鲁教版（五四制）数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（1-4章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2022九下·衢州月考）如图是由立方体叠成的立体图形，从正面看，得到的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察立体图形可得：从正面看，一共有两层，底层有2个小正方形，上层有一个小正方形，且在左边，则由前向后观察的视图为：．
故选B．
【分析】
从正面观察物体得到的视图叫做主视图．
2．（2025九下·越秀期中）如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
3．（2025九下·长沙期中）如图，在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，，
故答案为：C.
【分析】根据正切的定义计算即可.
4．（2024九上·岳阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于、两点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可知，当或时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，
∴若，则的取值范围是或．
故选：B．
【分析】
观察图象直接寻找双曲线在直线下方时对应的自变量x的取值范围，由于双曲线有两个分支，所以要逐象限讨论．
5．（2024九上·西塘期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形顶点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：取格点，连接，
由图知，，，，
，
，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得AC，再根据余弦定义即可求出答案.
6．（2024九上·泸县期中）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：D．
【分析】因为抛物线的解析式本身就是顶点式，可以直接得出顶点坐标。
7．（2024九上·深圳期中）如图所示，该几何体的左视图是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线，故选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据左视图的定义，可得出答案。
8．（2024九上·广州期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题需结合一次函数与二次函数的图象性质，通过一次函数图象判断a的符号，再依据a的符号分析二次函数图象的开口方向和对称轴位置，从而筛选出符合条件的选项.
9．（2024九上·襄阳期中）抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】首先可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，可得出，两点位于对称轴两侧，且根据它们的横坐标可得出（-2，y1）离对称轴更远，故而得出。
10．（2023九上·越秀期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的开口向上，
，则①正确；
抛物线与x轴没有交点，
，则②错误；
由图得：抛物线的对称轴为：，
即：，故③错误；
不等式变形为：，
令，如图，
由图象得：直线与抛物线的图象交于点和，
不等式的解集为，故④正确，
则正确的个数有2个，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象和系数之间的关系可得出：a＞0；；对称轴为直线x=，即b+2a=0，故而得出①正确；②错误；③错误；再根据二次函数的 图象和直线y=x的交点横坐标，结合函数图象，可得出的解集为，即 不等式的解集为． 故④正确。综上即可得出正确结论的个数为2个。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2023·成都）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”或“<”）.
【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，k=6＞0，
∴反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞.
【分析】根据题意先求出反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，再比较大小即可。
12．（2025九上·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】根据矩形性质可得，，设点的坐标为，根据题意可得，从而可得，根据，结合反比例函数k的结合意义即可求出答案.
13．（2024九上·蔡甸期中）在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，过作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】过作轴于，先利用解直角三角形的方法求出，可得，再利用旋转的性质求出，，最后求出点的坐标为即可.
14．（2023九上·晋州期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶A的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长2米．它的影长是3米，同一时刻测得是201米，则金字塔的高度是 米．
【答案】134
【知识点】中心投影
【解析】【解答】设金字塔的高度AO为m米，
根据可得：，
解得：m=134，
经检验，m=134时原方程的解，
∴AO=134，
故答案为：134.
【分析】设金字塔的高度AO为m米，根据相同时刻的物高与影长成比例可得，再求出m的值即可.
15．（2025九下·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图D-1，连接OA，OB，过A作AH丄c轴于H，过B作BG⊥c轴于G，
∴AH//BG，
∵AB=BC，
∴CG = HG，
∴AH=2BG，
∵A、B两点在反比例函数得图像上
设：
∵OD//AB，
∴S△AOC= S△ADC = 12，
∴S△AOB=S△AOC=6，
∴ S△AOH= S△OBG=
∴ S△AOH-S△EOH+ S△AEB = S△OBG-S△EOH +S△AEB，
即S四边形AHGB= S△AOB=6，
∴
解得：k=8
故答案为：8.
【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，由OD//AB，得到S△AOB= 12S△AOC =12S△ADC =6=S四边形AHGB，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论。
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2024九上·新市区月考）已知二次函数经过点与．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式的一般式转化成化为顶点式，即可得出顶点坐标．
（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为．
17．（2025·吴兴二模）如图，在中，于点D，，.
（1）求AD的长；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解： 于点D，
（2）解：由（1）可得： ，
【知识点】勾股定理；已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】（1）根据正弦定义即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BD，则，再根据正切定义即可求出答案.
18．（2024九上·宝安期中）如图
（1）【基础解答】如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m，DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.
（2）【拓展拔高】如图2，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树A8的高.
【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
∵太阳光线是平行的，
∴DF∥AC，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB＝6m，BC＝2m，EF＝3m，
∴，
∴DE＝9m，
答：立柱DE的长为9m.
（2）解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，
则CD＝AE＝1m，△BCE∽△B'BA'，
∴A'B'：B'B＝BE：BC，
即1：2＝BE：4，
∴BE＝2，
∴AB＝2＋1＝3（m），
答：这棵树高3m.
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，EF就是DE的投影，先证出△ABC∽△DEF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可；
（2）过点C作CE∥AD交AB于点E，先证出△BCE∽△B'BA'，再利用相似三角形的性质可得A'B'：B'B＝BE：BC，将数据代入求出BE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
19．（2025·常德模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】（1）解：∵点C（1，4）再反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D（4，m）再反比例函数图像上，
∴m=1，D（4，1）
∵∵点C（1，4），点D（4，1）在一次函数y=ax+b的图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：.
（2）解：设直线AB向下平移m个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的函数解析式是y=-x+5-m，
联立得：=-x+5-m，
整理得：，
∴，
∴5-m=4，
∴m=9或m=1，
∴ 将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式即可；
（2）设平移后直线的解析式为y=-x+5-m，联立方程，利用一元二次方程的根的判别式求得m的值即可.
（1）解：∵反比例函数过点，，
∴，
解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
20．（2025·常德模拟）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）．
【答案】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，如图所示：
由题意得∠ABD=∠CDB=90°，
∴∠AHC=180°-90°=90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH=CD=102m，
在Rt△BCH中，∠BCH=63°，tan∠BCH=，
∴CH=，
在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴∠CAH=∠ACH=45°，
∴AH=CH=51m，
∴AB=BH-AH=51m，
答：黄鹤楼的高度约为51m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，在Rt△BCHRt△ACH中解直角三角形，求出CH、AH，即可得出答案.
21．（2025·乐山模拟）如图，直线AB：y=k1x+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k2的取值范围．
【答案】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y=k1x+b，得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．
（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴BA=AD，∠BAD=90°，∠BAO+∠DAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF．
在△ADF和△BAO中，，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF=BO=2，DF=AO=1，OF=OA+AF=3，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．
当双曲线过点D时，k2=3×1=3；
当双曲线过点C时，k2=2×3=6，
∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k2≤6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）作DF⊥x轴于F，利用正方形的性质和余角的性质可证得BA=AD，∠ABO=∠DAF，利用AAS证△ADF≌△BAO，利用全等三角形的性质可得到相关线段的长，可得到点D的坐标.
（3）同（2）可求出点C的坐标，分别求出当双曲线分别过点C和点D时的k的值，即可得到k的取值范围.
22．（2025九下·淮安月考）如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．
（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；
（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．
【答案】解：（1）设DC与y轴的交于点M，∵C（1，4），
∴BC＝4，MC＝1，
∵四边形ABCD正方形，
∴CD＝BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴，
∴EM＝EC﹣MC＝1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝xy＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数为；
（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，
由折叠可知，DE＝EG＝2，∠FGE＝∠D＝90°，
在Rt△GME中，∠GME＝90°，
∴．
∴OG＝OM﹣MG＝，
∵∠FNG＝∠FGE＝∠GME＝90°，
∴∠FGN+∠EGM＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，
∴∠EGM＝∠GFN，
∴△EGM∽△GFN，
∴，
∴，
∴，
∴ON＝OM﹣MG﹣GN＝，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先由点 C的坐标为（1，4） ，根据正方形的性质可得出E（﹣1，4），进而利用待定系数法，即可求出 求反比例函数的表达式；
（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，根据折叠性质及勾股定理可得出OG的长度，再利用AA证得△EGM∽△GFN，从而得出GN的长度，进而可求得点F的坐标；
23．（2024九上·杭州期中）如何拟定运动员拍照记录的方案？
素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处．
素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离．
素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．
问题解决
任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？
【答案】解：任务1：如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，，
，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，
则，解得：，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
任务2：如图，以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得，即，
运动员到达最高处时与点的水平距离为；
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，
落点Q在底面下方竖直距离，
把代入，得，
解得：，
，
，，，
，
，
设与的函数解析式为，
由图象可知，，
解得：，
，
，
设射线的解析式为，即，
把，代入得：，
解得：，
答：俯角α至少15度
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：建立平面直角坐标系，利用AC，BC的长，可得到点A的坐标，设滑道所在抛物线的函数表达式为，将点A的坐标代入可求出a的值，可得到此函数解析式.
任务2：以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，根据题意得出运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，再求出时的值，得到的长，即可求解.
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，根据题意可求出点QM的坐标，设与的函数解析式为，结合图象求出，设射线的解析式为，将点QM的坐标代入，求出的值即可．
1 / 1鲁教版（五四制）数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（1-4章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．（2022九下·衢州月考）如图是由立方体叠成的立体图形，从正面看，得到的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·越秀期中）如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
3．（2025九下·长沙期中）如图，在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·岳阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于、两点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
5．（2024九上·西塘期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形顶点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·泸县期中）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·深圳期中）如图所示，该几何体的左视图是 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·广州期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·襄阳期中）抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．（2023九上·越秀期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2023·成都）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“>”或“<”）.
12．（2025九上·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．
13．（2024九上·蔡甸期中）在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
14．（2023九上·晋州期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶A的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长2米．它的影长是3米，同一时刻测得是201米，则金字塔的高度是 米．
15．（2025九下·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2024九上·新市区月考）已知二次函数经过点与．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
17．（2025·吴兴二模）如图，在中，于点D，，.
（1）求AD的长；
（2）若，求的值.
18．（2024九上·宝安期中）如图
（1）【基础解答】如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m，DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.
（2）【拓展拔高】如图2，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树A8的高.
19．（2025·常德模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
20．（2025·常德模拟）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）．
21．（2025·乐山模拟）如图，直线AB：y=k1x+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k2的取值范围．
22．（2025九下·淮安月考）如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．
（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；
（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．
23．（2024九上·杭州期中）如何拟定运动员拍照记录的方案？
素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处．
素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离．
素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．
问题解决
任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察立体图形可得：从正面看，一共有两层，底层有2个小正方形，上层有一个小正方形，且在左边，则由前向后观察的视图为：．
故选B．
【分析】
从正面观察物体得到的视图叫做主视图．
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，，
故答案为：C.
【分析】根据正切的定义计算即可.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可知，当或时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，
∴若，则的取值范围是或．
故选：B．
【分析】
观察图象直接寻找双曲线在直线下方时对应的自变量x的取值范围，由于双曲线有两个分支，所以要逐象限讨论．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：取格点，连接，
由图知，，，，
，
，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得AC，再根据余弦定义即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：D．
【分析】因为抛物线的解析式本身就是顶点式，可以直接得出顶点坐标。
7．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线，故选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据左视图的定义，可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题需结合一次函数与二次函数的图象性质，通过一次函数图象判断a的符号，再依据a的符号分析二次函数图象的开口方向和对称轴位置，从而筛选出符合条件的选项.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】首先可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，可得出，两点位于对称轴两侧，且根据它们的横坐标可得出（-2，y1）离对称轴更远，故而得出。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的开口向上，
，则①正确；
抛物线与x轴没有交点，
，则②错误；
由图得：抛物线的对称轴为：，
即：，故③错误；
不等式变形为：，
令，如图，
由图象得：直线与抛物线的图象交于点和，
不等式的解集为，故④正确，
则正确的个数有2个，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象和系数之间的关系可得出：a＞0；；对称轴为直线x=，即b+2a=0，故而得出①正确；②错误；③错误；再根据二次函数的 图象和直线y=x的交点横坐标，结合函数图象，可得出的解集为，即 不等式的解集为． 故④正确。综上即可得出正确结论的个数为2个。
11．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，k=6＞0，
∴反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞.
【分析】根据题意先求出反比例函数在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，再比较大小即可。
12．【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】根据矩形性质可得，，设点的坐标为，根据题意可得，从而可得，根据，结合反比例函数k的结合意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，过作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】过作轴于，先利用解直角三角形的方法求出，可得，再利用旋转的性质求出，，最后求出点的坐标为即可.
14．【答案】134
【知识点】中心投影
【解析】【解答】设金字塔的高度AO为m米，
根据可得：，
解得：m=134，
经检验，m=134时原方程的解，
∴AO=134，
故答案为：134.
【分析】设金字塔的高度AO为m米，根据相同时刻的物高与影长成比例可得，再求出m的值即可.
15．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图D-1，连接OA，OB，过A作AH丄c轴于H，过B作BG⊥c轴于G，
∴AH//BG，
∵AB=BC，
∴CG = HG，
∴AH=2BG，
∵A、B两点在反比例函数得图像上
设：
∵OD//AB，
∴S△AOC= S△ADC = 12，
∴S△AOB=S△AOC=6，
∴ S△AOH= S△OBG=
∴ S△AOH-S△EOH+ S△AEB = S△OBG-S△EOH +S△AEB，
即S四边形AHGB= S△AOB=6，
∴
解得：k=8
故答案为：8.
【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，由OD//AB，得到S△AOB= 12S△AOC =12S△ADC =6=S四边形AHGB，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论。
16．【答案】（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式的一般式转化成化为顶点式，即可得出顶点坐标．
（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为．
17．【答案】（1）解： 于点D，
（2）解：由（1）可得： ，
【知识点】勾股定理；已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】（1）根据正弦定义即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BD，则，再根据正切定义即可求出答案.
18．【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
∵太阳光线是平行的，
∴DF∥AC，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB＝6m，BC＝2m，EF＝3m，
∴，
∴DE＝9m，
答：立柱DE的长为9m.
（2）解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，
则CD＝AE＝1m，△BCE∽△B'BA'，
∴A'B'：B'B＝BE：BC，
即1：2＝BE：4，
∴BE＝2，
∴AB＝2＋1＝3（m），
答：这棵树高3m.
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，EF就是DE的投影，先证出△ABC∽△DEF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可；
（2）过点C作CE∥AD交AB于点E，先证出△BCE∽△B'BA'，再利用相似三角形的性质可得A'B'：B'B＝BE：BC，将数据代入求出BE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
19．【答案】（1）解：∵点C（1，4）再反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D（4，m）再反比例函数图像上，
∴m=1，D（4，1）
∵∵点C（1，4），点D（4，1）在一次函数y=ax+b的图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：.
（2）解：设直线AB向下平移m个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的函数解析式是y=-x+5-m，
联立得：=-x+5-m，
整理得：，
∴，
∴5-m=4，
∴m=9或m=1，
∴ 将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式即可；
（2）设平移后直线的解析式为y=-x+5-m，联立方程，利用一元二次方程的根的判别式求得m的值即可.
（1）解：∵反比例函数过点，，
∴，
解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
20．【答案】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，如图所示：
由题意得∠ABD=∠CDB=90°，
∴∠AHC=180°-90°=90°，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH=CD=102m，
在Rt△BCH中，∠BCH=63°，tan∠BCH=，
∴CH=，
在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴∠CAH=∠ACH=45°，
∴AH=CH=51m，
∴AB=BH-AH=51m，
答：黄鹤楼的高度约为51m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，在Rt△BCHRt△ACH中解直角三角形，求出CH、AH，即可得出答案.
21．【答案】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y=k1x+b，得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．
（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴BA=AD，∠BAD=90°，∠BAO+∠DAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF．
在△ADF和△BAO中，，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF=BO=2，DF=AO=1，OF=OA+AF=3，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．
当双曲线过点D时，k2=3×1=3；
当双曲线过点C时，k2=2×3=6，
∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k2≤6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）作DF⊥x轴于F，利用正方形的性质和余角的性质可证得BA=AD，∠ABO=∠DAF，利用AAS证△ADF≌△BAO，利用全等三角形的性质可得到相关线段的长，可得到点D的坐标.
（3）同（2）可求出点C的坐标，分别求出当双曲线分别过点C和点D时的k的值，即可得到k的取值范围.
22．【答案】解：（1）设DC与y轴的交于点M，∵C（1，4），
∴BC＝4，MC＝1，
∵四边形ABCD正方形，
∴CD＝BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴，
∴EM＝EC﹣MC＝1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝xy＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数为；
（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，
由折叠可知，DE＝EG＝2，∠FGE＝∠D＝90°，
在Rt△GME中，∠GME＝90°，
∴．
∴OG＝OM﹣MG＝，
∵∠FNG＝∠FGE＝∠GME＝90°，
∴∠FGN+∠EGM＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，
∴∠EGM＝∠GFN，
∴△EGM∽△GFN，
∴，
∴，
∴，
∴ON＝OM﹣MG﹣GN＝，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先由点 C的坐标为（1，4） ，根据正方形的性质可得出E（﹣1，4），进而利用待定系数法，即可求出 求反比例函数的表达式；
（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，根据折叠性质及勾股定理可得出OG的长度，再利用AA证得△EGM∽△GFN，从而得出GN的长度，进而可求得点F的坐标；
23．【答案】解：任务1：如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，，
，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，
则，解得：，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
任务2：如图，以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得，即，
运动员到达最高处时与点的水平距离为；
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，
落点Q在底面下方竖直距离，
把代入，得，
解得：，
，
，，，
，
，
设与的函数解析式为，
由图象可知，，
解得：，
，
，
设射线的解析式为，即，
把，代入得：，
解得：，
答：俯角α至少15度
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：建立平面直角坐标系，利用AC，BC的长，可得到点A的坐标，设滑道所在抛物线的函数表达式为，将点A的坐标代入可求出a的值，可得到此函数解析式.
任务2：以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，根据题意得出运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，再求出时的值，得到的长，即可求解.
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，根据题意可求出点QM的坐标，设与的函数解析式为，结合图象求出，设射线的解析式为，将点QM的坐标代入，求出的值即可．
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