(共73张PPT)
8.1 条件概率
8.1.2 全概率公式
探究点一 两个事件的全概率问题
探究点二 多个事件的全概率问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合古典概型，了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率
公式的过程.
2.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.
知识点 全概率公式
一般地，若事件，， ，两两互斥，且它们的和 ___，
，，2，3， ，，则对于 中的任意事件 ，
有 _ _______________.这个公式称为全概率公式.
注意点：
如图所示，发生的概率与 有关，
且 发生的概率等于所有这些概率的和，即
.在实际问题中，
当某一事件发生的概率难以直接求得时，可尝试利用全概率公式求解.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在全概率公式中，，， ， 必须是一组两两互斥的事
件.( )
√
（2）使用全概率公式的关键是寻找一组事件来“分割”样本空间.( )
√
（3）全概率公式 是将样本空间分
成互斥的两部分后得到的.( )
√
探究点一 两个事件的全概率问题
例1（1）［2025·江苏连云港高二期末］一个袋中装有10个盲盒，已
知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩先后从中
任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 记事件表示“甲取到的是玩具盲盒”，事件 表示“乙取到的
是玩具盲盒”,则由题意得,, , ,
所以 .故选C.
√
（2）［2025·江苏宿迁高二期末］某工厂有两个车间生产同型号的
家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为 ，两
个车间的成品都混合堆放在一个仓库中，已知第一、二车间生产的
成品数量的比为 .今有一位客户从仓库中随机提出一台成品，则
该成品合格的概率为( )
A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88
√
[解析] 设“从仓库中随机提出的一台成品是合格品”为事件，事件
表示“提出的一台成品是第车间生产的”， ，2，由题意可得
，， ，
，
由全概率公式得 ，
即该成品合格的概率为0.868.
变式 ［2025·江苏淮安高二期末］某校十分重视学生体育锻炼，开
设了很多特色体育课程.选择篮球课程的某同学正在进行投篮练习.如
果他前一球投进，那么后一球投进的概率为 ；如果他前一球投不进,
那么后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为 ，则他第2球投
进的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记“该同学第1球投进”为事件，“该同学第2球投进”为事件 ，
由题意可知,, ，可得
，
所以 .故选C.
［素养小结］
两个事件的全概率问题的一般求解步骤
（1）将样本空间拆分成互斥的两部分，如
，
（或
与
）.
（2）根据题意计算
，
，
及
.
（3）代入公式
，求得
.
探究点二 多个事件的全概率问题
例2 ［2025·广东广州高二期末］现有10个球，其中5个球是甲工厂
生产的，3个球是乙工厂生产的，2个球是丙工厂生产的.这三个工厂
生产该类产品的合格率依次是，， .现从这10个球中任取1个
球，设事件为“取得的球是合格品”，事件,, 分别表示“取得
的球是甲、乙、丙工厂生产的”.
（1）求, ,2,3；
解：依题意可知,, .
例2 ［2025·广东广州高二期末］现有10个球，其中5个球是甲工厂
生产的，3个球是乙工厂生产的，2个球是丙工厂生产的.这三个工厂
生产该类产品的合格率依次是，， .现从这10个球中任取1个
球，设事件为“取得的球是合格品”，事件,, 分别表示“取得
的球是甲、乙、丙工厂生产的”.
（2）求 .
解：依题意可知,, ，
由（1）知,, ，
由全概率公式得
.
变式（1）甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的产
品的次品率为，乙厂生产的产品的次品率为 ，丙厂生产的
产品的次品率为 ，生产出来的产品混放在一起.已知甲、乙、丙
厂生产的产品数量分别占总数的，， ，从中任取一件
产品，则取得的产品为次品的概率为_____.
0.17
[解析] 记事件表示“任取一件产品为次品”，事件,, 分别表示
“产品为甲、乙、丙厂生产的”，则， ，
，，，，
所以 .
（2）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共
青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回
答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答
正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都
回答正确的概率是 .
①若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1
人回答正确的概率；
解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为 ，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得 ；
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得 .
所以甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率
.
（2）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共
青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回
答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答
正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都
回答正确的概率是 .
②若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的
概率分别为,, ，求这个问题被正确回答的概率.
解：记事件为“甲抢到这道题”，事件 为“乙抢到这道题”，事件
为“丙抢到这道题”，事件 为“这道题被正确回答”，
则，， ，
且，， ，
由全概率公式可得
.
［素养小结］
将样本空间
拆分成
，
，
，
，满足
， ，
，
，
，2，
，
，
则事件
发生的概率，等于事件
发生的概率与已知在
发生的条件
下事件
发生的概率的乘积之和.
1.全概率公式的意义在于，当直接计算事件发生的概率 较困难
时，可以先找到样本空间 的一个划分 ，其中
，， ，两两互斥，将，， ，看成是导致 发生
的一组原因，这样事件就被分解成了 个部分，分别计算
，， ， ，再利用全概率公式求解.
2.运用全概率公式计算事件发生的概率 时，一般步骤如下：
（1）求划分后的每个“小事件”的概率，，2， ， ；
（2）求每个“小事件”发生的条件下，事件 发生的概率，即
，，2， ， ；
（3）利用全概率公式计算，即 .
3.对全概率公式的理解
某一事件的发生可能有多种的原因，如果 是由原因
所引起，则原因引起的 发生的概率
，每一种原因都可能导致发生，故 发生的
概率是各原因引起 发生概率的总和，即全概率公式.由此可以形象
地把全概率公式看成“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一
定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.
1.全概率公式的应用
例1 已知1号箱中有除颜色外完全相同的5个白球和3个红球，2号箱
中有除颜色外完全相同的2个白球和4个红球.
（1）每次从1号箱中随机取出1个球，取出的球不再放回，经过2次
取球，求:
取出的这2个球中有红球的概率;
在取出的这2个球中有红球的条件下，第2次取出红球的概率.
解：设表示“取出的2个球中有红球”， 表示“第2次取出的是红球”.
由题意知，试验的样本空间 包含 （个）样本点，即
，
因为，所以 ，故
所求概率为 .
解：因为，所以 ，
故所求概率为 .
（1）每次从1号箱中随机取出1个球，取出的球不再放回，经过2次
取球，求:
在取出的这2个球中有红球的条件下，第2次取出红球的概率.
例1 已知1号箱中有除颜色外完全相同的5个白球和3个红球，2号箱
中有除颜色外完全相同的2个白球和4个红球.
（2）若先从1号箱中随机取出1个球放入2号箱中，再从2号箱中随机
取出1个球，求从2号箱中取出红球的概率.
解：设表示“从2号箱中取出红球”， 表示“从1号箱中取出红球”，
则，， ，
，
所以 ，
故所求概率为 .
2.全概率公式背景下的数列递推
例2 某学校食堂每天中午为师生提供冰糖雪梨汤和苹果百合汤，二
者均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，
已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 ，若前一天选择冰糖雪梨汤，
则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 ，而前一天选择苹果百合汤，
后一天继续选择苹果百合汤的概率为 ，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.
解：设表示“第一天中午选择冰糖雪梨汤”， 表示“第二天中午选
择冰糖雪梨汤”，则 表示“第一天中午选择苹果百合汤”.
根据题意得,,, ，
所以 .
例2 某学校食堂每天中午为师生提供冰糖雪梨汤和苹果百合汤，二
者均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，
已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 ，若前一天选择冰糖雪梨汤，
则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 ，而前一天选择苹果百合汤，
后一天继续选择苹果百合汤的概率为 ，如此往复.
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 ，证明：
为等比数列.
证明：设表示“第天中午选择冰糖雪梨汤”，则 ,
，
根据题意得, ，
由全概率公式得
，即 .
不妨设，则 ，
所以，解得 ，
则，又 ，
所以是以为首项， 为公比的等比数列.
例2 某学校食堂每天中午为师生提供冰糖雪梨汤和苹果百合汤，二
者均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，
已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 ，若前一天选择冰糖雪梨汤，
则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 ，而前一天选择苹果百合汤，
后一天继续选择苹果百合汤的概率为 ，如此往复.
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大
于选择苹果百合汤概率的天数.
解：由（2）得 .
由题意，只需满足，即 ，
则，即 .
显然当为偶数时不等式不成立，则 为奇数.
所以需找出,3,5,7,9时，满足不等式的 的
取值.
当 时，不等式显然成立.
当时，，所以当 时不等式不成立.
因为随着的增大而减小，所以当 ,7,9时，不等式也
不成立.
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于选择苹果百合
汤的概率.
练习册
1.设,为两个事件，已知，， ，
则 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
[解析] 由，得 ，由
，得 ，
所以 .故选C.
√
2.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙车间的产量分别
占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为, .现
从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，分别表示“产品由甲、乙车间生产”， 表示“产品为
优品”，由题可得,, ,
，所以 .故选A.
√
3.甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6
名同学球技一般，有4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率
为 ，打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机选
取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为( )
A.0.54 B.0.58 C.0.60 D.0.64
[解析] 用, 分别表示“甲随机选取的对手是球技一般的同学，球
技高超的同学”，用表示“甲打赢这场比赛”，可得 ,
,, ，所以由全概率公式，可
得 .故选B.
√
4.［2025·辽宁大连高二期中］一个玩具制造厂的某种配件由， ，
三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得
到数据：，，制造厂的次品率分别为，， ，提供配
件的份额分别为，， .已知三家制造厂的配件在玩具制造
厂仓库内均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到
的是次品的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件表示“抽到的是次品”，事件 表示“抽到的配件来自
于制造厂”，事件表示“抽到的配件来自于制造厂”，事件 表示
“抽到的配件来自于制造厂”，所以 .故选A.
5.［2024·江苏宿迁高二期中］甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中
有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋
子，再从该袋子中随机取一个球，则取得的球为红球的概率是
( )
A. B. C. D.
[解析] 设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件 ，“取
出的是丙袋”为事件，“取得的球为红球”为事件 ，则
.故选C.
√
6.［2025·山东德州高二期末］已知, 为两个随机事件，
，若，， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，，所以，则，解得 .故选D.
√
7.已知在,,地区分别有,, 的人患了流感，这三个地区的
人口总数之比为 ，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人
患流感的概率为______.
0.041
[解析] 设事件为“这个人患流感”，事件,, 分别表示“这个人
选自,,地区”，则由已知得 ,
,， ,
,，
所以由全概率公式得 .
8.［2025·辽宁辽阳高二期末］某射击小组共有10名射手，其中一级
射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有
一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__；若一、
二、三级射手获胜的概率分别是，， ，则任选一名射手能
够获胜的概率为_____.
0.66
[解析] 由题意得至少有一人是一级射手包含的样本点个数为
，选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手包含
的样本点个数是 ，故选出2人参赛，在至少有一人是一级
射手的条件下，另一人是三级射手的概率为 .
任选一名射手,该射手是一、二、三级射手的概率分别为,, ，又一、
二、三级射手获胜的概率分别是，， ，所以任选一名射手能
够获胜的概率为 .
9.（13分）［2025·江苏常州高二期中］为建设“书香校园”，学校图
书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊”与“文献”
两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一
类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊”，则下次也选择借阅“期刊”
的概率为 ，若前一次选择借阅“文献”，则下次选择借阅“期刊”的概
率为 .
（1）求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊”的概率；
解：用，分别表示第一次、第二次借阅“期刊”，用， 表示
第一次、第二次借阅“文献”，
则，， ，可得
， .
记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊”为事件 ，
则 .
9.（13分）［2025·江苏常州高二期中］为建设“书香校园”，学校图
书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊”与“文献”
两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一
类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊”，则下次也选择借阅“期刊”
的概率为 ，若前一次选择借阅“文献”，则下次选择借阅“期刊”的概
率为 .
（2）求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献”的概率.
解：第二次借阅“文献”的概率
.
10.（13分）［2025·河南郑州高二期中］某芯片制造企业采用流水线
的方式生产芯片.原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，
这三道工序互不影响.已知三道工序产生不合格产品的概率分别为
，， ，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品.
（1）求该企业原有生产线的次品率.
解：该企业原有生产线的正品率
，
所以该企业原有生产线的次品率 .
10.（13分）［2025·河南郑州高二期中］某芯片制造企业采用流水线
的方式生产芯片.原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，
这三道工序互不影响.已知三道工序产生不合格产品的概率分别为
，， ，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品.
（2）为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯
片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起.已知新生产线的次品
率为 ，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍.从混放的芯片中
任取一个，计算它是次品的概率.
解：记“任取一个芯片来自原生产线”为事件 ，则“任取一个芯片来
自新生产线”为事件 ，
记“任取一个芯片是次品”为事件，则， ，且
， ，
所以 ，
即从混放的芯片中任取一个，它是次品的概率为 .
11.［2025·江苏扬州高二期末］甲、乙两个袋子中各装有5个大小相
同的小球，其中甲袋中有1个红球，2个白球和2个黑球，乙袋中有2
个红球，2个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，
再从乙袋中随机取出一球.若用事件,和 分别表示从甲袋中取
出的球是红球，白球和黑球，用事件 表示从乙袋中取出的球是红球，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，， ，
，， ，
所以由全概率公式得
.故选D.
12.（多选题）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装
有2个红球、1个黄球和1个绿球；黄色盒子内装有2个红球，2个绿球；
绿色盒子内装有2个红球，2个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机
抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入
球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、抽到黄球获得
2块月饼、抽到绿球获得3块月饼，小明所获得的月饼为两次抽球所
获得月饼的总和，则下列说法正确的是( )
A.在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B.第二次抽到红球的概率是
C.第二次抽到红球的概率是
D.小明获得4块月饼的概率是
√
√
√
[解析] 记，，分别表示“第一次抽到红球、黄球、绿球”，
表示“第二次抽到红球”.对于A，在第一次抽到绿球的条件下，第二
次抽到绿球的概率是，所以A正确.
对于B，C，因为 , ，，
， ，
所以由全概率公式知 ，
所以B错误，C正确.
对于D，小明获得4块月饼可能的情况有三种：
①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红色盒子内抽到绿球，
其概率为 ；
②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿色盒子内抽到红球，
其概率为 ；
③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄色盒子内抽到黄球，
其概率为 .所以小明获得4块月饼的概率是，
故D正确.
故选 .
13.（多选题）［2024·江苏苏州实验中学高二质检］甲箱中有2个红
球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中
随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球.分别用 ，
，表示“从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球”，用 表示“从
乙箱中摸出的2个球颜色不同”，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，从甲箱中随
机摸出一个球，则，, ，故A正确.
对于B,C,乙箱中原来有3个红球和3个黑球,若从甲箱中摸出的为红球，
则乙箱中有4个红球和3个黑球，所以 ；
若从甲箱中摸出的为黑球，则乙箱中有3个红球和4个黑球，所以
；若从甲箱中摸出的为白球，则乙箱中有3
个红球,3个黑球和1个白球,所以 .
综上可知，B，C都错误.
，故D正确.
故选 .
14.［2024·江苏南通高二期末］“布朗运
动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机
运动，某试验容器如图所示，该容器由
三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机
选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部
捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则
试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为___.
[解析] 设从号仓出发最终从1号仓到达容器外的概率为 ，
由全概率公式可得，，可得 .
15.（多选题）甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮
由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人
继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经
验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和 ，且第1题通过抛掷
硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第 次回答问题
结束后甲的得分为 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第
次答题者是乙”，则， ，又因为，
,所以
，即，故A错误.
对于B， 表示第1次回答问题结束后甲的得分为0，则
，故B正确.
对于C，第 次答题者是甲，有两种情况：①第次答题者是甲，
且甲在第 次回答问题时回答正确；
②第次答题者是乙，且乙在第 次回答问题时回答错误.
由全概率公式可得, ,故C正确.
对于D，表示第次回答问题结束后甲的得分为 ，则第1次答题
者是甲,且甲在 次回答问题时都回答正确,所以
，故D正确.
故选 .
16.（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3
个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
（1）求第2次摸到红球的概率.
解：记事件“第次摸到红球”为 ，则第2次摸到红
球的概率为 ，
于是由全概率公式，得
.
16.（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3
个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为 ；第1次摸到红球的概率为
；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 ；在第1，
2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求,,, .
解：由已知得， ，
，
.
16.（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3
个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
（3）对于事件,,，当时，写出,, ,
之间的等量关系式，并给出证明.
解：由（2）可得 ，所以
，
可猜想： .
证明如下：由条件概率及, ，
得， ，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】（1）√ （2）√ （3）√
课中探究 例1 （1）C （2）C 变式 C
例2 （1）/m>（2）
②
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.0.041 8.
0.66
9.（1） （2） 10.（1） （2）
11.D 12.ACD 13.AD 14.
15.BCD
16.（1）（2）（3）
8.1.2 全概率公式
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)记事件A表示“甲取到的是玩具盲盒”,事件B表示“乙取到的是玩具盲盒”,则由题意得P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选C.
(2)设“从仓库中随机提出的一台成品是合格品”为事件B,事件Ai表示“提出的一台成品是第i车间生产的”,i=1,2,由题意可得P(A1)==0.4,P(A2)==0.6,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868,即该成品合格的概率为0.868.
变式 C [解析] 记“该同学第1球投进”为事件A,“该同学第2球投进”为事件B,由题意可知P(B|A)=,P(B|)=,P(A)=,可得P()=1-P(A)=,所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=.故选C.
探究点二
例2 解:(1)依题意可知P(A1)==0.5,P(A2)=0.3,P(A3)==0.2.
(2)依题意可知P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.7,
由(1)知P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2,
由全概率公式得P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.8×0.5+0.9×0.3+0.7×0.2=0.81.
变式 (1)0.17 [解析] 记事件B表示“任取一件产品为次品”,事件A1,A2,A3分别表示“产品为甲、乙、丙厂生产的”,则P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.1,P(B|A2)=0.2,P(B|A3)=0.3,所以P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.5×0.1+0.3×0.2+0.2×0.3=0.17.
(2)解:①设乙答题正确的概率为p2,丙答题正确的概率为p3,
则甲、丙两人都回答正确的概率是p3=,解得p3=;
乙、丙两人都回答正确的概率是p2=,解得p2=.
所以甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率P=1-=.
②记事件A1为“甲抢到这道题”,事件A2为“乙抢到这道题”,事件A3为“丙抢到这道题”,事件B为“这道题被正确回答”,
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
且P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,8.1.2 全概率公式
1.C [解析] 由P(A)=0.5,得P()=0.5,由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),得0.4=0.5×0.3+0.5P(B|),所以P(B|)=0.5.故选C.
2.A [解析] 设A1,A2分别表示“产品由甲、乙车间生产”,B表示“产品为优品”,由题可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.故选A.
3.B [解析] 用A1,A2分别表示“甲随机选取的对手是球技一般的同学,球技高超的同学”,用B表示“甲打赢这场比赛”,可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.1,所以由全概率公式,可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.58.故选B.
4.A [解析] 设事件D表示“抽到的是次品”,事件E1表示“抽到的配件来自于A制造厂”,事件E2表示“抽到的配件来自于B制造厂”,事件E3表示“抽到的配件来自于C制造厂”,所以P(D)=P(E1)·P(D|E1)+P(E2)·P(D|E2)+P(E3)·P(D|E3)=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.012 5.故选A.
5.C [解析] 设“取出的是甲袋”为事件A1,“取出的是乙袋”为事件A2,“取出的是丙袋”为事件A3,“取得的球为红球”为事件B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.故选C.
6.D [解析] 因为P(B)=0.4,P(B|A)=0.7,P(B|)=0.3,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.7P(A)+0.3P()=0.7P(A)+0.3[1-P(A)],则0.4=0.4P(A)+0.3,解得P(A)=.故选D.
7.0.041 [解析] 设事件D为“这个人患流感”,事件A1,A2,A3分别表示“这个人选自A,B,C地区”,则由已知得P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4,P(D|A1)=0.03,P(D|A2)=0.05,P(D|A3)=0.04,所以由全概率公式得P(D)=P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)P(D|A3)=0.25×0.03+0.35×0.05+0.4×0.04=0.041.
8. 0.66 [解析] 由题意得至少有一人是一级射手包含的样本点个数为+=24,选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手包含的样本点个数是=15,故选出2人参赛,在至少有一人是一级射手的条件下,另一人是三级射手的概率为=.任选一名射手,该射手是一、二、三级射手的概率分别为,,,又一、二、三级射手获胜的概率分别是0.9,0.7,0.5,所以任选一名射手能够获胜的概率为×0.9+×0.7+×0.5=0.66.
9.解:(1)用A1,A2分别表示第一次、第二次借阅“期刊”,用B1,B2表示第一次、第二次借阅“文献”,
则P(A1)=P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=,可得P(B2|B1)=,P(B2|A1)=.
记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊”为事件C,
则P(C)=P(A1B2)+P(B1A2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)·P(A2|B1)=×+×=.
(2)第二次借阅“文献”的概率P(B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)·P(B2|B1)=×+×=.
10.解:(1)该企业原有生产线的正品率P1=××=,
所以该企业原有生产线的次品率P=1-P1=1-=.
(2)记“任取一个芯片来自原生产线”为事件A,则“任取一个芯片来自新生产线”为事件,
记“任取一个芯片是次品”为事件B,则P(A)=,P()=,且P(B|A)=,P(B|)=,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=,
即从混放的芯片中任取一个,它是次品的概率为.
11.D [解析] 由题意知P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)==,P(B|A2)==,P(B|A3)==,所以由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.故选D.
12.ACD [解析] 记A1,A2,A3分别表示“第一次抽到红球、黄球、绿球”,B表示“第二次抽到红球”.对于A,在第一次抽到绿球的条件下,第二次抽到绿球的概率是,所以A正确.对于B,C,因为P(A1)=,P(A2)=P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,所以B错误,C正确.对于D,小明获得4块月饼可能的情况有三种:①第一次从红色盒子内抽到红球,第二次从红色盒子内抽到绿球,其概率为×=;②第一次从红色盒子内抽到绿球,第二次从绿色盒子内抽到红球,其概率为×=;③第一次从红色盒子内抽到黄球,第二次从黄色盒子内抽到黄球,其概率为×=.所以小明获得4块月饼的概率是++=,故D正确.故选ACD.
13.AD [解析] 对于A,甲箱中有2个红球,3个白球和2个黑球,从甲箱中随机摸出一个球,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,故A正确.对于B,C,乙箱中原来有3个红球和3个黑球,若从甲箱中摸出的为红球,则乙箱中有4个红球和3个黑球,所以P(B|A1)===;若从甲箱中摸出的为黑球,则乙箱中有3个红球和4个黑球,所以P(B|A3)===;若从甲箱中摸出的为白球,则乙箱中有3个红球,3个黑球和1个白球,所以P(B|A2)===.综上可知,B,C都错误.对于D,根据上述分析以及全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=,故D正确.故选AD.
14. [解析] 设从i(i=1,2,3)号仓出发最终从1号仓到达容器外的概率为Pi,由全概率公式可得,,可得P1=.
15.BCD [解析] 对于A,设事件An表示“第n次答题者是甲”,事件Bn表示“第n次答题者是乙”,则P(A1)=,P(B1)=,又因为P(An+1|An)=,P(An+1|Bn)=1-=,所以P(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|B1)P(B1)=×+×=,即P2=,故A错误.对于B,K1=0表示第1次回答问题结束后甲的得分为0,则P(K1=0)=×+=,故B正确.对于C,第n+1次答题者是甲,有两种情况:①第n次答题者是甲,且甲在第n次回答问题时回答正确;②第n次答题者是乙,且乙在第n次回答问题时回答错误.由全概率公式可得,Pn+1=Pn+(1-Pn)×=Pn+,故C正确.对于D,Kn=n表示第n次回答问题结束后甲的得分为n,则第1次答题者是甲,且甲在n次回答问题时都回答正确,所以P(Kn=n)=×=,故D正确.故选BCD.
16.解:(1)记事件“第i次摸到红球”为Ai(i=1,2,3,…,10),则第2次摸到红球的概率为P(A2),
于是由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=.
(2)由已知得P1=P(A1A2A3)==,P2=P(A1)=,P3=P(A2|A1)==,
P4=P(A3|A1A2)==.
(3)由(2)可得P1=P2P3P4,所以P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),
可猜想:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
证明如下:由条件概率及P(A)>0,P(AB)>0,
得P(B|A)=,P(C|AB)=,
所以P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(A)··=P(ABC).8.1.2 全概率公式
【学习目标】
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
◆ 知识点 全概率公式
一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且它们的和Ai= ,P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n,则对于Ω中的任意事件B,有P(B)= .这个公式称为全概率公式.
注意点:
如图所示,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等于所有这些概率的和,即P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).在实际问题中,当某一事件发生的概率难以直接求得时,可尝试利用全概率公式求解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在全概率公式中,A1,A2,…,An必须是一组两两互斥的事件. ( )
(2)使用全概率公式的关键是寻找一组事件来“分割”样本空间. ( )
(3)全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)是将样本空间分成互斥的两部分后得到的. ( )
◆ 探究点一 两个事件的全概率问题
例1 (1)[2025·江苏连云港高二期末] 一个袋中装有10个盲盒,已知其中3个是玩具盲盒,7个是文具盲盒,甲、乙两个小孩先后从中任取一个盲盒,则乙取到的是玩具盲盒的概率为 ( )
A. B. C. D.
(2)[2025·江苏宿迁高二期末] 某工厂有两个车间生产同型号的家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中,已知第一、二车间生产的成品数量的比为2∶3.今有一位客户从仓库中随机提出一台成品,则该成品合格的概率为 ( )
A.0.6 B.0.85
C.0.868 D.0.88
变式 [2025·江苏淮安高二期末] 某校十分重视学生体育锻炼,开设了很多特色体育课程.选择篮球课程的某同学正在进行投篮练习.如果他前一球投进,那么后一球投进的概率为;如果他前一球投不进,那么后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
两个事件的全概率问题的一般求解步骤
(1)将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与).
(2)根据题意计算P(A1),P(A2),P(B|A1)及P(B|A2).
(3)代入公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),求得P(B).
◆ 探究点二 多个事件的全概率问题
例2 [2025·广东广州高二期末] 现有10个球,其中5个球是甲工厂生产的,3个球是乙工厂生产的,2个球是丙工厂生产的.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8,0.9,0.7.现从这10个球中任取1个球,设事件B为“取得的球是合格品”,事件A1,A2,A3分别表示“取得的球是甲、乙、丙工厂生产的”.
(1)求P(Ai),i=1,2,3;
(2)求P(B).
变式 (1)甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品,甲厂生产的产品的次品率为10%,乙厂生产的产品的次品率为20%,丙厂生产的产品的次品率为30%,生产出来的产品混放在一起.已知甲、乙、丙厂生产的产品数量分别占总数的50%,30%,20%,从中任取一件产品,则取得的产品为次品的概率为 .
(2)为铭记历史,缅怀先烈,增强爱国主义情怀,某学校开展了共青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题,每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为,甲、丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.
①若规定三名同学都回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率;
②若规定三名同学抢答这个问题,已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为,,,求这个问题被正确回答的概率.
[素养小结]
将样本空间Ω拆分成A1,A2,…,An,满足Ω=A1+A2+…+An,Ai∩Aj= ,i≠j,i,j=1,2,…,n,则事件B发生的概率,等于事件Ai发生的概率与已知在Ai发生的条件下事件B发生的概率的乘积之和.8.1.2 全概率公式
1.设A,B为两个事件,已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,则P(B|)= ( )
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
2.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙车间的产量分别占全厂产量的60%,40%,甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为 ( )
A.93% B.93.5%
C.94% D.94.5%
3.甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛,这10名同学中有6名同学球技一般,有4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9,打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机选取一名作为对手,则他打赢这场比赛的概率为 ( )
A.0.54 B.0.58
C.0.60 D.0.64
4.[2025·辽宁大连高二期中] 一个玩具制造厂的某种配件由A,B,C三家配件制造厂提供,根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据:A,B,C制造厂的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供配件的份额分别为15%,80%,5%.已知三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库内均匀混合且不区别标记,从中随机抽取一件配件,则抽到的是次品的概率为 ( )
A.0.012 5 B.0.011 5
C.0.013 5 D.0.014 5
5.[2024·江苏宿迁高二期中] 甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋子,再从该袋子中随机取一个球,则取得的球为红球的概率是 ( )
A. B.
C. D.
6.[2025·山东德州高二期末] 已知A,B为两个随机事件,0
A. B.
C. D.
7.已知在A,B,C地区分别有3%,5%,4%的人患了流感,这三个地区的人口总数之比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取1人,则这个人患流感的概率为 .
8.[2025·辽宁辽阳高二期末] 某射击小组共有10名射手,其中一级射手3人,二级射手2人,三级射手5人,现选出2人参赛,在至少有一人是一级射手的条件下,另一人是三级射手的概率为 ;若一、二、三级射手获胜的概率分别是0.9,0.7,0.5,则任选一名射手能够获胜的概率为 .
9.(13分)[2025·江苏常州高二期中] 为建设“书香校园”,学校图书馆对所有学生开放图书借阅,可借阅的图书分为“期刊”与“文献”两类,已知该校小明同学的图书借阅规律如下:第一次随机选择一类图书借阅,若前一次选择借阅“期刊”,则下次也选择借阅“期刊”的概率为,若前一次选择借阅“文献”,则下次选择借阅“期刊”的概率为.
(1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊”的概率;
(2)求小明同学在两次借阅过程中,第二次借阅的是“文献”的概率.
10.(13分)[2025·河南郑州高二期中] 某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片.原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序,这三道工序互不影响.已知三道工序产生不合格产品的概率分别为,,,三道工序均合格的产品成为正品,否则成为次品.
(1)求该企业原有生产线的次品率.
(2)为了提高产量,该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片,两条生产线生产出的芯片随机混放在一起.已知新生产线的次品率为,且新生产线的产量是原生产线产量的两倍.从混放的芯片中任取一个,计算它是次品的概率.
11.[2025·江苏扬州高二期末] 甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球,其中甲袋中有1个红球,2个白球和2个黑球,乙袋中有2个红球,2个白球和1个黑球,先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.若用事件A1,A2和A3分别表示从甲袋中取出的球是红球,白球和黑球,用事件B表示从乙袋中取出的球是红球,则P(B)= ( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)现有红、黄、绿三个不透明盒子,其中红色盒子内装有2个红球、1个黄球和1个绿球;黄色盒子内装有2个红球,2个绿球;绿色盒子内装有2个红球,2个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球,将取出的球放入与球同色的盒子中;第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、抽到黄球获得2块月饼、抽到绿球获得3块月饼,小明所获得的月饼为两次抽球所获得月饼的总和,则下列说法正确的是 ( )
A.在第一次抽到绿球的条件下,第二次抽到绿球的概率是
B.第二次抽到红球的概率是
C.第二次抽到红球的概率是
D.小明获得4块月饼的概率是
13.(多选题)[2024·江苏苏州实验中学高二质检] 甲箱中有2个红球,3个白球和2个黑球,乙箱中有3个红球和3个黑球,先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中,再从乙箱中摸出2个球.分别用A1,A2,A3表示“从甲箱中摸出的球是红球,白球和黑球”,用B表示“从乙箱中摸出的2个球颜色不同”,则 ( )
A.P(A1)= B.P(B|A2)=
C.P(B|A3)= D.P(B)=
14.[2024·江苏南通高二期末] “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,某试验容器如图所示,该容器由三个仓组成,某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 .
15.(多选题)甲、乙两同学参加普法知识对抗赛,规则如下:每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确,得1分,且此人继续答题;若回答错误,得0分,同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计,甲、乙每次答题正确的概率分别是和,且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第n次答题者是甲的概率为Pn,第n次回答问题结束后甲的得分为Kn,则 ( )
A.P2=
B.P(K1=0)=
C.Pn+1=Pn+
D.P(Kn=n)=
16.(15分)一个袋子中有10个大小相同的球,其中红球7个,黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率.
(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P1;第1次摸到红球的概率为P2;在第1次摸到红球的条件下,第2次摸到红球的概率为P3;在第1,2次都摸到红球的条件下,第3次摸到红球的概率为P4.求P1,P2,P3,P4.
(3)对于事件A,B,C,当P(AB)>0时,写出P(A),P(B|A),P(C|AB),P(ABC)之间的等量关系式,并给出证明.