鲁教版（五四制）数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（1-3章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2024九上·岳阳期中）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·金堂期中）若点、在反比例函数图像上，则、大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·连州模拟）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
4．（2025·广西）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·荔湾期中）已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．（2023九上·蓬江期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B．
C． D．
8．（2025·浙里三模）如图，矩形ABCD的面积为，A点的坐标为（2，1），轴，轴，若反比例函数的图像过点B、D，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．
9．（2025·宿迁）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·仁寿模拟）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点的横坐标位于0和之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程有实数根，则．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024九下·北碚开学考） ．
12．（2025·连州模拟）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第 象限．
13．（2025·深圳一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数的图象交于E、F两点，若的面积为，则k的值
14．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
15． 如图，△DEF 的三个顶点分别在等边 三 角 形 ABC 的三 条 边 上，BC =4， 则 DF 长度的最小值是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2024九上·西湖期中）已知二次函数，当时，；当时，．
（1）求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标；
（2）此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标．
17．（2025·潮阳模拟）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，．
（1）求冬至时日影的长度；
（2）求春分和秋分时日影长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，）
18．（2022九上·合江期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
19．（2025·深圳模拟）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）．
(1)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知——自主探索，合作交流——总结归纳，巩固提高”.其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由.
20．（2024九上·东阳期末）如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，）
（1）求的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
21．（2025九上·慈溪期末）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
22．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）．
（1）求a的值及线段的长；
（2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积；
（3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值．
23．（2025·宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
（1）下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是 ；
①；②；③．
（2）若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
（3）特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由得：xy=-10，A：xy=10，图象不经过，故A不符合要求；
B：xy=-10，图象一定经过，故B符合要求；
C：xy=10，图象不经过，故C不符合要求；
D：xy=16，图象不经过，故D不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的解析式可得出xy=-10，所以只需计算各选项横，纵坐标的积，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵点A（2，y1）与点B（3，y2）都在反比例函数的图象上，
∴y1=，y2=，
∵-3＜-2，
∴，
故答案为：A．
【分析】由题意。把点A（2，y1）与点B（3，y2）的横坐标代入反比例函数上计算，求得y1、y2的值，比较y1、y2的大小即可求解．
3．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，
∴，
故选：D．
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，半径为4，需求出圆心角∠BCA’在Rt△BCA’中，BC=2，CA=4，求出利用即可求出CA扫过的面积。
4．【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：∵在中，
∴
故答案为： B
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【分析】根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=4代入解析式可得n值.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
故选：D．
【分析】由一次函数图象经过一、三、四象限可得，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作于点G，延长FE交BC于点H
因为，所以（邻补角性质）
在中，AE = 1.2米， sin37°≈0.60 ，
由sin，可得EG = AE= 1.20.60 = 0.72米
又因为AB = 1.2米，
所以车辆限高为AB + EG = 1.2 + 0.72 = 1.92米
故选：C.
【分析】本题考查解三角形的实际应用核心是通过构造直角三角形，利用三角函数求解线段长度。
辅助线作用：作，将分散的线段和角度关系集中到中，把 限高转化为AB与EG的和，简化问题
角度推导：利用AEF与 AEG的邻补角关系（ AEF + AEG = 180），求出 AEG = 37，为三角函数计算提供条件
三角函数应用：在中，根据正弦函数定义，用AE和sin37计算EG，最终得出限高.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（2，1），AB∥x轴，AD∥y轴，
∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，
∵B、D在反比例函数y=上，
∴B（k，1），D（2，），
∴AB =k-2，AD =-1，
∴矩形ABCD的面积为：AB×AD=（k-2）(-1)=，
解得：k=5或k=-1（舍去，不符合题意）
∴k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意可得点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，于是可设B（k，1），D（2，），结合题意将AB、AD用含k的代数式表示出来，根据矩形的面积=长×宽=可得关于k的方程，解方程并结合反比例函数的图象在第一象限可求解.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，分别过点A、B作x轴的垂线段AM、BN，再分别过A、E分别作y轴的垂线段AP、EQ，则轴、轴.
点、在双曲线上
，即
解得：
，即
故正确答案为：C
【分析】分别过点A、B作x轴的垂线段AM、BN，则，则由于与共底同高，则利用已知可得出，则的面积均可用含的代数式表示，因为可证，则利用面积比等于相似比可求得的值，则的面积均可得，再利用共底同高三角形的面积比可求得OM与MC的比；同理再证，利用面积比等于相似比的平方则可求得的面积，即面积可求；再分别过点A、E作y轴的垂线段AP和EQ，则由AD=ED结合AAS可证，由全等的性质可得AP=EQ，则，因为，则，即，即，由于双曲线一个分支位于第二象限，则.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，即，
当时，，
∴，故错误；
∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
由图象可得，当时，，
∴，故正确；
∵直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为、，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，故错误；
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴正确的结论有2，
故答案为：．
【分析】首先利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；根据根的判别式即可判断；解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
11．【答案】
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】首先根据负整数指数的性质化简，并把30°锐角的余弦值代入原式，然后再进行运算，即可得出答案。
12．【答案】一、三
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的方程无解，
，
解得：，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
故答案为：一，三．
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得K的取值范围，再判断反比例函数图象所在象限即可．
13．【答案】1
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设E(2，)，F(2)，为直角三角形，面积
由，解得k = 1，
故填：1.
【分析】本题考查正方形图像与反比例函数综合，利用正方形边长表示E、F坐标，结合三角形面积公式列方程求解k。通过坐标关系确定的直角边长度，建立方程体现函数与几何图形的融合，核心是用代数方法解决几何面积问题.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H，
∵∠EDF=90°，，
∴∠EFD=60°，
∴∠AFE+∠DFC=120°，
∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴∠C=∠A=60°，AC=BC=4，
∴∠AFE+∠AEF=120°，
又∵∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△CFD，
∴，
∵∠EDF=90°，∠EFD=60°，
∴
∴，
∴设CD=a，则AF=2a，
∴CF=AC-AF=4-2a，
在Rt△CFH中，∠C=60°，
∴
∴
∴DH=CD-CH=a-（2-a）=2a-2，
在Rt△DFH中，DF2=DH2+FH2，
即
∴DF2的最小值为，
∴DF的最小值为.
故答案为： .
【分析】根据已知可得∠EFD=60°，利用一线三等角模型证明△AEF∽△CFD，可得，设CD=a，在Rt△DFH利用勾股定理构造DF2关于a的二次函数关系，利用二次函数最值即可求解．
16．【答案】（1）解：把，；当，代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，则，
解得，，
∵在的左边，
∴，，
令，则，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得a、c的值，即可求出二次函数的解析式，再化一般式为顶点式即可写出顶点坐标；
（2）令，解方程求得A、B点的坐标，令，解方程可求得C点的坐标．
（1）解：把时，；当时，代入，
得，解得，
∴二次函数表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，则，
解得，，
∵在的左边，
∴，，
令，则，
∴．
17．【答案】（1）解：在中，，尺，，
∴尺。
（2）解：在中，，尺，，
∴尺，
∴尺，
∴春分和秋分时日影长度为尺。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）在中，根据正切函数的定义：，然后代入数据即可求解；
（2）在中，根据正切函数的定义：，代入数据即可求出的长度，从而得到的长度，即可求解。
（1）解：在中，，尺，，
∴尺；
（2）解：在中，，尺，，
∴尺，
∴尺，
∴春分和秋分时日影长度为尺．
18．【答案】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；
如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
当时，，
，
；
，，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出n的值，然后用待定系数法可求得直线解析式；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后根据三角形面积的构成可求解；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可求解．
19．【答案】解：（1）设AB段的函数关系式为，将代入得解得：
∴.AB段的函数关系式为
设CD段的函数关系式为，将代入得
，
∴反比例函数的解析式为：
把代入得：
把代入得：
∴第35分钟时比开始学习后第5分钟学生的注意力更集中
（2）把代入得：
把代入得：
根据题意得
∴这样的课堂学习安排合理．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】本题主要对反比例函数的应用进行考查；（1）根据图象信息，AB段为一次函数，根据待定系数法设函数关系式，带入已知两点解得AB段解析式为，BC是平行于x轴的线段，CD段为双曲线，根据待定系数法设出解析式并带入已知点解得CD段解析式，再把与分别带入两个解析式得出y值并进行比较，第35分钟时比开始学习后第5分钟学生的注意力更集中；
（2）将带入两个解析式，对对应的x值进行差值计算，所以这样的课堂学习安排合理。
20．【答案】（1）解：，
，
又，
．
（2）解：他不能挂上篮网，理由如下：
如图，延长、交于点H，
∵地面，地面，
，
，
又，
，
，
，
，
∵篮筐与支架在同一直线上，
∴与地面的距离为3.124米，
而，
∴他不能挂上篮网．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据“直角三角形，两锐角互余”即可求出；
（2）延长、交于点H，利用那个对顶角相等及直角三角形两锐角互余得，根据∠ADH的正弦函数可求出的长，进而可得的长，由篮筐与支架在同一直线上可得与地面的距离与相同，再与3米做比较即可判断工人是否能否挂上篮网．
（1），
，
又，
．
（2）如图，延长、交于点H，
∵地面，地面，
，
，
又，
，
，
，
，
∵篮筐与支架在同一直线上，
∴与地面的距离为3.124米，
而，
∴他不能挂上篮网．
21．【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．
（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用点A(3，2)和对称轴求出函数表达式；
(2)利用公式求出函数最大值；
(3)利用图象分析即可.
22．【答案】（1）解：将代入直线中，
可得，
解得：，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
∴，
∴．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，
解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出a的值；再求出点A的坐标，可得OA和OB的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点A的坐标代入求出k的值，再求出点C、D的坐标，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ABD的面积即可；
（3）利用相似三角形的性质可得，再利用正切的定义可得， 设，则， 求出t的值，可得点M的坐标，再求出其对应点并代入求出k的值即可.
（1）解：将代入直线中，得，故，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
所以，
故．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，
设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
23．【答案】（1）①
（2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，
由题意得，，
解得：，
∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
∴关于的不等式组有解，
∴或或，
解得：或或，即，
∴实数的取值范围为；
（3）解：设“2阶完美点”的坐标为，
由题意得，，
∴“2阶完美点”在函数上，
∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，
∴函数与函数只有一个交点，
令，整理得，
设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，
当时，，
若函数与轴有2个交点，则当时，有，
∴，
解得：；
若函数与轴只有1个交点，则，
整理得：，
解得：或，
当时，则与轴的交点的横坐标为，
∵，
∴符合题意；
当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意；
设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为，
由题意得，，
∴不等式组无解，
∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意；
∵，
∴函数的最小值为2，
∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2，
∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意；
∴函数图象上存在“1阶近轴点”的是①；
故答案为：①；
【分析】（1）由“1阶近轴点”的定义知，反比例函数经过点，则 ① 满足；对于直线上的点，当横坐标x在-1和1之间时，对应的纵坐标在4和2之间，故 ② 不满足；因为抛物线可化为顶点式，即其到轴的距离大于等于2，故 ③ 也不满足；
（2）先利用直线上点的坐标特征可设“3阶近轴点”的坐标，再根据题意可列关于t的不等式组，解不等式得，由于不等式组有解集，应再分类讨论，即当时，或时或时，再分别解不等式组即可.
1 / 1鲁教版（五四制）数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（1-3章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2024九上·岳阳期中）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由得：xy=-10，A：xy=10，图象不经过，故A不符合要求；
B：xy=-10，图象一定经过，故B符合要求；
C：xy=10，图象不经过，故C不符合要求；
D：xy=16，图象不经过，故D不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的解析式可得出xy=-10，所以只需计算各选项横，纵坐标的积，即可得出答案。
2．（2024九上·金堂期中）若点、在反比例函数图像上，则、大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵点A（2，y1）与点B（3，y2）都在反比例函数的图象上，
∴y1=，y2=，
∵-3＜-2，
∴，
故答案为：A．
【分析】由题意。把点A（2，y1）与点B（3，y2）的横坐标代入反比例函数上计算，求得y1、y2的值，比较y1、y2的大小即可求解．
3．（2025·连州模拟）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，
∴，
故选：D．
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，半径为4，需求出圆心角∠BCA’在Rt△BCA’中，BC=2，CA=4，求出利用即可求出CA扫过的面积。
4．（2025·广西）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：∵在中，
∴
故答案为： B
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
5．（2025九上·荔湾期中）已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【分析】根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=4代入解析式可得n值.
6．（2023九上·蓬江期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
故选：D．
【分析】由一次函数图象经过一、三、四象限可得，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
7．（2025·深圳一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作于点G，延长FE交BC于点H
因为，所以（邻补角性质）
在中，AE = 1.2米， sin37°≈0.60 ，
由sin，可得EG = AE= 1.20.60 = 0.72米
又因为AB = 1.2米，
所以车辆限高为AB + EG = 1.2 + 0.72 = 1.92米
故选：C.
【分析】本题考查解三角形的实际应用核心是通过构造直角三角形，利用三角函数求解线段长度。
辅助线作用：作，将分散的线段和角度关系集中到中，把 限高转化为AB与EG的和，简化问题
角度推导：利用AEF与 AEG的邻补角关系（ AEF + AEG = 180），求出 AEG = 37，为三角函数计算提供条件
三角函数应用：在中，根据正弦函数定义，用AE和sin37计算EG，最终得出限高.
8．（2025·浙里三模）如图，矩形ABCD的面积为，A点的坐标为（2，1），轴，轴，若反比例函数的图像过点B、D，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（2，1），AB∥x轴，AD∥y轴，
∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，
∵B、D在反比例函数y=上，
∴B（k，1），D（2，），
∴AB =k-2，AD =-1，
∴矩形ABCD的面积为：AB×AD=（k-2）(-1)=，
解得：k=5或k=-1（舍去，不符合题意）
∴k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意可得点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，于是可设B（k，1），D（2，），结合题意将AB、AD用含k的代数式表示出来，根据矩形的面积=长×宽=可得关于k的方程，解方程并结合反比例函数的图象在第一象限可求解.
9．（2025·宿迁）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，分别过点A、B作x轴的垂线段AM、BN，再分别过A、E分别作y轴的垂线段AP、EQ，则轴、轴.
点、在双曲线上
，即
解得：
，即
故正确答案为：C
【分析】分别过点A、B作x轴的垂线段AM、BN，则，则由于与共底同高，则利用已知可得出，则的面积均可用含的代数式表示，因为可证，则利用面积比等于相似比可求得的值，则的面积均可得，再利用共底同高三角形的面积比可求得OM与MC的比；同理再证，利用面积比等于相似比的平方则可求得的面积，即面积可求；再分别过点A、E作y轴的垂线段AP和EQ，则由AD=ED结合AAS可证，由全等的性质可得AP=EQ，则，因为，则，即，即，由于双曲线一个分支位于第二象限，则.
10．（2025·仁寿模拟）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点的横坐标位于0和之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程有实数根，则．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，即，
当时，，
∴，故错误；
∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
由图象可得，当时，，
∴，故正确；
∵直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为、，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，故错误；
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴正确的结论有2，
故答案为：．
【分析】首先利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；根据根的判别式即可判断；解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024九下·北碚开学考） ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】首先根据负整数指数的性质化简，并把30°锐角的余弦值代入原式，然后再进行运算，即可得出答案。
12．（2025·连州模拟）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第 象限．
【答案】一、三
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的方程无解，
，
解得：，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
故答案为：一，三．
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得K的取值范围，再判断反比例函数图象所在象限即可．
13．（2025·深圳一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数的图象交于E、F两点，若的面积为，则k的值
【答案】1
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设E(2，)，F(2)，为直角三角形，面积
由，解得k = 1，
故填：1.
【分析】本题考查正方形图像与反比例函数综合，利用正方形边长表示E、F坐标，结合三角形面积公式列方程求解k。通过坐标关系确定的直角边长度，建立方程体现函数与几何图形的融合，核心是用代数方法解决几何面积问题.
14．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
15． 如图，△DEF 的三个顶点分别在等边 三 角 形 ABC 的三 条 边 上，BC =4， 则 DF 长度的最小值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H，
∵∠EDF=90°，，
∴∠EFD=60°，
∴∠AFE+∠DFC=120°，
∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴∠C=∠A=60°，AC=BC=4，
∴∠AFE+∠AEF=120°，
又∵∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△CFD，
∴，
∵∠EDF=90°，∠EFD=60°，
∴
∴，
∴设CD=a，则AF=2a，
∴CF=AC-AF=4-2a，
在Rt△CFH中，∠C=60°，
∴
∴
∴DH=CD-CH=a-（2-a）=2a-2，
在Rt△DFH中，DF2=DH2+FH2，
即
∴DF2的最小值为，
∴DF的最小值为.
故答案为： .
【分析】根据已知可得∠EFD=60°，利用一线三等角模型证明△AEF∽△CFD，可得，设CD=a，在Rt△DFH利用勾股定理构造DF2关于a的二次函数关系，利用二次函数最值即可求解．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2024九上·西湖期中）已知二次函数，当时，；当时，．
（1）求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标；
（2）此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标．
【答案】（1）解：把，；当，代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，则，
解得，，
∵在的左边，
∴，，
令，则，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得a、c的值，即可求出二次函数的解析式，再化一般式为顶点式即可写出顶点坐标；
（2）令，解方程求得A、B点的坐标，令，解方程可求得C点的坐标．
（1）解：把时，；当时，代入，
得，解得，
∴二次函数表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，则，
解得，，
∵在的左边，
∴，，
令，则，
∴．
17．（2025·潮阳模拟）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，．
（1）求冬至时日影的长度；
（2）求春分和秋分时日影长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）解：在中，，尺，，
∴尺。
（2）解：在中，，尺，，
∴尺，
∴尺，
∴春分和秋分时日影长度为尺。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）在中，根据正切函数的定义：，然后代入数据即可求解；
（2）在中，根据正切函数的定义：，代入数据即可求出的长度，从而得到的长度，即可求解。
（1）解：在中，，尺，，
∴尺；
（2）解：在中，，尺，，
∴尺，
∴尺，
∴春分和秋分时日影长度为尺．
18．（2022九上·合江期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
【答案】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；
如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
当时，，
，
；
，，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出n的值，然后用待定系数法可求得直线解析式；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后根据三角形面积的构成可求解；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可求解．
19．（2025·深圳模拟）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）．
(1)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知——自主探索，合作交流——总结归纳，巩固提高”.其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由.
【答案】解：（1）设AB段的函数关系式为，将代入得解得：
∴.AB段的函数关系式为
设CD段的函数关系式为，将代入得
，
∴反比例函数的解析式为：
把代入得：
把代入得：
∴第35分钟时比开始学习后第5分钟学生的注意力更集中
（2）把代入得：
把代入得：
根据题意得
∴这样的课堂学习安排合理．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】本题主要对反比例函数的应用进行考查；（1）根据图象信息，AB段为一次函数，根据待定系数法设函数关系式，带入已知两点解得AB段解析式为，BC是平行于x轴的线段，CD段为双曲线，根据待定系数法设出解析式并带入已知点解得CD段解析式，再把与分别带入两个解析式得出y值并进行比较，第35分钟时比开始学习后第5分钟学生的注意力更集中；
（2）将带入两个解析式，对对应的x值进行差值计算，所以这样的课堂学习安排合理。
20．（2024九上·东阳期末）如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，）
（1）求的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
【答案】（1）解：，
，
又，
．
（2）解：他不能挂上篮网，理由如下：
如图，延长、交于点H，
∵地面，地面，
，
，
又，
，
，
，
，
∵篮筐与支架在同一直线上，
∴与地面的距离为3.124米，
而，
∴他不能挂上篮网．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据“直角三角形，两锐角互余”即可求出；
（2）延长、交于点H，利用那个对顶角相等及直角三角形两锐角互余得，根据∠ADH的正弦函数可求出的长，进而可得的长，由篮筐与支架在同一直线上可得与地面的距离与相同，再与3米做比较即可判断工人是否能否挂上篮网．
（1），
，
又，
．
（2）如图，延长、交于点H，
∵地面，地面，
，
，
又，
，
，
，
，
∵篮筐与支架在同一直线上，
∴与地面的距离为3.124米，
而，
∴他不能挂上篮网．
21．（2025九上·慈溪期末）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．
（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用点A(3，2)和对称轴求出函数表达式；
(2)利用公式求出函数最大值；
(3)利用图象分析即可.
22．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）．
（1）求a的值及线段的长；
（2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积；
（3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值．
【答案】（1）解：将代入直线中，
可得，
解得：，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
∴，
∴．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，
解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出a的值；再求出点A的坐标，可得OA和OB的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点A的坐标代入求出k的值，再求出点C、D的坐标，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ABD的面积即可；
（3）利用相似三角形的性质可得，再利用正切的定义可得， 设，则， 求出t的值，可得点M的坐标，再求出其对应点并代入求出k的值即可.
（1）解：将代入直线中，得，故，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
所以，
故．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，
设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
23．（2025·宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
（1）下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是 ；
①；②；③．
（2）若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
（3）特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
【答案】（1）①
（2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，
由题意得，，
解得：，
∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
∴关于的不等式组有解，
∴或或，
解得：或或，即，
∴实数的取值范围为；
（3）解：设“2阶完美点”的坐标为，
由题意得，，
∴“2阶完美点”在函数上，
∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，
∴函数与函数只有一个交点，
令，整理得，
设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，
当时，，
若函数与轴有2个交点，则当时，有，
∴，
解得：；
若函数与轴只有1个交点，则，
整理得：，
解得：或，
当时，则与轴的交点的横坐标为，
∵，
∴符合题意；
当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意；
设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为，
由题意得，，
∴不等式组无解，
∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意；
∵，
∴函数的最小值为2，
∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2，
∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意；
∴函数图象上存在“1阶近轴点”的是①；
故答案为：①；
【分析】（1）由“1阶近轴点”的定义知，反比例函数经过点，则 ① 满足；对于直线上的点，当横坐标x在-1和1之间时，对应的纵坐标在4和2之间，故 ② 不满足；因为抛物线可化为顶点式，即其到轴的距离大于等于2，故 ③ 也不满足；
（2）先利用直线上点的坐标特征可设“3阶近轴点”的坐标，再根据题意可列关于t的不等式组，解不等式得，由于不等式组有解集，应再分类讨论，即当时，或时或时，再分别解不等式组即可.
1 / 1
