人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 小节复习题（含解析）

24.1.2 《垂直于弦的直径》小节复习题
【题型1 利用垂径定理判断正误】
1.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
2.下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
3.如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
4.如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（ ）
A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2AC
C．AC＝AB AD D．AC＜AB AD
【题型2 利用垂径定理求角度】
1.已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
2.如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　）

A． B． C． D．
3.如图，是的弦，半径，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4.如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ．
【题型3 利用垂径定理求线段长度】
1.如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
2.如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
4.如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ）

A．5 B． C． D．
【题型4 利用垂径定理求面积】
1.如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

2.如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
4.已知的三个顶点都在圆O上，点O到的距离为3，且，则的面积= ．
【题型5 利用垂径定理求坐标】
1.如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ．
3.在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是 ．
4.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
1.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
2.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =_____．
3.已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ．
4.如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
1.如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
2.如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：．
3.如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
4.高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
1.如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
2.如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3.如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．

4.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条．
【题型9 垂径定理的实际应用】
1.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cm B． C． D．
2.我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．”
3.如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm．
4.沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型10 利用垂径定理求最值】
1.如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ．
2.如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
3.如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．6
4.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
【题型1 利用垂径定理判断正误】
1.B
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．
【详解】解：∵直径AB⊥弦CD
∴CE＝DE
故选B.
2.A
【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
3.C
【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可．
【详解】解：∵的平分线交于点，是半径，
∴，，，，故A、B、D正确；
选项C不能证明，
故选：C．
4.B
【分析】过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，根据垂径定理及三角形三边的关系求解判断即可．
【详解】解：过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，如图所示：
则∠OMA＝90°，AM＝DM，
∴AN＞AM＝AD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴ADOC，
∴∠OMA＝∠CON＝90°，
∴CN＞OC＝AB，
∴AB+AD＜2（CN+AN）＝2AC，
故选：B．
【题型2 利用垂径定理求角度】
1.C
【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过点O作于E，于D，
分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，

∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
当两弦在圆心的两侧，如图，

∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
的度数为或．
故选C．
2.D
【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论．
证明，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵是直径，，
，
，
，
故选：D．
3.C
【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，设交于K．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
4.
【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值．
【详解】解：连接交于点F，如图，
∵点A为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
故答案为：．
【题型3 利用垂径定理求线段长度】
1.C
【分析】本题考查了垂径定理，关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
过P点作于H点，根据垂径定理得，然后利用P点坐标得到，从而得到．
【详解】解：过P点作于H点，如图，
则，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
2.D
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可．
【详解】在中，，
∴，
在中，，
∴的直径为，
即最长的弦长是．
故选：D．
3.B
【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解．
【详解】解：连接，
，
∴， ．，
，
．
又，
．
∴是等边三角形，
∴
，是等边三角形，
．
故选： ．
4.C
【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F，
∵和均为直角，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
设则，
连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【题型4 利用垂径定理求面积】
1.
【分析】如图，连接，作于，则，，是等边三角形，是等腰直角三角形，，，，由，可知该三角形是以为直角边的直角三角形，然后求面积即可．
【详解】解：如图，连接，作于，

∴，
∴，
∴是等边三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，，，
∵，
∴该三角形是以为直角边的直角三角形，
∴面积为，
故答案为：．
2.A
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵是的直径，弦于点，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴的面积是．
故选：A．
3.D
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可．
【详解】解：连接，过于H，则，，
∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，则，
在中，，
∴矩形的面积等于，
故选：D．
4.或8
【分析】本题考查了垂径定理以及等腰三角形的性质，据此得，，且在上，结合勾股定理以及分类讨论思想即可作答．
【详解】解：如图所示：连接交于点D

因为，
所以，，且在上
因为点O到的距离为3，
所以，
当点在劣弧上时，
则，
，
所以的面积，
当点在优弧上时，即为点，
则，
那么，
所以的面积，
综上：的面积为或8，
故答案为：或8．
【题型5 利用垂径定理求坐标】
1.D
【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2.
【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，连接，根据垂径定理得到，由，，可得，，，推出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
的坐标为，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点的坐标是解题的关键．
作轴于点，交于点，作于点，连接，由于，，得到点的坐标为，则，为等腰直角三角形，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，则，即可得到答案．
【详解】解：如图，作轴于点，交于点，作于点，连接，
的圆心坐标是，
，
把代入得，
点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
4.A
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．过点M作于D，连接．设的半径为R，因为四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边为弦的与x轴相切，点A的坐标为，所以，，在中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可．
【详解】解：过点M作于D，交于点E．连接，设的半径为R．
∵以边为弦的与x轴相切，，
∴，
∴是直径的一部分；
∵四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为，
∴，；
∴（垂径定理）；
在中，
根据勾股定理可得，
∴，
解得：．
∴．
故选：A．
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
1.D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
2.
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
3.7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之间的距离为17；
如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，
同理可得：，
∴，
∴和之间的距离为7；
综上所述，和之间的距离为7或17．
故答案为：7或17．
4.A
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确；
如图所示，过点O作于D，连接，
∴，
∴，
∵，
∴点B到的距离为，故淇淇说法错误，
故选：A．
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
1.134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=134．
故答案为：134．
2.过点O作OE⊥AB于E，
在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED．
在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB．
∴AC=BD．
3.16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
4.解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111，
到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111
到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000
所以，到第6天所有鸡都会被感染；
（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．
∵OA=5，OC=3，CD=4，
∴CE=2．
在Rt△OCE中，AE= ，
∴AC=AE-CE= ，
∵AC=BD，
∴AC+BD=．
答：这条公路在该免疫区内有（）千米．
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
1. 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
2.C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，过点O作于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的范围，计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点，
则，
由勾股定理得：，
则，
∴线段的长度为整数的值有6、7、8、9共4个，
故选：C．
3.4
【分析】过点的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可．
【详解】过点作直径，作弦，

则是过点的最长的弦，是过点的最短的弦，
∴长度为整数的弦长还有9，
∵过点且长度为9的弦有2条，
∴经过点的所有弦中长度为整数的有4条．
故答案是4．
4.4
【分析】根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是圆的直径，得出弦的取值范围，再根据弦的长为整数，即可得出答案．
【详解】解：当时，
∴直线必过点，
最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是是直径，
当弦最短时，
连接，，
则，
点的坐标是，
，
以原点为圆心的圆过点，
圆的半径为13，
，
，
，
的长的最小值为24；
当弦最长时，则，
∴
∵弦的长为整数
∴或25或 26（其中是25的有两条），
∴弦的长为整数的有4条，
故答案为：4．
【题型9 垂径定理的实际应用】
1.】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．
【详解】解：连接，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦的长为．
故选：C．
2.1
【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
，
由垂径定理知，点E是的中点，
寸，
设半径为r寸，则寸
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
，
即圆的直径为寸，即为1尺．
故答案为：1．
3.
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点，
根据题意得，，
，
，
，
，
锅盖最低点到的距离是 ，
故答案为：．
4.A
【分析】连接，由是弦的中点，根据垂径定理得到，；由是的中点，根据垂径定理得到；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设，则，后根据勾股定理得到，求得的大小，代入公式计算即可．
本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵点是弦的中点，
∴，；
∵是的中点，
∴；
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，
设，则，
∴，
解得；
∴，
∴，
故选：A．
【题型10 利用垂径定理求最值】
1.4
【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果．
【详解】解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，
∵四边形PCED是平行四边形，
∴，，
∴根据垂径定理
在中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴线段PE的最小值是4．
故答案是：4．
2.1或4
【分析】分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，当点与点重合时，
，，，
，
，
，
如图，当点和点重合时，连接，
，，
，
，
，
综上所述：或4，
故答案为：1或4．
3.B
【分析】延长CF交于T，连接DT，利用三角形的中位线定理证明，当DT是直径时，EF的值最大．
【详解】如图所示，延长CF交于T，连接DT，
∵AB是直径，AB⊥CT，
∴CF=FT，
∵DE=EC，
∴，
当DT是直径时，EF的值最大，
此时，EF最大值为，
故选：B．
4.B
【分析】本题考查了垂径定理，含角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键.
连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含角直角三角形及勾股定理求出，，即可得到答案.
【详解】如图，连接，过点作于点，连接．
，
．
在中，
，，
，，
，，．
，
．
，
，
，．
，
，
点在以为直径的上运动，
．
当点在的延长线上时，的长最小，最小值为．
故选：B．