中xy3z的系数为10×(-32)=-320.7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
1.C [解析] 二项式(1+2x)4的展开式的通项为Tr+1=(2x)r=·2rxr,令r=3,可得含x3项的系数是·23=32.故选C.
2.C [解析] 的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-2)rx-r=(-2)rx5-2r,r=0,1,2,3,4,5,令5-2r=1,解得r=2,所以含x项的二项式系数为=10.故选C.
3.B [解析] 由题意知展开式中的第7项为a3()6=84a3b3,故选B.
4.C [解析] (x+a)5的展开式的通项为Tr+1=x5-rar,又p4=15,所以当5-r=4,即r=1时,可得T2=5ax4,所以5a=15,则a=3.故选C.
5.C [解析] 二项式(1+x)8的展开式的通项为Tk+1=(x)k=(x)k=xk,k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,令k∈Z,得k=0,3,6,所以系数为整数的项为第1,4,7项,共有3项.故选C.
6.D [解析] (x+2y)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r(2y)r,令r=3,则T4=x2×8y3=80x2y3,即(x+2y)5的展开式中含x2y3的项的系数为80.故选D.
7.-448 [解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1==(-2)rx-r,所以的展开式中第4项的系数是(-2)3=-448.
8.9 [解析] 依题意得,·(-2)2-·(-2)=162,整理得2n(n-1)+2n=162,则n2=81,所以n=9.
9.解:的展开式的通项为Tr+1=()9-r=··,r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
(1)令=0,解得r=3,则常数项为T4==-.
(2)令=3,解得r=1,则T2=-×·x3=-x3,即含x3的项的系数为-.
10.解:(1)由题知展开式的通项为Tk+1=()6-k=·2k·,k=0,1,2,…,6,
令3-k=-2,解得k=2,
所以展开式中含x-2的项为T3=·22·x-2=60x-2,
所以展开式中含x-2项的系数为60.
(2)令3-k∈Z,k=0,1,2,…,6,则k=0,2,4,6.
当k=0时,T1=x3,
当k=2时,T3=·22·x-2=60x-2,
当k=4时,T5=·24·x-7=240x-7,
当k=6时,T7=·26·x-12=64x-12.
综上所述,展开式中所有的有理项为x3,60x-2,240x-7,64x-12.
11.A [解析] 的展开式的通项为Tr+1=,r=0,1,…,6,的展开式的通项为Tk+1=x6-r-k=(-2)kx6-r-ky-k,令k=2,6-r-k=4,可得k=2,r=0,所以的系数为(-2)2=60.故选A.
12.CD [解析] 的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·36-r·,r=0,1,2,3,4,5,6.令6-r为整数,可得r=0,2,4,6,所以有理项共有4项,故A错误,D正确;令6-r=0,解得r=4,则常数项为第5项,且常数项为×(-1)4×32=135,故B错误,C正确.故选CD.
13.AD [解析] 的展开式的通项为Tk+1=2n-k(k=0,1,…,n),因为的展开式中含有常数项,所以n-k=0有解,即2n-3k=0有解.当n=6,k=4时,2n-3k=0成立;当n=9,k=6时,2n-3k=0成立;当n=7时,不存在k∈N使得14-3k=0;当n=8时,不存在k∈N使得16-3k=0.故选AD.
14.9 [解析] 二项式(x+y)6的展开式的通项为Tr+1=x6-ryr,r=0,1,…,6.当r=4时,T5=x2y4,当r=5时,T6=xy5,所以含x2y4的项为x2y4+·xy5=(-)x2y4=9x2y4,故x2y4的系数为9.
15.A [解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1=··,r=0,1,2,…,6,故展开式共有7项,当r=0,4时,Tr+1为有理项.把展开式中所有的项重新排成一列,样本空间中的样本点总数为,有理项都互不相邻,即把其他的5个无理项先任意排列,再把这两个有理项插入到其中的6个空中,包含的样本点个数为,故有理项都互不相邻的概率P==.故选A.
16.解:由题意得=,所以2n=8+2,解得n=5.
的展开式的通项为Tk+1==(-1)k22k-10x5-k,
令k=5,得展开式的中间一项为T6=(-1)5=-252.
(2)===a0+a1+a2+…+a5,
易知的展开式的通项为Tr+1=(-2)5-r,
令r=2,得a2=(-2)3=-80,
令r=3,得a3=(-2)2=40,则a2+a3=-40.7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
【学习目标】
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及二项展开式的通项.
3.能解决与二项式定理有关的简单问题.
◆ 知识点 二项式定理
二项式定理 公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*)叫作二项式定理
二项展开式 公式右边的多项式
二项展开式的通项 Tr+1=an-rbr(r=0,1,2,…,n)
二项式系数 (r=0,1,…,n)
二项式(a+b)n的展开式的特点.
(1)项数:共有n+1项,比二项式的次数大1.
(2)二项式系数:第r+1项的二项式系数为,二项式系数最大的项居中.
(3)次数:字母a降幂排列,次数由n到0;字母b升幂排列,次数由0到n.每一项中,a,b次数之和均为n.
◆ 探究点一 二项式定理的正用与逆用
例1 (1)利用二项式定理展开下列各式:
①(a+2b)5;
②.
(2)化简:1+2+4+…+2n-1+2n.
变式 [2025·江苏扬州期中] 化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是 ( )
A.(2x+1)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.32x5
[素养小结]
二项式定理的双向应用
(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对于较复杂的式子,一般先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:将多项式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点,即项数、各项次数的规律以及各项系数的规律.
◆ 探究点二 二项展开式通项的应用
例2 已知.
(1)求展开式中第4项的二项式系数;
(2)求展开式中第4项的系数;
(3)求展开式的第4项.
变式 在的二项展开式中,回答下列问题.
(1)若n=7,且第3项与第6项相等,求实数x的值;
(2)若第5项系数是第3项系数的10倍,求n的值.
[素养小结]
(1)展开式中某一项的二项式系数都是组合数(r∈{0,1,2,…,n}),它与展开式中对应项的系数不一定相等.要注意区分“二项式系数”与“项的系数”这两个概念.
(2)二项展开式中第r+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.
◆ 探究点三 与展开式中的特定项有关的问题
例3 在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
变式 在的二项展开式中,回答下列问题.
(1)若n=6,求展开式中含x7的项的系数;
(2)若展开式含有常数项,求正整数n的最小值.
[素养小结]
1.求二项展开式中的特定项的常见题型:
(1)求第k项,一般利用公式Tk=an-k+1bk-1求解;
(2)求含xk的项(或含xpyq的项);
(3)求常数项;
(4)求有理项.
2.求二项展开式中的特定项的注意点:
(1)对于常数项,隐含条件是字母的次数为0.
(2)对于有理项,一般先写出展开式的通项,再求所有的字母的次数恰好都是整数的项.解决这类问题必须合并通项中同一字母的次数,然后根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.
拓展 (1)(1-x)10的展开式中含x3的项的系数为 ( )
A.8 B.12
C.-12 D.-64
(2)[2025·江苏常州期中] (x-2y+2z)5的展开式中xy3z的系数为 . 7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
1.(1+2x)4的展开式中,含x3项的系数为 ( )
A.8 B.16
C.32 D.64
2.[2025·江苏常州高二期末] 在二项式的展开式中,含x项的二项式系数为 ( )
A.-10 B.5
C.10 D.40
3.(a+)9的展开式中的第7项为 ( )
A.104a7b2 B.84a3b3
C.63a3b3 D.36a7b
4.已知(x+a)5=p5x5+p4x4+p3x3+p2x2+p1x+p0,若p4=15,则a= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.在(1+x)8的展开式中,系数为整数的项数是 ( )
A.9 B.4
C.3 D.2
6.在(x+2y)5的展开式中含x2y3的项的系数为 ( )
A.20 B.40
C.120 D.80
7.的展开式中第4项的系数是 .
8.已知的展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,则n= .
9.(13分)在的二项展开式中.
(1)求常数项;
(2)求含x3的项的系数.
10.(13分)[2025·江苏扬州七校联考] 在的展开式中.
(1)求含x-2项的系数;
(2)求展开式中所有的有理项.
11.[2025·江苏常州期中] 的展开式中,的系数为 ( )
A.60 B.-60
C.120 D.-120
12.(多选题)在的展开式中,下列说法正确的是 ( )
A.有理项共有3项
B.常数项为第4项
C.常数项为135
D.有理项共有4项
13.(多选题)若二项式的展开式中含有常数项,则n的值可以是 ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
14.[2025·江苏盐城期末] (x+y)6的展开式中x2y4的系数为 (用数字作答).
15.把二项式的展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都互不相邻的概率为 ( )
A. B.
C. D.
16.(15分)[2024·河南洛阳期中] 已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等.
(1)求展开式的通项公式和中间一项;
(2)设=a0+a1+a2+…+an,求a2+a3.
