(共66张PPT)
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
探究点一 条件概率的理解
探究点二 条件概率的计算
探究点三 条件概率的乘法公式
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.
3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
知识点一 条件概率的定义
一般地，设，为两个事件，，我们称为事件 发生
的条件下事件 发生的条件概率，记为________，读作“___________
________________”，即_______________ .
发生的条
件下发生的概率
知识点二 概率的乘法公式
由条件概率的公式可知 ____________.通常将此公式称为概
率的乘法公式.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当与相互独立，即 时，可得
.( )
√
[解析] 因为 ,所以 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）当与相互独立时， .( )
×
[解析] 当与相互独立时， .
探究点一 条件概率的理解
例1 判断下列问题中哪些是条件概率问题？
（1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生
运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得了冠军，求
高二年级的女生获得冠军的概率；
解：因为所求高二年级的女生获得冠军的概率，是在已知一名女生
获得了冠军的条件下求解的，所以所求概率是条件概率.
例1 判断下列问题中哪些是条件概率问题？
（2）掷一个质地均匀的骰子，求掷出的点数为3的概率；
解：掷一个质地均匀的骰子，掷出的点数的样本空间 ，2，3，
4，5， ，求掷出的点数为3的概率是古典概率，不是条件概率.
（3）在一副去掉大、小王的扑克牌中任取1张，在抽到梅花的条件
下，求抽到的是梅花5的概率.
解：因为所求抽到梅花5的概率，是在已知抽到梅花的条件下求解的，
所以所求概率是条件概率.
变式 （多选题）下面几个问题中不是条件概率问题的是( )
A.甲、乙二人投篮的命中率分别为， ，求甲、乙二人各投篮一
次都命中的概率
B.甲、乙二人投篮的命中率分别为， ，求在甲命中的条件下乙
投篮也命中的概率
C.有10件产品，其中3件次品，从这10件产品中抽2件进行检验，求
恰好抽到一件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，求
小明在一次上学路上遇到红灯的概率
√
√
√
[解析] 由条件概率的定义知选项B中的问题为条件概率问题，选项A，
C，D中的问题不是条件概率问题.故选 .
［素养小结］
判断一个问题是不是条件概率问题主要看所给事件是否是在另一个
事件发生的条件下发生的.
探究点二 条件概率的计算
例2（1）［2024·江苏盐城中学高二期末］现从含甲、乙在内的6名
特种兵中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中
的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“甲被选中”为事件，“乙被选中”为事件 ，则在甲被选中
的前提下，乙也被选中的概率为 .
从6名特种兵中选出3人，可知，，
所以 ，
又，所以 .
所以 .故选C.
（2）（多选题）［2025·江苏无锡一中期中］已知 ，
， ，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，又 ，所以
,可得 ,故A错误；
因为， ，
所以，故D正确；
，故B正确，C错误.
故选 .
√
√
变式（1）［2025·江苏宿迁高二期末］有两位游客到某地旅游，都
准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件
为“两人至少有一人选择丙景点”，事件 为“两人选择的景点不同”，
则条件概率 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一（定义法）由题意知 .两人至少有一人选择
丙景点分两种情况：一是两人均选择丙景点；二是一人选择丙景点，
另一人选择其他景点.
则， ，
则，，所以 .故选D.
方法二（缩小样本空间法） 两位游客都从甲、乙、丙、丁4个著名
旅游景点中随机选择一个游玩，两人至少有一人选择丙景点有两种
情况：一是两人均选择丙景点；二是一人选择丙景点，另一人选择
其他景点.
则 .在这7个样本点中，两人选择的景点不同的样
本点有6个，即 ，所以所求概率 .
故选D.
（2）［2025·江苏无锡高二期末］根据气象部门统计，长江中下游
地区梅雨季节某天吹东北风的概率为，下雨的概率为 ，既吹东
北风又下雨的概率为 ，则该地区在梅雨季节某天吹东北风的条
件下下雨的概率为___.
[解析] 设“梅雨季节某天吹东北风”为事件 ，“梅雨季节某天下雨”为
事件，则,, ，故
.
［素养小结］
求条件概率的常用方法与步骤：
1.定义法：①计算和；②代入公式求得条
件概率.
2.缩小样本空间法：①确定包含的样本点数，②确定包含
的样本点数，③代入公式求得条件概率.
探究点三 条件概率的乘法公式
例3（1）已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 ，乙厂产品占
，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是 ，则从
市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是( )
A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285
[解析] 记表示“灯泡为甲厂产品”， 表示“灯泡为合格产品”，
则， ，
所以 .故选A.
√
（2）［2025·江苏扬州高二期末］已知， ，则
___.
[解析] 因为，所以 ，
所以 .
变式（1）（多选题）［2024·江苏连云港高二期末］设
， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] ，故A正确，B错误；
由，得 ，故C正确，D错误.
故选 .
√
√
（2）［2025·江苏南通如皋一中高二月考］一个盒子中有6只白球，
4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.
①求第一次取得白球的概率；
解：
.
②求第一、第二次都取得白球的概率；
解：第一次取得白球后，盒中剩余5只白球，4只黑球，
则，所以 .
（2）［2025·江苏南通如皋一中高二月考］一个盒子中有6只白球，
4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.
③求第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
解： ，第一次取得黑球后，盒中剩余6只白球，
3只黑球，
则，所以
［素养小结］
概率的乘法公式反映了知二求一的方程思想.
1.对条件概率的理解
（1）我们可以通过 图直观理解条件概率问题中的样本空间
与“条件”之间的关系；
（2）与 的区别在于两者发生的条件不同，它们是
两个不同的概念，在数值上一般也不同.
（3）条件概率的计算可以从定义、包含的样本点、缩小样本空
间三个角度来处理.
2.乘法公式应用中的问题
若，，则①已知，， 中的两个
值就可以求得第三个值；②已知，， 中的两个值
就可以求得第三个值.
1.条件概率中的条件
注意：（1）条件概率中“ ”后面就是条件；
（2）作为条件的事件 发生的概率必须大于0.
例1 （多选题）下列有关事件的说法正确的是( )
A.若，则事件， 为对立事件
B.事件，中至少有一个发生的概率一定比， 中恰有一个发生的
概率大
C.若，为互斥事件，则
D.若，且，则事件， 相互独立
√
√
[解析] 对于A，在不同的试验下，虽然可以满足
，但事件和 不对立，所以A错误；
对于B，若事件和都为不可能事件，则事件， 中至少有一个发生
的概率为0，， 中恰有一个发生的概率为0，二者相等，所以B错误；
对于C，,互斥，若,对立，则，若, 不对立，
则，C正确；
对于D，由 ，可得，所以
，所以事件， 相互独立，故D正确.
故选 .
2.放回和不放回抽样的概率
一般地，事件发生的概率与抽样方式有关，常见的抽样方式有“放回
抽样”与“不放回抽样”，求概率时要对它们加以区分.
放回抽样各次抽取是相互独立的，不放回抽样各次抽取不是相互独
立的.
例2 袋内有3个白球和7个红球（除颜色外完全相同），每次从中随
机取出1个球，分别求有放回地随机抽取与不放回地随机抽取时，在
第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.
解：有放回地随机抽取:在第一次取出红球的条件下，第二次取出红
球的概率是 .不放回地随机抽取:在第一次取出红球的条件下，第二
次取出红球的概率是 .
3.条件概率与统计的综合
例3 ［2025·江苏无锡高二期末］ 市天文台在
该市某区随机调查了100位天文爱好者的年龄，
得到如图所示的样本数据的频率分布直方图.
（1）估计该区100名天文爱好者年龄的 分
位数（精确到 ）；
解：记该区100名天文爱好者年龄的分位数为 ，
则 ，
解得 ，
所以估计该区100名天文爱好者年龄的 分位数
为28.21岁.
例3 ［2025·江苏无锡高二期末］ 市天文台在该市
某区随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到如
图所示的样本数据的频率分布直方图.
（2）已知该区天文爱好者占该区人口总数的 ，
且该区年龄位于区间内的人口数占该区总人口数的 .用样
本的频率估计总体的概率，从该区任选1人，若此人的年龄位于区间
内，求此人是天文爱好者的概率.（计算结果精确到 ）
解：记事件 为“从该区任选一人，此人的年龄位
于区间 内”，
事件 为“从该区任选一人，此人是天文爱好者”
由条件概率公式可得
故此人是天文爱好者的概率约为0.12.
，
练习册
1.已知与是两个随机事件，，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由条件概率的计算公式，可得 .故选D.
√
2.抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，2，3，4，5， ，事
件，3，，事件，2，4，5，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，，则， ，
所以 .故选B.
√
3.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为 ，在
下雨天刮风的概率为 ，则该地区既刮风又下雨的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 记“该地区下雨”为事件，“该地区刮风”为事件 ，
则，， ，
所以 .故选C.
√
4.［2025·江苏无锡高二期末］元宵节是中国传统节日，当天人们会
吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，
2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件 为“取到的2个为同一类灯
谜”，事件为“取到的2个为事物谜”，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得， ，
所以 .故选B.
√
5.［2025·江苏苏州高二期末］已知，为两个随机事件，为事件
的对立事件.若，，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得 ，
，所以 .故选A.
√
6.（多选题）一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白
球，每次从中不放回地取出一个球，取2次，则下列说法正确的是
( )
A.取到的两个球都是红球的概率为
B.在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为
C.在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为
D.在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率为
√
√
√
[解析] 取到的两个球都是红球的概率为 ，故A错误；
在第一次取到红球的条件下,第二次取到白球的概率为 ,故B正确；
在第一次取到红球的条件下,第二次取到红球的概率为 ,故C正确；
在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率为 ，故D正确.
故选 .
7.若随机事件，满足，， ，
则 __.
[解析] 因为， ，
所以，解得，所以 .
8.已知事件发生的概率为，事件发生的概率为，若在事件
发生的条件下，事件发生的概率为，则在事件 发生的条件下，
事件 发生的概率为_____.
0.75
[解析] 因为，， ，
所以 ，
则 .
9.（13分）［2024·江苏南通海门中学高二期中］五一假期来临，某
商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客.规定：每位购物金额超过1千元
的顾客从一个装有5个球（这些球大小、质地均相同，且标有面值）
的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物
减免额.若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为
10元，其余2个标的面值均为5元.
解：设 “顾客获得的购物减免额为60元”，
依题意得 ，
即顾客获得的购物减免额为60元的概率为 .
（1）求顾客获得的购物减免额为60元的概率；
9.（13分）［2024·江苏南通海门中学高二期中］五一假期来临，某
商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客.规定：每位购物金额超过1千元
的顾客从一个装有5个球（这些球大小、质地均相同，且标有面值）
的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物
减免额.若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为
10元，其余2个标的面值均为5元.
（2）若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元，求上述条件下，
顾客获得的购物减免额为15元的概率.
解：方法一（定义法）设 “顾客摸到的1个球所标的面值为10
元”， “顾客获得的购物减免额为15元”，
则， ，
所以，即所求概率为 .
方法二（缩小样本空间法） 顾客摸到的1个球所标的面值为10元包
含的样本点个数为 .在这7个样本点中，顾客获得的购
物减免额为15元包含的样本点个数为，所以所求概率为 .
10.（13分）［2025·江苏徐州一中高二期中］某次抽奖活动中，在甲、
乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字
样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽.
（1）求甲中奖乙也中奖的概率；
解：记“甲中奖”为事件，“乙中奖”为事件 ，
则 .
因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖前，有49张奖券且其
中只有4张写有“中奖”字样，则乙中奖的概率 ，
根据乘法公式得，甲中奖乙也中奖的概率
.
10.（13分）［2025·江苏徐州一中高二期中］某次抽奖活动中，在甲、
乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字
样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽.
（2）求甲没中奖乙中奖的概率.
解：因为，所以 .
因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖前，有49张奖券且
其中只有5张写有“中奖”字样，
则乙中奖的概率 ，根据乘法公式得，甲没中奖乙中奖的
概率 .
11.［2024·江苏宿迁高二期末］如图，高速服务区
停车场某片区有至 共8个停车位（每个车位只
停一辆车），有2辆黑色车和2辆白色车要在该片
区停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两
辆白色车也停在同一列的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件 表示“两辆黑色车停在同一列”，
事件 表示“两辆白色车停在同一列”，则所求概率
为.
因为 ， ，
所以 ，
故选A.
12.（多选题）甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个
红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，分
别以，， 表示事件“取出的是红球”“取出的是白球”“取出的是黑
球”；再从乙袋中随机取出一个球，以 表示事件“取出的是白球”，
则( )
A.事件，， 是两两互斥的事件
B.事件与事件 为相互独立事件
C.
D.
√
√
√
[解析] 由题意可得，， ，显然事件
，，是两两互斥的事件，故A正确；
由题意知，事件 是否发生对事件发生的概率有影响，所以事件与
事件 不是相互独立事件，故B错误；
当 发生时，乙袋中有3个红球，2个白球，4个黑球，
则，故C正确；
，故D正确.
故选 .
13.［2025·江苏泰州高二期末］设， 是一个随机试验中的两个事
件，且，，则 的一个可能的值为_________
_____________________________.
（答案不唯一，在内均可）
[解析] 因为，是一个随机试验中的两个事件，且 ，
，所以事件，为互斥事件时，，
当事件 包含事件时，，显然事件包含事件 不满足题意，
则，所以，所以 的一
个可能的值为（答案不唯一，在 内均可）.
14.有两位游客来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道文
化区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山文化区这6个景
点中随机选择1个景点游玩，则两位游客都选择天津之眼摩天轮的概
率为___；这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，
他们选择的景点不相同的概率为___.
[解析] 设事件 表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，则
，设事件 表示“两位游客中至少有一人选择天津之
眼摩天轮”，事件 表示“他们选择的景点不相同”，则
， ，所以
.
15.（多选题）甲、乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获
得最终胜利）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为 ，乙赢的概率为
，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，
表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”， 为“甲赢下
第三局时获得了最终胜利”.则下列说法正确的有( )
A. B.
C.与互斥 D.与 相互独立
√
√
√
[解析] 对于A，, ，
则 ，A正确；
对于B, ,
，则 ，B正确；
对于C，显然与不可能同时发生，故与 互斥，C正确；
对于D，，， ，则
，所以与不相互独立，D错误.
故选 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 发生的条件下发生的概率
知识点二 【诊断分析】 （1）√ （2）×
课中探究 例1 （1）是条件概率 （2）不是条件概率 （3）是条件概率
变式 ACD
例2 （1）C （2）BD 变式 （1）D （2） 例3 （1）A （2）
变式 （1）AC （2）① ② ③
快速核答案（练习册）
1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.BCD 7. 8.0.75
9.（1）（2）
10.（1）（2）
11.A 12.ACD 13.（答案不唯一，在内均可） 14.
15.ABC第8章 概 率
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
【学习目标】
1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系.
3.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识点一 条件概率的定义
一般地,设A,B为两个事件,P(A)>0,我们称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记为 ,读作“ ”,即 (P(A)>0).
◆ 知识点二 概率的乘法公式
由条件概率的公式可知P(AB)= .通常将此公式称为概率的乘法公式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当A与B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B)时,可得P(B|A)=P(B). ( )
(2)当A与B相互独立时,P(A|B)=. ( )
◆ 探究点一 条件概率的理解
例1 判断下列问题中哪些是条件概率问题
(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得了冠军,求高二年级的女生获得冠军的概率;
(2)掷一个质地均匀的骰子,求掷出的点数为3的概率;
(3)在一副去掉大、小王的扑克牌中任取1张,在抽到梅花的条件下,求抽到的是梅花5的概率.
变式 (多选题)下面几个问题中不是条件概率问题的是 ( )
A.甲、乙二人投篮的命中率分别为0.6,0.7,求甲、乙二人各投篮一次都命中的概率
B.甲、乙二人投篮的命中率分别为0.6,0.7,求在甲命中的条件下乙投篮也命中的概率
C.有10件产品,其中3件次品,从这10件产品中抽2件进行检验,求恰好抽到一件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,求小明在一次上学路上遇到红灯的概率
[素养小结]
判断一个问题是不是条件概率问题主要看所给事件是否是在另一个事件发生的条件下发生的.
◆ 探究点二 条件概率的计算
例2 (1)[2024·江苏盐城中学高二期末] 现从含甲、乙在内的6名特种兵中选出3人去参加抢险,则在甲被选中的前提下,乙也被选中的概率为 ( )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)[2025·江苏无锡一中期中] 已知P(A)=0.6,P(AB)=0.3,P(B|)=0.5,则下列选项正确的是 ( )
A.P(B)=0.4
B.P(A|B)=0.6
C.P(A|B)=0.5
D.P(AB)=P(A)P(B)
变式 (1)[2025·江苏宿迁高二期末] 有两位游客到某地旅游,都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”,事件B为“两人选择的景点不同”,则条件概率P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·江苏无锡高二期末] 根据气象部门统计,长江中下游地区梅雨季节某天吹东北风的概率为0.7,下雨的概率为0.8,既吹东北风又下雨的概率为0.65,则该地区在梅雨季节某天吹东北风的条件下下雨的概率为 .
[素养小结]
求条件概率的常用方法与步骤:
1.定义法:①计算P(AB)和P(A);②代入公式P(B|A)=求得条件概率.
2.缩小样本空间法:①确定A包含的样本点数n(A),②确定AB包含的样本点数n(AB),③代入公式P(B|A)=求得条件概率.
◆ 探究点三 条件概率的乘法公式
例3 (1)已知市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( )
A.0.665 B.0.56
C.0.24 D.0.285
(2)[2025·江苏扬州高二期末] 已知P(A)=,P(B|)=,则P(B)= .
变式 (1)(多选题)[2024·江苏连云港高二期末] 设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则 ( )
A.P(AB)= B.P(AB)=
C.P(B)= D.P(B)=
(2)[2025·江苏南通如皋一中高二月考] 一个盒子中有6只白球,4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次.
①求第一次取得白球的概率;
②求第一、第二次都取得白球的概率;
③求第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
[素养小结]
概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想.第8章 概 率
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
1.已知A与B是两个随机事件,P(B)=,P(AB)=,则P(A|B)= ( )
A. B.
C. D.
2.抛掷一颗质地均匀的骰子,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1,3,5},事件B={1,2,4,5,6},则P(A|B)= ( )
A. B.
C. D.
3.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮风的概率为,在下雨天刮风的概率为,则该地区既刮风又下雨的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·江苏无锡高二期末] 元宵节是中国传统节日,当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜,其中4个事物谜,2个字谜,小华随机抽取2个灯谜,事件A为“取到的2个为同一类灯谜”,事件B为“取到的2个为事物谜”,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
5.[2025·江苏苏州高二期末] 已知A,B为两个随机事件,为事件A的对立事件.若P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则P(B|)= ( )
A. B. C. D.
6.(多选题)一个不透明的袋子里,装有大小相同的3个红球和2个白球,每次从中不放回地取出一个球,取2次,则下列说法正确的是 ( )
A.取到的两个球都是红球的概率为
B.在第一次取到红球的条件下,第二次取到白球的概率为
C.在第一次取到红球的条件下,第二次取到红球的概率为
D.在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率为
7.若随机事件A,B满足P(A)=P(B),P(A+B)=,P(AB)=,则P(A|B)= .
8.已知事件A发生的概率为0.4,事件B发生的概率为0.5,若在事件B发生的条件下,事件A发生的概率为0.6,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为 .
9.(13分)[2024·江苏南通海门中学高二期中] 五一假期来临,某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客.规定:每位购物金额超过1千元的顾客从一个装有5个球(这些球大小、质地均相同,且标有面值)的袋中随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额.若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元,2个标的面值为10元,其余2个标的面值均为5元.
(1)求顾客获得的购物减免额为60元的概率;
(2)若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元,求上述条件下,顾客获得的购物减免额为15元的概率.
10.(13分)[2025·江苏徐州一中高二期中] 某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前,还有50张奖券,其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再抽.
(1)求甲中奖乙也中奖的概率;
(2)求甲没中奖乙中奖的概率.
11.[2024·江苏宿迁高二期末] 如图,高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位(每个车位只停一辆车),有2辆黑色车和2辆白色车要在该片区停车,则两辆黑色车停在同一列的条件下,两辆白色车也停在同一列的概率为 ( )
A. B. C. D.
12.(多选题)甲袋中有3个红球,3个白球和2个黑球;乙袋中有2个红球,2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋,分别以A,B,C表示事件“取出的是红球”“取出的是白球”“取出的是黑球”;再从乙袋中随机取出一个球,以D表示事件“取出的是白球”,则 ( )
A.事件A,B,C是两两互斥的事件
B.事件A与事件D为相互独立事件
C.P(D|A)=
D.P(AD)=
13.[2025·江苏泰州高二期末] 设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A|B)的一个可能的值为 .
14.有两位游客来天津旅游,他们分别从天津之眼摩天轮、五大道文化区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山文化区这6个景点中随机选择1个景点游玩,则两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ;这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下,他们选择的景点不相同的概率为 .
15.(多选题)甲、乙两人参加三局两胜制比赛(谁先赢满两局则获得最终胜利).已知在每局比赛中,甲赢的概率为0.6,乙赢的概率为0.4,且每局比赛的输赢相互独立.若用M表示事件“甲最终获胜”,N表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”,Q为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”.则下列说法正确的有 ( )
A.P(M|N)= B.P(|Q)=1
C.N与Q互斥 D.N与Q相互独立第8章 概 率
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
【课前预习】
知识点一
P(B|A) A发生的条件下B发生的概率
P(B|A)=
知识点二
P(B|A)P(A)
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (1)因为P(AB)=P(A)P(B),所以P(B|A)===P(B).
(2)当A与B相互独立时,P(A|B)===P(A).
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为所求高二年级的女生获得冠军的概率,是在已知一名女生获得了冠军的条件下求解的,所以所求概率是条件概率.
(2)掷一个质地均匀的骰子,掷出的点数的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},求掷出的点数为3的概率是古典概率,不是条件概率.
(3)因为所求抽到梅花5的概率,是在已知抽到梅花的条件下求解的,所以所求概率是条件概率.
变式 ACD [解析] 由条件概率的定义知选项B中的问题为条件概率问题,选项A,C,D中的问题不是条件概率问题.故选ACD.
探究点二
例2 (1)C (2)BD [解析] (1)设“甲被选中”为事件A,“乙被选中”为事件B,则在甲被选中的前提下,乙也被选中的概率为P(B|A).从6名特种兵中选出3人,可知n(Ω)==20,n(A)==10,所以P(A)===,又n(AB)==4,所以P(AB)===.所以P(B|A)===.故选C.
(2)因为P(A)=0.6,所以P()=0.4,又P(AB)=0.3,所以P(B|)====0.5,可得P(B)=0.5,故A错误;因为P(A)·P(B)=0.6×0.5=0.3,P(AB)=0.3,所以P(AB)=P(A)P(B),故D正确;P(A|B)===0.6,故B正确,C错误.故选BD.
变式 (1)D (2) [解析] (1)方法一(定义法):由题意知n(Ω)=16.两人至少有一人选择丙景点分两种情况:一是两人均选择丙景点;二是一人选择丙景点,另一人选择其他景点.则n(A)=+1=7,n(AB)==6,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)==.故选D.
方法二(缩小样本空间法):两位游客都从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩,两人至少有一人选择丙景点有两种情况:一是两人均选择丙景点;二是一人选择丙景点,另一人选择其他景点.则n(A)=+1=7.在这7个样本点中,两人选择的景点不同的样本点有6个,即n(AB)=6,所以所求概率P(B|A)==.故选D.
(2)设“梅雨季节某天吹东北风”为事件A,“梅雨季节某天下雨”为事件B,则P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(AB)=0.65,故P(B|A)==.
探究点三
例3 (1)A (2) [解析] (1)记A表示“灯泡为甲厂产品”,B表示“灯泡为合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95=0.665.故选A.
(2)因为P(A)=,所以P()=1-P(A)=1-=,所以P(B)=P()P(B|)=×=.
变式 (1)AC [解析] P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,故A正确,B错误;由P(A|B)=,得P(B)==×2=,故C正确,D错误.故选AC.
(2)解:记“第一次取得白球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,则表示事件“第一次取得黑球”.
①P(A)==.
②第一次取得白球后,盒中剩余5只白球,4只黑球,则P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
③P()=1-P(A)=,第一次取得黑球后,盒中剩余6只白球,3只黑球,
则P(B|)==,所以P(B)=P()P(B|)=×=.第8章 概 率
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
第1课时 条件概率
1.D [解析] 由条件概率的计算公式,可得P(A|B)===.故选D.
2.B [解析] 由题意知,AB={1,5},则P(B)=,P(AB)==,所以P(A|B)===.故选B.
3.C [解析] 记“该地区下雨”为事件A,“该地区刮风”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.故选C.
4.B [解析] 由题意可得n(A)=+,n(AB)=,所以P(B|A)===.故选B.
5.A [解析] 由已知可得P(B)=P(B)-P(AB)=-=,P()=1-P(A)=,所以P(B|)===.故选A.
6.BCD [解析] 取到的两个球都是红球的概率为=,故A错误;在第一次取到红球的条件下,第二次取到白球的概率为=,故B正确;在第一次取到红球的条件下,第二次取到红球的概率为=,故C正确;在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率为,故D正确.故选BCD.
7. [解析] 因为P(A)=P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以=2P(B)-,解得P(B)=,所以P(A|B)===.
8.0.75 [解析] 因为P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.6,所以P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5×0.6=0.3,则P(B|A)===0.75.
9.解:(1)设E=“顾客获得的购物减免额为60元”,
依题意得P(E)==,即顾客获得的购物减免额为60元的概率为.
(2)方法一(定义法):设A=“顾客摸到的1个球所标的面值为10元”,B=“顾客获得的购物减免额为15元”,
则P(A)==,P(AB)==,
所以P(B|A)==,即所求概率为.
方法二(缩小样本空间法):顾客摸到的1个球所标的面值为10元包含的样本点个数为+=7.在这7个样本点中,顾客获得的购物减免额为15元包含的样本点个数为=4,所以所求概率为.
10.解:(1)记“甲中奖”为事件A,“乙中奖”为事件B,
则P(A)==.
因为抽完的奖券不放回,所以甲中奖后乙抽奖前,有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样,则乙中奖的概率P(B|A)=,
根据乘法公式得,甲中奖乙也中奖的概率P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(2)因为P(A)+P()=1,所以P()=.
因为抽完的奖券不放回,所以甲没中奖后乙抽奖前,有49张奖券且其中只有5张写有“中奖”字样,
则乙中奖的概率P(B|)=,根据乘法公式得,甲没中奖乙中奖的概率P(B)=P()P(B|)=×=.
11.A [解析] 设事件A表示“两辆黑色车停在同一列”,事件B表示“两辆白色车停在同一列”,则所求概率为P(B|A).因为P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)====,故选A.
12.ACD [解析] 由题意可得P(A)=,P(B)=,P(C)==,显然事件A,B,C是两两互斥的事件,故A正确;由题意知,事件A是否发生对事件D发生的概率有影响,所以事件A与事件D不是相互独立事件,故B错误;当A发生时,乙袋中有3个红球,2个白球,4个黑球,则P(D|A)==,故C正确;P(AD)=P(A)P(D|A)=×=,故D正确.故选ACD.
13. [解析] 因为A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(B)=,所以事件A,B为互斥事件时,P(AB)=0,当事件B包含事件A时,P(AB)=,显然事件A包含事件B不满足题意,则0≤P(AB)≤,所以0≤P(A|B)=≤=,所以P(A|B)的一个可能的值为.
14. [解析] 设事件A表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”,则P(A)==,设事件B表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”,事件C表示“他们选择的景点不相同”,则P(B)=1-=,P(BC)=+=,所以P(C|B)===.
15.ABC [解析] 对于A,P(MN)=0.62=0.36,P(N)=0.62+0.42=0.52,则P(M|N)===,A正确;对于B,P(Q)=×0.6×0.4×0.6=0.288,P(Q)=×0.6×0.4×0.6=0.288,则P(|Q)==1,B正确;对于C,显然N与Q不可能同时发生,故N与Q互斥,C正确;对于D,P(N)=0.52,P(Q)=0.288,P(NQ)=0,则P(N)P(Q)≠P(NQ),所以N与Q不相互独立,D错误.故选ABC.
