第八单元 数学广角--数与形（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教版数学六年级上册
文档属性
| 名称 | 第八单元 数学广角--数与形（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教版数学六年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 294.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 09:03:04 | ||
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文档简介
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第八单元 数学广角——数与形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡水期末）如图，第1幅图中有5个三角形，第2幅图中有9个三角形，第3幅图中有13个三角形，按这样的规律，第6幅图中有（ ）个三角形。
A．23 B．24 C．25
2．（2024 龙泉市）奇奇在玩长8厘米、宽3厘米的卡片时，发现这些卡片用如图两种摆法都正好摆满写字台的长边，写字台的长边可能是（ ）厘米。
① ②
A．44 B．72 C．80 D．88
3．（2024 墨竹工卡县）用同样长的小棍摆成如图所示的图形，照这样继续摆，第⑥个图形用（ ）根小棍．
A．30 B．25 C．24 D．20
4．（2024秋 依兰县期末）如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填（ ）
A．2 B．5 C．8
5．（2024 黄岩区）用4m长的绳子按如图规律围正方形，那么图形④的面积比图形③的面积少（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 滨湖区期末）如图，照这样用小棒摆正方形。摆一个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒……摆8个正方形需要 根小棒，摆n个正方形需要 根小棒。
7．（2024秋 西湖区期末）如图所示，把棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律，第n个图形需要棋子 颗。
8．（2024秋 高新区期末）如图，填写如表：
正方形个数 1 2 3 4 …… n
直角三角形个数 0 4 8
……
9．（2024秋 鄞州区期末）用小棒按如图所示的方式搭三角形。根据图形，找规律填空。
……
（1）搭4个三角形需要 根小棒。
（2）搭n个三角形需要 根小棒。
10．（2024秋 江北区期末）按规律填数：999×4＝3996，999×5＝4995，999×6＝5994，999×7＝ 。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 西平县期中）根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。
12．（2024春 茂名期末）按0、5、10、15、20……这样的规律排下去，下一个数应该是25。
13．（2024 沈丘县）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。
14．（2024春 鹿邑县期末）根据0.2，0.3，0.5，0.8，1.3，□中的规律，□里应填1.5。
15．（2024春 项城市期末）按1，2，3，5，8，13，□中的规律，□里应填15。
四．计算题（共2小题）
16．（2024秋 忻府区期中）找规律，直接把得数填在横线里。
0×9+8＝8 9×9+7＝88 98×9+6＝888
987×9+5＝ 9876×9+4＝
×9+3＝888888
987654×9+2＝ 9876543× +1＝8888888
17．（2024秋 长葛市期中）根据前面三道算式，直接填出横线里的数。
88×81＝7128
888×81＝71928
8888×81＝719928
88888×81＝
888888×81＝
五．应用题（共3小题）
18．（2024 梁子湖区）探索与发现。
圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究：
序号 图① 图② 图③ ……
图形
……
圆柱的个数 1 3 6 ……
绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 ……
（1）若按此规律继续摆，图④中有 个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 。
（2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14）
19．（2024秋 汝州市期末）辉辉和同桌合作摆三角形（如图），摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒……请你根据这样的条件，把如表填写完整。
摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个
3根 5根
根 ……
根 ……
根
20．（2024秋 太和县期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。
（1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。
4＝1+3
9＝3+6
16＝6+10
（2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝ 。
六．操作题（共4小题）
21．（2024 平度市）用直径10厘米的圆设计图案，如下图，根据规律完成下表。
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… ……
22．（2024 黄骅市）如图，搭一条“金鱼”用8根火柴。搭5条“金鱼”用 根火柴，搭n条“金鱼”用 根火柴，62根火柴可以搭 条“金鱼”。
23．（2024秋 李沧区期中）如图图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为 个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 个。
24．（2024 平顶山）如图是由长方形和三角形组成的一连串图形，每个长方形上都有数，按照这样的方式一直摆下去。a表示图中三角形的数量，b表示图中长方形的数量，用式子表示a和b的关系，并写出思考过程。
七．解答题（共1小题）
25．（2024秋 南京期末）若1个□的面积表示“1”，则“2”可以这样表示：，2＝1×2＝2；“2+4”可以这样表示：
，即2+4＝2×3＝6；“2+4+6”可以这样表示：，即2+4+6＝3×4＝12；“2+4+6+8”
可以这样表示：，即 。
（1）那么“2+4+6+8”等于多少呢？请你将对应算式填写完整。
（2）仔细观察，你有什么发现？
我发现： 。
（3）你可以用举例子的方法验证你的发现吗？
我会验证： 。
第八单元 数学广角——数与形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡水期末）如图，第1幅图中有5个三角形，第2幅图中有9个三角形，第3幅图中有13个三角形，按这样的规律，第6幅图中有（ ）个三角形。
A．23 B．24 C．25
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】C
【分析】观察可得，每次在图形的中心增加一个小三角形，整个图形就增加4个三角形。第n幅图形三角形的个数是（n﹣1）×4+5（个）。
【解答】解：当n＝6时，
（n﹣1）×4+5
＝（6﹣1）×4+5
＝25（个）
答：第6幅图中有25个三角形。
故选：C。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
2．（2024 龙泉市）奇奇在玩长8厘米、宽3厘米的卡片时，发现这些卡片用如图两种摆法都正好摆满写字台的长边，写字台的长边可能是（ ）厘米。
① ②
A．44 B．72 C．80 D．88
【考点】数与形结合的规律．
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意可知本题就是求8，8+3＝11的公倍数，由最小公倍数的意义可知：最小公倍数是几个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，然后据此求出它们的最小公倍数。
【解答】解：8+3＝11
8和11是互质数，
故8、11的最小公倍数是：8×11＝88。
答：写字台的长边可能是88厘米。
故选：D。
【点评】本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意找准哪些是两个数公有的质因数，哪些是独有的质因数。
3．（2024 墨竹工卡县）用同样长的小棍摆成如图所示的图形，照这样继续摆，第⑥个图形用（ ）根小棍．
A．30 B．25 C．24 D．20
【考点】数与形结合的规律．
【专题】探索数的规律；几何直观．
【答案】B
【分析】图①用5根小棒摆成，图②用9根小棒摆成
仔细观察发现每增加一个五六边形其小棍根数增加4根，将此规律用代数式表示出来即可．
【解答】解：由图可知：
图形标号①的小棍根数为5；
图形标号②的小棍根数为9；
图形标号③的小棍根数为13；
…
由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，小棍的个数增加4，
所以可以得出规律：搭第⑥个图形需要小棍根数为：5+4×（6﹣1）＝25（根）
故选：B．
【点评】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可．
4．（2024秋 依兰县期末）如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填（ ）
A．2 B．5 C．8
【考点】数列中的规律．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】里的数等于它周围里的数之和。
【解答】解：如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填2。
故选：A。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
5．（2024 黄岩区）用4m长的绳子按如图规律围正方形，那么图形④的面积比图形③的面积少（ ）
A． B． C． D．
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】D
【分析】图①正方形的边长4÷4＝1（米），图②每个小正方形的边长是4÷8（米），图③小正方形的边长是4÷12（米），图④每个小正方形的边长是4÷4÷4（米）。用③面积减去④面积即可。
【解答】解：4÷3÷4（米）
4÷4÷4（米）
34（平方米）
答：图形④的面积比图形③的面积少（平方米）。
故选：D。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 滨湖区期末）如图，照这样用小棒摆正方形。摆一个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒……摆8个正方形需要 25 根小棒，摆n个正方形需要 （3n+1） 根小棒。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】25，（3n+1）。
【分析】根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根小棒。
【解答】解：观察图形发现：第一个图形需要4根小棒，多一个正方形，多用3根小棒，则第n个图形中，需要小棒：4+3（n﹣1）＝3n+1
当n＝8，3n+1＝3×8+1＝25
答：摆8个正方形需要25根小棒，摆n个正方形需要（3n+1）根小棒。
故答案为：25，（3n+1）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．（2024秋 西湖区期末）如图所示，把棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律，第n个图形需要棋子 （n2+2n） 颗。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】（n2+2n）。
【分析】第一个图形需要12+2×1＝3（颗）棋子；第二个图形需要22+2×2＝8（颗）棋子；第三个图形需要32+2×3＝15（颗）棋子；……第n各图形需要（n2+2n）颗）棋子。据此解答。
【解答】解：第一个图形需要12+2×1＝3（颗）棋子；
第二个图形需要22+2×2＝8（颗）棋子；
第三个图形需要32+2×3＝15（颗）棋子；
……
第n各图形需要（n2+2n）颗）棋子。
故答案为：（n2+2n）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
8．（2024秋 高新区期末）如图，填写如表：
正方形个数 1 2 3 4 …… n
直角三角形个数 0 4 8
12
……
4n﹣4
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】12，4n﹣4。
【分析】观察可得规律是，有n个正方形，就有[（n﹣1）×4]（个）直角三角形。
【解答】解：当n＝4时，
4×（4﹣1）＝12（个）
正方形个数 1 2 3 4 …… n
直角三角形个数 0 4 8 12 …… 4n﹣4
故答案为：12，4n﹣4。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
9．（2024秋 鄞州区期末）用小棒按如图所示的方式搭三角形。根据图形，找规律填空。
……
（1）搭4个三角形需要 9 根小棒。
（2）搭n个三角形需要 （2n+1） 根小棒。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】（1）9，（2）2n+1。
【分析】搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要（3+2）根小棒，搭3个三角形需要（3+2+2）根小棒，搭n个三角形需要3+（n﹣1）×2（根）小棒。
【解答】解：（1）当n＝4时，
3+（n﹣1）×2
＝3+6
＝9（根）
答：搭4个三角形需要9根小棒。
（2）3+（n﹣1）×2＝2n+1
答：搭n个三角形需要（2n+1）根小棒。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
10．（2024秋 江北区期末）按规律填数：999×4＝3996，999×5＝4995，999×6＝5994，999×7＝ 6993 。
【考点】“式”的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】6993。
【分析】乘数是由3个9组成的三位数乘一位数，所得积是四位数，这个四位数的最高位上和个位上的数字分别是9与这个一位数的积的十位上和个位上的数字，中间有2个9。
【解答】解：按规律填数：999×4＝3996，999×5＝4995，999×6＝5994，999×7＝6993。
故答案为：6993。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 西平县期中）根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。 √
【考点】数列中的规律．
【专题】数感．
【答案】√。
【分析】根据题意，“3.24，1.08，0.36，□”中后面的数依次是前面的数的，据此解答即可。
【解答】解：0.360.12
答：根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了数列的排列规律，结合题意分析解答即可。
12．（2024春 茂名期末）按0、5、10、15、20……这样的规律排下去，下一个数应该是25。 √
【考点】数列中的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】√
【分析】后一个数比前一个数多5；据此解决。
【解答】解：20+5＝25
所以按0、5、10、15、20……这样的规律排下去，下一个数应该是25；此说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查的是数字排列的规律，关键是找出规律。
13．（2024 沈丘县）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。 √
【考点】数与形结合的规律．
【专题】探索数的规律；应用意识．
【答案】√
【分析】每增加一个正方形，就增加3根小棒，所以第n个图形需要小棒（3n+1）根；据此解答即可。
【解答】解：3×100+1
＝300+1
＝301（根）
即第100个图案需要301根小棒，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
14．（2024春 鹿邑县期末）根据0.2，0.3，0.5，0.8，1.3，□中的规律，□里应填1.5。 ×
【考点】数列中的规律．
【专题】综合填空题；探索数的规律．
【答案】×
【分析】规律：从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和。
【解答】解：0.8+1.3＝2.1
即□里应填2.1，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
15．（2024春 项城市期末）按1，2，3，5，8，13，□中的规律，□里应填15。 ×
【考点】数列中的规律．
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】前面两数之和等于后面的数。
【解答】解：按1，2，3，5，8，13，□中的规律，□里应填21。所以原题干表述错误。
故答案为：×。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
四．计算题（共2小题）
16．（2024秋 忻府区期中）找规律，直接把得数填在横线里。
0×9+8＝8 9×9+7＝88 98×9+6＝888
987×9+5＝ 8888 9876×9+4＝ 88888
98765 ×9+3＝888888
987654×9+2＝ 8888888 9876543× 9 +1＝8888888
【考点】“式”的规律．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】8888，88888，98765，8888888，9。
【分析】纵观各算式，都是乘、加混合运算，加数依次为8、7、6……是从8开始，第二个因数都是9，第一个因数是0、9、98、987……计算结果全部数字都是8，其个数第一个因数加1。
【解答】解：因为0×9+8＝8
9×9+7＝88
98×9+6＝888
所以987×9+5＝8888
9876×9+4＝88888
98765×9+3＝888888
987654×9+2＝8888888
9876543×9+1＝88888888
故答案为：8888，88888，98765，8888888，9。
【点评】解答此题的关键是根据前三个算式找出规律，然后再根据规律填空。
17．（2024秋 长葛市期中）根据前面三道算式，直接填出横线里的数。
88×81＝7128
888×81＝71928
8888×81＝719928
88888×81＝ 7199928
888888×81＝ 71999928
【考点】“式”的规律．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】7199928；71999928。
【分析】第一个乘数数字依次增加1个8，第二个乘数都是81，乘积前两位和后两位分别是71、28不变，中间9的个数等于“8”的个数减2；据此解答即可。
【解答】解：88×81＝7128
888×81＝71928
8888×81＝719928
88888×81＝7199928
888888×81＝71999928
故答案为：7199928；71999928。
【点评】解答本题关键是找到规律，然后利用规律解决问题。
五．应用题（共3小题）
18．（2024 梁子湖区）探索与发现。
圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究：
序号 图① 图② 图③ ……
图形
……
圆柱的个数 1 3 6 ……
绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 ……
（1）若按此规律继续摆，图④中有 10 个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 8π+8×9 。
（2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14）
【考点】数与形结合的规律．
【专题】综合填空题；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】（1）10，8π+8×9；
（2）45，217.12厘米。
【分析】（1）图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米；
图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3；
图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3；
图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3；
……
图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。
即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。
（2）根据（1）的规律，计算当n＝9时圆柱的个数及绳子的长度即可。
【解答】解：图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米；
图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3；
图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3；
图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3；
……
图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。
即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。所以：
（1）图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是8π+8×9。
（2）图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是：
8×3.14+8×24
＝25.12+192
＝217.12（厘米）
答：图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是217.24厘米。
故答案为：10，8π+8×9。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
19．（2024秋 汝州市期末）辉辉和同桌合作摆三角形（如图），摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒……请你根据这样的条件，把如表填写完整。
摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个
3根 5根
7 根 ……
13 根 ……
21 根
【考点】数与形结合的规律．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】7；13；21。
【分析】规律：每增加1个三角形，就增加2根小棒，所以第n个图形要用（2n+1）根小棒。
【解答】解：2×3+1
＝6+1
＝7（根）
2×6+1
＝12+1
＝13（根）
2×10+1
＝21+1
＝21（根）
摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个
3根 5根 7根 …… 13根 …… 21根
故答案为：7；13；21。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
20．（2024秋 太和县期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。
（1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。
4＝1+3
9＝3+6
16＝6+10
25＝10+15
（2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝ 45+55 。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】（1）如图：
25＝10+15；
（2）45+55。
【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21……
“正方形数”的规律为1、4、9、16、25……
规律：n2＝（1+2+3+……+n﹣1）+（1+2+3+……+n）；据此解答即可。
【解答】解：（1）如图：
25＝10+15
（2）100＝102＝（1+2+3+……+9）+（1+2+3+……+9+10）
第二个“三角形数”：1+2+3+……+10
＝（1+10）×10÷2
＝55
第一个“三角形数”：100﹣55＝45
则把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝45+55。
故答案为：25＝10+15，45+55。
【点评】本题考查了数形结合问题。发现“正方形数”和“三角形数”的关系是解题的关键。
六．操作题（共4小题）
21．（2024 平度市）用直径10厘米的圆设计图案，如下图，根据规律完成下表。
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… ……
【考点】数与形结合的规律．
【专题】数据分析观念；应用意识．
【答案】
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… 50 …… 5n+5
【分析】观察图形可得：第一个图案有1个圆，长度是10厘米，即一个圆的直径；第二个图案有2个圆，长度是10+5＝15（厘米），即一个圆的直径加1个半径；第三个图案有3个圆，长度是10+5+5＝20（厘米），即一个圆的直径加2个半径；第四个图案有4个圆，长度是10+5+5+5＝25（厘米），一个圆的直径加3个半径；由此可得，每增加一个圆，长度增加1个圆的半径；那么第9个图案长度是10+5×（9﹣1）；第n个图案长度是10+5×（n﹣1）。据此填表。
【解答】解：第一个图案长度是10厘米；
第二个图案长度是10+5＝15（厘米）；
第三个图案长度是10+5+5＝20（厘米）；
第四个图案长度是10+5+5+5＝25（厘米）
第9个图案长度是：
10+5×（9﹣1）
＝10+40
＝50（厘米）
第n个图案长度是：
10+5×（n﹣1）
＝10+5n﹣5
＝5n+5（厘米）
填表如下：
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… 50 …… 5n+5
【点评】解决本题的关键是观察分析得到图案长度的规律，然后再根据规律进行解答。
22．（2024 黄骅市）如图，搭一条“金鱼”用8根火柴。搭5条“金鱼”用 32 根火柴，搭n条“金鱼”用 （6n+2） 根火柴，62根火柴可以搭 10 条“金鱼”。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】运算能力．
【答案】32；（6n+2）；10。
【分析】根据图示可知：搭1条“金鱼”需火柴棒根数：8根；
搭2条“金鱼”需火柴棒根数：8+6＝14（根）；
搭3条“金鱼”需火柴棒根数：8+6+6＝20（根）；
……
搭n条“金鱼”需火柴棒根数：8+6×（n﹣1）＝（6n﹣2）根。据此解答。
【解答】解：搭1条“金鱼”需火柴棒根数：8根；
搭2条“金鱼”需火柴棒根数：8+6＝14（根）；
搭3条“金鱼”需火柴棒根数：8+6+6＝20（根）；
……
搭5条“金鱼”需火柴棒根数：8+6+6+6+6＝32（根）；
……
搭n条“金鱼”需火柴棒根数：8+6×（n﹣1）＝（6n+2）根；
（62﹣2）÷6
＝60÷6
＝10（条）
答：搭5条“金鱼”用 32根火柴，搭n条“金鱼”用 （6n+2 ）根火柴，62根火柴可以搭 10条“金鱼”。
故答案为：32；（6n+2）；10。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形发现这组图形的规律，并运用规律做题。
23．（2024秋 李沧区期中）如图图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为 26 个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 （3n+2） 个。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】26，（3n+2）。
【分析】观察可得规律是，第（1）幅图有5个“〇”，第（2）幅图有（5+3）个“〇”，第（3）幅图有（5+3+3）个“〇”，第n幅图有5+（n﹣1）×3个“〇”。
【解答】解：当n＝8时，
5+（n﹣1）×3
＝5+（8﹣1）×3
＝26（个）
5+（n﹣1）×3＝3n+2
答：第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为26个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 （3n+2）个。
故答案为：26，（3n+2）。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
24．（2024 平顶山）如图是由长方形和三角形组成的一连串图形，每个长方形上都有数，按照这样的方式一直摆下去。a表示图中三角形的数量，b表示图中长方形的数量，用式子表示a和b的关系，并写出思考过程。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】a＝2（b﹣1）。
【分析】除了第一个长方形外，每增加一个长方形就增加2个三角形，所以长方形和三角形个数的关系是：a＝2（b﹣1）；据此解答即可。
【解答】解：除了第一个长方形外，每增加一个长方形就增加2个三角形；
所以长方形和三角形个数的关系是：a＝2（b﹣1）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
七．解答题（共1小题）
25．（2024秋 南京期末）若1个□的面积表示“1”，则“2”可以这样表示：，2＝1×2＝2；“2+4”可以这样表示：
，即2+4＝2×3＝6；“2+4+6”可以这样表示：，即2+4+6＝3×4＝12；“2+4+6+8”
可以这样表示：，即 2+4+6+8＝4×5＝20 。
（1）那么“2+4+6+8”等于多少呢？请你将对应算式填写完整。
（2）仔细观察，你有什么发现？
我发现： 从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1） 。
（3）你可以用举例子的方法验证你的发现吗？
我会验证： 2+4+6+8+10+12＝6×7＝42 。
【考点】“式”的规律；数与形结合的规律．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）2+4+6+8＝4×5＝20；
（2）从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1），据此解答即可；
（3）举例验证即可。
【解答】解：（1）2+4+6+8＝4×5＝20
（2）发现：从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1）；
（3）2+4+6+8+10+12＝6×7＝42。（答案不唯一）
故答案为：（1）2+4+6+8＝4×5＝20；（2）从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1）；（3）2+4+6+8+10+12＝6×7＝42。（答案不唯一）
【点评】此题考查数与形结合的规律。
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第八单元 数学广角——数与形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡水期末）如图，第1幅图中有5个三角形，第2幅图中有9个三角形，第3幅图中有13个三角形，按这样的规律，第6幅图中有（ ）个三角形。
A．23 B．24 C．25
2．（2024 龙泉市）奇奇在玩长8厘米、宽3厘米的卡片时，发现这些卡片用如图两种摆法都正好摆满写字台的长边，写字台的长边可能是（ ）厘米。
① ②
A．44 B．72 C．80 D．88
3．（2024 墨竹工卡县）用同样长的小棍摆成如图所示的图形，照这样继续摆，第⑥个图形用（ ）根小棍．
A．30 B．25 C．24 D．20
4．（2024秋 依兰县期末）如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填（ ）
A．2 B．5 C．8
5．（2024 黄岩区）用4m长的绳子按如图规律围正方形，那么图形④的面积比图形③的面积少（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 滨湖区期末）如图，照这样用小棒摆正方形。摆一个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒……摆8个正方形需要 根小棒，摆n个正方形需要 根小棒。
7．（2024秋 西湖区期末）如图所示，把棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律，第n个图形需要棋子 颗。
8．（2024秋 高新区期末）如图，填写如表：
正方形个数 1 2 3 4 …… n
直角三角形个数 0 4 8
……
9．（2024秋 鄞州区期末）用小棒按如图所示的方式搭三角形。根据图形，找规律填空。
……
（1）搭4个三角形需要 根小棒。
（2）搭n个三角形需要 根小棒。
10．（2024秋 江北区期末）按规律填数：999×4＝3996，999×5＝4995，999×6＝5994，999×7＝ 。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 西平县期中）根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。
12．（2024春 茂名期末）按0、5、10、15、20……这样的规律排下去，下一个数应该是25。
13．（2024 沈丘县）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。
14．（2024春 鹿邑县期末）根据0.2，0.3，0.5，0.8，1.3，□中的规律，□里应填1.5。
15．（2024春 项城市期末）按1，2，3，5，8，13，□中的规律，□里应填15。
四．计算题（共2小题）
16．（2024秋 忻府区期中）找规律，直接把得数填在横线里。
0×9+8＝8 9×9+7＝88 98×9+6＝888
987×9+5＝ 9876×9+4＝
×9+3＝888888
987654×9+2＝ 9876543× +1＝8888888
17．（2024秋 长葛市期中）根据前面三道算式，直接填出横线里的数。
88×81＝7128
888×81＝71928
8888×81＝719928
88888×81＝
888888×81＝
五．应用题（共3小题）
18．（2024 梁子湖区）探索与发现。
圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究：
序号 图① 图② 图③ ……
图形
……
圆柱的个数 1 3 6 ……
绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 ……
（1）若按此规律继续摆，图④中有 个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 。
（2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14）
19．（2024秋 汝州市期末）辉辉和同桌合作摆三角形（如图），摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒……请你根据这样的条件，把如表填写完整。
摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个
3根 5根
根 ……
根 ……
根
20．（2024秋 太和县期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。
（1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。
4＝1+3
9＝3+6
16＝6+10
（2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝ 。
六．操作题（共4小题）
21．（2024 平度市）用直径10厘米的圆设计图案，如下图，根据规律完成下表。
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… ……
22．（2024 黄骅市）如图，搭一条“金鱼”用8根火柴。搭5条“金鱼”用 根火柴，搭n条“金鱼”用 根火柴，62根火柴可以搭 条“金鱼”。
23．（2024秋 李沧区期中）如图图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为 个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 个。
24．（2024 平顶山）如图是由长方形和三角形组成的一连串图形，每个长方形上都有数，按照这样的方式一直摆下去。a表示图中三角形的数量，b表示图中长方形的数量，用式子表示a和b的关系，并写出思考过程。
七．解答题（共1小题）
25．（2024秋 南京期末）若1个□的面积表示“1”，则“2”可以这样表示：，2＝1×2＝2；“2+4”可以这样表示：
，即2+4＝2×3＝6；“2+4+6”可以这样表示：，即2+4+6＝3×4＝12；“2+4+6+8”
可以这样表示：，即 。
（1）那么“2+4+6+8”等于多少呢？请你将对应算式填写完整。
（2）仔细观察，你有什么发现？
我发现： 。
（3）你可以用举例子的方法验证你的发现吗？
我会验证： 。
第八单元 数学广角——数与形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡水期末）如图，第1幅图中有5个三角形，第2幅图中有9个三角形，第3幅图中有13个三角形，按这样的规律，第6幅图中有（ ）个三角形。
A．23 B．24 C．25
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】C
【分析】观察可得，每次在图形的中心增加一个小三角形，整个图形就增加4个三角形。第n幅图形三角形的个数是（n﹣1）×4+5（个）。
【解答】解：当n＝6时，
（n﹣1）×4+5
＝（6﹣1）×4+5
＝25（个）
答：第6幅图中有25个三角形。
故选：C。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
2．（2024 龙泉市）奇奇在玩长8厘米、宽3厘米的卡片时，发现这些卡片用如图两种摆法都正好摆满写字台的长边，写字台的长边可能是（ ）厘米。
① ②
A．44 B．72 C．80 D．88
【考点】数与形结合的规律．
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意可知本题就是求8，8+3＝11的公倍数，由最小公倍数的意义可知：最小公倍数是几个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，然后据此求出它们的最小公倍数。
【解答】解：8+3＝11
8和11是互质数，
故8、11的最小公倍数是：8×11＝88。
答：写字台的长边可能是88厘米。
故选：D。
【点评】本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意找准哪些是两个数公有的质因数，哪些是独有的质因数。
3．（2024 墨竹工卡县）用同样长的小棍摆成如图所示的图形，照这样继续摆，第⑥个图形用（ ）根小棍．
A．30 B．25 C．24 D．20
【考点】数与形结合的规律．
【专题】探索数的规律；几何直观．
【答案】B
【分析】图①用5根小棒摆成，图②用9根小棒摆成
仔细观察发现每增加一个五六边形其小棍根数增加4根，将此规律用代数式表示出来即可．
【解答】解：由图可知：
图形标号①的小棍根数为5；
图形标号②的小棍根数为9；
图形标号③的小棍根数为13；
…
由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，小棍的个数增加4，
所以可以得出规律：搭第⑥个图形需要小棍根数为：5+4×（6﹣1）＝25（根）
故选：B．
【点评】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可．
4．（2024秋 依兰县期末）如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填（ ）
A．2 B．5 C．8
【考点】数列中的规律．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】里的数等于它周围里的数之和。
【解答】解：如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填2。
故选：A。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
5．（2024 黄岩区）用4m长的绳子按如图规律围正方形，那么图形④的面积比图形③的面积少（ ）
A． B． C． D．
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】D
【分析】图①正方形的边长4÷4＝1（米），图②每个小正方形的边长是4÷8（米），图③小正方形的边长是4÷12（米），图④每个小正方形的边长是4÷4÷4（米）。用③面积减去④面积即可。
【解答】解：4÷3÷4（米）
4÷4÷4（米）
34（平方米）
答：图形④的面积比图形③的面积少（平方米）。
故选：D。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 滨湖区期末）如图，照这样用小棒摆正方形。摆一个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒……摆8个正方形需要 25 根小棒，摆n个正方形需要 （3n+1） 根小棒。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】25，（3n+1）。
【分析】根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根小棒。
【解答】解：观察图形发现：第一个图形需要4根小棒，多一个正方形，多用3根小棒，则第n个图形中，需要小棒：4+3（n﹣1）＝3n+1
当n＝8，3n+1＝3×8+1＝25
答：摆8个正方形需要25根小棒，摆n个正方形需要（3n+1）根小棒。
故答案为：25，（3n+1）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．（2024秋 西湖区期末）如图所示，把棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律，第n个图形需要棋子 （n2+2n） 颗。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】（n2+2n）。
【分析】第一个图形需要12+2×1＝3（颗）棋子；第二个图形需要22+2×2＝8（颗）棋子；第三个图形需要32+2×3＝15（颗）棋子；……第n各图形需要（n2+2n）颗）棋子。据此解答。
【解答】解：第一个图形需要12+2×1＝3（颗）棋子；
第二个图形需要22+2×2＝8（颗）棋子；
第三个图形需要32+2×3＝15（颗）棋子；
……
第n各图形需要（n2+2n）颗）棋子。
故答案为：（n2+2n）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
8．（2024秋 高新区期末）如图，填写如表：
正方形个数 1 2 3 4 …… n
直角三角形个数 0 4 8
12
……
4n﹣4
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】12，4n﹣4。
【分析】观察可得规律是，有n个正方形，就有[（n﹣1）×4]（个）直角三角形。
【解答】解：当n＝4时，
4×（4﹣1）＝12（个）
正方形个数 1 2 3 4 …… n
直角三角形个数 0 4 8 12 …… 4n﹣4
故答案为：12，4n﹣4。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
9．（2024秋 鄞州区期末）用小棒按如图所示的方式搭三角形。根据图形，找规律填空。
……
（1）搭4个三角形需要 9 根小棒。
（2）搭n个三角形需要 （2n+1） 根小棒。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】（1）9，（2）2n+1。
【分析】搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要（3+2）根小棒，搭3个三角形需要（3+2+2）根小棒，搭n个三角形需要3+（n﹣1）×2（根）小棒。
【解答】解：（1）当n＝4时，
3+（n﹣1）×2
＝3+6
＝9（根）
答：搭4个三角形需要9根小棒。
（2）3+（n﹣1）×2＝2n+1
答：搭n个三角形需要（2n+1）根小棒。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
10．（2024秋 江北区期末）按规律填数：999×4＝3996，999×5＝4995，999×6＝5994，999×7＝ 6993 。
【考点】“式”的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】6993。
【分析】乘数是由3个9组成的三位数乘一位数，所得积是四位数，这个四位数的最高位上和个位上的数字分别是9与这个一位数的积的十位上和个位上的数字，中间有2个9。
【解答】解：按规律填数：999×4＝3996，999×5＝4995，999×6＝5994，999×7＝6993。
故答案为：6993。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 西平县期中）根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。 √
【考点】数列中的规律．
【专题】数感．
【答案】√。
【分析】根据题意，“3.24，1.08，0.36，□”中后面的数依次是前面的数的，据此解答即可。
【解答】解：0.360.12
答：根据“3.24，1.08，0.36，□”中的规律，可知□里应填0.12。所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了数列的排列规律，结合题意分析解答即可。
12．（2024春 茂名期末）按0、5、10、15、20……这样的规律排下去，下一个数应该是25。 √
【考点】数列中的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】√
【分析】后一个数比前一个数多5；据此解决。
【解答】解：20+5＝25
所以按0、5、10、15、20……这样的规律排下去，下一个数应该是25；此说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查的是数字排列的规律，关键是找出规律。
13．（2024 沈丘县）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。 √
【考点】数与形结合的规律．
【专题】探索数的规律；应用意识．
【答案】√
【分析】每增加一个正方形，就增加3根小棒，所以第n个图形需要小棒（3n+1）根；据此解答即可。
【解答】解：3×100+1
＝300+1
＝301（根）
即第100个图案需要301根小棒，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
14．（2024春 鹿邑县期末）根据0.2，0.3，0.5，0.8，1.3，□中的规律，□里应填1.5。 ×
【考点】数列中的规律．
【专题】综合填空题；探索数的规律．
【答案】×
【分析】规律：从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和。
【解答】解：0.8+1.3＝2.1
即□里应填2.1，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
15．（2024春 项城市期末）按1，2，3，5，8，13，□中的规律，□里应填15。 ×
【考点】数列中的规律．
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】前面两数之和等于后面的数。
【解答】解：按1，2，3，5，8，13，□中的规律，□里应填21。所以原题干表述错误。
故答案为：×。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
四．计算题（共2小题）
16．（2024秋 忻府区期中）找规律，直接把得数填在横线里。
0×9+8＝8 9×9+7＝88 98×9+6＝888
987×9+5＝ 8888 9876×9+4＝ 88888
98765 ×9+3＝888888
987654×9+2＝ 8888888 9876543× 9 +1＝8888888
【考点】“式”的规律．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】8888，88888，98765，8888888，9。
【分析】纵观各算式，都是乘、加混合运算，加数依次为8、7、6……是从8开始，第二个因数都是9，第一个因数是0、9、98、987……计算结果全部数字都是8，其个数第一个因数加1。
【解答】解：因为0×9+8＝8
9×9+7＝88
98×9+6＝888
所以987×9+5＝8888
9876×9+4＝88888
98765×9+3＝888888
987654×9+2＝8888888
9876543×9+1＝88888888
故答案为：8888，88888，98765，8888888，9。
【点评】解答此题的关键是根据前三个算式找出规律，然后再根据规律填空。
17．（2024秋 长葛市期中）根据前面三道算式，直接填出横线里的数。
88×81＝7128
888×81＝71928
8888×81＝719928
88888×81＝ 7199928
888888×81＝ 71999928
【考点】“式”的规律．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】7199928；71999928。
【分析】第一个乘数数字依次增加1个8，第二个乘数都是81，乘积前两位和后两位分别是71、28不变，中间9的个数等于“8”的个数减2；据此解答即可。
【解答】解：88×81＝7128
888×81＝71928
8888×81＝719928
88888×81＝7199928
888888×81＝71999928
故答案为：7199928；71999928。
【点评】解答本题关键是找到规律，然后利用规律解决问题。
五．应用题（共3小题）
18．（2024 梁子湖区）探索与发现。
圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究：
序号 图① 图② 图③ ……
图形
……
圆柱的个数 1 3 6 ……
绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 ……
（1）若按此规律继续摆，图④中有 10 个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 8π+8×9 。
（2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14）
【考点】数与形结合的规律．
【专题】综合填空题；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】（1）10，8π+8×9；
（2）45，217.12厘米。
【分析】（1）图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米；
图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3；
图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3；
图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3；
……
图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。
即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。
（2）根据（1）的规律，计算当n＝9时圆柱的个数及绳子的长度即可。
【解答】解：图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米；
图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3；
图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3；
图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3；
……
图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。
即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。所以：
（1）图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是8π+8×9。
（2）图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是：
8×3.14+8×24
＝25.12+192
＝217.12（厘米）
答：图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是217.24厘米。
故答案为：10，8π+8×9。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
19．（2024秋 汝州市期末）辉辉和同桌合作摆三角形（如图），摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒……请你根据这样的条件，把如表填写完整。
摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个
3根 5根
7 根 ……
13 根 ……
21 根
【考点】数与形结合的规律．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】7；13；21。
【分析】规律：每增加1个三角形，就增加2根小棒，所以第n个图形要用（2n+1）根小棒。
【解答】解：2×3+1
＝6+1
＝7（根）
2×6+1
＝12+1
＝13（根）
2×10+1
＝21+1
＝21（根）
摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个
3根 5根 7根 …… 13根 …… 21根
故答案为：7；13；21。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
20．（2024秋 太和县期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。
（1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。
4＝1+3
9＝3+6
16＝6+10
25＝10+15
（2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝ 45+55 。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】（1）如图：
25＝10+15；
（2）45+55。
【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21……
“正方形数”的规律为1、4、9、16、25……
规律：n2＝（1+2+3+……+n﹣1）+（1+2+3+……+n）；据此解答即可。
【解答】解：（1）如图：
25＝10+15
（2）100＝102＝（1+2+3+……+9）+（1+2+3+……+9+10）
第二个“三角形数”：1+2+3+……+10
＝（1+10）×10÷2
＝55
第一个“三角形数”：100﹣55＝45
则把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝45+55。
故答案为：25＝10+15，45+55。
【点评】本题考查了数形结合问题。发现“正方形数”和“三角形数”的关系是解题的关键。
六．操作题（共4小题）
21．（2024 平度市）用直径10厘米的圆设计图案，如下图，根据规律完成下表。
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… ……
【考点】数与形结合的规律．
【专题】数据分析观念；应用意识．
【答案】
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… 50 …… 5n+5
【分析】观察图形可得：第一个图案有1个圆，长度是10厘米，即一个圆的直径；第二个图案有2个圆，长度是10+5＝15（厘米），即一个圆的直径加1个半径；第三个图案有3个圆，长度是10+5+5＝20（厘米），即一个圆的直径加2个半径；第四个图案有4个圆，长度是10+5+5+5＝25（厘米），一个圆的直径加3个半径；由此可得，每增加一个圆，长度增加1个圆的半径；那么第9个图案长度是10+5×（9﹣1）；第n个图案长度是10+5×（n﹣1）。据此填表。
【解答】解：第一个图案长度是10厘米；
第二个图案长度是10+5＝15（厘米）；
第三个图案长度是10+5+5＝20（厘米）；
第四个图案长度是10+5+5+5＝25（厘米）
第9个图案长度是：
10+5×（9﹣1）
＝10+40
＝50（厘米）
第n个图案长度是：
10+5×（n﹣1）
＝10+5n﹣5
＝5n+5（厘米）
填表如下：
圆形个数 1 2 3 4 …… 9 …… n
图案长度（cm） 10 15 20 25 …… 50 …… 5n+5
【点评】解决本题的关键是观察分析得到图案长度的规律，然后再根据规律进行解答。
22．（2024 黄骅市）如图，搭一条“金鱼”用8根火柴。搭5条“金鱼”用 32 根火柴，搭n条“金鱼”用 （6n+2） 根火柴，62根火柴可以搭 10 条“金鱼”。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】运算能力．
【答案】32；（6n+2）；10。
【分析】根据图示可知：搭1条“金鱼”需火柴棒根数：8根；
搭2条“金鱼”需火柴棒根数：8+6＝14（根）；
搭3条“金鱼”需火柴棒根数：8+6+6＝20（根）；
……
搭n条“金鱼”需火柴棒根数：8+6×（n﹣1）＝（6n﹣2）根。据此解答。
【解答】解：搭1条“金鱼”需火柴棒根数：8根；
搭2条“金鱼”需火柴棒根数：8+6＝14（根）；
搭3条“金鱼”需火柴棒根数：8+6+6＝20（根）；
……
搭5条“金鱼”需火柴棒根数：8+6+6+6+6＝32（根）；
……
搭n条“金鱼”需火柴棒根数：8+6×（n﹣1）＝（6n+2）根；
（62﹣2）÷6
＝60÷6
＝10（条）
答：搭5条“金鱼”用 32根火柴，搭n条“金鱼”用 （6n+2 ）根火柴，62根火柴可以搭 10条“金鱼”。
故答案为：32；（6n+2）；10。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形发现这组图形的规律，并运用规律做题。
23．（2024秋 李沧区期中）如图图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为 26 个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 （3n+2） 个。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】26，（3n+2）。
【分析】观察可得规律是，第（1）幅图有5个“〇”，第（2）幅图有（5+3）个“〇”，第（3）幅图有（5+3+3）个“〇”，第n幅图有5+（n﹣1）×3个“〇”。
【解答】解：当n＝8时，
5+（n﹣1）×3
＝5+（8﹣1）×3
＝26（个）
5+（n﹣1）×3＝3n+2
答：第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为26个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 （3n+2）个。
故答案为：26，（3n+2）。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
24．（2024 平顶山）如图是由长方形和三角形组成的一连串图形，每个长方形上都有数，按照这样的方式一直摆下去。a表示图中三角形的数量，b表示图中长方形的数量，用式子表示a和b的关系，并写出思考过程。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】a＝2（b﹣1）。
【分析】除了第一个长方形外，每增加一个长方形就增加2个三角形，所以长方形和三角形个数的关系是：a＝2（b﹣1）；据此解答即可。
【解答】解：除了第一个长方形外，每增加一个长方形就增加2个三角形；
所以长方形和三角形个数的关系是：a＝2（b﹣1）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
七．解答题（共1小题）
25．（2024秋 南京期末）若1个□的面积表示“1”，则“2”可以这样表示：，2＝1×2＝2；“2+4”可以这样表示：
，即2+4＝2×3＝6；“2+4+6”可以这样表示：，即2+4+6＝3×4＝12；“2+4+6+8”
可以这样表示：，即 2+4+6+8＝4×5＝20 。
（1）那么“2+4+6+8”等于多少呢？请你将对应算式填写完整。
（2）仔细观察，你有什么发现？
我发现： 从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1） 。
（3）你可以用举例子的方法验证你的发现吗？
我会验证： 2+4+6+8+10+12＝6×7＝42 。
【考点】“式”的规律；数与形结合的规律．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）2+4+6+8＝4×5＝20；
（2）从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1），据此解答即可；
（3）举例验证即可。
【解答】解：（1）2+4+6+8＝4×5＝20
（2）发现：从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1）；
（3）2+4+6+8+10+12＝6×7＝42。（答案不唯一）
故答案为：（1）2+4+6+8＝4×5＝20；（2）从2开始的n个连续的双数相加的和是n×（n+1）；（3）2+4+6+8+10+12＝6×7＝42。（答案不唯一）
【点评】此题考查数与形结合的规律。
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