(共56张PPT)
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
第2课时 条件概率的性质及应用
探究点一 条件概率的性质
探究点二 互斥事件的条件概率
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解条件概率的性质.
2.结合古典概型，会求互斥事件的条件概率.
知识点 条件概率的性质
（1）___， ___；
（2）若，互斥，则 ________________.
（3）若和互为对立事件，则 ___________.
1
0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则和 互为对立事件.( )
×
[解析] 因为和互为对立事件，所以 ，又
，所以，但是与 不一定是
同一个事件，所以和 不一定是对立事件.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若与是互斥事件，且， ，则
.( )
×
[解析] 与互斥，即，不同时发生，则 ，
故 .
探究点一 条件概率的性质
例1 （多选题）［2025·江苏泰州高二期末］下列式子成立的是
( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 因为与 互为对立事件,所以
，故A正确；
当 和是两个互斥事件时， 才成立，
故B不正确；
为概率的乘法公式，C正确；
，当,不独立时， ，D不正确.
故选 .
变式 ［2025·江苏南通启东一中高二期中］已知随机事件， ，若
，，，则 ___.
[解析] 因为，，所以 .
因为，所以，
又 ，所以 .
［素养小结］
条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即
.
探究点二 互斥事件的条件概率
例2 ［2025·江苏徐州高二期末］抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.
（1）当向上的点数之和为7时，求其中有一颗骰子向上的点数是2的
概率；
解：记事件表示“两颗骰子中，向上的点数有一颗是2”，事件 表示
“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件 表示“两颗骰子向上的点
数之和为7，其中有一颗骰子向上的点数是2”，
则， ，
所以 .
例2 ［2025·江苏徐州高二期末］抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.
（2）当向上的点数不相同时，求向上的点数之和为4或6的概率.
解：记事件表示“两颗骰子向上的点数之和为”，事件
表示“两颗骰子向上的点数之和为4或6”，则 ，其中事
件与互斥，记事件 表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事
件表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为 ”.
由题意知，， ，
所以 .
变式 ［2025·江苏南通如皋中学高二段考］有五瓶墨水，其中红色
一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两
瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为__.
[解析] 设事件表示“其中一瓶是蓝色”，事件 表示“另一瓶是红色”，
事件表示“另一瓶是黑色”，事件 表示“另一瓶是红色或黑色”，则
，与互斥.
由题意知 ，， ，
所以 .
［素养小结］
（1）利用公式可使条件概率的计
算较为简单，但应注意这个公式的使用前提是“与互斥”.
（2）为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互
斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
1.条件概率的性质
（1）互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件的条件概率分解
为简单事件的条件概率之和；
（2）当直接计算事件的条件概率较复杂时，可先计算其对立事
件的条件概率，再计算所求条件概率.
2.几种事件的概率公式的比较
已知事件，，它们发生的概率分别为，，将， 中至
少有一个发生记为事件，都发生记为事件 ，都不发生记为
事件，恰有一个发生记为事件 ，至多有一个发生记为事
件 ，则它们的概率间的关系如下表所示:
概率
0
1
复杂事件的条件概率的求解，可以灵活运用条件概率的相关性质，
转化为彼此互斥的事件或对立的事件的条件概率求解.
对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的
是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中
涉及的；第三，两个事件互斥是由试验的结果不能同时出现来确定
的.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅
有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作 .
例 （多选题）已知 为随机试验的样本空间，事件， 满足
, ，则下列说法正确的是( )
A.若，且,，则
B.若 ，且,，则
C.若,，则
D.若,,则
√
√
[解析] 选项A，因为，所以 ，选项A不正确；
选项B，若 ，则，互斥，由, ，
得 ，选项B正确；
选项C，由得事件，相互独立，所以事件, 也相互
独立，所以 ，则
，选项C不正确；
，得 ，
所以，选项D正确.
故选 .
练习册
1.［2025·山东青岛期中］设，且, ，则
( )
A.1 B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以 .故选B.
√
2.［2025·江苏连云港高二期末］若，是互斥事件且 ，
，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， 是互斥事件，
所以 .故选D.
√
3.［2025·江苏盐城高二期末］已知， ，则
( )
A.0.12 B.0.18 C.0.28 D.0.42
[解析] 因为，所以 ，
则 .故选A.
√
4.［2025·浙江杭州高二期中］已知事件，，满足 ，
，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得
.故选A.
√
5.（多选题）已知，， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，A正确；
，B正确；
因为 ，所以 ，C正确；
，D错误.
故选 .
√
√
√
6.（多选题）某单位开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛.
某支部在5道党史题（有3道选择题和2道填空题）中不放回地依次随
机抽取2道题作答,设事件为“第1次抽到选择题”,事件 为“第2次抽到
选择题”,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] ,故A正确;
,故B正确;
,故C正确;
，故D错误.
故选 .
√
√
√
7.［2025·江苏淮安高二期末］设， 是一个随机试验中的两个事件，
且，，则 ___.
[解析] 因为，所以，
因为 ，所以 .
8.（13分）［2025·山东济南钱学森高中高二月考］一张储蓄卡的密
码共有6位数字，每位数字都可从 这十个数中任选一个.某人在
银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.
（1）他任意按最后一位数字，求不超过3次就按对的概率；
解：设表示“第次按对密码”， 表示“不超过3次就按
对”，则 ,
因为事件,, 两两互斥，
所以由概率的加法公式和乘法公式可得
.
8.（13分）［2025·山东济南钱学森高中高二月考］一张储蓄卡的密
码共有6位数字，每位数字都可从 这十个数中任选一个.某人在
银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.
（2）如果他记得密码的最后一位的数字不大于4，求不超过3次就按
对的概率.
解：记事件 表示“密码最后1位的数字不大于4”，
则 .
9.（13分）［2024·江苏南通汇龙中学高二期中］在一个袋子中装有
10个除颜色外完全相同的球，这10个球为1个红球，2个黄球，3个黑
球，4个白球，从中依次摸出2个球，求在摸出的第一个球是红球的
条件下，摸出的第二个球是黄球或黑球的概率.
解：设“摸出的第一个球为红球”为事件 ，“摸出的第二个球为黄球”
为事件，“摸出的第二个球为黑球”为事件 .
方法一:根据题意得, , .
所以 ， .
所以 ，
即所求概率为 .
方法二：因为， ，
所以，即所求概率为 .
10.［2025·江苏淮安高二期末］有5瓶除颜色外完全相同的墨水，其
中红色墨水1瓶，蓝色、黑色墨水各2瓶，某同学从中随机任取2瓶，
若取得的2瓶中有1瓶是蓝色墨水，则另1瓶是红色墨水或黑色墨水的
概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一:设事件“有1瓶是蓝色墨水”，事件 “另1瓶是红
色墨水”，事件“另1瓶是黑色墨水”，事件 “另1瓶是红色墨水
或黑色墨水”，则且与互斥.可得 ，
，，故 .
方法二:设事件“有1瓶是蓝色墨水”，事件 “另1瓶也是蓝色墨
水”，事件“另1瓶是红色墨水或黑色墨水” “另1瓶不是蓝色墨水”，
则事件与互为对立事件，所以 ，故
.
11.［2025·江苏宿迁中学高二期中］小明在暑假参加了一项评价测试，
在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，规定考生至少答对其
中3道题即可通过测试，至少答对其中4道题就获得优秀.已知小明能
答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，则他获
得优秀的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记事件为“小明5道题全答对”，事件 为“小明答对了其中4
道题，另1道题答错”，事件 为“小明答对了其中3道题，另2道题答
错”，事件为“小明在这次测试中通过”，事件 为“小明在这次测试
中获得优秀”，则，，两两互斥，且， ，
可知， ，
，则 ，
故小明在这次测试已经通过的条件下，获得优秀的概率为 .
12.（多选题）［2024·上海二中高二校考改编］下列各式中能判断事
件与事件 相互独立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于选项A，是事件， 相互独立的定义，
故A正确；
对于选项B，因为 ，
，所以 ，所以事件与事
件 相互独立，故B正确；
√
√
√
对于选项C，因为，
所以 ，所以，
即事件与事件相互独立，所以事件 与事件 相互独立，故C正确；
对于选项D, ，
该式恒成立，与事件，是否独立无关，故D错误.
故选 .
13.已知随机事件，发生的概率， ，若
，事件，，分别表示不发生， 不发生和事
件与至少有一个发生，则 ____，
____.
0.6
[解析] 由题意得 ,
,
,
，
，
.
14.（15分）在10 000张奖券中,设有1个一等奖,5个二等奖,10个三等
奖,从中不放回地抽取两次,每次抽取1张,求在第一张中一等奖的条件
下,第二张中二等奖或三等奖的概率.
解：设“第一张中一等奖”为事件,“第二张中二等奖”为事件 ,“第二
张中三等奖”为事件,则由题意得与为互斥事件, ,
,
,
所以 ,
,
则 .
15.某学生在某网站的登录密码由九个符号组成，其中前两位是大写
字母，第三位是小写字母，后六位是数字.该生在登录时，忘记了密
码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，那么不
超过两次就输对密码的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设表示“第次输对密码”，事件 表示“不超过两次
就输对密码”，则 ，记“密码的最后一位数字是奇数”为
事件 ，由条件概率的性质可得
.故选C.
16.（15分）某单位为了丰富群众文化生活，提高对本行业的认同度，
在“五一国际劳动节”期间举行了“本行业知识有奖竞答活动”，活动
规则如下：每位参加活动的职工都有两轮回答问题的机会.第一轮：
参加活动的职工先抛掷一枚骰子1次，掷出1点或2点，则可回答一个
低阶问题，回答正确获得奖金20元，回答错误获得奖金10元；掷出3
点，4点，5点，6点，则可回答一个高阶问题，回答正确获得奖金40
元，回答错误获得奖金20元.第二轮：若第一轮回答正确，则第二轮
回答一个高阶问题，回答正确可获得奖金60元，回答错误可获得奖
金30元；若第一轮回答错误，则第二轮回答一个低阶问题，回答正确
可获得奖金30元，回答错误可获得奖金20元.职工甲参加活动，已知他
每一轮回答高阶问题的正确率均为 ，回答低阶问题的正确率均为 ，
每轮奖金累积.求解下列问题：
解：设表示“第轮回答低阶问题”，表示“第 轮回答高阶
问题”， 表示“回答正确”，
由题可知，,， ，
.
由条件概率得 ，
，
所以第一轮回答问题后获得20元奖金的概率
.
（1）求第一轮甲回答问题后获得20元奖金的概率；
（2）求在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下，甲两轮累计获得奖
金不低于50元的概率.
解：设事件 表示“甲第一轮获得奖金20元”，则由（1）可得
.
设事件表示“两轮累计获得奖金不低于50元”，则事件“ ”可分解
为以下两个事件：
①第一轮回答低阶问题正确；
②第一轮回答高阶问题错误，第二轮回答低阶问题正确.
则第一轮回答低阶问题正确的概率 ，第一轮回答高阶
问题错误，第二轮回答低阶问题正确的概率
，
所以 ，
所以在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下，甲两轮累计获得奖金
不低于50元的概率 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点（1）1 0 （2） （3）
【诊断分析】 （1）× （2）×
课中探究 例1 AC 变式
例2 （1）（2）<
变式
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.A 4.A 5.ABC 6.ABC 7.
8.（1）（2） 9.
10.D 11.D 12.ABC 13. 0.6
14. 15.C
16.（1） （2）第2课时 条件概率的性质及应用
【课前预习】
知识点
(1)1 0 (2)P(B|A)+P(C|A) (3)1-P(B|A)
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)因为和B互为对立事件,所以P(|A)=1-P(B|A),又P(C|A)=1-P(B|A),所以P(|A)=P(C|A),但是与C不一定是同一个事件,所以B和C不一定是对立事件.
(2)A与B互斥,即A,B不同时发生,则P(AB)=0,故P(B|A)=0≠P(B).
【课中探究】
探究点一
例1 AC [解析] 因为B与互为对立事件,所以P(B|A)+P(|A)=P[(B+)|A]=P(Ω|A)=1,故A正确;当B和C是两个互斥事件时,P[(B+C)|A]=P(B|A)+P(C|A)才成立,故B不正确;P(AB)=P(B|A)·P(A)为概率的乘法公式,C正确;P(B|A)=,当A,B不独立时,P(B|A)≠P(B),D不正确.故选AC.
变式 [解析] 因为P(B|A)=,P(A)=,所以P(AB)=P(A)·P(B|A)=.因为P(|B)=,所以P(A|B)=1-P(|B)=,又P(A|B)=,所以P(B)===.
探究点二
例2 解:(1)记事件A表示“两颗骰子中,向上的点数有一颗是2”,事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”,则事件AB表示“两颗骰子向上的点数之和为7,其中有一颗骰子向上的点数是2”,
则P(B)==,P(AB)==,
所以P(A|B)==.
(2)记事件Mi(i=4,6)表示“两颗骰子向上的点数之和为i”,事件M表示“两颗骰子向上的点数之和为4或6”,则M=M4+M6,其中事件M4与M6互斥,记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”,则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同,且向上的点数之和为i”.
由题意知P(N)==,P(M4N)==,P(M6N)==,
所以P(M|N)=P[(M4+M6)|N]=P(M4|N)+P(M6|N)=+=+=.
变式 [解析] 设事件A表示“其中一瓶是蓝色”,事件B表示“另一瓶是红色”,事件C表示“另一瓶是黑色”,事件D表示“另一瓶是红色或黑色”,则D=B+C,B与C互斥.由题意知P(A)==,P(AB)==,P(AC)==,所以P(D|A)=P[(B+C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=+=.第2课时 条件概率的性质及应用
1.B [解析] 因为A B,所以P(AB)=P(A)=0.3,所以P(A|B)===.故选B.
2.D [解析] 因为B,C是互斥事件,所以P[(B+C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=+=.故选D.
3.A [解析] 因为P(|M)=0.7,所以P(N|M)=1-0.7=0.3,则P(MN)=P(M)·P(N|M)=0.4×0.3=0.12.故选A.
4.A [解析] 依题意得P[(B+C)|A]=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)=+-=.故选A.
5.ABC [解析] 因为P()=,所以P(A)=1-=,A正确;P(A)=P(A)P(|A)=×=,B正确;因为P(B|)=,所以P(|)=1-P(B|)=,C正确;P( )=P()P(|)=×=,D错误.故选ABC.
6.ABC [解析] P(A)=,故A正确;P(AB)==,故B正确;P(B|A)===,故C正确;P(|A)=1-P(B|A)=1-=,故D错误.故选ABC.
7. [解析] 因为P(|A)=,所以P(B|A)=,因为P(A)=,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
8.解:(1)设Ai(i=1,2,3)表示“第i次按对密码”,A表示“不超过3次就按对”,则A=A1∪A2∪A3,
因为事件A1,A2,A3两两互斥,
所以由概率的加法公式和乘法公式可得P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)+P()P(A2|)+P()P(A3|)=P(A1)+P()P(A2|)+P()P(|)P(A3|)=+×+××=.
(2)记事件B表示“密码最后1位的数字不大于4”,
则P(A|B)=P[(A1∪A2∪A3)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)+P(A3|B)=++=.
9.解:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
方法一:根据题意得P(A)=,P(AB)==,P(AC)==.
所以P(B|A)====,
P(C|A)===.
所以P[(B+C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=+=,
即所求概率为.
方法二:因为n(A)=1×=9,n[(B+C)|A]=+=5,所以P[(B+C)|A]=,即所求概率为.
10.D [解析] 方法一:设事件A=“有1瓶是蓝色墨水”,事件B=“另1瓶是红色墨水”,事件C=“另1瓶是黑色墨水”,事件D=“另1瓶是红色墨水或黑色墨水”,则D=B∪C且B与C互斥.可得P(A)==,P(AB)==,P(AC)==,故P(D|A)=P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=+=+=.
方法二:设事件A=“有1瓶是蓝色墨水”,事件B=“另1瓶也是蓝色墨水”,事件C=“另1瓶是红色墨水或黑色墨水”=“另1瓶不是蓝色墨水”,则事件B与C互为对立事件,所以P(B|A)===,故P(C|A)=1-P(B|A)=1-=.
11.D [解析] 记事件A为“小明5道题全答对”,事件B为“小明答对了其中4道题,另1道题答错”,事件C为“小明答对了其中3道题,另2道题答错”,事件D为“小明在这次测试中通过”,事件E为“小明在这次测试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++==,P(AD)=P(A)==,P(BD)=P(B)==,则P(E|D)=P[(A∪B)|D]=P(A|D)+P(B|D)=+=+=,故小明在这次测试已经通过的条件下,获得优秀的概率为.
12.ABC [解析] 对于选项A,P(AB)=P(A)P(B)是事件A,B相互独立的定义,故A正确;对于选项B,因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与事件B相互独立,故B正确;对于选项C,因为P(|B)+P(A)=+P(A)=1,所以=1-P(A)=P(),所以P(B)=P()P(B),即事件与事件B相互独立,所以事件A与事件B相互独立,故C正确;对于选项D,P(A|B)+P(|B)=+===1,该式恒成立,与事件A,B是否独立无关,故D错误.故选ABC.
13.0.8 0.6 [解析] 由题意得P(AB)=P(B)P(A|B)=0.4×0.5=0.2,P(B)=P(B)-P(AB)=0.4-0.2=0.2,P(A)=P(A)-P(AB)=0.3-0.2=0.1,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.2=0.5,P[B|(A+B)]====0.8,P[(+)|(A+B)]===0.6.
14.解:设“第一张中一等奖”为事件A,“第二张中二等奖”为事件B,“第二张中三等奖”为事件C,则由题意得B与C为互斥事件,P(A)=,
P(AB)==,
P(AC)==,
所以P(B|A)===,
P(C|A)===,
则P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=+==.
15.C [解析] 设Ai(i=1,2)表示“第i次输对密码”,事件A表示“不超过两次就输对密码”,则A=A1+A2,记“密码的最后一位数字是奇数”为事件B,由条件概率的性质可得P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+=.故选C.
16.解:(1)设Ai表示“第i(i=1,2)轮回答低阶问题”,Bi表示“第i轮回答高阶问题”,C表示“回答正确”,
由题可知,P(A1)=,P(B1)=,P(C|A1)=P(C|A2)=,P(C|B1)=P(C|B2)=.
由条件概率得P(A1C)=P(A1)P(C|A1)=×=,P(B1)=P(B1)P(|B1)=×=,
所以第一轮回答问题后获得20元奖金的概率P=P(A1C)+P(B1)=+=.
(2)设事件D表示“甲第一轮获得奖金20元”,则由(1)可得P(D)=.
设事件E表示“两轮累计获得奖金不低于50元”,则事件“DE”可分解为以下两个事件:
①第一轮回答低阶问题正确;
②第一轮回答高阶问题错误,第二轮回答低阶问题正确.
则第一轮回答低阶问题正确的概率P1=×=,第一轮回答高阶问题错误,第二轮回答低阶问题正确的概率P2=P(B1)P(C|A2)=×=,
所以P(DE)=P1+P2=,
所以在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下,甲两轮累计获得奖金不低于50元的概率P(E|D)===.第2课时 条件概率的性质及应用
1.[2025·山东青岛期中] 设A B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(A|B)= ( )
A.1 B.
C. D.
2.[2025·江苏连云港高二期末] 若B,C是互斥事件且P(B|A)=,P(C|A)=,则P[(B+C)|A]等于 ( )
A. B.
C. D.
3.[2025·江苏盐城高二期末] 已知P(M)=0.4,P(|M)=0.7,则P(MN)= ( )
A.0.12 B.0.18
C.0.28 D.0.42
4.[2025·浙江杭州高二期中] 已知事件A,B,C满足P(B|A)=,P(C|A)=,P(BC|A)=,则P[(B+C)|A]= ( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)已知P()=,P(|A)=,P(B|)=,则 ( )
A.P(A)=
B.P(A)=
C.P(|)=
D.P( )=
6.(多选题)某单位开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛.某支部在5道党史题(有3道选择题和2道填空题)中不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是 ( )
A.P(A)= B.P(AB)=
C.P(B|A)= D.P(|A)=
7.[2025·江苏淮安高二期末] 设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(|A)=,则P(AB)= .
8.(13分)[2025·山东济南钱学森高中高二月考] 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9这十个数中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.
(1)他任意按最后一位数字,求不超过3次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4,求不超过3次就按对的概率.
9.(13分)[2024·江苏南通汇龙中学高二期中] 在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的球,这10个球为1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次摸出2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,摸出的第二个球是黄球或黑球的概率.
10.[2025·江苏淮安高二期末] 有5瓶除颜色外完全相同的墨水,其中红色墨水1瓶,蓝色、黑色墨水各2瓶,某同学从中随机任取2瓶,若取得的2瓶中有1瓶是蓝色墨水,则另1瓶是红色墨水或黑色墨水的概率是 ( )
A. B.
C. D.
11.[2025·江苏宿迁中学高二期中] 小明在暑假参加了一项评价测试,在这次测试中,要从10道题中随机抽出5道题,规定考生至少答对其中3道题即可通过测试,至少答对其中4道题就获得优秀.已知小明能答对10道题中的5道题,并且知道他在这次测试中已经通过,则他获得优秀的概率是 ( )
A. B. C. D.
12.(多选题)[2024·上海二中高二校考改编] 下列各式中能判断事件A与事件B相互独立的是 ( )
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
C.P(|B)+P(A)=1
D.P(A|B)+P(|B)=1
13.已知随机事件A,B发生的概率P(A)=0.3,P(B)=0.4,若P(A|B)=0.5,事件,,A+B分别表示A不发生,B不发生和事件A与B至少有一个发生,则P[B|(A+B)]= ,P[(+)|(A+B)]= .
14.(15分)在10 000张奖券中,设有1个一等奖,5个二等奖,10个三等奖,从中不放回地抽取两次,每次抽取1张,求在第一张中一等奖的条件下,第二张中二等奖或三等奖的概率.
15.某学生在某网站的登录密码由九个符号组成,其中前两位是大写字母,第三位是小写字母,后六位是数字.该生在登录时,忘记了密码的最后一位数字,如果该生记住密码的最后一位是奇数,那么不超过两次就输对密码的概率为 ( )
A. B. C. D.
16.(15分)某单位为了丰富群众文化生活,提高对本行业的认同度,在“五一国际劳动节”期间举行了“本行业知识有奖竞答活动”,活动规则如下:每位参加活动的职工都有两轮回答问题的机会.第一轮:参加活动的职工先抛掷一枚骰子1次,掷出1点或2点,则可回答一个低阶问题,回答正确获得奖金20元,回答错误获得奖金10元;掷出3点,4点,5点,6点,则可回答一个高阶问题,回答正确获得奖金40元,回答错误获得奖金20元.第二轮:若第一轮回答正确,则第二轮回答一个高阶问题,回答正确可获得奖金60元,回答错误可获得奖金30元;若第一轮回答错误,则第二轮回答一个低阶问题,回答正确可获得奖金30元,回答错误可获得奖金20元.职工甲参加活动,已知他每一轮回答高阶问题的正确率均为,回答低阶问题的正确率均为,每轮奖金累积.求解下列问题:
(1)求第一轮甲回答问题后获得20元奖金的概率;
(2)求在第一轮中甲已获得奖金20元的条件下,甲两轮累计获得奖金不低于50元的概率.第2课时 条件概率的性质及应用
【学习目标】
1.理解条件概率的性质.
2.结合古典概型,会求互斥事件的条件概率.
◆ 知识点 条件概率的性质
(1)P(Ω|A)= ,P( |A)= ;
(2)若B,C互斥,则P[(B+C)|A]= .
(3)若和B互为对立事件,则P(|A)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若P(C|A)=1-P(B|A),则B和C互为对立事件. ( )
(2)若A与B是互斥事件,且P(A)≠0,P(B)≠0,则P(B|A)=P(B). ( )
◆ 探究点一 条件概率的性质
例1 (多选题)[2025·江苏泰州高二期末] 下列式子成立的是 ( )
A.P(B|A)+P(|A)=1
B.P[(B+C)|A]=P(B|A)+P(C|A)
C.P(AB)=P(A)·P(B|A)
D.P(B|A)=P(B)
变式 [2025·江苏南通启东一中高二期中] 已知随机事件A,B,若P(A)=,P(B|A)=,P(|B)=,则P(B)= .
[素养小结]
条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1.
◆ 探究点二 互斥事件的条件概率
例2 [2025·江苏徐州高二期末] 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.
(1)当向上的点数之和为7时,求其中有一颗骰子向上的点数是2的概率;
(2)当向上的点数不相同时,求向上的点数之和为4或6的概率.
变式 [2025·江苏南通如皋中学高二段考] 有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为 .
[素养小结]
(1)利用公式P[(B+C)|A]=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个公式的使用前提是“B与C互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率.
