(共67张PPT)
8.1 条件概率
8.1.3 贝叶斯公式
探究点一 利用贝叶斯公式求概率
探究点二 全概率公式与贝叶斯公式的综
合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合古典概型，了解贝叶斯公式.
2.会利用贝叶斯公式进行简单的计算，并能解决简单的应用问题.
知识点 贝叶斯公式
一般地，若事件，， ， 两两互斥，且
，，，2， ，，则对于
中的任意事件，，有 _____________，因
此_ _________，再由全概率公式得
_ ____________.这个公式称为贝叶斯公式.
注意点：
（1）公式反映了， ，
，， 之间的互化关系.
（2）称为先验概率，称为后验概率，其反映了事件
发生的可能在各种可能原因中所占的比例.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当且时，有 .( )
√
（2）当且 时，有
.( )
√
探究点一 利用贝叶斯公式求概率
例1（1）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统
计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次
为复兴号列车的列次的2倍，和谐号列车的正点率为 ，复兴号列
车的正点率为 ，今有一辆列车未正点到达该站，则该列车为和
谐号的概率为( )
A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.8
√
[解析] 设事件为“经过的列车为和谐号”，事件 为“经过的列车为
复兴号”，事件为“列车未正点到达”，则, ,
, ，
于是 ，
所以该列车为和谐号的概率为
.故选D.
（2）（多选题）［2025·江苏宿迁中学高二期末］中国象棋是一种益
智游戏，体现了博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李
明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为
，李明与甲组、乙组选手比赛获胜的概率分别为， .从甲、
乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，则下列说法正确的
是( )
A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B.李明获胜的概率为
C.若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为
D.若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
√
√
√
[解析] 设事件为“李明与甲组选手比赛”，事件 为“李明与乙组选
手比赛”，事件为“李明获胜”，则由题可知, ，
， .
对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率
，故A正确；
对于B，李明获胜的概率
，故B正确；
对于C，若李明获胜,则棋手来自甲组的概率 ，
故C正确；
对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
，故D错误.
故选 .
变式（1）［2025·江苏扬州期末］有一个邮件过滤系统，它可以根
据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其
标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封
邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的邮件有 的
概率是正常邮件，被标记为正常邮件的邮件有 的概率是垃圾邮件，
则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的
概率为__.
[解析] 记“某邮件为正常邮件”， “某邮件被标记为正常邮件”，
则，， ，
所以， ，
故 ，
所以 .
（2）［2025·福建龙岩高二期末］某地有甲、乙两个游泳馆，某同
学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择甲、乙游泳馆的概率均
为0.5.如果该同学周六去甲馆，那么周日还去甲馆的概率为0.4；如果
周六去乙馆，那么周日去甲馆的概率为0.8.如果该同学周日去甲馆游
泳，那么他周六去甲馆游泳的概率为__.
[解析] 设事件为“该同学周日去甲馆”，事件 为“该同学周六去甲
馆”，则根据题意得，， ，
，则 .
［素养小结］
利用贝叶斯公式解题的一般步骤:
（1）按照某种标准将目标事件分解为
个彼此互斥的事件的并,将这
个事件分别命名为
;
（2）命名已知发生的结果为事件
;
（3）分别计算
和
;
（4）代入贝叶斯公式
求解.
探究点二 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
例2 ［2025·广东肇庆高二期中］三部机器生产同样的零件，其中机
器甲生产的零件占，机器乙生产的零件占 ，机器丙生产的
零件占 .已知机器甲、乙、丙生产的零件不合格的概率分别为
，和 .三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地
抽取一个零件.
（1）求取到的是不合格品的概率.
解：记事件，， 分别表示“零件是由机器甲、乙、丙生产的”，
事件 表示“取到的是不合格品”，
则，，， ，
，，
所以 .
例2 ［2025·广东肇庆高二期中］三部机器生产同样的零件，其中机
器甲生产的零件占，机器乙生产的零件占 ，机器丙生产的
零件占 .已知机器甲、乙、丙生产的零件不合格的概率分别为
，和 .三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地
抽取一个零件.
（2）经检验发现取到的产品为不合格品，则它是由哪一部机器生产
出来的概率最大？请说明理由.
解：由（1）知 ，
，
，
因为 ，
所以 ，所以它是由机器乙生产出来的概
率最大.
变式 某数学素养提升小组设计了以下问题进行探究：现有完全相同
的甲、乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙
箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个
箱子中随机任取一个箱子，再从中随机摸出一个球.
（1）求摸出的球是黑球的概率；
解：记事件表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件 表
示“取得黑球”，
则，， ，
由全概率公式得
.
（2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子
的可能性更大.
解：该球取自甲箱的概率 ，
该球取自乙箱的概率 ，
因为 ，所以该球取自乙箱的可能性更大.
［素养小结］
把事件
看作某一过程的结果，把
,
,
,
看作该过程的若干个
原因，如果已知事件
已经发生，要求此时是由第
个
原因引起的概率，则用贝叶斯公式求解.
1.贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝
叶斯公式时，一般已知和未知的条件如下：
（1） 已知；
（2） 已知；
（3） 未知，需要使用全概率公式计算得到.
2.贝叶斯公式充分体现了，，，， ，
之间的关系，即 ，
，
之间的内在联系.
如果随机试验可以看成两个阶段,且第一阶段的各个结果发生的概率
已知,那么:（1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全
概率公式;（2）若第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结
果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求
条件概率.
证明：因为， ，
所以 ，故得证.
例（1）对于任意两个事件,，若， ，证明：
；
（2）贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条
件概率之间的关系.该公式为：设，， ， 是一组两两互斥
的事件， ，且，，2， ， ，
则对任意的事件 ， ，有
，，2， ， .
(i)已知某地区烟民患肺癌的概率为 ，先用某种方式进行肺癌筛查，
医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结
果有 的概率呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果有
的概率呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他
真的患肺癌的概率是多少？
解： 记“检查结果呈阳性”为事件，“被检查者患有肺癌”为事件 ，
由题意可得,，, ，则
由贝叶斯公式得
，
即他真的患有肺癌的概率是 .
(ii)为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复
诊时，此人患肺癌的概率就不再是 ，这是因为第一次检查呈阳性，
所以对其患肺癌的概率进行修正，将第一次检查用贝叶斯公式求出
来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，
则他真的患肺癌的概率是多少？
解： 由(i)知复诊时此人患肺癌的概率为 ，则不患肺癌的概率为
，则所求概率为 .
练习册
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，货车中途停车修
理的概率为，客车中途停车修理的概率为 ，今有一辆汽车中
途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.3
√
[解析] 设表示“该汽车是货车”， 表示“该汽车是客车”，则
，， 表示“一辆汽车中途停车修理”，则
， ，所以
.
今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率
.
2.［2025·江西萍乡高二期末］某一地区患有癌症的人占总人数的 ，
患者对一种试验反应呈阳性的概率为 ，正常人对这种试验反应呈
阳性的概率为0.05.现从该地区随机抽取一个人，此人对这种试验反
应呈阳性，则此人是癌症患者的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记事件表示“某人是癌症患者”，事件 表示“试验反应呈阳
性”，由题意可知，， ，所以
现在某人的试验反应呈阳性，则此人是癌症患者的概率为
.故选D.
3.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐
公交车，骑共享单车的概率分别为，， ，而他自驾，坐公交车，
骑共享单车迟到的概率分别为，， ，结果这一天他迟到了，则他
自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件表示“小明自驾上班”，事件 表示“小明坐公交车上
班”，事件表示“小明骑共享单车上班”，事件 表示“小明上班迟到”，
由题意可知,, ,
，则 ，
，
若小明某天上班迟到了，则他自驾去上班的概率为
.故选B.
4.有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台车床加工的零件的次品
率分别为,, ，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车
床加工的零件总数之比为.现任取一个零件，记事件 “零件
为第台车床加工的”，事件 “零件为次品”，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意可得, ,
，, ,
.
由全概率公式可得 ，故
.故选D.
5.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以
表示事件“试验反应为阳性”，以 表示事件“被诊断者患有癌症”，则
有， .现在对自然人群进行普查，设被试
验的人患有癌症的概率为，即，则
( )
A.0.087 B.0.950 C.0.050 D.0.475
√
[解析] 因为，所以 ，
因为，所以 ，
所以由全概率公式可得 ，
所以 .
故选A.
6.（多选题）在某一季节，疾病的发病率为，其中 的病人
表现出症状；疾病的发病率为，其中 的病人表现出症状
；疾病的发病率为，其中的病人表现出症状 .不发病
或其他疾病发病不会出现症状 ，则下列结论正确的是( )
A.一个人有症状 的概率为0.02
B.病人有症状时患疾病 的概率为0.4
C.病人有症状时患疾病 的概率为0.45
D.病人有症状时患疾病 的概率为0.25
√
√
√
[解析] 记事件表示“疾病发病”，,2,3,事件 表示“不发病或
其他疾病发病”，事件表示“一个人出现症状”，则 ，
， ，
, ，
，，.
由全概率公式得 .
由贝叶斯公式得 ，
，
.
故选 .
7.有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、
丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的
次品率依次为,, ，现从这批产品中任取一件，则取到次品
的概率为______；若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为___.
0.053
[解析] 设“任取一件产品来自甲厂”为事件 ，“任取一件产品来自乙
厂”为事件，“任取一件产品来自丙厂”为事件，则，，
彼此互斥，且 ， ，
， ，
.
若取到的产品是次品，则它来自甲厂的概率
.
8.某人从甲地到乙地，可以乘坐高铁、客车、飞机，各种交通工具的
乘坐概率与迟到概率如表：
交通工具 高铁 客车 飞机
乘坐概率
迟到概率 0.1 0.3 0.3
若此人已迟到，则他乘坐飞机的概率为_____.
0.25
[解析] 由题意知，所求概率 .
9.（13分）［2025·江苏启东中学高二期中］放行准点率是衡量机场
运行效率和服务质量的重要指标之一.已知2024年该机场飞往地，
地及其他地区（不包含，两地）航班的放行准点率分别为 ,
和，2024年该机场飞往地， 地及其他地区的航班数占总
航班数的比例分别为， 和0.6.
（1）现在从2024年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班
准点放行的概率；
解：设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”， “该航
班飞往其他地区”， “该航班准点放行”，
则，，， ，
， ，
由全概率公式得
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
9.（13分）［2025·江苏启东中学高二期中］放行准点率是衡量机场
运行效率和服务质量的重要指标之一.已知2024年该机场飞往地，
地及其他地区（不包含，两地）航班的放行准点率分别为 ,
和，2024年该机场飞往地， 地及其他地区的航班数占总
航班数的比例分别为， 和0.6.
（2）若2024年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，
地及其他地区这三种情况中的哪种情况的可能性最大，并说明理由.
解： ，
，
，
因为 ，
所以该航班飞往其他地区的可能性最大.
10.（13分）某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地
监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户
（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出
行）对甲、乙两个公司的乘车费用、等待时间、乘车舒适度等因素
的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为 ，选择乙公司的频率为0.68；
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为 ，选择乙公司的
用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为 ，选择乙公司
的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为 ，选择乙公司的
用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车
费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个
因素满意的概率最小.
解：设事件表示“用户选择甲公司的网约车出行”，事件 表示“用
户对等待时间满意”，
事件表示“用户对乘车舒适度满意”，事件 表示“用户对乘车费用满意”.
则 ，
，
，
所以用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个
公司的网约车出行？并说明理由.
解：由题知， ，
，
所以 ，故该用户选择乙公司网约车出行的概率更大.
11.［2025·山东聊城高二期末］假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙
袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋
中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也
是2个白球的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设 表示“从甲袋中取出的2个球中，白球的个数为
”，事件 表示“从乙袋中取出的2个球中，白球的个数为2”.
由题意可得,； ，
；， .
根据贝叶斯公式可得
.
故选C.
12.（多选题）［2025·江苏南通高二期末］某农业种植基地在三块实
验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占 ，
乙地块产出苹果中一级果个数占 ，丙地块产出苹果中一级果个
数占.已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为 ，现将
三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是( )
A.任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2
B.任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75
C.任取一个苹果是一级果的概率为0.69
D.如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为
√
√
√
[解析] 设，， 分别表示“任取一个苹果，该苹果是甲、乙、
丙地块产出的”， 表示“任取一个苹果，该苹果是一级果”，由题意
知，，， ，
， .
对于A，任取一个苹果是甲地块产出的概率 ，故A正确.
对于B，任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率
，故B错误.
，故C正确.
对于D，如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率
，故D正确.
故选 .
13.（多选题）［2025·河北高二期中］某校进行一项问卷调查，为了调动学
生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽
奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，
2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球,绿色箱子放有1个黄球，
2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同
的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，直到取出3
个小球抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部
相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则( )
A.甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为
B.甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为
C.甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为
D.甲第一次取球取到红球获奖的概率最大
√
√
√
[解析] 设,, 分别表示“第一次抽取到的是红球，黄球，绿
球”，, 分别表示“获得一等奖，二等奖”.
对于A, ，所以A正确.
对于B, ，所以B正确.
对于C，设甲获奖为事件,甲获得一等奖的概率
,甲获得二等奖的概率,所以
，甲第一次取到绿球且获奖的概率为 ，
所以甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率 ，
故C正确.
对于D，甲第一次取球取到红球获奖的概率
,甲第一次取球取到黄球获奖的概率
，甲第一次取球取到绿球获奖的概率
， ，则甲第一次
取球取到绿球或者取到黄球获奖的概率最大，故D错误.
故选 .
14.一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 ,若
第一次及格则第二次也及格的概率为 ；若第一次不及格则第二次及
格的概率为 .若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为
_ ___.
[解析] 设“该学生第次及格”为事件, ,2,则由题意知
，，，可得 ，
由全概率公式得 .
由贝叶斯公式得 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点
【诊断分析】 （1）√ （2）√
课中探究 例1 （1）D （2）ABC 变式 （1）
（2）
例2 （1）0.028（2）它是由机器乙生产出来的概率最大
变式 （1）（2） 该球取自乙箱的可能性更大
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 6.ABC 7.0.053
8.0.25
9.（1）
0.778（2）该航班飞往其他地区的可能性最大
10.（1）用户，
，
用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）该用户选择乙公司网约车出行的概率更大
11.C 12.ACD 13.ABC 14.
8.1.3 贝叶斯公式
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)ABC [解析] (1)设事件A为“经过的列车为和谐号”,事件B为“经过的列车为复兴号”,事件C为“列车未正点到达”,则P(A)=,P(B)=,P(C|A)=0.02,P(C|B)=0.01,于是P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×0.02+×0.01=,所以该列车为和谐号的概率为P(A|C)====0.8.故选D.
(2)设事件A为“李明与甲组选手比赛”,事件B为“李明与乙组选手比赛”,事件C为“李明获胜”,则由题可知P(A)=,P(B)=,P(C|A)=0.6,P(C|B)=0.5.对于A,李明与甲组选手比赛且获胜的概率P(AC)=P(A)P(C|A)=×0.6=,故A正确;对于B,李明获胜的概率P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×0.6+×0.5=,故B正确;对于C,若李明获胜,则棋手来自甲组的概率P(A|C)===,故C正确;对于D,若李明获胜,则棋手来自乙组的概率为P(B|C)====,故D错误.故选ABC.
变式 (1) (2) [解析] (1)记A=“某邮件为正常邮件”,B=“某邮件被标记为正常邮件”,则P()=,P(A|)=,P(|B)=,所以P(B)=1-P()=,P(|)=1-P(A|)=,故P()=P(|B)P(B)+P(|)P()=+=,所以P(|)===.
(2)设事件A为“该同学周日去甲馆”,事件B为“该同学周六去甲馆”,则根据题意得P(B)=0.5,P()=0.5,P(A|B)=0.4,P(A|)=0.8,则P(B|A)===.
探究点二
例2 解:(1)记事件A,B,C分别表示“零件是由机器甲、乙、丙生产的”,事件M表示“取到的是不合格品”,
则P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(C)=0.35,P(M|A)=0.03,P(M|B)=0.05,P(M|C)=0.01,所以P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C)=0.4×0.03+0.25×0.05+0.35×0.01=0.028.
(2)由(1)知P(A|M)====,
P(B|M)====,
P(C|M)====,
因为>>,
所以P(B|M)>P(A|M)>P(C|M),所以它是由机器乙生产出来的概率最大.
变式 解:(1)记事件A表示“球取自甲箱”,事件表示“球取自乙箱”,事件B表示“取得黑球”,
则P(A)=P()=,P(B|A)==,P(B|)=,
由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
(2)该球取自甲箱的概率P(A|B)===,
该球取自乙箱的概率P(|B)===,
因为P(A|B)
1.A [解析] 设A1表示“该汽车是货车”,A2表示“该汽车是客车”,则P(A1)=,P(A2)=,B表示“一辆汽车中途停车修理”,则P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×0.02+×0.01=.今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率P(A1|B)====0.8.
2.D [解析] 记事件A表示“某人是癌症患者”,事件B表示“试验反应呈阳性”,由题意可知P(A)=0.05,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.05,所以P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=0.05×0.9+(1-0.05)×0.05=0.092 5.现在某人的试验反应呈阳性,则此人是癌症患者的概率为P(A|B)====.故选D.
3.B [解析] 设事件A表示“小明自驾上班”,事件B表示“小明坐公交车上班”,事件C表示“小明骑共享单车上班”,事件D表示“小明上班迟到”,由题意可知P(A)=P(B)=P(C)=,P(D|A)=,P(D|B)=,P(D|C)=,则P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×=,P(AD)=P(A)P(D|A)=×=,若小明某天上班迟到了,则他自驾去上班的概率为P(A|D)===.故选B.
4.D [解析] 根据题意可得P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.由全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×0.05+×0.02+×0.04=,故P(A1|B)=====.故选D.
5.A [解析] 因为P(|)=0.95,所以P(A|)=1-P(|)=0.05,因为P(C)=0.005,所以P()=0.995,所以由全概率公式可得P(A)=P(A|C)·P(C)+P(A|)·P(),所以P(C|A)===≈0.087.故选A.
6.ABC [解析] 记事件Di表示“疾病Ai发病”,i=1,2,3,事件D4表示“不发病或其他疾病发病”,事件S表示“一个人出现症状M”,则P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(D4)=1-(0.02+0.05+0.005)=0.925,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,P(S|D4)=0.由贝叶斯公式得P(D1|S)===0.4,P(D2|S)===0.45,P(D3|S)===0.15.故选ABC.
7.0.053 [解析] 设“任取一件产品来自甲厂”为事件A1,“任取一件产品来自乙厂”为事件A2,“任取一件产品来自丙厂”为事件A3,则A1,A2,A3彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,设“任取一件产品,取到的是次品”为事件B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×6%+×5%+×5%==0.053.若取到的产品是次品,则它来自甲厂的概率P(A1|B)====.
8.0.25 [解析] 由题意知,所求概率P==0.25.
9.解:(1)设A1=“该航班飞往A地”,A2=“该航班飞往B地”,A3=“该航班飞往其他地区”,C=“该航班准点放行”,
则P(A1)=0.2,P(A2)=0.2,P(A3)=0.6,P(C|A1)=0.84,P(C|A2)=0.8,P(C|A3)=0.75,
由全概率公式得P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)+P(A3)P(C|A3)=0.84×0.2+0.8×0.2+0.75×0.6=0.778,所以该航班准点放行的概率为0.778.
(2)P(A1|C)====,P(A2|C)====,P(A3|C)====,因为>>,所以该航班飞往其他地区的可能性最大.
10.解:(1)设事件M表示“用户选择甲公司的网约车出行”,事件A表示“用户对等待时间满意”,
事件B表示“用户对乘车舒适度满意”,事件C表示“用户对乘车费用满意”.
则P(A)=P(M)P(A|M)+P()P(A|)=0.32×0.62+0.68×0.78=0.728 8,
P(B)=P(M)P(B|M)+P()P(B|)=0.32×0.68+0.68×0.61=0.632 4,
P(C)=P(M)P(C|M)+P()P(C|)=0.32×0.21+0.68×0.32=0.284 8,
所以用户对等待时间满意的概率最大,对乘车费用满意的概率最小.
(2)由题知,P(M|B)===,
P(|B)===,
所以P(M|B)11.C [解析] 设Ai(i=0,1,2)表示“从甲袋中取出的2个球中,白球的个数为i”,事件B表示“从乙袋中取出的2个球中,白球的个数为2”.由题意可得P(A0)==,P(B|A0)==;P(A1)==,P(B|A1)==;P(A2)==,P(B|A2)==.根据贝叶斯公式可得P(A2|B)===.故选C.
12.ACD [解析] 设M1,M2,M3分别表示“任取一个苹果,该苹果是甲、乙、丙地块产出的”,N表示“任取一个苹果,该苹果是一级果”,由题意知P(M1)=0.2,P(M2)=0.5,P(M3)=0.3,P(N|M1)=0.75,P(N|M2)=0.6,P(N|M3)=0.8.对于A,任取一个苹果是甲地块产出的概率P(M1)=0.2,故A正确.对于B,任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率P(NM1)=P(M1)P(N|M1)=0.2×0.75=0.15,故B错误.对于C,任取一个苹果是一级果的概率P(N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.2×0.75+0.5×0.6+0.3×0.8=0.69,故C正确.对于D,如果取到的一个苹果是一级果,则其是由甲地块产出的概率P(M1|N)===,故D正确.故选ACD.
13.ABC [解析] 设A1,A2,A3分别表示“第一次抽取到的是红球,黄球,绿球”,B1,B2分别表示“获得一等奖,二等奖”.对于A,P(B1|A1)===,所以A正确.对于B,P(B2|A2)===,所以B正确.对于C,设甲获奖为事件C,甲获得一等奖的概率P(B1)=×××2=,甲获得二等奖的概率P(B2)=+×××2=,所以P(C)=,甲第一次取到绿球且获奖的概率为P(A3C)=××=,所以甲获奖的条件下,第一次取到绿球的概率P(A3|C)==,故C正确.对于D,甲第一次取球取到红球获奖的概率P(A1C)=+×××2=,甲第一次取球取到黄球获奖的概率P(A2C)=××=,甲第一次取球取到绿球获奖的概率P(A3C)=××=,P(A1C)14. [解析] 设“该学生第i次及格”为事件Ai,i=1,2,则由题意知P(A1)=p,P(A2|A1)=p,P(A2|)=,可得P()=1-p,由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=(1+p).由贝叶斯公式得P(A1|A2)==.8.1.3 贝叶斯公式
【学习目标】
1.结合古典概型,了解贝叶斯公式.
2.会利用贝叶斯公式进行简单的计算,并能解决简单的应用问题.
◆ 知识点 贝叶斯公式
一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且A1∪A2∪…∪An=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的任意事件B,P(B)>0,有P(Ai|B)·P(B)= ,因此P(Ai|B)= ,再由全概率公式得P(Ai|B)= .这个公式称为贝叶斯公式.
注意点:
(1)公式P(Ai|B)==反映了P(AiB),P(Ai),P(B),P(Ai|B),P(B|Ai)之间的互化关系.
(2)P(Ai)称为先验概率,P(Ai|B)称为后验概率,其反映了事件Ai发生的可能在各种可能原因中所占的比例.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当00时,有P(A|B)=. ( )
(2)当00时,有P(A|B)=. ( )
◆ 探究点一 利用贝叶斯公式求概率
例1 (1)随着我国铁路的发展,列车的正点率有了显著的提高.据统计,途经某车站的只有和谐号和复兴号列车,且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍,和谐号列车的正点率为0.98,复兴号列车的正点率为0.99,今有一辆列车未正点到达该站,则该列车为和谐号的概率为 ( )
A.0.2 B.0.5
C.0.6 D.0.8
(2)(多选题)[2025·江苏宿迁中学高二期末] 中国象棋是一种益智游戏,体现了博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛,李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中,甲、乙两组的人数之比为2∶1,李明与甲组、乙组选手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛,则下列说法正确的是 ( )
A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B.李明获胜的概率为
C.若李明获胜,则棋手来自甲组的概率为
D.若李明获胜,则棋手来自乙组的概率为
变式 (1)[2025·江苏扬州期末] 有一个邮件过滤系统,它可以根据邮件的内容和发件人等信息,判断邮件是不是垃圾邮件,并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果:每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为,被标记为垃圾邮件的邮件有的概率是正常邮件,被标记为正常邮件的邮件有的概率是垃圾邮件,则垃圾邮件被该系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率为 .
(2)[2025·福建龙岩高二期末] 某地有甲、乙两个游泳馆,某同学决定周末两天都去游泳馆游泳,周六选择甲、乙游泳馆的概率均为0.5.如果该同学周六去甲馆,那么周日还去甲馆的概率为0.4;如果周六去乙馆,那么周日去甲馆的概率为0.8.如果该同学周日去甲馆游泳,那么他周六去甲馆游泳的概率为 .
[素养小结]
利用贝叶斯公式解题的一般步骤:
(1)按照某种标准将目标事件分解为n个彼此互斥的事件的并,将这n个事件分别命名为Ai(i=1,2,…,n);
(2)命名已知发生的结果为事件B;
(3)分别计算P(Ai)P(B|Ai)和P(B);
(4)代入贝叶斯公式P(Ai|B)=(i=1,2,…,n)求解.
◆ 探究点二 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
例2 [2025·广东肇庆高二期中] 三部机器生产同样的零件,其中机器甲生产的零件占40%,机器乙生产的零件占25%,机器丙生产的零件占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件不合格的概率分别为3%,5%和1%.三部机器生产的零件混合堆放在一起,现从中随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率.
(2)经检验发现取到的产品为不合格品,则它是由哪一部机器生产出来的概率最大 请说明理由.
变式 某数学素养提升小组设计了以下问题进行探究:现有完全相同的甲、乙两个箱子(如图),其中甲箱装有2个黑球和4个白球,乙箱装有2个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中随机任取一个箱子,再从中随机摸出一个球.
(1)求摸出的球是黑球的概率;
(2)若已知摸出的球是黑球,请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
[素养小结]
把事件B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An看作该过程的若干个原因,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第i(i=1,2,…,n)个原因引起的概率,则用贝叶斯公式求解.8.1.3 贝叶斯公式
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为 ( )
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.3
2.[2025·江西萍乡高二期末] 某一地区患有癌症的人占总人数的5%,患者对一种试验反应呈阳性的概率为0.9,正常人对这种试验反应呈阳性的概率为0.05.现从该地区随机抽取一个人,此人对这种试验反应呈阳性,则此人是癌症患者的概率为 ( )
A. B.
C. D.
3.某公司员工小明的上班出行方式有三种,某天早上他选择自驾,坐公交车,骑共享单车的概率分别为,,,而他自驾,坐公交车,骑共享单车迟到的概率分别为,,,结果这一天他迟到了,则他自驾去上班的概率是 ( )
A. B.
C. D.
4.有3台车床加工同一型号的零件,第1,2,3台车床加工的零件的次品率分别为5%,2%,4%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件总数之比为4∶5∶11.现任取一个零件,记事件Ai=“零件为第i台车床加工的”(i=1,2,3),事件B=“零件为次品”,则P(A1|B)= ( )
A. B.
C. D.
5.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,则P(C|A)≈ ( )
A.0.087 B.0.950 C.0.050 D.0.475
6.(多选题)在某一季节,疾病A1的发病率为2%,其中40%的病人表现出症状M;疾病A2的发病率为5%,其中18%的病人表现出症状M;疾病A3的发病率为0.5%,其中60%的病人表现出症状M.不发病或其他疾病发病不会出现症状M,则下列结论正确的是 ( )
A.一个人有症状M的概率为0.02
B.病人有症状M时患疾病A1的概率为0.4
C.病人有症状M时患疾病A2的概率为0.45
D.病人有症状M时患疾病A3的概率为0.25
7.有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%,5%,5%,现从这批产品中任取一件,则取到次品的概率为 ;若取到的是次品,则其来自甲厂的概率为 .
8.某人从甲地到乙地,可以乘坐高铁、客车、飞机,各种交通工具的乘坐概率与迟到概率如表:
交通工具 高铁 客车 飞机
乘坐概率
迟到概率 0.1 0.3 0.3
若此人已迟到,则他乘坐飞机的概率为 .
9.(13分)[2025·江苏启东中学高二期中] 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.已知2024年该机场飞往A地,B地及其他地区(不包含A,B两地)航班的放行准点率分别为84%,80%和75%,2024年该机场飞往A地,B地及其他地区的航班数占总航班数的比例分别为0.2,0.2和0.6.
(1)现在从2024年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的概率;
(2)若2024年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地,B地及其他地区这三种情况中的哪种情况的可能性最大,并说明理由.
10.(13分)某城市有甲、乙两个网约车公司,相关部门为了更好地监管和服务,通过问卷调查的方式,统计当地网约车用户(后面简称用户,并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲、乙两个公司的乘车费用、等待时间、乘车舒适度等因素的评价,得到如下统计结果:
①用户选择甲公司的频率为0.32,选择乙公司的频率为0.68;
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62,选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78;
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68,选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61;
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21,选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率,并比较用户对哪个因素满意的概率最大,对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意,则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行 并说明理由.
11.[2025·山东聊城高二期末] 假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 ( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)[2025·江苏南通高二期末] 某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果,甲地块产出苹果中一级果个数占75%,乙地块产出苹果中一级果个数占60%,丙地块产出苹果中一级果个数占80%.已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2∶5∶3,现将三个地块产出的苹果混放一堆,则下列说法正确的是 ( )
A.任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2
B.任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75
C.任取一个苹果是一级果的概率为0.69
D.如果取到的一个苹果是一级果,则其是由甲地块产出的概率为
13.(多选题)[2025·河北高二期中] 某校进行一项问卷调查,为了调动学生参与的积极性,凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱,每个箱子中的小球质地均匀,大小相同,其中红色箱子放有2个红球,2个黄球,2个绿球,黄色箱子放有2个黄球,1个绿球,绿色箱子放有1个黄球,2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球,将其放入与小球颜色相同的箱子中,再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球,如此重复,直到取出3个小球抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖,3个小球颜色全部相同为二等奖,其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查,则 ( )
A.甲第一次取到红球的条件下,获得一等奖的概率为
B.甲第一次取到黄球的条件下,获得二等奖的概率为
C.甲获奖的条件下,第一次取到绿球的概率为
D.甲第一次取球取到红球获奖的概率最大
14.一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次也及格的概率为p;若第一次不及格则第二次及格的概率为.若已知他第二次已经及格,则他第一次及格的概率为 .