离散型随机变量均值（公开课）
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课件21张PPT。离散型随机变量的均值蚌埠九中 洪顺刚 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？18×1/2+24×1/3+36×1/6=23元/kg18×1/2+24×1/3+36×1/6=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？ 随机变量均值（概率意义下的均值）样本平均值1、离散型随机变量均值的定义一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。练习1 离散型随机变量 X 的概率分布列为
①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的均值解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为EX=1× 1/6+2× 1/6
+3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5你能理解3.5
的含义吗？你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的期望 解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6
+7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？你能猜想出
结果吗?aEX+b证：设离散型随机变量X的概率分布为所以Y的分布列为2、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质 解:ξ的分布列为 所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？解:ξ的分布列为 所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2P1-PP1-PP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？例题2变式：若姚明在某次比赛中罚球10次，
求他罚球的得分ξ的均值？若ξ～B(1，0.85), 则Eξ=0.85若ξ～B(10，0.85), 则Eξ=?你能猜想出
结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？ 求证： 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)= np(p+q)n-1=np
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。 例题3解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则 ξ～B(20，0.9)，
η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18，
Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
2某篮球运动员3分球投篮命中的概率是 , 在某次三分远投比赛中,共投篮
3次,设 是他投中的次数.
1) 求E ;
2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值;
10练习2根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元;
方案2:建保护围墙,建设费为2000元,
但围墙只能防小洪水;
方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.
试比较哪一种方案好?例 41、离散型随机变量均值的定义一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 小 结2、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np(2)服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值 若ξ~B(1，p)， 则Eξ= p谢谢大家
敬请指导（06湖南理）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须关闭;思考题
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。练习1 离散型随机变量 X 的概率分布列为
①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的均值解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为EX=1× 1/6+2× 1/6
+3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5你能理解3.5
的含义吗？你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的期望 解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6
+7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？你能猜想出
结果吗?aEX+b证：设离散型随机变量X的概率分布为所以Y的分布列为2、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质 解:ξ的分布列为 所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？解:ξ的分布列为 所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2P1-PP1-PP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？例题2变式：若姚明在某次比赛中罚球10次，
求他罚球的得分ξ的均值？若ξ～B(1，0.85), 则Eξ=0.85若ξ～B(10，0.85), 则Eξ=?你能猜想出
结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？ 求证： 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)= np(p+q)n-1=np
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。 例题3解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则 ξ～B(20，0.9)，
η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18，
Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
2某篮球运动员3分球投篮命中的概率是 , 在某次三分远投比赛中,共投篮
3次,设 是他投中的次数.
1) 求E ;
2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值;
10练习2根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元;
方案2:建保护围墙,建设费为2000元,
但围墙只能防小洪水;
方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.
试比较哪一种方案好?例 41、离散型随机变量均值的定义一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 小 结2、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np(2)服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值 若ξ~B(1，p)， 则Eξ= p谢谢大家
敬请指导（06湖南理）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须关闭;思考题