(共64张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.1 随机变量及其分布列
第1课时 随机变量
探究点一 随机变量的概念
探究点二 随机变量的分类
探究点三 随机变量的取值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过具体的实例，了解离散型随机变量的概念及其对于刻画随机现
象的重要性.
2.准确区分离散型随机变量和连续型随机变量.
3.结合具体实例，理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用.
知识点一 随机变量的概念
1.定义：一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都
有______的实数与之对应，则称 为随机变量.
唯一
2.表示方法：
（1）通常用大写英文字母，，（或小写希腊字母 ， ， ）
等表示随机变量；
（2）常用小写英文字母，， （加上适当下标）等表示随机变量
的取值.
【注意】引入随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示了.
一般地，如果是一个随机变量，，都是任意实数，那么 ，
， 等都表示事件，而且：
（1）当时，事件与 互斥；
（2）事件与相互对立，因此 .
在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.( )
√
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机
变量.( )
√
（3）手机电池的使用寿命 是随机变量.( )
√
知识点二 随机变量的分类
随机变量可分为以下两类:
（1）离散型随机变量：取值为______的数值的随机变量称为离散型
随机变量.
（2）连续型随机变量：取值为______的实数区间，具有这种特点的
随机变量称为连续型随机变量.
离散
连续
【注意】是不是离散型随机变量与变量的选取有关，比如：对树木
高度问题，可定义离散型随机变量
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）离散型随机变量与自然数一一对应.( )
×
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为离散
型随机变量.( )
√
（3）灯泡的使用寿命 是离散型随机变量.( )
×
（4）离散型随机变量可以取到某一区间内的任意值.( )
×
探究点一 随机变量的概念
例1（1）袋中有除颜色外完全相同的2个黑球、5个红球，从中任取2
个球，可以作为随机变量的是( )
A.取到的球的个数 B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率
√
[解析] 对于A，取到的球的个数是一个固定的数字，不具有随机性，
故A错误；
对于B，取到红球的个数是一个随机变量，故B正确；
对于C，至少取到一个红球是一个事件而非随机变量，故C错误；
对于D，一个事件发生的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误.
故选B.
（2）指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
①某人射击一次命中的环数；
解：某人射击一次，命中的环数可能是0,1， ，10，而且出现哪种
结果是随机的，因此命中的环数是随机变量.
②投掷一枚质地均匀的骰子一次，出现的点数；
解：投掷一枚质地均匀的骰子一次，出现的点数可能是1，2，3，4，
5，6，而且出现哪种结果是随机的，因此出现的点数是随机变量.
（2）指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
③随年龄的变化，某个人的属相.
解：一个人的属相在出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，
因此属相不是随机变量.
变式 （多选题）［2025·江苏启东汇龙中学高二月考］下列说法正
确的是( )
A.某次数学考试中，某考场30名考生中做对选择题第8题的人数是随
机变量
B.黄河上游每年的最大流量是随机变量
C.学校体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D.方程 的根的个数是随机变量
√
√
√
[解析] 选项A，B，C对应的量都是随机的实数，故正确；
选项D中，方程 的根有2个是确定的，不是随机变量，
故错误.
故选 .
［素养小结］
随机变量需满足以下两点：（1）随机试验的结果具有可变性,即每次
试验对应的结果不尽相同;（2）随机试验的结果有确定性,即每次试
验总是恰好出现这些结果中的某一个,但在一次试验之前不能肯定这
次试验会出现哪一个结果.
探究点二 随机变量的分类
例2 （多选题）［2025·重庆高二期中］下面给出的四个随机变量中
是离散型随机变量的是( )
A.学校食堂在中午半小时内进入的人数
B.某元件的测量误差
C.小明在一天中浏览网页的时间
D.高二参加运动会的人数
√
√
[解析] 对于A，学校食堂在中午半小时内进入的人数 可以一一列
举出来，故A是离散型随机变量；
对于B,某元件的测量误差 不能一一列举出来,故B不是离散型随机变量；
对于C，小明在一天中浏览网页的时间 不能一一列举出来，故C不是
离散型随机变量；
对于D，高二参加运动会的人数 可以一一列举出来，故D是离散型随机
变量.
故选 .
变式（1）［2025·河南周口高二期中］下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数 ；
②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置 ；
③某派出所一天内接到的报警电话次数 ；
④某同学上学路上离开家的距离 .
其中离散型随机变量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可
以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，一个沿 轴进行随机运动的质点，它在 轴上的位置不能一一
列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，某派出所一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，
故③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，
不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量.
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③，共2个.故选B.
（2）（多选题）［2025·江苏徐州高二期中］下列随机变量中是连
续型随机变量的是( )
A.一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3
个球，其中所含白球的个数
B.某林场的树木最高达 ，则此林场中树木的高度
C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D.投篮一次的结果
√
√
[解析] 对于A，从除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球中取3个球，
所得的结果有以下几种情况：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白
球和2个黑球；3个黑球.即结果可以一一列出，符合离散型随机变量
的定义.
对于B，此林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取 内的一
切值，是连续型随机变量.
对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，是连续型随
机变量.
对于D，投篮一次的结果有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，
则可以一一列举出来，符合离散型随机变量的定义.
故选 .
［素养小结］
离散型随机变量判定的关键是随机变量的所有取值是否可以一一列出.
探究点三 随机变量的取值
例3 ［2024·江苏通州高二期中］写出下列随机变量可能取的值，并
说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
（1）一个袋中装有除颜色外完全相同的2个白球和5个黑球，从中任
取3个球，其中所含白球的个数 ；
解： 的可能取值为0，1，2，
表示取出的3个球中有0个白球，3个黑球；
表示取出的3个球中有1个白球，2个黑球；
表示取出的3个球中有2个白球，1个黑球.
例3 ［2024·江苏通州高二期中］写出下列随机变量可能取的值，并
说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
（2）一个袋中装有5个除颜色外完全相同的球，编号为1，2，3，4，
5，现从该袋中随机取出3个球，被取出的球的最大编号 .
解： 的可能取值为3，4，5，
表示取出的3个球的编号为1，2，3；
表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，
5或2，4，5或3，4，5.
变式 ［2025·河南驻马店高二期中］抛掷两枚质地均匀的骰子，所
得点数之和记为 ，那么 表示的随机试验结果是( )
A.两枚骰子都是4点
B.一枚骰子是1点，另一枚骰子是3点
C.两枚骰子都是2点
D.一枚骰子是1点，另一枚骰子是3点，或者两枚骰子都是2点
[解析] 抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为4表示的试验结果
为一枚骰子是1点，另一枚骰子是3点，或者两枚骰子都是2点.故选D.
√
［素养小结］
解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
（1）关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，
以及取每一个值对应的随机试验的结果，即一个随机变量的取值对
应一个或多个随机试验的结果.
（2）注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
1.随机变量
（1）随机试验中，可能出现的结果可以用一个数表示，如掷一
枚硬币，“正面向上”用数字“1”表示，即 .
（2）这个数在随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机试
验中，结果可能有变化，说明随机试验的结果可以用一个变量来表
示.如某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环， ，命中10环等
结果，即可能结果用0，1，2， ，10这11个数表示.
（3）随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为
自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的
数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个
值，这便是“随机”的本源.
（4）随机变量是把随机试验的结果映射为实数，函数是把实数
映射为实数，这两个概念本质上是相同的.在函数的概念中，函数的
自变量是实数，在随机变量的概念中，随机变量的自变量是随机试
验的结果.
2.随机变量与函数的关系
相同点 随机变量与函数都是一种映射
区别 随机变量是随机实验的结果到实数的映射，函数是实
数到实数的映射
联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量
的取值范围相当于函数的值域
3.离散型随机变量的特征
（1）可用数值表示.
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值.
（3）在试验之前不能确定取何值.
（4）试验结果能一一列出.
1.随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道
所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变
量取哪一个值.
例1 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由.
（1）从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被抽
出卡片的号码数；
解：被抽出卡片的号码数可能是1，2， ，10，出现哪种结果是随
机的，是随机变量.
例1 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由.
（2）抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的点数之和；
解：抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，
6，7，8，9，10，11，12，共11种结果，出现哪种结果都是随机的，
因此是随机变量.
（3）体积为 的正方体的棱长.
解：正方体的棱长为定值，不是随机变量.
2.离散型随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.
例2 （多选题）下列随机变量中属于离散型随机变量的是( )
A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为
B.测量一个年级所有学生的体重,在之间的体重记为
C.测量全校所有同学的身高，在之间的人数记为
D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为
[解析] 电话亭内的电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型
随机变量，选项A符合题意；
体重无法一一列举，选项B不符合题意；
人数可以列举，选项C符合题意；
数轴上的点有无数个,点的位置是连续型随机变量,选项D不符合题意.
故选 .
√
√
例3 ［2025·江苏宿迁中学高二月考］如果 是一个离散型随机变量
且，其中，是常数且，那么 ( )
A.不一定是随机变量
B.一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C.可能是定值
D.一定是离散型随机变量
[解析] 因为是一个离散型随机变量，，， 是常数且
，
所以 也是离散型随机变量.故选D.
√
练习册
1.下列变量中不是随机变量的是( )
A.一个射击手射击一次命中的环数
B.标准大气压下，水沸腾时的温度
C.抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之差
D.某电话总机在时间区间 内收到的呼叫次数
[解析] 标准大气压下，水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变
量.故选B.
√
2.［2025·江苏常州高二期中］在篮球比赛中，规定一次中距离投篮
投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分
的所有可能取值的和是( )
A.8 B.10 C.12 D.14
[解析] 由题意可知， 的所有可能取值为0，2，4，6，所以 的所
有可能取值的和是 .故选C.
√
3.下列叙述中，是离散型随机变量的为( )
A.将一枚质地均匀的硬币投掷五次，出现正面向上和反面向上的次
数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D.袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个球，
取得1个红球的可能性
√
[解析] 对于A，投掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则投
掷五次硬币,出现正面向上和反面向上的次数之和为5,是常量,故A错误；
对于B，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，所以不是离
散型随机变量，故B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可
列举的无限多个，是离散型随机变量，故C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，故D错误.
故选C.
4.［2025·江苏无锡高二期末］现有5把钥匙，只有一把能打开锁，依
次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数
的最大值为( )
A.5 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为不能打开锁的钥匙会扔掉，所以扔掉4把打不开锁的钥匙
后，第5把钥匙就是能开锁的钥匙，故 的最大值为4.故选D.
√
5.［2025·山东枣庄高二期中］某人进行射击训练，共有5发子弹，击
中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 ，则“ ”表示的试
验结果是( )
A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标 D.第4次击中目标
[解析] 因为共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，所以
“ ”表示此人射击了5次，前4次都没有击中目标，且第5次可能击
中目标也可能没有击中目标.故选C.
√
6.（多选题）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另外2张是
副牌（大王牌和小王牌），从中任取4张牌，则随机变量可能为
( )
A.所取牌数 B.所取正牌和大王牌的总数
C.这副牌中的正牌数 D.取出的副牌的个数
√
√
[解析] 对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，故A错误；
对于B，4张牌中所取正牌和大王牌的总数可能为3，4，是随机变量，
故B正确；
对于C,这副牌中的正牌数为52,是一个常数,不是随机变量,故C错误；
对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，是随机变量，
故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏泰州高二期末］在8件产品中，有3件次品，5件正品，
从中任取3件，记次品的件数为，则 表示的试验结果是
____________________________________.
取到1件次品和2件正品或取到3件正品
[解析] 表示次品的件数为1，0，即取到1件次品和2件正品或
取到3件正品.
8.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元，从中任取2支，
若以表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则 的所有可能取
值为____________.
20，30，40
[解析] 记 表示取出的2支钢笔的单价为10元、20元，其余类
推，则任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为 ，
，，，， ，故取到的钢笔的较
高单价可能为20元、30元、40元，即 的所有可能取值为20，30，40.
9.（13分）［2025·江苏徐州一中高二月考］分别判断下列变量是否
是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数 ；
解： 的取值随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2， ，
是随机变量，也是离散型随机变量.
（2）公交车司机下周一收取的费用 ；
解： 的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型
随机变量.
9.（13分）［2025·江苏徐州一中高二月考］分别判断下列变量是否
是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（3）某单位下个月的用水量 ；
解： 的取值随各种原因的变化而变化，可能取 内的所有值，
无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量.
（4）某家庭上个月的电话费 .
解： 的取值是一个定值，故不是随机变量.
10.（13分）［2025·江苏如皋中学高二月考］写出下列随机变量可能
取的值，并说明取这些值时所表示的随机试验的结果.
（1）袋中有除颜色外完全相同的10个红球，5个白球，从袋中每次任
取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
解：设所需要的取球次数为，则 的所有可能取值为1，2，3，4，
，10，11，
表示“第1次就取到白球”，表示前 次取到的均是
红球，第次取到白球，这里，3，4， ，11.
10.（13分）［2025·江苏如皋中学高二月考］写出下列随机变量可能
取的值，并说明取这些值时所表示的随机试验的结果.
（2）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上
的数字之和.
解：设所取卡片上的数字之和为，则 的所有可能取值为3，4，5，
6，7.
表示“取出标有1，2的两张卡片”；
表示“取出标有1，3的两张卡片”；
表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；
表示“取出标有2，4的两张卡片”；
表示“取出标有3，4的两张卡片”.
11.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三
局.用 表示甲的得分，则 表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局两次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
[解析] 因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故 表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选D.
√
12.某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每
次游戏可掷7支飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，
连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续
掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此
次游戏中得分 的可能取值有( )
A.10种 B.11种 C.13种 D.14种
√
[解析] 设7支飞镖的标号依次为1，2，3，4，5，6，7，根据题意，
当7支飞镖都不中时，；
当7支飞镖只中第1支时， ；
当7支飞镖只中第1，3支时， ；
当7支飞镖只中第1，3，5支时，；
当7支飞镖只中第1，3，5，7支时， ；
当7支飞镖只中第1，2，3支时，；
当7支飞镖只中第1，2，3，5支时， ；
当7支飞镖只中第1，2，3，4支时， ；
当7支飞镖只中第1，2，3，4，6支时，；
当7支飞镖只中第1，2，3，4，5支时， ；
当7支飞镖只中第1，2，3，4，5，7支时， ；
当7支飞镖只中第1，2，3，4，5，6支时，；
当7支飞镖全中时， .
综上， 所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13，
所以小明在此次游戏中得分 的可能取值有13种.故选C.
13.（多选题）［2025·重庆万州区高二期中］抛掷两枚质地均匀的骰
子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差
为，则 表示的试验结果包含( )
A.第一枚骰子为5点，第二枚骰子为1点
B.第一枚骰子大于4点，第二枚骰子也大于4点
C.第一枚骰子为6点，第二枚骰子为1点
D.第一枚骰子为6点，第二枚骰子为2点
√
√
√
[解析] 因为,, ，所以选项A，
C，D符合题意；
对于选项B，第一枚骰子大于4点，可以是5点，6点，第二枚骰子也大
于4点，可以是5点，6点，因为 ,,
, ，所以该选项不符合题意.
故选 .
14.［2025·天津滨海新区高二期中］袋中有大小与质地均相同的五个
球，球上分别标有1，2，3，4，5，在有放回抽取的条件下依次取出
两个球，设两个球标号之和为随机变量，则 所有可能取值的个数
是___.
9
[解析] 因为在有放回条件下依次取出两个球，所以每次抽取的球的
标号均可能是1，2，3，4，5中的某一个，故抽取出的两个球的标号
之和 的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
15.［2025·江苏南通一中高二月考］某袋中装有除颜色外均相同的10
个红球，5个黑球.每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球
放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为 ，则表示“放回5个
球”的事件为( )
A. B. C. D.
[解析] 第一次取到黑球，则放回1个红球；第二次取到黑球，则共放
回2个红球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故
.故选C.
√
16.（15分）写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所表示
的随机试验的结果.
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子
中，有放回地先后抽取两张卡片，先后抽得的两张卡片的标号分别
为,,记 .
解：, 的可能取值均为1，2，3，
则， ，
因为，所以 ，
显然 的取值均为整数，所以 的可能取值为0，1，2，3.
表示两张卡片的标号为 ；
表示两张卡片的标号为，，， ；
表示两张卡片的标号为， ；
表示两张卡片的标号为， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.唯一 【诊断分析】（1）√ （2）√ （3）√
知识点二 （1）离散 （2）连续 【诊断分析】（1）×（2）√ （3）×（4）×
课中探究 例1 （1）B （2）①是随机变量 ②是随机变量 ③不是随机变量
变式 ABC 例2 AD 变式 （1）B （2）BC
例3 （1）解： 的可能取值为0，1，2，表示取出的3个球中有0个白球，
3个黑球；表示取出的3个球中有1个白球，2个黑球；表示取出的3个
球中有2个白球，1个黑球.
（2） 的可能取值为3，4，5，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；表示取出的
3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5.
变式 D
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.C 4.D 5.C 6.BD 7.取到1件次品和2件正品或取到3件正品
8.20，30，40
9.（1）是随机变量，也是离散型随机变量 （2）是随机变量,也是离散型随机变量
（3是随机变量，但不是离散型随机变量 （4）不是随机变量
10.（1）解：设所需要的取球次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4， ，
10，11，表示“第1次就取到白球”，表示前次取到的均是红球，
第次取到白球，这里，3，4， ，11.
（2）设所取卡片上的数字之和为，则的所有可能取值为3，4，5，6，7.
表示“取出标有1，2的两张卡片”；表示“取出标有1，3的两张卡片”；
表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；表示“取出标有2，4的
两张卡片”；表示“取出标有3，4的两张卡片”.
11.D 12.C 13.ACD 14.9 15.C
16. 的可能取值为0，1，2，3.表示两张卡片的标号为；表示
两张卡片的标号为，，，；表示两张卡片的标号为，
；表示两张卡片的标号为，.8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.1 随机变量及其分布列
第1课时 随机变量
【学习目标】
1.通过具体的实例,了解离散型随机变量的概念及其对于刻画随机现象的重要性.
2.准确区分离散型随机变量和连续型随机变量.
3.结合具体实例,理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用.
◆ 知识点一 随机变量的概念
1.定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有 的实数X(ω)与之对应,则称X为随机变量.
2.表示方法:(1)通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ,η,ζ)等表示随机变量;
(2)常用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值.
【注意】引入随机变量后,随机事件就可以用随机变量来表示了.
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且:
(1)当a≠b时,事件X=a与X=b互斥;
(2)事件X≤a与X>a相互对立,因此P(X≤a)+P(X>a)=1.
在用随机变量表示事件及事件的概率时,有时可不写出样本空间.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中,“出现正面的次数”为随机变量. ( )
(3)手机电池的使用寿命X是随机变量. ( )
◆ 知识点二 随机变量的分类
随机变量可分为以下两类:
(1)离散型随机变量:取值为 的数值的随机变量称为离散型随机变量.
(2)连续型随机变量:取值为 的实数区间,具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量.
【注意】是不是离散型随机变量与变量的选取有关,比如:对树木高度问题,可定义离散型随机变量ξ=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量与自然数一一对应. ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中,“出现正面的次数”为离散型随机变量. ( )
(3)灯泡的使用寿命X是离散型随机变量. ( )
(4)离散型随机变量可以取到某一区间内的任意值. ( )
◆ 探究点一 随机变量的概念
例1 (1)袋中有除颜色外完全相同的2个黑球、5个红球,从中任取2个球,可以作为随机变量的是 ( )
A.取到的球的个数
B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球
D.至少取到一个红球的概率
(2)指出下列哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
①某人射击一次命中的环数;
②投掷一枚质地均匀的骰子一次,出现的点数;
③随年龄的变化,某个人的属相.
变式 (多选题)[2025·江苏启东汇龙中学高二月考] 下列说法正确的是 ( )
A.某次数学考试中,某考场30名考生中做对选择题第8题的人数是随机变量
B.黄河上游每年的最大流量是随机变量
C.学校体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D.方程x2-2x-3=0的根的个数是随机变量
[素养小结]
随机变量需满足以下两点:(1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同;(2)随机试验的结果有确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的某一个,但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
◆ 探究点二 随机变量的分类
例2 (多选题)[2025·重庆高二期中] 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是 ( )
A.学校食堂在中午半小时内进入的人数Z1
B.某元件的测量误差Z2
C.小明在一天中浏览网页的时间Z3
D.高二参加运动会的人数Z4
变式 (1)[2025·河南周口高二期中] 下面给出四个随机变量:
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ;
②一个沿x轴进行随机运动的质点,它在x轴上的位置η;
③某派出所一天内接到的报警电话次数X;
④某同学上学路上离开家的距离Y.
其中离散型随机变量的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(多选题)[2025·江苏徐州高二期中] 下列随机变量中是连续型随机变量的是 ( )
A.一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个球,其中所含白球的个数
B.某林场的树木最高达30 m,则此林场中树木的高度
C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D.投篮一次的结果
[素养小结]
离散型随机变量判定的关键是随机变量X的所有取值是否可以一一列出.
◆ 探究点三 随机变量的取值
例3 [2024·江苏通州高二期中] 写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一个袋中装有除颜色外完全相同的2个白球和5个黑球,从中任取3个球,其中所含白球的个数ξ;
(2)一个袋中装有5个除颜色外完全相同的球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋中随机取出3个球,被取出的球的最大编号η.
变式 [2025·河南驻马店高二期中] 抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是 ( )
A.两枚骰子都是4点
B.一枚骰子是1点,另一枚骰子是3点
C.两枚骰子都是2点
D.一枚骰子是1点,另一枚骰子是3点,或者两枚骰子都是2点
[素养小结]
解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的随机试验的结果,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果.8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.1 随机变量及其分布列
第1课时 随机变量
1.下列变量中不是随机变量的是 ( )
A.一个射击手射击一次命中的环数
B.标准大气压下,水沸腾时的温度
C.抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之差
D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数
2.[2025·江苏常州高二期中] 在篮球比赛中,规定一次中距离投篮投中得2分,投不中得0分,则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是 ( )
A.8 B.10
C.12 D.14
3.下列叙述中,是离散型随机变量的为 ( )
A.将一枚质地均匀的硬币投掷五次,出现正面向上和反面向上的次数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数
D.袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球,从中任取2个球,取得1个红球的可能性
4.[2025·江苏无锡高二期末] 现有5把钥匙,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为 ( )
A.5 B.2 C.3 D.4
5.[2025·山东枣庄高二期中] 某人进行射击训练,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是 ( )
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标
D.第4次击中目标
6.(多选题)一副扑克牌共有54张牌,其中52张是正牌,另外2张是副牌(大王牌和小王牌),从中任取4张牌,则随机变量可能为 ( )
A.所取牌数
B.所取正牌和大王牌的总数
C.这副牌中的正牌数
D.取出的副牌的个数
7.[2025·江苏泰州高二期末] 在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为X,则{X<2}表示的试验结果是 .
8.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元,从中任取2支,若以Y表示取到的钢笔的较高单价(单位:元),则Y的所有可能取值为 .
9.(13分)[2025·江苏徐州一中高二月考] 分别判断下列变量是否是随机变量,若是,是否为离散型随机变量.
(1)某市医院明天接到120急救电话的次数ξ;
(2)公交车司机下周一收取的费用ξ;
(3)某单位下个月的用水量ξ;
(4)某家庭上个月的电话费ξ.
10.(13分)[2025·江苏如皋中学高二月考] 写出下列随机变量可能取的值,并说明取这些值时所表示的随机试验的结果.
(1)袋中有除颜色外完全相同的10个红球,5个白球,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;
(2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.
11.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示 ( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局两次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
12.某商场进行有奖促销活动,满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7支飞镖,采取积分制,掷中靶盘,得1分,不中得0分,连续掷中2次额外加1分,连续掷中3次额外加2分,以此类推,连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元,参加了一次游戏,则小明在此次游戏中得分X的可能取值有 ( )
A.10种 B.11种
C.13种 D.14种
13.(多选题)[2025·重庆万州区高二期中] 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,则{X>3}表示的试验结果包含 ( )
A.第一枚骰子为5点,第二枚骰子为1点
B.第一枚骰子大于4点,第二枚骰子也大于4点
C.第一枚骰子为6点,第二枚骰子为1点
D.第一枚骰子为6点,第二枚骰子为2点
14.[2025·天津滨海新区高二期中] 袋中有大小与质地均相同的五个球,球上分别标有1,2,3,4,5,在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球标号之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是 .
15.[2025·江苏南通一中高二月考] 某袋中装有除颜色外均相同的10个红球,5个黑球.每次随机抽取1个球,若取到黑球,则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为 ( )
A.{X=4} B.{X=5}
C.{X=6} D.{X≤4}
16.(15分)写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果.
在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽取两张卡片,先后抽得的两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.1 随机变量及其分布列
第1课时 随机变量
【课前预习】
知识点一
1.唯一
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
知识点二
(1)离散 (2)连续
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B [解析] 对于A,取到的球的个数是一个固定的数字,不具有随机性,故A错误;对于B,取到红球的个数是一个随机变量,故B正确;对于C,至少取到一个红球是一个事件而非随机变量,故C错误;对于D,一个事件发生的概率值是一个定值而非随机变量,故D错误.故选B.
(2)解:①某人射击一次,命中的环数可能是0,1,…,10,而且出现哪种结果是随机的,因此命中的环数是随机变量.
②投掷一枚质地均匀的骰子一次,出现的点数可能是1,2,3,4,5,6,而且出现哪种结果是随机的,因此出现的点数是随机变量.
③一个人的属相在出生时就确定了,不随年龄的变化而变化,因此属相不是随机变量.
变式 ABC [解析] 选项A,B,C对应的量都是随机的实数,故正确;选项D中,方程x2-2x-3=0的根有2个是确定的,不是随机变量,故错误.故选ABC.
探究点二
例2 AD [解析] 对于A,学校食堂在中午半小时内进入的人数Z1可以一一列举出来,故A是离散型随机变量;对于B,某元件的测量误差Z2不能一一列举出来,故B不是离散型随机变量;对于C,小明在一天中浏览网页的时间Z3不能一一列举出来,故C不是离散型随机变量;对于D,高二参加运动会的人数Z4可以一一列举出来,故D是离散型随机变量.故选AD.
变式 (1)B (2)BC [解析] (1)对于①,一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来,故①是离散型随机变量;对于②,一个沿x轴进行随机运动的质点,它在x轴上的位置不能一一列举出来,故②不是离散型随机变量;对于③,某派出所一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来,故③是离散型随机变量;对于④,某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值,不能一一列举出来,故④不是离散型随机变量.所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③,共2个.故选B.
(2)对于A,从除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球中取3个球,所得的结果有以下几种情况:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球.即结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.对于B,此林场中树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,是连续型随机变量.对于C,实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,是连续型随机变量.对于D,投篮一次的结果有两种情况,若用1表示投中,0表示不中,则可以一一列举出来,符合离散型随机变量的定义.故选BC.
探究点三
例3 解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,
ξ=0表示取出的3个球中有0个白球,3个黑球;
ξ=1表示取出的3个球中有1个白球,2个黑球;
ξ=2表示取出的3个球中有2个白球,1个黑球.
(2)η的可能取值为3,4,5,
η=3表示取出的3个球的编号为1,2,3;
η=4表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4;
η=5表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
变式 D [解析] 抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和为4表示的试验结果为一枚骰子是1点,另一枚骰子是3点,或者两枚骰子都是2点.故选D.8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.1 随机变量及其分布列
第1课时 随机变量
1.B [解析] 标准大气压下,水沸腾时的温度是一个确定值,不是随机变量.故选B.
2.C [解析] 由题意可知,ξ的所有可能取值为0,2,4,6,所以ξ的所有可能取值的和是0+2+4+6=12.故选C.
3.C [解析] 对于A,投掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果,则投掷五次硬币,出现正面向上和反面向上的次数之和为5,是常量,故A错误;对于B,等出租车的时间是随机变量,但无法一一列出,所以不是离散型随机变量,故B错误;对于C,连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个,是离散型随机变量,故C正确;对于D,事件发生的可能性不是随机变量,故D错误.故选C.
4.D [解析] 因为不能打开锁的钥匙会扔掉,所以扔掉4把打不开锁的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,故ξ的最大值为4.故选D.
5.C [解析] 因为共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,所以“ξ=5”表示此人射击了5次,前4次都没有击中目标,且第5次可能击中目标也可能没有击中目标.故选C.
6.BD [解析] 对于A,所取牌数为4,是一个常数,不是随机变量,故A错误;对于B,4张牌中所取正牌和大王牌的总数可能为3,4,是随机变量,故B正确;对于C,这副牌中的正牌数为52,是一个常数,不是随机变量,故C错误;对于D,4张牌中所取出的副牌的个数可能为0,1,2,是随机变量,故D正确.故选BD.
7.取到1件次品和2件正品或取到3件正品 [解析] {X<2}表示次品的件数为1,0,即取到1件次品和2件正品或取到3件正品.
8.20,30,40 [解析] 记(10,20)表示取出的2支钢笔的单价为10元、20元,其余类推,则任取2支钢笔的单价(单位:元)的所有可能情况为(10,20),(10,30),(10,40),(20,30),(20,40),(30,40),故取到的钢笔的较高单价可能为20元、30元、40元,即Y的所有可能取值为20,30,40.
9.解:(1)ξ的取值随各种原因的变化而变化,可能为0,1,2,…,是随机变量,也是离散型随机变量.
(2)ξ的取值随乘客的数量变化而变化,是随机变量,也是离散型随机变量.
(3)ξ的取值随各种原因的变化而变化,可能取[0,+∞)内的所有值,无法一一列出,是随机变量,但不是离散型随机变量.
(4)ξ的取值是一个定值,故不是随机变量.
10.解:(1)设所需要的取球次数为X,则X的所有可能取值为1,2,3,4,…,10,11,
{X=1}表示“第1次就取到白球”,{X=i}表示前(i-1)次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=2,3,4,…,11.
(2)设所取卡片上的数字之和为Y,则Y的所有可能取值为3,4,5,6,7.
{Y=3}表示“取出标有1,2的两张卡片”;
{Y=4}表示“取出标有1,3的两张卡片”;
{Y=5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”;
{Y=6}表示“取出标有2,4的两张卡片”;
{Y=7}表示“取出标有3,4的两张卡片”.
11.D [解析] 因为甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,故{ξ=3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选D.
12.C [解析] 设7支飞镖的标号依次为1,2,3,4,5,6,7,根据题意,当7支飞镖都不中时,X=0;当7支飞镖只中第1支时,X=1;当7支飞镖只中第1,3支时,X=2;当7支飞镖只中第1,3,5支时,X=3;当7支飞镖只中第1,3,5,7支时,X=4;当7支飞镖只中第1,2,3支时,X=5;当7支飞镖只中第1,2,3,5支时,X=6;当7支飞镖只中第1,2,3,4支时,X=7;当7支飞镖只中第1,2,3,4,6支时,X=8;当7支飞镖只中第1,2,3,4,5支时,X=9;当7支飞镖只中第1,2,3,4,5,7支时,X=10;当7支飞镖只中第1,2,3,4,5,6支时,X=11;当7支飞镖全中时,X=13.综上,X所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,所以小明在此次游戏中得分X的可能取值有13种.故选C.
13.ACD [解析] 因为5-1=4>3,6-1=5>3,6-2=4>3,所以选项A,C,D符合题意;对于选项B,第一枚骰子大于4点,可以是5点,6点,第二枚骰子也大于4点,可以是5点,6点,因为5-5=0<3,5-6=-1<3,6-5=1<3,6-6=0<3,所以该选项不符合题意.故选ACD.
14.9 [解析] 因为在有放回条件下依次取出两个球,所以每次抽取的球的标号均可能是1,2,3,4,5中的某一个,故抽取出的两个球的标号之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.
15.C [解析] 第一次取到黑球,则放回1个红球;第二次取到黑球,则共放回2个红球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.故选C.
16.解:x,y的可能取值均为1,2,3,
则0≤|x-2|≤1,0≤|y-x|≤2,
因为ξ=|x-2|+|y-x|,所以0≤ξ≤3,
显然ξ的取值均为整数,所以ξ的可能取值为0,1,2,3.
{ξ=0}表示两张卡片的标号为(2,2);
{ξ=1}表示两张卡片的标号为(1,1),(2,1),(2,3),(3,3);
{ξ=2}表示两张卡片的标号为(1,2),(3,2);
{ξ=3}表示两张卡片的标号为(1,3),(3,1).
