单元素养测评卷(二)
1.A [解析] 每位学生都有3种选择,则4位学生的报名方式共有34=81(种).故选A.
2.C [解析] 由排列数和组合数的公式,可得+=+4×3=6+12=18.故选C.
3.D [解析] <6×,∴x2-19x+84<0,解得74.B [解析] 由题意知,二项式的展开式的系数与二项式系数相同,即=,解得n=8,则展开式中共有9项,系数最大的项为第5项.故选B.
5.C [解析] 将区域标号,如图所示,因为②③④两两相邻,依次用不同的颜色涂色,则有6×5×4=120(种)不同的涂色方法.若①与④的颜色相同,则有1种不同的涂色方法;若①与④的颜色不相同,则有3种不同的涂色方法.所以共有120×(1+3)=480(种)不同的涂色方法.故选C.
6.D [解析] 因为首位数字不能为0,所以首先从2025,100,2,2,5这5个数中任选一个排首位,有5种排法,剩余5个数进行全排列,有种排法,又两个2交换位置所得的11位数相同,且2,0,2,5排列成2025的排法有种,所以用2025,100,2,0,2,5组成的不同的11位数的个数为×5-=297.故选D.
7.C [解析] 分类讨论,第一种情况,乙在第一天值班,剩余三天有=60(种)排法;第二种情况,乙不在第一天值班,甲也不在第一天值班,第一天有种排法,乙同时不在第四天值班,第四天有排法,剩余两天有=12(种)排法,所以共有4×4×12=192(种)排法.故共有60+192=252(种)值班安排.
8.B [解析] 求20名同学不同的站法种数需分两步.先让甲、乙、丙站,从4行中任取1行,5列中任取1列,其交点让甲站,有4×5种站法;从余下3行中任取1行,4列中任取1列,其交点让乙站,有3×4种站法;从余下2行中任取1行,3列中任取1列,其交点让丙站,有2×3种站法.因此符合要求的甲、乙、丙的站法种数为4×5×3×4×2×3=1440.再让除甲、乙、丙外的17人站,有种站法,所以这20名同学不同的站法种数为1440.故选B.
9.AD [解析] 对于A,3×4×5=,故A正确;对于B,+=2=2×=20,==15,故+≠,故B错误;对于C,=,则x=2x-2或x+2x-2=10,解得x=2或x=4,故C错误;对于D,+++=+++=1+++7=64,故D正确.故选AD.
10.AC [解析] 当x=1时,(1-2x)2025=-1,则展开式中所有项的系数和为-1,A正确.展开式中第r+1项的二项式系数为,由得所以1012≤r≤1013,故展开式中第1013和1014项的二项式系数最大,B错误.(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2025x2025,令x=0,则a0=1,令x=,则0=a0++++…+,所以+++…+=-1,C正确.二项展开式的通项为Tr+1=(-2x)r,可知x奇次幂系数为负,偶次幂系数为正,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2025|=-a1+a2-a3+a4-…-a2025,由(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025知,令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-…-a2025=32025,又a0=1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2025|=-a1+a2-a3+a4-…-a2025=32025-1,D错误.故选AC.
11.AC [解析] 对于A,
12.8 [解析] 因为=,且=,所以=(n≥3,n∈N*),所以n(n-1)=,解得n=8.
13.800 [解析] 因为x2=(x2)1·x0或x2=(x2)0·x2,所以展开式中含x2的项为·(x2)··(3x)0·24+·(x2)0··(3x)2·23=800x2,所以展开式中含x2的项的系数是800.
14.48 [解析] 先从四对双胞胎中选出一对,有4种选择,然后从剩下的六个人中选出两个人,且不能是同一对双胞胎,这相当于从三对双胞胎中选出两对,再从每对中选出一个人,共有3×2×2=12(种)选择,根据分步计数原理,共有4×12=48(种)选法.
15.解:(1)由=+1得=+1,
即=(n-1)(n-2)+1,即n2-7n+6=0,解得n=1或n=6,
由知n-1≥2,即n≥3,故n=6.
(2)方法一:+++…+=+++…+=++…+=…=+===252.
方法二:原式=1+5+15+35+70+126=252.
16.解:(1)因为共有六个位置,两个小品类节目B1,B2不能排在第一位和最后一位,先将B1,B2排好,则有种排法,剩下四个节目四个位置,则有种排法,故共有=288(种)排法.
(2)先将六个节目分成三组,且这三组的节目个数分别为1,2,3,并将其排列,有种排法,A1,A2必须排在一起共有(种)排法,A3在B1,B2中间共有种排法,故共有=24(种)排法.
(3)分两步完成:第一步,安排3个歌舞类节目A1,A2,A3,则有种排法;
第二步,用插空法安排2个小品类节目B1,B2和1个相声类节目C:
①若2个小品类节目B1,B2和1个相声类节目C互不相邻,则有2种排法;
②若C与B1,B2中的一个相邻,则有种排法.
故共有(2+)=120(种)排法.
17.解:(1)选条件①,的展开式中第3项的二项式系数是21,
则==21,且n≥2,所以n=7.
选条件②,的展开式中第2项与第7项的二项式系数相等,
则=,所以n=7.
选条件③,的展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64,
则2n-1=64,所以n=7.
(2)由(1)知,n=7,则的展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项,又T4=(2x)4=560,T5=(2x)3=280x,
所以展开式中二项式系数最大的项为560和280x.
18.解:(1)两个女生排一起视作一人,则符合要求的排法种数为=240.
(2)把6本不同的书分给4位学生,可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两组,
若是3,1,1,1分组,则有=480(种)方法,若是2,2,1,1分组,则有=1080(种)方法,故共有480+1080=1560(种)方法.
(3)若甲、乙两地安排到的女医生都为内科医生,则外科的4名男医生都被派出,
有=36(种)派法.
若甲、乙两地安排到的2名女医生一个是内科医生一个是外科医生,
有两种情况:①甲地的内科医生为女医生,而乙地的外科医生有1名女医生,
此时有=144(种)派法;
②甲地的外科医生有1名女医生,乙地的内科医生为女医生,则有=144(种)派法,合计288种派法.
综上,共有36+288=324(种)派法.
19.解:(1)由2n=+++…+=64可得n=6,
令x=1,可得=16=1,所以展开式中所有项的系数之和为1.
(2)若+=465,则n+=465,解得n=30或n=-31(舍去),
设的通项为Tr+1=(2)30-r=(-1)r230-r,
且r∈{0,1,2,…,30},
所以当r=1,3,5,…,29时,可得展开式中的项为无理项,所以共有15个无理项.
(3)设的通项为Tr+1=(2)20-r=(-1)r220-r,
且r∈{0,1,2,…,20},故系数最大的项中r为偶数,
令解得r=6或r=7(舍去),
则T7=220-6=635 043 840x-5,
所以展开式中系数最大的项为635 043 840x-5.单元素养测评卷(二)
第7章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有 ( )
A.81种 B.64种
C.24种 D.6种
2.+= ( )
A.14 B.16
C.18 D.24
3.不等式<6×的解集为 ( )
A.{2,8} B.{2,6}
C.{7,12} D.{8}
4.[2025·扬州新华中学月考] 若的展开式中第3项与第7项的系数相等,则展开式中系数最大的项为 ( )
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
5.[2025·江苏通州中学月考] 用6种不同的颜色给如图所示的区域上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法有 ( )
A.240种 B.360种
C.480种 D.600种
6.[2025·江苏南通如东中学月考] 北京故宫博物院成立于1925年10月10日,是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大型综合性博物馆,也是中国最大的古代文化艺术博物馆.2025年北京故宫博物院将迎来建院100周年.用2025,100,2,0,2,5这6个数可以组成的不同的11位数的个数为 ( )
A.594 B.300 C.294 D.297
7.某单位春节共有四天假期,但每天都需要留一名员工值班,现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班,每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班,乙在第四天不值班,则值班安排共有 ( )
A.184种 B.196种
C.252种 D.268种
8.[2025·江苏淮阴中学期中] 20名同学排成一个4行5列的矩形方阵,要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列,则这20名同学不同的站法种数为 ( )
A.480 B.1440
C.2880 D.3600
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·盐城一中月考] 下列结论正确的是 ( )
A.3×4×5=
B.+=
C.若=,则x=3
D.+++=64
10.[2025·江苏徐州高级中学期中] 已知(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025,则 ( )
A.展开式中所有项的系数和为-1
B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C.+++…+=-1
D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2025|=32025
11.[2025·江苏南通海安中学月考] 已知n∈N*,n≥2,p+q=1,p∈(0,1),设f(k)=pkq2n-k,其中k∈N,k≤2n,则下列说法正确的是 ( )
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.关于n的方程=的正整数解是 .
13.[2025·江苏兴化中学月考] (x2+3x+2)5展开式中含x2项的系数是 .
14.[2025·江苏白蒲中学月考] 有四对双胞胎共8人,从中随机选出4人,则其中恰有一对双胞胎的选法有 种.
四、解答题:本题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)已知=+1,求n.
(2)计算:+++…+.
16.(15分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目A1,A2,A3,2个小品类节目B1,B2和1个相声类节目C的演出顺序,根据要求解答下列问题(最终结果用数值表示):
(1)若两个小品类节目B1,B2不能排在第一位和最后一位,一共有多少种排法
(2)若歌舞类节目A1,A2必须排在一起,A3和B1,B2排在一起,并且A3在B1,B2中间,一共有多少种排法
(3)若同类节目不相邻,一共有多少种排法
17.(15分)[2025·无锡一中月考] 在下列三个条件中任选一个条件,补充在问题中的横线上,并解答.
条件①:展开式中第3项的二项式系数是21;
条件②:展开式中第2项与第7项的二项式系数相等;
条件③:展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64.
(选择多个条件解答,则按第一个条件计分)
问题:已知二项式(n∈N*),若 ,求:
(1)n的值;
(2)展开式中二项式系数最大的项.
18.(17分)[2025·宝应中学期中] (1)现有4男2女共6个人排成一排照相,其中两个女生相邻的排法种数为多少
(2)把6本不同的书分给4位学生,每人至少一本,共有多少种方法
(3)某医院有内科医生7名,其中有3名女医生,有外科医生5名,其中只有1名女医生.现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队,要求每队必须有2名男医生、1名女医生,且每队由2名外科医生、1名内科医生组成,共有多少种派法 (最后结果都用数字作答)
19.(17分)[2025·江苏启东中学月考] 已知(n为正整数).
(1)若+++…+=64,求该式的展开式中所有项的系数之和;
(2)若+=465,求该式的展开式中无理项的个数;
(3)若n=20,求该式的展开式中系数最大的项.
