(共84张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
探究点一 求离散型随机变量的均值
探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用
探究点三 离散型随机变量均值的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.
知识点一 离散型随机变量的均值
1.定义
一般地，随机变量 的概率分布如表所示，
…
…
其中，，2， ，， ，将________
________________称为随机变量 的均值或数学期望，记为_________.
或
2.意义
（1）均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数.
（2）离散型随机变量的均值是一个数值，是随机变量 本身固
有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平
均水平.
知识点二 离散型随机变量的均值的性质
一般地，对于随机变量和常数，，有 __________.特
别地，, .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）随机变量的均值是个变量，其随 的变化而变化.( )
×
（2）随机变量的均值反映样本的平均水平.( )
×
（3）若随机变量的均值，则 .( )
√
（4）随机变量的均值 .( )
×
探究点一 求离散型随机变量的均值
例1 ［2025·江苏南京高二期末］袋子中有除颜色外完全相同的4个
白球和2个黑球.
（1）每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二
次摸到的球是白球的概率.
解：设事件表示“第一次摸到的球是白球”，事件 表示“第一次摸
到的球是黑球”，
事件 表示“第二次摸到的球是白球”，则
.
例1 ［2025·江苏南京高二期末］袋子中有除颜色外完全相同的4个
白球和2个黑球.
（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的
颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或
者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为，求随机变量 的数
学期望.
解： 的所有可能取值为2，3，4，
，
，
，
所以 的分布列为
2 3 4
所以数学期望 .
变式 ［2025·广东肇庆中学期末］某高中校团委组织非毕业年级开
展“我们的端午节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，
每人只能参加其中的一项，根据每名学生答题情况，获奖学生人数
统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，
求抽到的学生来自高一年级的概率；
解：由题知共有350名学生获奖.记“任取1名学生，该学生获得一等奖”
为事件，“任取1名学生，该学生为高一学生”为事件 ，
则， ，
故，所以所求概率为 .
变式 ［2025·广东肇庆中学期末］某高中校团委组织非毕业年级开
展“我们的端午节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，
每人只能参加其中的一项，根据每名学生答题情况，获奖学生人数
统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
（2）从高一和高二年级获奖者中各随机抽取1人，以 表示这2人中
团体赛获奖的人数，求 的分布列和数学期望.
解：由已知可得，高一年级获奖学生共有150名，高二年级获奖学生
共有200名， 的所有可能取值为0，1，2，
， ，
，
所以 的分布列为
0 1 2
故 .
［素养小结］
求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定
的可能取值；（2）计算出
；（3）写出分布列；（4）利用
的计算公式计算
.
探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用
例2 ［2025·黑龙江绥化高二期末］设随机变量 的分布列如表所示，
且，则 等于( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
[解析] 依题意可得 ，
所以 .故选D.
√
变式 ［2025·湖南长沙高二期末］已知随机变量 的分布列为
1 2 3
且，若，则实数 等于( )
A. B. C. D.3
[解析] 由题意可知 ，
因为，所以,解得 .
故选A.
√
［素养小结］
求随机变量
的均值的方法：
（1）定义法：先列出
的分布列，再求均值.
（2）性质法：直接套用公式
求解即可.
探究点三 离散型随机变量均值的实际应用
例3 已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过检测血液来确
定患病的小白鼠.血液检测结果呈阳性即为患病，呈阴性即为未患病.
下面是两种检测方法：
方案甲：逐个检测，直到能确定患病小白鼠为止.
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起检测.若结果呈阳性，则
表明患病的小白鼠为这3只中的1只，然后再逐个检测，直到能确定
患病小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只检测.
设随机变量， 分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测
次数.
（1）求， 能取到的最大值和其对应的概率.
解：用方案甲最多检测4次，即前3次检测均未检测出患病小白鼠，
则第四次检测出患病小白鼠或第四次没检测出患病小白鼠都将知道
哪一只小白鼠是患病的，
所以的最大值为4，且 .
用方案乙最多检测3次，即混检时，检测结果为阳性，继续逐个检测
时，第一次未验中，无论第二次是否验中，均可得出结果；
若混检时，没检测出阳性，则剩下2只只需要检测一次就知道结果，
所以的最大值为3，且 .
（2）为使检测次数的期望最小，判断同学们应该选取方案甲还是方
案乙？并说明理由.
解：方案甲：随机变量 的所有可能取值是1，2，3，4，
， ，
， ，
所以 .
方案乙：随机变量 的所有可能取值是2，3，
当 时，有两种可能：
①3只小白鼠混检时结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中,概
率为 ；
②3只小白鼠混检时结果为阴性，再从另外2只小白鼠中检测，无论
第二次是否验中，均可以在第二次得出结果，概率为 .
所以， ，
所以 ，
由上可得 ，因此，同学们应该选择方案乙.
变式 ［2025·广东惠州一中期中］杭州第19届亚运会的三个吉祥物
是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、世
界遗产京杭大运河和世界遗产西湖，分别展现了不屈不挠的创业精
神，海纳百川的时代精神和精致和谐、大气开放的人文精神.某经销
商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个
盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三
款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲
盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.
（1）小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开,求小明
第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率.
解：设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的
概率为 ，
则分为有空盒和无空盒两种情况，易知 .
（2）为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一
个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再
直接购买剩余吉祥物.若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选
择哪套方案？
解：方案一：设小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为 元，
则 的所有可能取值为80，110.
， .
所以 .
方案二：设小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为 元.
依题意， 的所有可能取值为70，100，130，
则 ，
，
.
所以 .
因为 ，所以小明应该选择方案一.
［素养小结］
概率模型的解答步骤：
（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型
以及所用的公式；
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
1.对离散型随机变量均值的四点说明
（1）含义：均值是离散型随机变量的一个重要数字特征，反映
或刻画的是随机变量取值的平均水平.
（2）来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是
在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值.
（3）单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
（4）与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相
应数值的平均数.
2.随机变量的均值与样本均值的联系与区别：
随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕
随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅
度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计
随机变量的均值.
3.对于随机变量， ，我们还有如下结论：
；若， 相互独立，则
.
1.用期望来判断比赛得分情况
例1 为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻
梦天宫”航天知识比赛，比赛规则是:每组两个班级，每个班级各派出
3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在
班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；
一个班级全部答对而另一个班级没有全部答对，则全部答对的班级
记1分，没有全部答对的班级记 分.三轮比赛结束后，累计得分高
的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全
部答对的概率为，乙班全部答对的概率为 ，甲、乙两班答题相互
独立，且每轮比赛互不影响.
解：记事件“甲班每轮比赛得分”，事件 “甲班每轮比赛得0
分”，事件 “甲班每轮比赛得1分”，
则 ，
，
.
（1）求甲班每轮比赛得 分、0分、1分的概率；
例1 为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻
梦天宫”航天知识比赛，比赛规则是:每组两个班级，每个班级各派出
3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在
班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；
一个班级全部答对而另一个班级没有全部答对，则全部答对的班级
记1分，没有全部答对的班级记 分.三轮比赛结束后，累计得分高
的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全
部答对的概率为，乙班全部答对的概率为 ，甲、乙两班答题相互
独立，且每轮比赛互不影响.
（2）两轮比赛后甲班得分为，求 的分布列和数学期望；
解：由题意可得，的所有可能取值为， ，0，1，2.
则由（1）可得， ，
，
，
，
，
X 0 1 2
P
所以 .
所以 的分布列为
例1 为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻
梦天宫”航天知识比赛，比赛规则是:每组两个班级，每个班级各派出
3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在
班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；
一个班级全部答对而另一个班级没有全部答对，则全部答对的班级
记1分，没有全部答对的班级记 分.三轮比赛结束后，累计得分高
的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全
部答对的概率为，乙班全部答对的概率为 ，甲、乙两班答题相互
独立，且每轮比赛互不影响.
（3）求甲班没有获胜的概率.
解：记事件 “甲班没有获胜”，
三轮比赛后，甲班累计得分不高于乙班累计得分的情况有6种
（不分先后顺序）:
，，；，，0；，，1；，0，0； ，1，0；
0，0，0.
则由（1）可得，
.
2.用期望做决策
用期望来观察风险、分析风险进而作出正确决策，在生活中较为常
见，如股票投资决策、某种试验的决策等.
例2 学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球
绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；
“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为
两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射
门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判
定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考
核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”
考核合格的概率为，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为 ，
且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
（1）若小明先进行“定位球传准”考核，记 为小明结束考核后的累
计得分，求 的分布列.
解：由已知可得， 的所有可能取值为0，4，10，
则， ，
，
所以 的分布列为
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
（2）为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？
并说明理由.
解：小明应选择先进行“定位球传准”考核，理由如下：
由（1）可知小明先进行“定位球传准”考核，累计得分的均值为
.
若小明先进行“20米运球绕杆射门”考核，记 为小明的累计得分，则
的所有可能取值为0，6，10，
且， ，
，
则 ，
因为 ，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进
行“定位球传准”考核.
3.期望与数列综合
例3 ［2025·山东青岛期中］射击运动是用枪支对准目标打靶的竞技
项目，射击运动可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身
心健康.已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有 发
子弹，假设某人每次打靶的命中率均为 ，靶场规定：一旦出现子
弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记标靶上的子弹
数量为随机变量，则 的均值为___________.
[解析] 由题意得，的所有可能取值为0，1，2， ，， .因
为每次打靶的命中率均为 ，所以
， ，
所以 的分布列为
X 0 1 2 …
P 0.2 …
，
，则
，所以
可得 ，
.
练习册
1.已知离散型随机变量 的分布列为
1 2 3
则 ( )
A. B.2 C. D.3
√
[解析] 由题意得，解得 ，
故 .故选A.
2.［2025·河南开封高二期末］已知一批产品的次品率为 ，从这一
批产品中随机抽取1件，定义则 ( )
A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095
[解析] .故选A.
√
3.已知随机变量 的分布列为
2 3 5
若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得解得 故选C.
√
4.一个质地均匀的正四面体木块，四个面上分别写有数字1，1，2，3，
现随机将木块抛掷一次，记朝下一面出现的数字为随机变量 ，则
的数学期望为( )
A. B. C.2 D.
[解析] 由题知， 的可能取值为1,2,3,且 ，
，，则 的数学期望为
.故选B.
√
5.从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽
取1件，设抽取的次品数为 ，则 ( )
A.2 B.1 C.3 D.4
[解析] 由题意知，随机变量 的可能取值为0,1,2，且
，
，
，
√
，
则 .故选D.
6.（多选题）［2025·江苏宿迁中学高二期中］某项上机考试的规则
是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一
直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为
，考试次数为，若的数学期望，则 的取值
可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 考试次数的所有可能取值为1，2，3，则 ，
， ，
所以，即 ，
解得或，
又，所以.
故选 .
7.［2025·江苏泰州高二期末］已知离散型随机变量 的分布列如下，
若，则 ___.
0 2
[解析] 由题意知，解得 ，
因为，所以，即 ，
则，解得 ，
所以 .
8.［2024·江苏盐城中学高二期中］某班举行了一次“心有灵犀”的活
动，教师把一张写有成语的纸条出示给 组的某个同学，这个同学再
用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对
成语的概率是，同学乙猜对成语的概率是 ，且规定猜对得1分，
猜错得0分，则这两个同学各猜一次（两人结果互不影响），得分之
和 的均值是____.
0.9
[解析] 依题意得， 的可能取值为0，1，2，且
，
，
，
则 的分布列为
0 1 2
0.3 0.5 0.2
.
9.（13分）某公司有6路热线电话，经长期统计发现，在8点至10点这
段时间内，热线电话同时打入的情况如下表所示：
0 1 2 3 4 5 6
0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01
（1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一位接线员一次只
能接一个电话），求至少有一路电话不能一次接通的概率；
解：当3路及3路以上电话同时打入时，至少有一路电话不能接通，
其概率 .
9.（13分）某公司有6路热线电话，经长期统计发现，在8点至10点这
段时间内，热线电话同时打入的情况如下表所示：
0 1 2 3 4 5 6
0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01
（2）求一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入的次数 的数
学期望.
解：在一天的这一时间内，电话同时打入的次数 的数学期望
，
则一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入的次数 的数学期
望为 .
10.（13分）［2025·江苏启东联考］某公司销售员统计了自己3月份
出差一次离公司的距离单位： 的可能取值为20，30，32，36，
它们发生的概率依次是，，， .
（1）求 的均值.
解：由题意得，，解得 .
所以 的分布列为
20 30 32 36
0.1 0.3 0.4 0.2
所以 .
10.（13分）［2025·江苏启东联考］某公司销售员统计了自己3月份
出差一次离公司的距离单位： 的可能取值为20，30，32，36，
它们发生的概率依次是，，， .
（2）若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：若出差距离
不超过时，补贴5元；若出差距离超过时，则超过 的
部分按照每超出（不足的也按 计算）补贴3元.求此销
售员3月份出差一次所获油费补贴的均值.
解：设此销售员3月份出差一次油费补贴为 元，
则 ，
所以 ，
故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为89元.
11.［2025·江苏南通中学高二期中］节日期间，某种鲜花的进价是每
束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行
处理.根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量
（单位：束）的分布列如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的
均值是( )
200 300 400 500
0.20 0.35 0.30 0.15
A.706元 B.690元 C.754元 D.720元
√
[解析] 节日期间这种鲜花需求量的均值
(束).
设利润为 元，则 ，
所以 （元）.
故选A.
12.［2025·江苏泰州高二期中］已知离散型随机变量 和 满足关系
式，且随机变量 的分布列为
0 1 3
若，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得 ，且
，解得， ，
所以 .故选C.
13.（多选题）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过血液化验
来确定患病的动物,血液化验结果呈阳性的为患病动物.下面是两种化
验方案:
方案甲:将各动物的血液逐个化验,直到查出患病动物为止 ;方案乙:先
取3只动物的血液进行混合,然后化验,若呈阳性,则对这3只动物的血液
再逐个化验,直到查出患病动物为止,若不呈阳性,则化验剩下的2只动
物中1只动物的血液.下列说法正确的是( )
A.若利用方案甲,则化验次数为4的概率为0.2
B.若利用方案甲,则化验次数的数学期望为2.8
C.若利用方案乙,则最多需要化验的次数为4
D.若利用方案乙,则化验次数为2的概率为0.6
√
√
[解析] 对于A,若利用方案甲,则化验次数为4的概率为
,故A错误;
对于B,若利用方案甲,则化验次数为1的概率为,化验次数为2的概率为
,化验次数为3的概率为 ,所以化验次数的数学期望
为 ,故B正确;
对于C,若先取的3只动物中有患病动物,则最多需要化验3次,若先取的3
只动物中没有患病动物,则需要化验2次,故C错误;
对于D,若利用方案乙,则化验次数为2的概率为
,故D正确.
故选 .
14.布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，
每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则 ____.
[解析] 由题可知，的可能取值为0，1，2，则 ，
， ，
所以 ，
故 .
15.［2025·广西河池高二期中］小丁与小赵两人进行某项运动比赛，
约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或
打满6局时停止，设小丁在每局中获胜的概率为 ，小赵在每局中获
胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，随机变量 的可能取值是2，4，6，设每两局比赛
为一轮，则该轮比赛停止的概率为 ，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时
该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，所以 ，
， ，
所以 .故选B.
16.（15分）某数学试卷的多项选择题每小题满分为6分，每小题有4
个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选
对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其
中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择
题中有2个选项正确的概率为 ，有3个选项正确的概率为
.在一次模拟考试中：
解：根据题意可知， 的可能取值为0,4,6，
若该题有2个选项正确，则或6，,，
若该题有3个选项正确，则， ，
（1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三
个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题的得分 的数学期望为3，
求 .
则 的分布列为
0 4 6
所以 ，解得
.
（2）小明可以确认一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项
只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从
另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再
随机选择2个，共选3个.若 ，以最后得分的数学期望为决策依据，
小明应该选择哪个方案？
解：不妨记该多选题“有2个选项正确”为事件 ，“有3个选项正确”
为事件 .
若小明选择方案①，
记小明该题的得分为，则 的可能取值为2，3，
, ，
故 .
，
，
，
故 .
，故 .
因为 ，故以最后得分的数学期望为决策依据，
小明应该选择方案②.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
或
知识点二
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
课中探究 例1 （1）（2） 变式 （1）
（2）
的分布列略，
例2 D 变式 A
例3 （1）
的最大值为4，
.
的最大值为3，
.
（2）同学们应该选择方案乙
变式 （1）（2）小明应该选择方案一
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.BC 7.
8.0.9
9.（1）（2）
10.（1）（2）89元
11.A 12.C 13.BD 14.
15.B 16.（1）
（2）小明应该选择方案②8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
【学习目标】
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.
◆ 知识点一 离散型随机变量的均值
1.定义
一般地,随机变量X的概率分布如表所示,
X x1 x2 … xn
概率p p1 p2 … pn
其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,将 称为随机变量X的均值或数学期望,记为 .
2.意义
(1)均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数.
(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.
◆ 知识点二 离散型随机变量的均值的性质
一般地,对于随机变量X和常数a,b,有E(aX+b)= .特别地,E(X+b)=E(X)+b,E(aX)=aE(X).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化. ( )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平. ( )
(3)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X+1)=5. ( )
(4)随机变量X的均值E(X)=. ( )
◆ 探究点一 求离散型随机变量的均值
例1 [2025·江苏南京高二期末] 袋子中有除颜色外完全相同的4个白球和2个黑球.
(1)每次从袋子中随机摸出1个球,摸完不放回,共摸2次,求第二次摸到的球是白球的概率.
(2)一次完整的试验要求:从袋子中随机摸出1个球,记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次,或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为X,求随机变量X的数学期望.
变式 [2025·广东肇庆中学期末] 某高中校团委组织非毕业年级开展“我们的端午节”主题知识竞答活动,该活动有个人赛和团体赛,每人只能参加其中的一项,根据每名学生答题情况,获奖学生人数统计如下:
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人,若已知抽到的学生获得一等奖,求抽到的学生来自高一年级的概率;
(2)从高一和高二年级获奖者中各随机抽取1人,以X表示这2人中团体赛获奖的人数,求X的分布列和数学期望.
[素养小结]
求随机变量的均值关键是写出分布列,一般分为四步:(1)确定X的可能取值;(2)计算出P(X=k);(3)写出分布列;(4)利用E(X)的计算公式计算E(X).
◆ 探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用
例2 [2025·黑龙江绥化高二期末] 设随机变量ξ的分布列如表所示,且η=2ξ+5,则E(η)等于 ( )
ξ 1 2 3 4
P
A. B. C. D.
变式 [2025·湖南长沙高二期末] 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则实数a等于( )
A.-3 B.-2 C. D.3
[素养小结]
求随机变量Y=aX+b的均值的方法:
(1)定义法:先列出Y的分布列,再求均值.
(2)性质法:直接套用公式E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b求解即可.
◆ 探究点三 离散型随机变量均值的实际应用
例3 已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病,需要通过检测血液来确定患病的小白鼠.血液检测结果呈阳性即为患病,呈阴性即为未患病.下面是两种检测方法:
方案甲:逐个检测,直到能确定患病小白鼠为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起检测.若结果呈阳性,则表明患病的小白鼠为这3只中的1只,然后再逐个检测,直到能确定患病小白鼠为止;若结果呈阴性,则在另外2只中任取1只检测.
设随机变量ξ1,ξ2分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数.
(1)求ξ1,ξ2能取到的最大值和其对应的概率.
(2)为使检测次数的期望最小,判断同学们应该选取方案甲还是方案乙 并说明理由.
变式 [2025·广东惠州一中期中] 杭州第19届亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲,他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、世界遗产京杭大运河和世界遗产西湖,分别展现了不屈不挠的创业精神,海纳百川的时代精神和精致和谐、大气开放的人文精神.某经销商提供如下两种方式购买吉祥物,方式一:以盲盒方式购买,每个盲盒20元,盲盒外观完全相同,内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒,只有拆开才会知道购买情况,买到各种盲盒是等可能的;方式二:直接购买吉祥物,每个30元.
(1)小明若以方式一购买吉祥物,每次购买一个盲盒并拆开,求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率.
(2)为了集齐三款吉祥物,现有两套方案待选,方案一:先购买一个盲盒,再直接购买剩余的吉祥物;方案二:先购买两个盲盒,再直接购买剩余吉祥物.若以所需费用的期望值为决策依据,小明应选择哪套方案
[素养小结]
概率模型的解答步骤:
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型以及所用的公式;
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值;
(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
【课前预习】
知识点一
1.p1x1+p2x2+…+pnxn E(X)或μ
知识点二
aE(X)+b
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)设事件A1表示“第一次摸到的球是白球”,事件A2表示“第一次摸到的球是黑球”,
事件B表示“第二次摸到的球是白球”,则P(B)=P(A1B)+P(A2B)=×+×=.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,
P(X=2)=×=,
P(X=3)=2×××=,
P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以数学期望E(X)=2×+3×+4×=.
变式 解:(1)由题知共有350名学生获奖.记“任取1名学生,该学生获得一等奖”为事件A,“任取1名学生,该学生为高一学生”为事件B,
则P(A)=,P(AB)=,
故P(B|A)===,所以所求概率为.
(2)由已知可得,高一年级获奖学生共有150名,高二年级获奖学生共有200名,X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=×=,
P(X=1)=×+×=,
P(X=2)=×=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
探究点二
例2 D [解析] 依题意可得E(ξ)=1×+2×+3×+4×=,所以E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×+5=.故选D.
变式 A [解析] 由题意可知E(X)=1×+2×+3×=,因为Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2,解得a=-3.故选A.
探究点三
例3 解:(1)用方案甲最多检测4次,即前3次检测均未检测出患病小白鼠,
则第四次检测出患病小白鼠或第四次没检测出患病小白鼠都将知道哪一只小白鼠是患病的,
所以ξ1的最大值为4,且P(ξ1=4)==.
用方案乙最多检测3次,即混检时,检测结果为阳性,继续逐个检测时,第一次未验中,无论第二次是否验中,均可得出结果;
若混检时,没检测出阳性,则剩下2只只需要检测一次就知道结果,
所以ξ2的最大值为3,且P(ξ2=3)=·=.
(2)方案甲:随机变量ξ1的所有可能取值是1,2,3,4,
P(ξ1=1)=,P(ξ1=2)==,
P(ξ1=3)==,P(ξ1=4)=,
所以E(ξ1)=×1+×2+×3+×4=.
方案乙:随机变量ξ2的所有可能取值是2,3,
当ξ2=2时,有两种可能:
①3只小白鼠混检时结果为阳性,再从中逐个验时,恰好一次验中,概率为×=;
②3只小白鼠混检时结果为阴性,再从另外2只小白鼠中检测,无论第二次是否验中,均可以在第二次得出结果,概率为=.
所以P(ξ2=2)=+=,P(ξ2=3)=1-P(ξ2=2)=1-=,
所以E(ξ2)=×2+×3=,
由上可得E(ξ2)
变式 解:(1)设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P,
则分为有空盒和无空盒两种情况,易知P==.
(2)方案一:设小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X元,
则X的所有可能取值为80,110.
P(X=80)==,P(X=110)=.
所以E(X)=80×+110×=.
方案二:设小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y元.
依题意,Y的所有可能取值为70,100,130,
则P(Y=70)===,
P(Y=100)==,
P(Y=130)==.
所以E(Y)=70×+100×+130×=.
因为<,所以小明应该选择方案一.8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
1.A [解析] 由题意得+a+=1,解得a=,故E(X)=1×+2×+3×=.故选A.
2.A [解析] E(X)=1×5%+0×(1-5%)=0.05.故选A.
3.C [解析] 由题意得解得故选C.
4.B [解析] 由题知,ξ的可能取值为1,2,3,且P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,则ξ的数学期望为1×+2×+3×=.故选B.
5.D [解析] 由题意知,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且P(ξ=0)=××=,P(ξ=1)=××+××+××=,P(ξ=2)=××+××+××=,所以E(ξ)=0×+1×+2×=,则E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=4.故选D.
6.BC [解析] 考试次数X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,所以E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,即4p2-12p+5>0,解得p<或p>,又07. [解析] 由题意知+b++=1,解得b=,因为E(3X+4)=5,所以3E(X)+4=5,即E(X)=,则E(X)=-1×+0×+a×+2×=,解得a=1,所以a+b=.
8.0.9 [解析] 依题意得,X的可能取值为0,1,2,且P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3,P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,则X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.
9.解:(1)当3路及3路以上电话同时打入时,至少有一路电话不能接通,
其概率P=0.14+0.08+0.02+0.01=0.25.
(2)在一天的这一时间内,电话同时打入的次数ξ的数学期望
E(ξ)=0×0.13+1×0.35+2×0.27+3×0.14+4×0.08+5×0.02+6×0.01=1.79,
则一周五个工作日的这一时间内,电话同时打入的次数ξ的数学期望为5×1.79=8.95.
10.解:(1)由题意得,0.1+0.3+2t+t=1,解得t=0.2.
所以X的分布列为
X 20 30 32 36
P 0.1 0.3 0.4 0.2
所以E(X)=20×0.1+30×0.3+32×0.4+36×0.2=31.
(2)设此销售员3月份出差一次油费补贴为Y元,
则Y=3(X-3)+5=3X-4(X>3,X∈N),
所以E(Y)=E(3X-4)=3E(X)-4=3×31-4=89,
故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为89元.
11.A [解析] 节日期间这种鲜花需求量的均值E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).设利润为Y元,则Y=5X+1.6×(500-X)-500×2.5=3.4X-450,所以E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706(元).故选A.
12.C [解析] 由题意可得+a+b++=1,且E(ξ)=-3×-a+0×b++3×=,解得a=,b=,所以P(η=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=+=.故选C.
13.BD [解析] 对于A,若利用方案甲,则化验次数为4的概率为××==0.4,故A错误;对于B,若利用方案甲,则化验次数为1的概率为,化验次数为2的概率为×=,化验次数为3的概率为××=,所以化验次数的数学期望为1×+2×+3×+4×==2.8,故B正确;对于C,若先取的3只动物中有患病动物,则最多需要化验3次,若先取的3只动物中没有患病动物,则需要化验2次,故C错误;对于D,若利用方案乙,则化验次数为2的概率为×+=×+==0.6,故D正确.故选BD.
14.- [解析] 由题可知,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以E(X)=0×+1×+2×=,故E(5X-5)=5E(X)-5=-5=-.
15.B [解析] 由题意得,随机变量ξ的可能取值是2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得1分,此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响,所以P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)==,所以E(ξ)=2×+4×+6×=.故选B.
16.解:(1)根据题意可知,X的可能取值为0,4,6,
若该题有2个选项正确,则X=0或6,P(X=0)=p,P(X=6)=p,
若该题有3个选项正确,则X=4,P(X=4)=×(1-p)=1-p,
则X的分布列为
X 0 4 6
P p 1-p p
所以E(X)=0×p+4×(1-p)+6×p=4-2p=3,解得p=.
(2)不妨记该多选题“有2个选项正确”为事件A1,“有3个选项正确”为事件A2.
若小明选择方案①,
记小明该题的得分为X1,则X1的可能取值为2,3,
P(X1=2)=P(A2)=,P(X1=3)=P(A1)=,
故E(X1)=2×+3×=.
若小明选择方案②,
记小明该题的得分为Y,则Y的可能取值为0,4,6,
P(Y=0)=P(A1)×+P(A2)×=×+×=,
P(Y=4)=P(A2)×=×=,
P(Y=6)=P(A1)×=×=,
故E(Y)=0×+4×+6×=.
若小明选择方案③,
记小明该题的得分为Z,则Z的可能取值为0,6,
P(Z=0)=P(A1)×+P(A2)×=×1+×=,
P(Z=6)=P(A2)×=×=,
故E(Z)=0×+6×=.
因为E(Z)第1课时 离散型随机变量的均值
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a
则E(X)= ( )
A. B.2
C. D.3
2.[2025·河南开封高二期末] 已知一批产品的次品率为5%,从这一批产品中随机抽取1件,定义X=则E(X)= ( )
A.0.05 B.0.5
C.0.95 D.0.095
3.已知随机变量X的分布列为
X 2 3 5
P a b 2b-a
若E(X)=4,则a= ( )
A. B.
C. D.
4.一个质地均匀的正四面体木块,四个面上分别写有数字1,1,2,3,现随机将木块抛掷一次,记朝下一面出现的数字为随机变量ξ,则ξ的数学期望为 ( )
A. B.
C.2 D.
5.从一批含有8件正品,2件次品的产品中不放回地抽取3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)= ( )
A.2 B.1
C.3 D.4
6.(多选题)[2025·江苏宿迁中学高二期中] 某项上机考试的规则是:每位学员最多可上机考试3次,一旦通过,则停止考试;否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为p(p≠0),考试次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值可能是 ( )
A. B.
C. D.
7.[2025·江苏泰州高二期末] 已知离散型随机变量X的分布列如下,若E(3X+4)=5,则a+b= .
X -1 0 a 2
P b
8.[2024·江苏盐城中学高二期中] 某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜一次(两人结果互不影响),得分之和X的均值是 .
9.(13分)某公司有6路热线电话,经长期统计发现,在8点至10点这段时间内,热线电话同时打入的情况如下表所示:
电话同时打入次数ξ 0 1 2 3 4 5 6
概率P 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01
(1)若这段时间内,公司只安排了2位接线员(一位接线员一次只能接一个电话),求至少有一路电话不能一次接通的概率;
(2)求一周五个工作日的这一时间内,电话同时打入的次数ξ的数学期望.
10.(13分)[2025·江苏启东联考] 某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离X(单位:km)的可能取值为20,30,32,36,它们发生的概率依次是0.1,0.3,2t,t.
(1)求X的均值.
(2)若销售员出差一次,公司所给油费补贴规则如下:若出差距离不超过3 km时,补贴5元;若出差距离超过3 km时,则超过3 km的部分按照每超出1 km(不足1 km的也按1 km计算)补贴3元.求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值.
11.[2025·江苏南通中学高二期中] 节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理.根据前四年的销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X(单位:束)的分布列如下表所示,若进这种鲜花500束,则利润的均值是 ( )
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
A.706元 B.690元
C.754元 D.720元
12.[2025·江苏泰州高二期中] 已知离散型随机变量ξ和η满足关系式η=ξ2,且随机变量ξ的分布列为
ξ -3 -1 0 1 3
P a b
若E(ξ)=,则P(η=1)= ( )
A. B. C. D.
13.(多选题)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过血液化验来确定患病的动物,血液化验结果呈阳性的为患病动物.下面是两种化验方案:
方案甲:将各动物的血液逐个化验,直到查出患病动物为止 ;方案乙:先取3只动物的血液进行混合,然后化验,若呈阳性,则对这3只动物的血液再逐个化验,直到查出患病动物为止,若不呈阳性,则化验剩下的2只动物中1只动物的血液.下列说法正确的是 ( )
A.若利用方案甲,则化验次数为4的概率为0.2
B.若利用方案甲,则化验次数的数学期望为2.8
C.若利用方案乙,则最多需要化验的次数为4
D.若利用方案乙,则化验次数为2的概率为0.6
14.布袋中有15个大小和形状均相同的小球,其中白球10个,红球5个,每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X,则E(5X-5)= .
15.[2025·广西河池高二期中] 小丁与小赵两人进行某项运动比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设小丁在每局中获胜的概率为,小赵在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,比赛停止时已打局数为ξ,则E(ξ)= ( )
A. B. C. D.
16.(15分)某数学试卷的多项选择题每小题满分为6分,每小题有4个选项,其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个,则选对其中1个得3分;若正确选项有3个,则选对其中1个得2分,选对其中2个得4分,答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p(0(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的,从其余的三个选项中随机选择2个作为答案,若小明该题的得分X的数学期望为3,求p.
(2)小明可以确认一道多项选择题的选项A是正确的,其余的选项只能随机选择.小明有三种方案:①只选A不再选择其他答案;②从另外三个选项中再随机选择1个,共选2个;③从另外三个选项中再随机选择2个,共选3个.若p=,以最后得分的数学期望为决策依据,小明应该选择哪个方案