(共89张PPT)
7.4 二项式定理
7.4.2 二项式系数的性质及应用
探究点一 二项展开式的系数和
探究点二 系数最大项问题
探究点三 整除和求近似值问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.
2.理解和初步掌握赋值法及其应用.
知识点一 二项式系数表
二项式系数的特点：
（1）每一行中的二项式系数是“______”的；
（2）每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数
的____；
（3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐______.
对称
和
增大
知识点二 二项式系数及其性质
一般地，展开式的二项式系数，，， ， 具有如
下性质：
（1） ______；
（2） ______；
（3）当 ____时，；当 ____时， ；
（4） ____.
探究点一 二项展开式的系数和
例1 设 .
（1）求 的值;
解：令,得 .
（2）求 的值;
解：令,得 .
由得 ,
.
例1 设 .
（3）求 的值;
解：由得 ,
.
令,得, .
例1 设 .
（4）求 的值;
解： 的展开式的通项为
,
, ,
.
例1 设 .
（5）求 的值.
解：对
两边分别求导得
,
令 ,得 .
变式（1）［2025·江苏苏州高二期中］若
，则
( )
A.6562 B.3281 C.3280 D.6560
[解析] 令，则，
令 ，则 ，所以
.故选B.
√
A.
B.
C.
D.
（2）（多选题）［2025·江苏淮安期末］已知 ，则下列结论正确
的是( )
√
√
[解析] 令，则 ，A不正确；
，
，则
，B正确；
显然，,, ，则
，C正确；
，D不正确.故选 .
［素养小结］
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如,的式子
求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令即可;对形如
的式子求其展开式的各项系数之和,只需
令即可.
（2）一般地,若,则各项系数之和
为,奇数项系数之和为,偶数项系数
之和为.
拓展 已知 .
（1）求 的值;
解：令,得 .
拓展 已知 .
（2）求
的值.
解：令 ,得
,
则
.
探究点二 系数最大项问题
例2 ［2025·江苏常州期中］已知二项式 .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
解： 的展开式中，二项式系数最大的项为展开式的中间项，
也就是第5项，
所求项为 .
例2 ［2025·江苏常州期中］已知二项式 .
（2）求展开式中系数最大的项和系数最小的项.
解：的展开式的通项为
设第项的系数的绝对值最大，则
可得 ，则第6项和第7项的系数的绝对值最大.
易知第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，
第7项是系数最大的项，这一项为
；
第6项是系数最小的项，这一项为
.
变式（1）［2024·重庆西南大学附中高二月考］已知 的展
开式中仅第4项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是( )
A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
[解析] 因为展开式中仅第4项的二项式系数最大,所以展开式中共有7
项,则,所以二项式为 ,其展开式的通项为
, ,1,2,3,4,5,6.
设展开式中第项的系数最大,
则解得,故 ,
经检验符合题意,所以展开式中系数最大的项是第3项.故选B.
√
（2）［2025·江苏徐州期中］在 的展开式中，系数绝对
值最大的项是( )
A.第10项 B.第9项 C.第11项 D.第8项
[解析] 二项式 的展开式的通项为
，
设第 项系数的绝对值最大，
所以 ，
，可得 ，
因为，所以 ，所以系数绝对值最大的项是第9项，故选B.
√
［素养小结］
（1）根据展开式中二项式系数的性质可知,当为奇数时,中间两项的
二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
（2）求展开式中系数最大的项通常利用不等式（组）.一般地,如果
第项的系数最大,那么与之相邻两项（第项、第项）的系
数均不大于第项的系数,由此列不等式组可确定的范围,再依据
来确定的值,即可求出系数最大的项.
拓展 已知二项式 .
（1）若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列,求
展开式中二项式系数最大项的系数;
解：由题意得,可得,解得 或
.
①当时,展开式中二项式系数最大的项是和, 的系数为
,的系数为 .
故当时，展开式中二项式系数最大项的系数为 和70.
②当时,展开式中二项式系数最大的项是, 的系数为
.
故当 时，展开式中二项式系数最大项的系数为3432.
拓展 已知二项式 .
（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最
大的项.
解：由题意知,可得,解得
或 （舍去）.
设展开式中第 项的系数最大,
因为 ,
所以解得 ,
又,1,2, ,,所以 ,
所以展开式中系数最大的项为 ,且
.
探究点三 整除和求近似值问题
例3（1）若今天是星期二,则经过7天后还是星期二,那么经过 天
后是( )
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
[解析] ,
则被7除的余数为1,所以经过 天后是星期三.故选C.
√
（2）［2025·江苏启东期中］的近似值是_____（精确到 ）.
0.96
[解析] 因为
，
所以将 精确到0.01的近似值为0.96.
（3）［2025·江苏无锡期末］已知，且 能被17整除，
则 的取值可以是_________________.（写出一个满足题意的值即可）
1（答案不唯一）
[解析] ，
要使能被17整除，则 能被17整除即可，则
,，故可取 （答案不唯一）.
变式（1）的近似值（精确到 ）是( )
A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943
[解析] .故选B.
√
（2）二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对
于任意实数 ,
，当
比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得
，并且 的值越小，所得结果就越接近真实数
据.用这个方法计算 的近似值，可以这样操作：
.用这
样的方法，估计 的近似值约为_____.（精确到小数点后两位数）
3.07
[解析]
.
［素养小结］
（1）利用二项式定理可以解决整除问题或求余数问题.在解决整除问
题或求余数问题时要进行合理变形,使被除式（数）展开后的大多数
项都是除式（数）的倍数.要注意变形的技巧,注意余数应该是非负数.
（2）计算的近似值的一般方法：当 的绝对值与1相比很小
且不大时，常用公式 求近似值，这是因为此时二
项展开式后面的部分 很小，可以忽略不计，
但是使用这个公式时应注意 的条件，以及对精度的要求.若精度要
求较高，则可使用更精确的近似公式 等.
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,且都等于
.在二项式定理中,令, ,则
,可得
.
1.赋值法是解决二项展开式中项的系数和的问题的常用方法.根据题
目要求,灵活赋值是解题的关键.解决二项展开式中项的系数和的问题
的思维过程如图.
例1 ［2024·山东济宁高二期中］若 ,求:
（1） ;
解：令,得 .
例1 ［2024·山东济宁高二期中］若 ,求:
（2） ;
解： 等于
的展开式中各项的系数之和,
将代入 中,
得 .
例1 ［2024·山东济宁高二期中］若 ,求:
（3） .
解：令 ,
则 ,
且 ,
令,得 ,
且 ,
所以 .
2.求展开式中的最大项问题
例2 ［2025·江苏南通高二质检］已知在 的展开式中满足
，且常数项为 .
（1）求二项式系数最大的项；
解：根据题意知，展开式的通项为 ，
令，解得 ，
当时，展开式中对应的项为常数项，则 ，
可得 ，
所以二项式系数最大的项为 .
例2 ［2025·江苏南通高二质检］已知在 的展开式中满足
，且常数项为 .
（2）系数绝对值最大的是第几项；
解：设第 项系数的绝对值最大，
则 可得
又，所以 ，
即 的展开式中第8项系数的绝对值最大.
例2 ［2025·江苏南通高二质检］已知在 的展开式中满足
，且常数项为 .
（3）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也
有无理项，求共有多少种不同的取法.
解：令，，解得 ,2,4,6,8,10，
即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项，
所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也
有无理项的取法共有 （种）.
3.一般地,求近似值的处理方法如下:
（1）当的绝对值与1相比很小且 不大时,常用近似公式
,因为这时展开式后面的部分
很小,可以忽略不计.类似地,有
.但是使用这两个公式时应注意 的条件,以及对精
确度的要求.
（2）在使用二项式定理进行近似计算时,要注意按问题对精确度
的要求来确定展开式中各项的取舍,例如,若精确度要求较高,则可使用
更精确的近似公式 .
例3 求 精确到0.001的近似值.
解： .
例4 ［2025·江苏南京六校联合体高二月考］我们学过组合数的定
义，，其中,，并且 .牛
顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标 推广到
任意实数，规定广义组合数 是组合数的一种推
广，其中,，且规定 .于是广义二项式定理可写成
，其
中 ，等式右端有无穷项.
（1）求和 的值.
解：， .
例4 ［2025·江苏南京六校联合体高二月考］我们学过组合数的定
义，，其中,，并且 .牛
顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标 推广到
任意实数，规定广义组合数 是组合数的一种推
广，其中,，且规定 .于是广义二项式定理可写成
，其
中 ，等式右端有无穷项.
（2）计算 的近似值，保留到小数点后两位.
解：
.
例4 ［2025·江苏南京六校联合体高二月考］我们学过组合数的定
义，，其中,，并且 .牛
顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标 推广到
任意实数，规定广义组合数 是组合数的一种推
广，其中,，且规定 .于是广义二项式定理可写成
，其
中 ，等式右端有无穷项.
（3）求
的值.
解：根据已知条件及所给式子，
考虑的展开式中， 的系数.
左式为， 的系数为0，
右式中 的系数为
，
所以
.
练习册
1.在的展开式中,若各项二项式系数的和为64,则 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由题意得,解得 .故选C.
√
2.［2025·江苏海安期中］已知 的展开式中只有第6项的系数
最大，则正整数 的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
[解析] 由题意知，二项展开式中，每一项的系数和二项式系数相等，
所以第6项的二项式系数最大，所以，得 .故选B.
√
3. 的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为
( )
A.40 B. C.80 D.
[解析] 由题意可得二项式系数最大的项为第3项和第4项，
因为展开式中第3项为 ，系数为40，展开式中
第4项为，系数为 ，所以二项式系数最大
且系数较大的项的系数为40.故选A.
√
4.［2025·江苏灌云一中高二月考］今天是星期四，小美在参加数学
考试，那么再过 天后是星期( )
A.一 B.二 C.三 D.日
√
[解析]
，
，
能被7整除，除以7所得余数为4，
又今天是星期四， ，， 再过 天后是
星期一.故选A.
5.［2024·江苏南通期末］在 的展开式中共有7项，给出下
列叙述：
①二项式系数之和为32；
②各项系数之和为0；
③二项式系数最大的项为第四项；
的系数为15
其中正确结论的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
√
[解析] 因为在的展开式中共有7项，所以 ，可得二项
式系数之和为，①错误；
令 ，可得各项系数之和为，②正确；
二项式系数最大项的二项式系数为 ，为第四项，③正确；
的展开式的通项为
，令
，解得，所以展开式中含 项的系数为
，即 的系数为15，④正确.故选B.
6.（多选题）［2024·江苏无锡期末］已知
，则( )
A.
B.
C.
D.展开式中二项式系数最大的项为第5项
√
√
[解析] 设 .
对于A选项， ，A正确；
对于B选项， ，
B正确；
对于C选项，
所以 ，C错误；
对于D选项，展开式中共11项，所以展开式中二项式系数最大的项为
第6项，D错误.故选 .
7. 的个位数是___.
1
[解析] ，
易知 是10的
倍数，所以的个位数是 .
8.已知 的展开式中第3项的二项式系数与第4项的二项式系
数相等,且 ,若
,则实数 ___.
2
[解析] 由题可知,则 .
在中，令 ,得
；令,得 .
又,所以,则,所以 .
9.（13分）在 的展开式中.
（1）系数的绝对值最大的项是第几项
解： 的展开式的通项为
,, .
设第 项系数的绝对值最大,
则则
可得解得 ,
又,所以或 ,
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
9.（13分）在 的展开式中.
（2）求二项式系数最大的项.
解：展开式中共有9项，则二项式系数最大的项为第5项,
该项为 .
（3）求系数最大的项.
解：由（1）知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项
的系数为负,第7项的系数为正,所以系数最大的项为第7项,该项为
.
10.（13分）［2025·江苏南京十三中高二期末］已知二项式
.
（1）若它的展开式的二项式系数之和为128.
解：因为二项式 的展开式的二项式系数之和为128，所以
，则 .
①求展开式中二项式系数最大的项；
由 可知，展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项，
可得， .
（1）若它的展开式的二项式系数之和为128.
②求展开式中系数最大的项.
解：二项式 的展开式的通项为
,
设展开式中第 项的系数最大，
则，1，2， ，7，
10.（13分）［2025·江苏南京十三中高二期末］已知二项式
.
则可得 ，则展开式中系数最大的
项为第6，第7项，
可得 ，
.
10.（13分）［2025·江苏南京十三中高二期末］已知二项式
.
（2）若， ，求二项式的值被7除的余数.
解：若， ，
则 ，
则原问题转化为求 被7除的余数，
因为， ，所以所求余数为1.
11.［2025·江苏苏州期末］已知能够被15整除，则 的一个
可能取值是( )
A.1 B.2 C.0 D.
[解析]
,75能够被15整除，要使原式
能够被15整除，则需要能被15整除，
将选项逐个检验可知 的一个可能取值是 ，其他选项均不符合题意，故选D.
√
12.已知的展开式中 的系数为
11,则的展开式中 的偶次幂项的系数之和为( )
A.29 B.30 C.58 D.60
[解析] 因为 的展开式的通项为
, 的展开式的通项为
,所以,即 ,
解得,所以,
故的展开式中 的偶次幂项的系数之和为
,故选A.
√
13.（多选题）［2024·江苏扬州一中高二期
中］“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大
成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究
欲望.如图是“杨辉三角”，则下列叙述正确
的是( )
A.
B.第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C.记第行的第个数为，则
D.第20行中第8个数与第9个数之比为
√
√
[解析] 根据题意得，第行的第 个数为 .
对于A， ， A错误；
对于B，第2023行中从左往右第
1013个数为，第1014个数为 ，两
者不相等,B错误;
对于C，记第行的第个数为，则 ，则
，C正确；
对于D，第20行中第8个数为,第9个数为,则两个数的比为 ,
正确.故选 .
14.若 ，则
被12除的余数为___.
0
[解析] 在已知等式中，取 得
，取 得
， 得
，
因为 ，
所以 ，
所以能被12整除，所以 被12除的
余数为0.
15.（多选题）［2025·江苏徐州一中月考］已知
，则( )
A.展开式的各二项式系数的和为0
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 展开式的各二项式系数的和为 ，选项A错误；
对于，令 ，
可得，令，可得 ，所以
，选项B正确；
的展开式的通项为 ，
所以，所以 ，
，1，2， ，2025，
所以
，选项C正确；
因为，，1， ，2025，
，
所以 ，
，所以
，因为 ，所以
，选项D正确.故选 .
16.（15分）［2024·江苏宿迁期中］在
中，
把，，， ，叫作三项式的 次系数列.
（1）求 的值.
解：因为 ，
所以，， ，
故 .
16.（15分）［2024·江苏宿迁期中］在
中，
把，，， ，叫作三项式的 次系数列.
2）将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是
一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”.对此，我们并不陌生，如
列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常
用的等面积（或等体积）法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，
（将等式 的两边分别展开可得左右两边的
系数对应相等，如考察左右两边展开式中 的系数可得
.利用上述思想方法，请计
算 的值
（可用组合数作答）.
解：
，
其中含 项的系数为
.
， 的展开式中的第
项为 ，
令，解得 ，
所以含项的系数为 .
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 （1）对称 （2）和 （3）增大
知识点二 （1） （2） （3） （4）
课中探究 探究点一 例1 （1） （2）（3）>
（5） 变式 （1）B （2）BC 拓展 （1） （2）
探究点二 例2 （1）（2） 系数最大的项为 ，系数最小的项为
变式 （1）B （2）B 拓展 （1）3432（2）
探究点三 例3 （1）C （2）0.96 （3）1（答案不唯一）
变式 （1）B （2）3.07
练习册
基础巩固
1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.AB 7.1 8.2
9.（1） 6项和第7项（2） （3）1
综合提升
11.D 12.A 13.CD 14.0
思维探索
15.BCD
16.（1）13（2）【课前预习】
知识点一
(1)对称 (2)和 增大
知识点二
(1) (2) (3) (4)2n
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2025=(-1)2025=-1①.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…+a2024-a2025=32025②.
由①-②得2(a1+a3+a5+…+a2025)=-1-32025,
∴a1+a3+a5+…+a2025=.
(3)由①+②得2(a0+a2+a4+a6+…+a2024)=32025-1,
∴a0+a2+a4+a6+…+a2024=.
令x=0,得a0=1,∴a2+a4+a6+…+a2024=.
(4)∵(1-2x)2025的展开式的通项为Tr+1=(-2x)r=(-1)r··(2x)r,
∴<0,a2k>0(k∈N,k≤1012),
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2025|=a0-a1+a2-…-a2023+a2024-a2025=32025.
(5)对(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024+a2025x2025(x∈R)两边分别求导得-4050(1-2x)2024=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023+2025a2025x2024(x∈R),令x=1,得a1+2a2+3a3+…+2024a2024+2025a2025=-4050.
变式 (1)B (2)BC [解析] (1)令x=0,则38=6561=a0+a1+a2+…+a8,令x=-2,则1=a0-a1+a2-…+a8,所以a0+a2+a4+a6+a8==3281.故选B.
(2)令f(x)=(2-3x)2025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2024x2024+a2025x2025,则a0=f(0)=22025,A不正确;f(1)=a0+a1+a2+a3+…+a2024+a2025=(-1)2025=-1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+…+a2024-a2025=52025,则a1+a3+a5+…+a2023+a2025==,B正确;显然a2n>0,a2n+1<0,n∈N,n≤1012,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2025|=a0-a1+a2-a3+…+a2024-a2025=f(-1)=52025,C正确;+++…++=a0++++…++-a0=f-22025=-22025,D不正确.故选BC.
拓展 解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(12-1+1)5=1.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=243,
则(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10)=243.
探究点二
例2 解:(1)的展开式中,二项式系数最大的项为展开式的中间项,也就是第5项,
所求项为T4+1=()4=.
(2)的展开式的通项为Tr+1=(-1)r2r.
设第r+1项的系数的绝对值最大,则
可得∴5≤r≤6,
则第6项和第7项的系数的绝对值最大.
易知第6项的系数为负数,第7项的系数为正数,
∴第7项是系数最大的项,这一项为T7=(-1)6·26·x-11=1792x-11;
第6项是系数最小的项,这一项为T6=(-1)5·25·=-1792.
变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为展开式中仅第4项的二项式系数最大,所以展开式中共有7项,则n=6,所以二项式为,其展开式的通项为Tr+1=x6-r=2-r,r=0,1,2,3,4,5,6.设展开式中第r+1项的系数最大,则解得≤r≤,故r=2,经检验符合题意,所以展开式中系数最大的项是第3项.故选B.
(2)二项式(3x-2y)20的展开式的通项为Tr+1=·(3x)20-r·(-2y)r,设第r+1项系数的绝对值最大,所以·320-r·2r≥·320-r-1·2r+1,·320-r·2r≥·320-r+1·2r-1,可得≤r≤,因为r∈N*,所以r=8,所以系数绝对值最大的项是第9项,故选B.
拓展 解:(1)由题意得+=2,可得n2-21n+98=0,解得n=7或n=14.
①当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4的系数为××23=,T5的系数为××24=70.
故当n=7时,展开式中二项式系数最大项的系数为和70.
②当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,T8的系数为××27=3432.
故当n=14时,展开式中二项式系数最大项的系数为3432.
(2)由题意知++=79,可得n2+n-156=0,解得n=12或n=-13(舍去).
设展开式中第r+1项的系数最大,
因为=×(1+4x)12,
所以解得≤r≤,
又r∈{0,1,2,…,12},所以r=10,
所以展开式中系数最大的项为T11,且T11=××(4x)10=16 896x10.
探究点三
例3 (1)C (2)0.96 (3)1(答案不唯一) [解析] (1)8100=(7+1)100=×7100+×799+…+×7+×70=7100+×799+…+×7+1,则8100被7除的余数为1,所以经过8100天后是星期三.故选C.
(2)因为0.9915=(1-0.009)5=×1-×0.0091+×0.0092-…≈1-0.045+0.000 81=0.955 81,所以将0.9915精确到0.01的近似值为0.96.
(3)842025+x=(85-1)2025+x=852025-852024+852023-…+85-1+x,要使842025+x能被17整除,则-1+x能被17整除即可,则x=17k+1,k∈Z,故可取x=1(答案不唯一).
变式 (1)B (2)3.07 [解析] (1)0.996=(1-0.01)6=-×0.01+×0.012-×0.013+×0.014-×0.015+×0.016≈1-0.06+0.001 5-0.000 02≈0.941.故选B.
(2)=3=3≈3×=3+≈3.07.7.4.2 二项式系数的性质及应用
1.C [解析] 由题意得2n=64,解得n=6.故选C.
2.B [解析] 由题意知,二项展开式中,每一项的系数和二项式系数相等,所以第6项的二项式系数最大,所以=5,得n=10.故选B.
3.A [解析] 由题意可得二项式系数最大的项为第3项和第4项,因为展开式中第3项为T3=(-2x)2=40x2,系数为40,展开式中第4项为T4=(-2x)3=-80x3,系数为-80,所以二项式系数最大且系数较大的项的系数为40.故选A.
4.A [解析] 58=(7-2)8=×78+×77×(-2)+×76×(-2)2+…+×7×(-2)7+×(-2)8=[×78+×77×(-2)+×76×(-2)2+…+×7×(-2)7]+256,∵256÷7=36……4,[×78+×77×(-2)+×76×(-2)2+…+×7×(-2)7]能被7整除,∴58除以7所得余数为4,又今天是星期四,4+4=8,8÷7=1……1,∴再过58天后是星期一.故选A.
5.B [解析] 因为在的展开式中共有7项,所以n=6,可得二项式系数之和为26=64,①错误;令x=1,可得各项系数之和为=0,②正确;二项式系数最大项的二项式系数为,为第四项,③正确;的展开式的通项为Tr+1=()6-r=(-1)r(0≤r≤6,r∈N),令3-r=-3,解得r=4,所以展开式中含x-3项的系数为(-1)4·=15,即x-3的系数为15,④正确.故选B.
6.AB [解析] 设f(x)=(3x+2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.对于A选项,a0=f(0)=210,A正确;对于B选项,a0-a1+a2-a3+…+a10=f(-1)=(-3+2)10=1,B正确;对于C选项,
所以a0+a2+a4+…+a10==,C错误;对于D选项,展开式中共11项,所以展开式中二项式系数最大的项为第6项,D错误.故选AB.
7.1 [解析] 32024=91012=(10-1)1012=101012-101011+…+102-101+100,易知101012-101011+…+102-101是10的倍数,所以32024的个位数是100=1.
8.2 [解析] 由题可知=,则n=5.在(1+λx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中,令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=(1+λ)5.又a1+a2+…+a5=242,所以(1+λ)5=243,则1+λ=3,所以λ=2.
9.解:(1)的展开式的通项为Tr+1=()8-r=(-2)r,0≤r≤8,r∈N.
设第r+1项系数的绝对值最大,
则则
可得解得5≤r≤6,
又r∈N,所以r=5或r=6,
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
(2)展开式中共有9项,则二项式系数最大的项为第5项,
该项为T5=(-2)4x-6=1120x-6.
(3)由(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正,所以系数最大的项为第7项,该项为T7=(-2)6x-11=1792x-11.
10.解:(1)因为二项式(x+3x2)n的展开式的二项式系数之和为128,所以2n=128,则n=7.
①由n=7可知,展开式中二项式系数最大的项为第4项,第5项,可得T4=x4(3x2)3=945x10,T5=x3(3x2)4=2835x11.
②二项式(x+3x2)7的展开式的通项为Tr+1=x7-r(3x2)r=·3r·x7+r,
设展开式中第r+1项的系数最大,
则r=0,1,2,…,7,
则可得5≤r≤6,则展开式中系数最大的项为第6,第7项,
可得T6=T5+1=·35·x7+5=5103x12,T7=T6+1=·36·x7+6=5103x13.
(2)若x=3,n=2022,
则(x+3x2)n=302022=(28+2)2022=282022+×282021×2+…+×28×22021+22022=28K+22022(K∈Z),
则原问题转化为求22022被7除的余数,
因为22022=8674=(7+1)674=·7674+·7673+·7672+…+·7+·1=7M+1,M∈Z,所以所求余数为1.
11.D [解析] (75-1)2022+a=752022-752021+752020-…-75++a,75能够被15整除,要使原式能够被15整除,则需要1+a能被15整除,将选项逐个检验可知a的一个可能取值是-1,其他选项均不符合题意,故选D.
12.A [解析] 因为(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤5,r∈N),(1+2x)n的展开式的通项为T't+1=(2x)t(0≤t≤n,t∈N),所以+2=11,即5+2n=11,解得n=3,所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,故f(x)的展开式中x的偶次幂项的系数之和为++++×22=29,故选A.
13.CD [解析] 根据题意得,第n行的第r个数为.对于A,++…+=+++…+-1=-1=119,A错误;对于B,第2023行中从左往右第1013个数为,第1014个数为,两者不相等, B错误;对于C,故选CD.
14.0 [解析] 在已知等式中,取x=1得a0+a1+a2+…+a2020=52020①,取x=-1得a0-a1+a2-…+a2020=1②,(①-②)得a1+a3+a5+…+a2019=×(52020-1)=,因为251010=(24+1)1010=241010+241009+…+241+=24241009+24241008+…+24+1,所以=12241009+12241008+…+12=12(241009+241008+…+),所以能被12整除,所以a1+a3+a5+…+a2019被12除的余数为0.
15.BCD [解析] 展开式的各二项式系数的和为22025,选项A错误;对于(1-x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025,令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a2025=0,所以a1+a2+…+a2025=-1,选项B正确;(1-x)2025的展开式的通项为Tk+1=·(-x)k=·(-1)k·xk,所以ak=·(-1)k,所以·ak=··(-1)k,k=0,1,2,…,2025,所以22025a0+22024a1+22023a2+…+a2025=22025··(-1)0+22024··(-1)1+22023··(-1)2+…+20··(-1)2025=[2+(-1)]2025=1,选项C正确;因为ak=·(-1)k,k=0,1,…,2025,==·=·==,
16.解:(1)因为(1+x+x2)3=(1+x)3+(1+x)2x2+(1+x)x4+x6=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,
所以=3,=7,=3,
故++=3+7+3=13.
(2)(1+x+x2)99·(x-1)99=(+x+x2+x3+…+x197+x198)·(x99-x98+x97-…+x-),
其中含x99项的系数为-+-…+-.
(1+x+x2)99·(x-1)99=(x3-1)99,(x3-1)99的展开式中的第r+1项为Tr+1=(-1)r(x3)99-r,
令3(99-r)=99,解得r=66,
所以含x99项的系数为=.
所以-+-…+-==.7.4.2 二项式系数的性质及应用
【学习目标】
1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.
2.理解和初步掌握赋值法及其应用.
◆ 知识点一 二项式系数表
二项式系数的特点:
(1)每一行中的二项式系数是“ ”的;
(2)每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ;
(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐 .
◆ 知识点二 二项式系数及其性质
一般地,(a+b)n展开式的二项式系数,,,…,具有如下性质:
(1)= ;
(2)+= ;
(3)当r< 时,<;当r> 时,<;
(4)++…+= .
◆ 探究点一 二项展开式的系数和
例1 设(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2025的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2025的值;
(3)求a2+a4+a6+…+a2024的值;
(4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2025|的值;
(5)求a1+2a2+3a3+…+2025a2025的值.
变式 (1)[2025·江苏苏州高二期中] 若(2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8,则a0+a2+a4+a6+a8= ( )
A.6562 B.3281
C.3280 D.6560
(2)(多选题)[2025·江苏淮安期末] 已知(2-3x)2025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2024x2024+a2025x2025,则下列结论正确的是 ( )
A.a0=2
B.a1+a3+a5+…+a2023+a2025=
C.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2025|=52025
D.+++…++=
[素养小结]
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
拓展 已知(x2-x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
(1)求a0+a1+a2+…+a10的值;
(2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值.
◆ 探究点二 系数最大项问题
例2 [2025·江苏常州期中] 已知二项式.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项和系数最小的项.
变式 (1)[2024·重庆西南大学附中高二月考] 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是 ( )
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
(2)[2025·江苏徐州期中] 在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项是 ( )
A.第10项 B.第9项
C.第11项 D.第8项
[素养小结]
(1)根据展开式中二项式系数的性质可知,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大的项通常利用不等式(组).一般地,如果第r+1项的系数最大,那么与之相邻两项(第r项、第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N*来确定r的值,即可求出系数最大的项.
拓展 已知二项式.
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项.
◆ 探究点三 整除和求近似值问题
例3 (1)若今天是星期二,则经过7天后还是星期二,那么经过8100天后是 ( )
A.星期一 B.星期二
C.星期三 D.星期四
(2)[2025·江苏启东期中] 0.9915的近似值是 (精确到0.01).
(3)[2025·江苏无锡期末] 已知x∈Z,且842025+x能被17整除,则x的取值可以是 .(写出一个满足题意的值即可)
变式 (1)0.996的近似值(精确到0.001)是 ( )
A.0.940 B.0.941
C.0.942 D.0.943
(2)二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理:对于任意实数α,(1+x)α=1+·x+·x2+…+·xk+…,当|x|比较小的时候,取广义二项式定理展开式的前两项可得(1+x)α≈1+α·x,并且|x|的值越小,所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值,可以这样操作:===2≈2×=2.25.用这样的方法,估计的近似值约为 .(精确到小数点后两位数)
[素养小结]
(1)利用二项式定理可以解决整除问题或求余数问题.在解决整除问题或求余数问题时要进行合理变形,使被除式(数)展开后的大多数项都是除式(数)的倍数.要注意变形的技巧,注意余数应该是非负数.
(2)计算(1+a)n的近似值的一般方法:当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用公式(1+a)n≈1+na求近似值,这是因为此时二项展开式后面的部分a2+a3+…+an很小,可以忽略不计,但是使用这个公式时应注意a的条件,以及对精度的要求.若精度要求较高,则可使用更精确的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等.7.4.2 二项式系数的性质及应用
1.在(a+b)n的展开式中,若各项二项式系数的和为64,则n= ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
2.[2025·江苏海安期中] 已知(1+x)n的展开式中只有第6项的系数最大,则正整数n的值为 ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
3.(1-2x)5的展开式中,二项式系数最大且系数较大的项的系数为 ( )
A.40 B.-40
C.80 D.-80
4.[2025·江苏灌云一中高二月考] 今天是星期四,小美在参加数学考试,那么再过58天后是星期 ( )
A.一 B.二
C.三 D.日
5.[2024·江苏南通期末] 在的展开式中共有7项,给出下列叙述:
①二项式系数之和为32;
②各项系数之和为0;
③二项式系数最大的项为第四项;
④x-3的系数为15
其中正确结论的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.(多选题)[2024·江苏无锡期末] 已知(3x+2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则 ( )
A.a0=210
B.a0-a1+a2-a3+…+a10=1
C.a0+a2+a4+…+a10=1
D.展开式中二项式系数最大的项为第5项
7.32024的个位数是 .
8.已知(1+λx)n的展开式中第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,且(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=242,则实数λ= .
9.(13分)在的展开式中.
(1)系数的绝对值最大的项是第几项
(2)求二项式系数最大的项.
(3)求系数最大的项.
10.(13分)[2025·江苏南京十三中高二期末] 已知二项式(x+3x2)n.
(1)若它的展开式的二项式系数之和为128.
①求展开式中二项式系数最大的项;
②求展开式中系数最大的项.
(2)若x=3,n=2022,求二项式的值被7除的余数.
11.[2025·江苏苏州期末] 已知742022+a能够被15整除,则a的一个可能取值是 ( )
A.1 B.2
C.0 D.-1
12.已知f(x)=(1+x)5+(1+2x)n(n∈N*)的展开式中x的系数为11,则f(x)的展开式中x的偶次幂项的系数之和为 ( )
A.29 B.30
C.58 D.60
13.(多选题)[2024·江苏扬州一中高二期中] “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图是“杨辉三角”,则下列叙述正确的是 ( )
A.+++…+=120
B.第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C.记第n行的第i个数为ai,则2i-1ai=3n
D.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13
14.若(3x+2)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020,则a1+a3+a5+…+a2019被12除的余数为 .
15.(多选题)[2025·江苏徐州一中月考] 已知(1-x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025,则 ( )
A.展开式的各二项式系数的和为0
B.a1+a2+…+a2025=-1
C.22025a0+22024a1+22023a2+…+a2025=1
D.++…+=-1
16.(15分)[2024·江苏宿迁期中] 在(1+x+x2)n=+x+x2+…+x2n-1+x2n中,把,,,…,叫作三项式的n次系数列.
(1)求++的值.
(2)将一个量用两种方法分别算一次,由结果相同得到等式,这是一种非常有用的思想方法,叫作“算两次”.对此,我们并不陌生,如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式,几何中常用的等面积(或等体积)法也是“算两次”的典范.根据二项式定理,将等式(1+x=(1+x)n(1+x)n的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等,如考察左右两边展开式中xn的系数可得=()2+()2+()2+…+()2.利用上述思想方法,请计算-+-+…+-的值(可用组合数作答).
