(共90张PPT)
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第2课时 离散型随机变量的方差与
标准差
探究点一 求离散型随机变量的方差与标准差
探究点二 离散型随机变量的方差与标准差的性质
探究点三 均值、方差的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
知识点一 离散型随机变量的方差与标准差
1.一般地，若离散型随机变量 的概率分布如表所示，
…
…
其中，，，2， ，， ，则
描述了相对于均值 的偏离程度，
故_________________________________________（其中， ，
2， ，，）刻画了随机变量与其均值 的
__________程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为
或.即 _________________________________________.
平均偏离
2.方差也可用公式 _ ___________计算.
3.随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差 的算
术平方根称为的标准差，即 _______.
注意点：（1）离散型随机变量的方差或标准差越小，随机变量的取
值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
（2）离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，
标准差与随机变量本身的单位相同.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( )
×
（2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离期望的平均程度.
( )
√
（3）离散型随机变量的方差反映了 取值的波动水平.( )
√
知识点二 离散型随机变量方差的性质
（1）一般地，对于随机变量和常数，，有 _______.
特别地，， .
（2）___（其中， 是常数）.
0
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果是离散型随机变量，且 ，那么
， .( )
√
（2）若是常数，则 .( )
√
（3）若随机变量的方差，则 .( )
×
知识点三 两点分布的均值与方差
若服从两点分布，则，_________（其中 为成功
概率）.
探究点一 求离散型随机变量的方差与标准差
例1 ［2025·浙江金华期末］某袋中装有除颜色外完全相同的5个球，
其中有3个黑球和2个白球.从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数
为 .
（1）求 的概率；
解：因为，所以 .
例1 ［2025·浙江金华期末］某袋中装有除颜色外完全相同的5个球，
其中有3个黑球和2个白球.从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数
为 .
（2）求数学期望和方差 .
解： 的所有可能取值为0,1,2，
则， ，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 ，
.
变式 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，
否则由对方投篮，第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概
率分别为, .
（1）求第三次由乙投篮的概率；
解： 第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未中和第一次甲
未中第二次乙命中两种情况，
第三次由乙投篮的概率 .
变式 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，
否则由对方投篮，第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概
率分别为, .
（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为 ，求 的分布列；
解：由题意知 的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
变式 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，
否则由对方投篮，第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概
率分别为, .
（3）求 的期望及标准差.
解：由（2）得 ，
，
标准差 .
［素养小结］
求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
（1）已知分布列型（非两点分布）：直接利用定义求解，先求均值，
再求方差.
（2）已知分布列型（是两点分布）直接套用公式
求解.
（3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布
列，然后转化成（1）（2）中的情况.
探究点二 离散型随机变量的方差与标准差的性质
例2 已知随机变量 的分布列为
0 1
且 .
（1）求 的值；
解：由题意可得解得
所以 .
例2 已知随机变量 的分布列为
0 1
且 .
（2）若，求随机变量 的标准差.
解：因为，所以 ，
所以 .
变式 ［2025·江苏淮安高二期末］已知随机变量 的分布列如表所
示，当时， ___.
0 1 2
[解析] 依题意可得解得
，
.
［素养小结］
求随机变量的方差，一种方法是先求的分布列，再求其
均值，最后求方差；另一种方法是应用公式求解.
探究点三 均值、方差的实际应用
例3 ［2025·江苏南通高二期中］甲、乙两名射手进行选拔测试，已
知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为随机变量， ，甲、
乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，
7环的概率分别为，，， ，乙射中10，9，8环的概率分别
为，， （甲、乙两名射手的成绩互不影响）.
（1）分别求， 的分布列；
解：依题意可知，，解得 ，
乙射中10，9，8环的概率分别为，， ，
乙射中7环的概率为 ，
的分布列为
10 9 8 7
0.5 0.3 0.1 0.1
的分布列为
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
例3 ［2025·江苏南通高二期中］甲、乙两名射手进行选拔测试，已
知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为随机变量， ，甲、
乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，
7环的概率分别为，，， ，乙射中10，9，8环的概率分别
为，， （甲、乙两名射手的成绩互不影响）.
（2）分别求， 的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术
并从中选拔一人参加比赛.
解：由（1）可得
，
，
，
，
， 说明甲平均射中的环数比乙高，
， 说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，
甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加比赛.
变式 ［2025·江苏启东汇龙中学月考］某短视频软件经过几年的快
速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，还可通过平
台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 （单位：万元）的
可能取值为0，20，40，且，期望 .
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 （单位：万元）的可
能取值为10，20，30，且， ，
.
（1）请写出随机变量的分布列，并求方差 .
解：设， ，
依题意得 ， ，
由①②解得， .
所以 的分布列为
0 20 40
0.1 0.3 0.6
则
.
变式 ［2025·江苏启东汇龙中学月考］某短视频软件经过几年的快
速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，还可通过平
台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 （单位：万元）的
可能取值为0，20，40，且，期望 .
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 （单位：万元）的可
能取值为10，20，30，且， ，
.
（2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司应该选择哪种方案？
并说明你的理由.
解：由题得 的分布列为
10 20 30
0.3 0.4 0.3
则， .
因为， ，所以若公司期望高收益，则应选
择方案一；若公司期望收益稳定，则应选择方案二.
［素养小结］
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤：
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值
的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁
的平均水平高.
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取
值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的
水平发挥相对稳定.
（3）下结论：依据均值和方差的意义得出结论.
1.对随机变量 的方差、标准差的四点说明
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.
（2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 的取值的
稳定性和波动、集中与离散程度.
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中
应用更为广泛.
（4）越小，随机变量 的取值越稳定，波动越小.
2.离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系
（1）区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽
取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.
（2）联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本
方差越来越接近于总体的方差.
3.表示随机变量取值与其均值的偏离程度， 越大，
表明偏离程度越大，说明的取值越分散；反之，越小， 的取
值越集中在附近.统计中常用来描述 的分散程度.
4.在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂
的计算.
5.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机
变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是
生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若
均值相同，再用方差来决定.
均值、方差的实际应用中注意的问题
（1）利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题，一般先求问
题中两个随机变量的均值，但不要误认为均值相等时，两者都一样
好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，稳定者就更好，如
果我们希望比较稳定，这时应先考虑方差，再考虑均值是否相当接
近即可.
（2）离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用要根据题目要求
合理回答，有时答案是开放的，只要能自圆其说就行了.
1.方差的意义
例1 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的
种类和数量也大致相同，而两个保护区内每个季度发现的违规事件
次数的分布列分别为：
甲保护区：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
解：甲保护区违规事件次数 的数学期望
，
方差 .
乙保护区违规事件次数 的数学期望
，
方差 .
因为， ，
所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲
保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次
数更加集中和稳定，故乙保护区的管理水平更高.
2.利用方差做决策
例2 某投资公司在2024年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，
现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获
利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和 .
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利
，可能亏损 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率
分别为，和 .
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并
说明理由.
解：若按项目一投资，设获利 万元，
则 的分布列为
300
P
所以 （万元）.
若按项目二投资，设获利 万元，
则 的分布列为
500 0
P
所以 （万元）.
，
，
所以， ，
这说明虽然项目一、项目二获利均值相等，但项目一更稳妥.综上所
述，建议该投资公司选择项目一投资.
练习册
1.已知随机变量满足,,则和
的值分别为( )
A.0.6和0.7 B.1.7和0.09 C.0.3和0.7 D.1.7和0.21
[解析] 由题意知 ,
.故选D.
√
2.已知随机变量 的分布列为
0 1 2
若,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知 ,
,
.故选A.
3.［2025·重庆渝北区期中］已知随机变量 服从两点分布，且
，则和 分别为( )
A.3，2 B.，2 C.， D.，
√
[解析] 由随机变量服从两点分布，且 ，
可得，所以 ，
所以 ，
所以 ，
.故选B.
4.［2025·江苏宿迁高二期末］已知离散型随机变量 的分布列为
0 1
若，则 ( )
A.0.2 B.1.4 C.0.44 D.0.4
[解析] 由，且，解得 ,
，则
.故选D.
√
5.［2025·山东东营高二期末］已知，且随机变量 的分布
列为
0 1
则当在 上增大时( )
A.单调递增，最大值为 B.先增后减，最大值为
C.单调递减，最小值为 D.先减后增，最小值为
√
[解析] 由题知，解得 ，所以
，所以 ，
由二次函数的性质可知，在上单调递减，在 上单调递
增，所以当时，取得最小值 .故选D.
6.（多选题）［2025·江苏泰州高二期末］已知随机变量 的分布列为
1 2 3
若 ，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题意知，，则 .由
,得.由 解得
，
.故选 .
7.某银行对某种理财产品进行统计， 表示该理财产品的利润
（单位：万元），的分布列如下表所示，则 _____.
0 2 4
0.2 0.1 0.5 0.2
2.84
[解析] ，
所以 .
8.［2025·江苏东海期中］抛掷一颗质地均匀的骰子，设 表示掷出
的点数，则 ___.
[解析] 由题知，随机变量 的可能取值为1，2，3，4，5，6，则
，，， ，
，，所以随机变量 的分布列为
1 2 3 4 5 6
所以随机变量 的数学期望
，
所以随机变量 的方差
.
9.（13分）［2025·江苏启东中学高二月考］假定某射手每次射击命
中目标的概率均为 .现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射
击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为 ，求：
（1） 的分布列；
解： 的可能取值为1，2，3，
因为， ，
,
所以 的分布列为
1 2 3
9.（13分）［2025·江苏启东中学高二月考］假定某射手每次射击命
中目标的概率均为 .现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射
击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为 ，求：
（2）均值 ；
解： .
9.（13分）［2025·江苏启东中学高二月考］假定某射手每次射击命
中目标的概率均为 .现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射
击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为 ，求：
（3） 的标准差.
解：因为 ，
所以的标准差为 .
10.已知,两个盒子中分别装有除颜色外均相同的小球.其中， 盒中
有3个红球，1个白球； 盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中
每次同时不放回地各取走1个小球，一共取三次，此时记 盒中的红
球个数为 ,盒中的红球个数为 ，则( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 由题知， 的所有可能取值为0,1，且
，
，
则 的分布列为
0 1
所以 ，所以
.
由题知， 的所有可能取值为0,1，且
，，
则 的分布列为
0 1
所以 ,所以.
综上， , .故选A.
11.（多选题）［2025·江苏镇江高二期中］设离散型随机变量 的分
布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足 ，则下列结论中正确的是
( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 由题知，解得 ，故A正确；
故B错误；
，因为 ，所以
，故C正确；
因为，所以 ，故D正确.
故选 .
12.（多选题）［2025·江苏常州期末］某人有10 000元全部用于投资，
现有甲、乙两种股票可供选择.已知甲、乙股票每股的收益分别为
元、元，， 的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益
相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元.则下列说法正确的有
( )
表1 甲股票每股收益的分布列
0 2
0.1 0.3 0.6
表2 乙股票每股收益的分布列
0 1 2
0.3 0.3 0.4
A.甲股票每股收益的数学期望大于乙股票每股收益的数学期望
B.相对于投资甲股票，投资乙股票更稳妥（方差小）
C.此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11 000元
D.此人按照 的资金分配方式投资甲、乙两种股票时，收益的方差
之和最小
√
√
[解析] 对于A,由题意可知, ，
，所以甲股票每股收益的数
学期望等于乙股票每股收益的数学期望，故A错误；
，，所以 ，
，
因为 ，所以相对于投资甲股票，投资乙股票更稳妥，故
B正确；
（元），故C正确；
对于D，设投资甲股票 元，投资乙股票
元，由C可知，收益的数学期望之和为11 000元，所以
收益的方差为
，
所以当时， 取得最小值，
故投资甲股票3485元,投资乙股票6515元时,收益的方差之和最小, 故D
错误.
故选 .
13.［2025·湖南长沙高二期末］已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲
队伍中有个男生， 个女生，乙队伍中有
个男生，个女生，若从甲、乙两队中各取1个人， 表示所
取的2个人中男生的个数，则当方差取到最大值时， 的值为
____.
10
[解析] 的可能取值为0，1，2，则 ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 ，
，
当且仅当时，等号成立，
所以当取到最大值时， 的值为10.
14.（15分）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工
一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，通过摸奖
券兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4
张标有面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的
面值之和就是该员工所获得的奖励额.
（1）若箱子中所装的4张标有面值的奖券中有1张面值为80元，其余
3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概
率的大小关系.
解：用 表示员工所获得的奖励额.
因为, ,
所以 ，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.
（2）公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4张标有面
值的奖券有两种方案：第一种方案：2张面值20元和2张面值100元；
第二种方案：2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总
额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，
请问选择哪一种方案比较好？并说明理由.
解：第一种方案：设员工所获得的奖励额为,则 的可能取值为40，
120，200， ，
， ，
所以 的分布列为
40 120 200
所以 ，
.
第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则 的可能取值为80，
120，160， ，
， ，
所以 的分布列为
80 120 160
所以 ,
.
又因为 ，所以两种方案奖励额的数
学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应
选择第二种方案.
15.［2025·北京海淀区高二期中］已知随机变量 的分布列为
则下列说法正确的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
[解析] 由题意可得，，，且， .
对于A，B，由题意可得 ，
因为的图象开口向下，对称轴为直线 ，且
，，所以当且 时，
，所以，故A，B错误；
对于C，
，则，
所以，， ，故C正确；
对于D，令，因为 的图象开口
向下，对称轴为直线，且， ，所以当
时，，所以 ，故D错误.
故选C.
16.（15分）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取
了2000位顾客进行回访，调查结果如表所示.
运动鞋款式
回访顾客人数 700 350 300 250 400
满意度 0.4 0.5 0.6 0.5 0.6
注：1.满意度是指某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的
比值.
2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度.
假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动
鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.
（1）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是 款式运动鞋的回
访顾客且对该款鞋满意的概率；
解：由题意知，是 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为
，
故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是 款式运动鞋的回访顾
客且对该款鞋满意的概率是 .
（2）从， 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中
满意的人数为，求 的分布列和数学期望；
解：的可能取值为0，1，2.设事件为“从 款式运动鞋的回访顾客
中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
事件为“从 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动
鞋满意”，则事件与 相互独立.
根据题意得，， ，
则 ，
0 1 2
0.24 0.52 0.24
所以 .
，
，
所以 的分布列为
（3）用“”和“”分别表示回访顾客中对 款式运动鞋满意和
不满意，用“”和“”分别表示回访顾客中对 款式运动鞋满
意和不满意，试比较方差与 的大小.（结论不要求证明）
解： ， 都服从两点分布，且， ，
则， ，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 平均偏离
2. 3.
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ 知识点二（1） （2）0
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× 知识点三
课中探究 例1 （1） （2），
变式 （1）（2）略（3），标准差
例2 （1）（2） 变式
例3 （1）略（2），，，，
应选拔甲射手参加比赛.
变式 （1）的分布列略，（2）选择方案二
快速核答案（练习册）
1.D 2.A 3.B 4.D 5.D 6.AD 7.2.84 8.
9.（1）略（2） （3）
10.A 11.ACD 12.BC 13.10
14.（1）员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.
（2）选择第二种方案.
15.C
16.（1）（2）的分布列略, （3）>
第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
1.D [解析] 由题意知E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1.7-1)2×0.3+(1.7-2)2×0.7=0.21.故选D.
2.A [解析] 由题意知E(X)=0×+1×+2×=1,∴D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=,∴D(Y)=D(-2X+3)=4D(X)=.故选A.
3.B [解析] 由随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=,可得P(X=0)=,所以E(X)=0×+1×=,所以D(X)=×+×=,所以E(3X-2)=3E(X)-2=3×-2=-1,D(3X-2)=32×D(X)=9×=2.故选B.
4.D [解析] 由m+3m+n=1,且E(ξ)=n-m=0,解得m=0.2,n=0.2,则D(ξ)=(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.6+(1-0)2×0.2=0.4.故选D.
5.D [解析] 由题知++=1,解得a=1,所以E(ξ)=0++=,所以D(ξ)=×+×+×=(m2-m+1)=,由二次函数的性质可知,D(ξ)在上单调递减,在上单调递增,所以当m=时,D(ξ)取得最小值.故选D.
6.AD [解析] 由题意知,+a+b+=1,则a+b=.由E(X)=-+a+2b+=1,得a+2b=.由解得E(3X-1)=3E(X)-1=2,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=+++-1=.故选AD.
7.2.84 [解析] E(X)=(-1)×0.2+0×0.1+2×0.5+4×0.2=1.6,所以D(X)=(-1-1.6)2×0.2+(0-1.6)2×0.1+(2-1.6)2×0.5+(4-1.6)2×0.2=2.84.
8. [解析] 由题知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,6,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=,所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=,所以随机变量X的方差D(X)=×+×+×+×+×+×=.
9.解:(1)X的可能取值为1,2,3,
因为P(X=1)=,P(X=2)=×=,
P(X=3)=×=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
(2)E(X)=1×+2×+3×=.
(3)因为D(X)=×+×+×=,
所以X的标准差为=.
10.A [解析] 由题知,ξ的所有可能取值为0,1,且P(ξ=0)=××=,P(ξ=1)=××+××+××=,则ξ的分布列为
ξ 0 1
P
所以E(ξ)=0×+1×=,所以D(ξ)=×+×=.由题知,η的所有可能取值为0,1,且P(η=0)=××+××+××=,P(η=1)=××=,则η的分布列为
η 0 1
P
所以E(η)=0×+1×=,所以D(η)=×+×=.综上,E(ξ)>E(η),D(ξ)=D(η).故选A.
11.ACD [解析] 由题知a+0.4+0.1+0.2+0.2=1,解得a=0.1,故A正确;E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,故B错误;D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,因为Y=2X+1,所以D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=4×1.8=7.2,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=2×2+1=5,故D正确.故选ACD.
12.BC [解析] 对于A,由题意可知,E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,E(Y)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,所以甲股票每股收益的数学期望等于乙股票每股收益的数学期望,故A错误;对于B,因为E(X)=1.1,E(Y)=1.1,所以D(X)=0.1×(-1-1.1)2+0.3×(0-1.1)2+0.6×(2-1.1)2=1.29,D(Y)=0.3×(0-1.1)2+0.3×(1-1.1)2+0.4×(2-1.1)2=0.69,因为D(X)>D(Y),所以相对于投资甲股票,投资乙股票更稳妥,故B正确;对于C,设投资甲股票a元,投资乙股票(10 000-a)元,则投资甲、乙两种股票,收益的数学期望之和为E(aX)+E[(10 000-a)Y]=aE(X)+(10 000-a)E(Y)=1.1a+1.1(10 000-a)=11 000(元),故C正确;对于D,设投资甲股票a元,投资乙股票(10 000-a)元,由C可知,收益的数学期望之和为11 000元,所以收益的方差为D(aX)+D[(10 000-a)Y]=a2D(X)+(10 000-a)2D(Y)=a2×1.29+(10 000-a)2×0.69=1.98a2-13 800a+0.69×108,所以当a=≈3485时,D(aX)+D[(10 000-a)Y]取得最小值,故投资甲股票3485元,投资乙股票6515元时,收益的方差之和最小,故D错误.故选BC.
13.10 [解析] X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=·=,P(X=1)=·+·=,P(X=2)=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=1,所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=≤×=,当且仅当x=10时,等号成立,所以当D(X)取到最大值时,x的值为10.
14.解:(1)用X表示员工所获得的奖励额.
因为P(X=80)==,P(X=120)==,所以P(X=80)=P(X=120),
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等.
(2)第一种方案:设员工所获得的奖励额为X1,则X1的可能取值为40,120,200,P(X1=40)==,
P(X1=120)==,P(X1=200)==,
所以X1的分布列为
X1 40 120 200
P
所以E(X1)=40×+120×+200×=120,D(X1)=(40-120)2×+(120-120)2×+(200-120)2×=.
第二种方案:设员工所获得的奖励额为X2,则X2的可能取值为80,120,160,P(X2=80)==,
P(X2=120)==,P(X2=160)==,
所以X2的分布列为
X2 80 120 160
P
所以E(X2)=80×+120×+160×=120,D(X2)=(80-120)2×+(120-120)2×+(160-120)2×=.
又因为500E(X1)=500E(X2)=60 000,所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求,但第二种方案的方差比第一种方案的小,故应选择第二种方案.
15.C [解析] 由题意可得x+y=1,x,y∈(0,1),且x≠,y≠.对于A,B,由题意可得E(ξ)=xy+yx=2xy=2x(1-x)=2x-2x2,因为f(x)=2x-2x2的图象开口向下,对称轴为直线x=,且f(0)=f(1)=0,f=,所以当016.解:(1)由题意知,是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为300×0.6=180,
故从所有的回访顾客中随机抽取1人,此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是=.
(2)X的可能取值为0,1,2.设事件M为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”,
事件N为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”,则事件M与N相互独立.
根据题意得,P(M)=0.4,P(N)=0.6,
则P(X=0)=P( )=[1-P(M)][1-P(N)]=0.6×0.4=0.24,
P(X=1)=P(M)+P(N)=P(M)[1-P(N)]+[1-P(M)]P(N)=0.4×0.4+0.6×0.6=0.52,
P(X=2)=P(MN)=P(M)P(N)=0.4×0.6=0.24,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.24 0.52 0.24
所以E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.
(3)ξ,η都服从两点分布,且P(ξ=1)=0.4,P(η=1)=0.5,
则D(ξ)=0.4×(1-0.4)=0.24,D(η)=0.5×(1-0.5)=0.25,所以D(ξ)【学习目标】
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
◆ 知识点一 离散型随机变量的方差与标准差
1.一般地,若离散型随机变量X的概率分布如表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中,pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,则(xi-μ)2(μ=E(X))描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值μ的偏离程度,故 (其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1)刻画了随机变量X与其均值μ的 程度,我们将其称为离散型随机变量X的方差,记为D(X)或σ2.即D(X)=σ2= .
2.方差也可用公式D(X)= 计算.
3.随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差,X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差,即σ= .
注意点:(1)离散型随机变量的方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
(2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方,标准差与随机变量本身的单位相同.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定. ( )
(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离期望的平均程度. ( )
(3)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平. ( )
◆ 知识点二 离散型随机变量方差的性质
(1)一般地,对于随机变量X和常数a,b,有D(aX+b)= .特别地,D(X+b)=D(X),D(aX)=a2D(X).
(2)D(c)= (其中,c是常数).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果X是离散型随机变量,且Y=3X+2,那么E(Y)=3E(X)+2,D(Y)=9D(X). ( )
(2)若a是常数,则D(a)=0. ( )
(3)若随机变量X的方差D(X)=,则D(2X+1)=2×=. ( )
◆ 知识点三 两点分布的均值与方差
若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)= (其中p为成功概率).
◆ 探究点一 求离散型随机变量的方差与标准差
例1 [2025·浙江金华期末] 某袋中装有除颜色外完全相同的5个球,其中有3个黑球和2个白球.从袋中随机取出2个球,记取出白球的个数为X.
(1)求X>0的概率;
(2)求数学期望E(X)和方差D(X).
变式 甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮,已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为,.
(1)求第三次由乙投篮的概率;
(2)在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求ξ的分布列;
(3)求ξ的期望及标准差.
[素养小结]
求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
(1)已知分布列型(非两点分布):直接利用定义求解,先求均值,再求方差.
(2)已知分布列型(是两点分布):直接套用公式D(X)=p(1-p)求解.
(3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列,然后转化成(1)(2)中的情况.
◆ 探究点二 离散型随机变量的方差与标准差的性质
例2 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
且E(X)=.
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求随机变量Y的标准差.
变式 [2025·江苏淮安高二期末] 已知随机变量ξ的分布列如表所示,当E(ξ)=时,D(2ξ+1)= .
ξ 0 1 2
P a b
[素养小结]
求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
◆ 探究点三 均值、方差的实际应用
例3 [2025·江苏南通高二期中] 甲、乙两名射手进行选拔测试,已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2(甲、乙两名射手的成绩互不影响).
(1)分别求X,Y的分布列;
(2)分别求X,Y的数学期望与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人参加比赛.
变式 [2025·江苏启东汇龙中学月考] 某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,还可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案:
方案一:投放该平台广告,据市场调研,其收益X(单位:万元)的可能取值为0,20,40,且P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.
方案二:投放传统广告,据市场调研,其收益Y(单位:万元)的可能取值为10,20,30,且P(Y=10)=0.3,P(Y=20)=0.4,P(Y=30)=0.3.
(1)请写出随机变量X的分布列,并求方差D(X).
(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司应该选择哪种方案 并说明你的理由.
[素养小结]
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤:
(1)比较均值:离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差:方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论:依据均值和方差的意义得出结论.第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
【课前预习】
知识点一
1.(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn 平均偏离
(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn
2. 3.
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
知识点二
(1)a2D(X) (2)0
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)×
知识点三
p(1-p)
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为P(X=0)==,所以P(X>0)=1-P(X=0)=.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)===,
P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=,
D(X)=0×+1×+4×-=.
变式 解:(1)∵第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未中和第一次甲未中第二次乙命中两种情况,
∴第三次由乙投篮的概率P=×+×=.
(2)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)=×=,
P(ξ=1)=×+×=,
P(ξ=2)=×=,
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(3)由(2)得E(ξ)=0×+1×+2×=,D(ξ)=×+×+×=,
∴标准差=.
探究点二
例2 解:(1)由题意可得解得
所以D(X)=×+×+×=.
(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=9D(X)=5,
所以=.
变式 [解析] 依题意可得解得
∴D(ξ)=×+×+×=,
∴D(2ξ+1)=4D(ξ)=.
探究点三
例3 解:(1)依题意可知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,
∴X的分布列为
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y的分布列为
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21,
∵E(X)>E(Y),∴说明甲平均射中的环数比乙高,
∵D(X)∴甲比乙的技术好,故应选拔甲射手参加比赛.
变式 解:(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,
依题意得a+b+0.3=1①,
E(X)=0×a+20×0.3+40b=30②,
由①②解得a=0.1,b=0.6.
所以X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.
(2)由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.
因为E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),所以若公司期望高收益,则应选择方案一;若公司期望收益稳定,则应选择方案二.第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
1.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为 ( )
A.0.6和0.7 B.1.7和0.09
C.0.3和0.7 D.1.7和0.21
2.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
若Y=-2X+3,则D(Y)= ( )
A. B.
C. D.
3.[2025·重庆渝北区期中] 已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=,则E(3X-2)和D(3X-2)分别为 ( )
A.3,2 B.-1,2
C.-1,- D.-1,
4.[2025·江苏宿迁高二期末] 已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ -1 0 1
P m 3m n
若E(ξ)=0,则D(ξ)= ( )
A.0.2 B.1.4
C.0.44 D.0.4
5.[2025·山东东营高二期末] 已知0ξ 0 m 1
P
则当m在(0,1)上增大时 ( )
A.D(ξ)单调递增,最大值为
B.D(ξ)先增后减,最大值为
C.D(ξ)单调递减,最小值为
D.D(ξ)先减后增,最小值为
6.(多选题)[2025·江苏泰州高二期末] 已知随机变量X的分布列为
X -1 1 2 3
P a b
若E(X)=1,则下列结论正确的有 ( )
A.a= B.b=
C.E(3X-1)=3 D.D(X)=
7.某银行对某种理财产品进行统计,X表示该理财产品的利润(单位:万元),X的分布列如下表所示,则D(X)= .
X -1 0 2 4
P 0.2 0.1 0.5 0.2
8.[2025·江苏东海期中] 抛掷一颗质地均匀的骰子,设X表示掷出的点数,则D(X)= .
9.(13分)[2025·江苏启东中学高二月考] 假定某射手每次射击命中目标的概率均为.现有3发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求:
(1)X的分布列;
(2)均值E(X);
(3)X的标准差.
10.已知X,Y两个盒子中分别装有除颜色外均相同的小球.其中,X盒中有3个红球,1个白球;Y盒中有1个红球,3个白球,现从两个盒子中每次同时不放回地各取走1个小球,一共取三次,此时记X盒中的红球个数为ξ,Y盒中的红球个数为η,则 ( )
A.E(ξ)>E(η),D(ξ)=D(η)
B.E(ξ)D(η)
C.E(ξ)>E(η),D(ξ)D.E(ξ)11.(多选题)[2025·江苏镇江高二期中] 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P a 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论中正确的是 ( )
A.a=0.1 B.E(X)=3
C.D(Y)=7.2 D.E(Y)=5
12.(多选题)[2025·江苏常州期末] 某人有10 000元全部用于投资,现有甲、乙两种股票可供选择.已知甲、乙股票每股的收益分别为X元、Y元,X,Y的分布列分别如表1和表2所示,且两种股票的收益相互独立,假设两种股票的买入价都是每股1元.则下列说法正确的有 ( )
表1 甲股票每股收益的分布列
X -1 0 2
P 0.1 0.3 0.6
表2 乙股票每股收益的分布列
Y 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
A.甲股票每股收益的数学期望大于乙股票每股收益的数学期望
B.相对于投资甲股票,投资乙股票更稳妥(方差小)
C.此人投资甲、乙两种股票,收益的数学期望之和为11 000元
D.此人按照1∶1的资金分配方式投资甲、乙两种股票时,收益的方差之和最小
13.[2025·湖南长沙高二期末] 已知甲、乙两支队伍中各有20人,甲队伍中有x(014.(15分)某公司全年圆满完成预定的生产任务,为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,公司决定在联欢晚会后,通过摸奖券兑奖的方式对500位员工进行奖励,规定:每位员工从一个装有4张标有面值的奖券的箱子中,一次随机摸出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.
(1)若箱子中所装的4张标有面值的奖券中有1张面值为80元,其余3张均为40元,试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小关系.
(2)公司对奖励总额的预算是6万元,预定箱子中所装的4张标有面值的奖券有两种方案:第一种方案:2张面值20元和2张面值100元;第二种方案:2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请问选择哪一种方案比较好 并说明理由.
15.[2025·北京海淀区高二期中] 已知随机变量ξ的分布列为
ξ x y
P y x
则下列说法正确的是 ( )
A. x,y∈(0,1),E(ξ)>
B. x,y∈(0,1),E(ξ)≤
C. x,y∈(0,1),D(ξ)D. x,y∈(0,1),D(ξ)>
16.(15分)为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度,厂家随机选取了2000位顾客进行回访,调查结果如表所示.
运动鞋款式 A B C D E
回访顾客人数 700 350 300 250 400
满意度 0.4 0.5 0.6 0.5 0.6
注:1.满意度是指某款式运动鞋的回访顾客中,满意人数与总人数的比值.
2.对于每位回访顾客,只调研一种款式运动鞋的满意度.
假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立,用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人,求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率;
(2)从A,E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人,设其中满意的人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)用“ξ=1”和“ξ=0”分别表示回访顾客中对A款式运动鞋满意和不满意,用“η=1”和“η=0”分别表示回访顾客中对B款式运动鞋满意和不满意,试比较方差D(ξ)与D(η)的大小.(结论不要求证明)
