第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
[教材链接] 1.(1)①很短 比值 ②运动 ③矢 切线
(2)①大小不随时间变化 ②变化 变速 速率
2.(1)很短 比值 (2)转动 (3)rad/s (4)不变 角度θ
3.(1)一周 时间 (2)秒(s)
4.(1)之比 (2)转每秒
[物理观念] (1)C A、B (2)C、B A
例1 C [解析] 匀速圆周运动是曲线运动,物体有加速度,处于非平衡状态,故A正确;角速度和线速度都是描述做匀速圆周运动的物体运动快慢的物理量,故B正确;匀速圆周运动的过程中,线速度的大小不变,但方向改变,故不是匀速运动,物体所受合力不可能为0,故C错误,D正确.
变式1 AC [解析] 做匀速圆周运动的物体的角速度和转速是不变的,故选项A、C正确;线速度是矢量,笔尖的线速度大小不变,方向时刻改变,所以笔尖的线速度是变化的,故选项B错误;笔尖在相等时间内通过的路程相等,但通过的位移不一定相同,故选项D错误.
[教材链接] 1. 2. 3.ωr
例2 BC [解析] A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3,即通过的弧长之比为2∶3,所以vA∶vB=2∶3,在相同的时间内转过的角度之比φA∶φB=3∶2,根据ω=得ωA∶ωB=3∶2,又v=ωr,所以rA∶rB=4∶9,选项A错误,B正确.根据T=知,TA∶TB=ωB∶ωA=2∶3,选项C正确.转速是单位时间内物体转过的圈数,即n=,所以nA∶nB=TB∶TA=3∶2,选项D错误.
变式2 A [解析] 相同时间内甲转过60°角,乙转过45°角,根据角速度定义可知ω1∶ω2=4∶3,选项A正确,B错误;由题意可知r1∶r2=1∶2,根据公式v=ωr,可知v1∶v2=ω1r1∶ω2r2=2∶3,选项C、D错误.
例3 A [解析] 点a和点b是皮带传动边缘点,线速度大小相等,故va∶vb=1∶1,根据v=rω,有ωa∶ωb=rb∶ra=1∶2,点b和点c是同轴转动,角速度相等,故ωb∶ωc=1∶1,则ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2,故A正确,B错误;点b和点c是同轴转动,角速度相等,根据v=rω,有vb∶vc=rb∶rc=1∶2,则va∶vb∶vc=1∶1∶2,故C、D错误.
变式3 D [解析] 齿轮传动装置中,齿轮边缘的线速度大小相等,即vP=vQ.根据角速度与线速度的关系有vP=ωPrP,vQ=ωQrQ,由于rP>rQ则有ωP<ωQ.故A、B、C错误,D正确.
变式4 B [解析] 主动轮逆时针转动,带动从动轮也逆时针转动,用链条传动,两轮边缘线速度大小相等,A错误,B正确;因为两轮的半径不同,根据v=rω可知角速度大小不相等,C错误;由r主∶r从=k,2πn·r主=2πn从·r从,可得n从=nk,D错误.
素养提升
示例 (n=1,2,3,…)
[解析] 两球能在a点相碰,则A球在B球飞行时间内又回到a点,即平抛运动的时间等于A球转动周期的整数倍,所以t==nT,解得T=(n=1,2,3,…).
变式5 n2 m(n=0,1,2,3,…)
[解析] 设小球做自由落体运动下落h高度历时为t,则h=gt2
要使小球恰好落入小孔,圆筒的转动需满足
2nπ=ωt(n=0,1,2,3,…)
联立解得h=n2 m(n=0,1,2,3,…).
随堂巩固
1.BD [解析] 如图所示,经Δt时间,质点由A运动到B,再经Δt时间,质点由B运动到C,由于线速度大小不变,根据线速度的定义可知Δl=v·Δt,故相等时间内通过的路程相等,
选项B正确;位移sAB、sBC大小相等,方向并不相同,则平均速度不同,选项A、C错误;由角速度的定义式ω=,可得Δθ=ω·Δt相同,选项D正确.
2.AD [解析] 板上A、B两点绕同一转轴转动,角速度相同,选项A正确;转动半径之比rA∶rB=1∶,由v=ωr可得线速度之比vA∶vB=1∶,选项D正确.
3.B [解析] 脚踏板的转速等于大齿轮的转速,为n,则大齿轮边缘的线速度v1=2πr1n,由于大齿轮与小齿轮边缘线速度相同,则小齿轮边缘的线速度也为v1=2πr1n,又小齿轮和后轮同轴转动,角速度相等,则后轮边缘的线速度即自行车前进的速度为v2=r3=,故B正确.第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
1.C [解析] 圆周运动是曲线运动,因此合外力不等于零;圆周运动的加速度方向是在变化的,所以圆周运动一定是非匀变速运动,故C正确,A、B、D错误.
2.B [解析] 做匀速圆周运动的物体速度的大小不变,方向不断变化,则速度不断变化,角速度恒定不变,加速度的大小不变,方向不断变化,则加速度不断变化,则合力不断变化,故只有B正确.
3.D [解析] 乘客做圆周运动的半径R= m,周期T=30 min=1800 s,根据匀速圆周运动各物理量间的关系可得v=ωR=R,代入数据得v≈0.27 m/s,故D正确.
4.D [解析] 电风扇上的a、b两点在同一扇叶上,属于共轴转动,具有相同的角速度,所以ωa=ωb,由于线速度v=ωr,由图可知ra5.CD [解析] 由于A和B两点是共轴转动,故两点角速度相等,有ωA∶ωB=1∶1,由角速度和线速度的关系式v=ωr可得vA∶vB=1∶2,故A错误,C正确;由于B点和C点由皮带传动,皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度大小相等,故vB∶vC=1∶1,由v=ωr可得ωB∶ωC=r'∶R=2∶3,故B错误,D正确.
6.C [解析] 盾构机刀盘的转速为n=5 r/min= r/s,根据角速度与转速的关系有ω=2πn=π rad/s,周期为T==12 s,故A错误,C正确;盾构机刀盘的半径为8 m,可知刀盘边缘的线速度大小约为v=rω=π m/s,故B错误;因为各刀片转动是同轴转动,所以各刀片的角速度相等,而半径不同,根据v=rω可知刀盘工作时各刀片的线速度不相同,故D错误.
7.BD [解析] 在合上后备厢盖的过程中,O'A的长度是变化的,因此A点相对O'点不是做圆周运动,故A错误;在合上后备厢盖的过程中,A点与B点到O点的距离不变,所以A点与B点都是绕O点做圆周运动,故B正确;A点与B点在相同的时间内绕O点转过的角度相同,即A点与B点相对于O点转动的角速度相等,由于OB大于OA,根据v=rω可知,B点相对于O点转动的线速度大,故C错误,D正确.
8.BD [解析] 小球做平抛运动的时间t==0.5 s,小球做平抛运动的时间和圆盘转动的时间相等,有t=nT=n,解得ω=(n=1,2,3,…),当n=1时,ω=4π rad/s,当n=2时,ω=8π rad/s,故A、C错误,B、D正确.
9.A [解析] 由于齿轮之间不打滑,故齿轮A、B边缘的线速度大小相等,即vA=vB,结合v=ωr以及rA>rB,可得ωA<ωB,选项A正确;由于齿轮B、C同轴,角速度相等,即ωB=ωC,结合ωA<ωB,可得ωA<ωC,选项B错误;由于rB>rC,结合ωB=ωC,可得vB>vC,而vA=vB,故vA>vC,选项C、D错误.
10.D [解析] 由题意可知,在3.3 s-0.3 s=3.0 s的时间内,aa'正上方直杆上的点至少要抬高1.6 m-1.0 m=0.6 m,即直杆至少转过,则最小角速度ω== rad/s,故选项D正确.
11.见解析
[解析] (1)皮带不打滑的情况下,轮A和轮C边缘上的点具有相同大小的线速度;轮A和轮B上各点共轴转动,具有相等的角速度;轮A和轮B转速相等,轮C转速最快,三个轮子转速满足nA=nB(2)轮A和轮B的角速度为
ωA=ωB=2πnB=20π rad/s
轮A和轮C边缘上点的线速度大小为
vA=vC=ωArA=20π×0.4 m/s=25.12 m/s
轮B边缘上点的线速度大小为
vB=ωBrB=20π×0.2 m/s=12.56 m/s
轮C的角速度为
ωC== rad/s=40π rad/s第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
学习任务一 描述圆周运动快慢的物理量及其关系
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
1.线速度
(1) 线速度
①定义:物体做圆周运动,在一段 的时间Δt内,转过的弧长为Δl,则Δl与Δt的 称为线速度,用v表示,即v=.
②意义:描述做圆周运动的物体 的快慢.
③标矢性:线速度是 量,方向沿着圆周该点的 方向.
(2)匀速圆周运动
①定义:如果做圆周运动的质点线速度的 ,这种运动称为匀速圆周运动.
②性质:线速度的方向是时刻 的,所以是一种 运动,这里的“匀速”是指 不变.
③匀速圆周运动的线速度v=,其中l表示质点通过的弧长,t为通过这段弧长所用时间.
2.角速度
(1)定义:物体做圆周运动,在一段 的时间Δt内,半径转过的角度为Δθ,则Δθ与Δt的 ,称为角速度,用符号ω表示,即ω=.
(2)意义:描述物体绕圆心 的快慢.
(3)单位:弧度每秒,符号是 .
(4)物体做匀速圆周运动时,角速度 (填“不变”或“变化”),此时角速度的大小ω可以用质点所在半径转过的 与所用时间t之比来表示,即ω=.
3.周期
(1)定义:做匀速圆周运动的质点,运动 所用的 称为周期,用符号T表示.
(2)单位: .
4.转速
(1)定义:物体转过的圈数与所用时间 称为转速,用符号n表示.
(2)单位: (r/s);或者转每分(r/min).
[物理观念] 如图所示,后轮被架起来的自行车的大齿轮、小齿轮、后轮上的点都在做圆周运动,为了方便研究,我们取大齿轮上的A、小齿轮上的B、后轮上的C三点比较.
(1)从单位时间走过的轨迹长度考虑, 运动最快, 运动最慢.
(2)从单位时间转过的角度考虑, 运动最快, 运动最慢.
例1 对于匀速圆周运动,下列说法不正确的是( )
A.做匀速圆周运动的物体处于非平衡状态
B.运动快慢可用线速度描述,也可用角速度描述
C.匀速圆周运动是匀速运动,因为其速率保持不变
D.做匀速圆周运动的物体所受合力不可能为0
[反思感悟]
变式1 (多选)[2024·中山一中月考] 如图所示,在圆规匀速转动画圆的过程中,带笔尖的脚做匀速圆周运动,则 ( )
A.笔尖的角速度不变
B.笔尖的线速度不变
C.笔尖的转速不变
D.笔尖在相等的时间内通过的位移不变
[反思感悟]
【要点总结】
1.圆周运动的性质:圆周运动一定是变速运动,一定具有加速度,做圆周运动的物体受的合力一定不为零.
2.匀速圆周运动的特点
学习任务二 描述圆周运动的物理量之间的关系
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
1.线速度与周期、转速的关系式:v= =2πrn.
2.角速度与周期、转速的关系式:ω= =2πn.
3.线速度与角速度的关系式:v= .
(1)当v一定时,ω与r成反比;
(2)当ω一定时,v与r成正比.
例2 (多选)[2024·湛江一中月考] A、B两个质点分别做匀速圆周运动,在相同的时间内它们通过的路程之比lA∶lB=2∶3,转过的角度之比φA∶φB=3∶2,则下列说法正确的是 ( )
A.它们的运动半径之比rA∶rB=2∶3
B.它们的运动半径之比rA∶rB=4∶9
C.它们的周期之比TA∶TB=2∶3
D.它们的转速之比nA∶nB=2∶3
[反思感悟]
变式2 甲、乙两物体都做匀速圆周运动,转动半径之比为1∶2,在相等时间里甲转过60°角,乙转过45°角,则它们的( )
A.角速度之比为4∶3
B.角速度之比为2∶3
C.线速度之比为1∶1
D.线速度之比为4∶9
学习任务三 圆周运动的传动问题
[科学思维]
传动 类型 图示 结论
同轴 转动 定量关系:TA=TB,ωA=ωB,=
皮带 (链条) 传动 (无打 滑现 象) 定量关系:vA=vB,=,=
齿轮 传动 (1)运动特点:转动方向相反; (2)定量关系:vA=vB,=,=
例3 [2024·广东实验中学月考] 如图所示的传动装置中,B、C两轮固定在一起绕同一轴转动,A、B两轮用皮带传动,三个轮的半径关系是ra∶rb∶rc=2∶1∶2.若皮带不打滑,则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的 ( )
A.角速度之比为1∶2∶2
B.角速度之比为1∶1∶2
C.线速度大小之比为1∶2∶2
D.线速度大小之比为1∶1∶1
[反思感悟]
变式3 [2024·汕头金山中学月考] 如图所示是机械手表传动装置中相互啮合的两个齿轮.齿轮转动时,其边缘P、Q两点线速度大小分别为vP和vQ,角速度大小分别为ωP和ωQ,则 ( )
A.vP>vQ
B.vPC.ωP>ωQ
D.ωP<ωQ
变式4 如图所示为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的,转速为n,主动轮和从动轮的齿数之比为k,以下说法中正确的是 ( )
A.从动轮是顺时针转动的
B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C.主动轮和从动轮的角速度大小相等
D.从动轮的转速为
【要点总结】
解决传动问题的要点
(1)同轴转动:共轴转动物体上各点角速度相同.
(2)皮带传动和齿轮传动:皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.
涉及圆周运动的周期性问题
圆周运动具有周期性,该类问题常出现多解.有些题目会涉及圆周运动、平抛运动、匀速直线运动等不同运动形式,两种不同的运动规律间必然有一个物理量在起桥梁作用,从而把两种不同运动联系起来,这一个物理量常常是“时间”.
示例 如图所示,小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动,当它运动到图中a点时,在圆形槽中心O点正上方h处有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出,结果恰好在a点与A球相碰,求A球做匀速圆周运动的周期的所有可能值.(重力加速度为g)
变式5 [2024·惠州一中月考] 如图所示,水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO'匀速转动,转动的角速度ω=2.5π rad/s,筒壁上P处有一小圆孔,筒壁很薄,筒的半径R=2 m.当圆筒由图示位置开始转动时,圆孔正上方某高度h处有一小球由静止开始下落,已知圆孔的半径略大于小球的半径,若小球恰好落入圆筒小孔中,求高度h.(空气阻力不计,g取10 m/s2)
1.(匀速圆周运动的理解)(多选)质点做匀速圆周运动,则( )
A.在任意相等的时间里,质点的位移都相等
B.在任意相等的时间里,质点通过的路程都相等
C.在任意相等的时间里,质点运动的平均速度都相同
D.在任意相等的时间里,连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
2.(线速度与角速度的关系)(多选)如图所示,当正方形薄板绕着过其中心O与板垂直的轴转动时,板上A、B两点的( )
A.角速度之比ωA∶ωB=1∶1
B.角速度之比ωA∶ωB=1∶
C.线速度之比vA∶vB=∶1
D.线速度之比vA∶vB=1∶
3.(生活中圆周运动的传动问题)[2024·广雅中学期中] 如图所示是自行车传动结构的示意图,其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r1、r2和r3.假设脚踏板的转速为n,则该自行车前进的速度为 ( )
A. B.
C. D.
[反思感悟]
第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动建议用时:40分钟
◆ 知识点一 匀速圆周运动的理解
1.[2024·天津一中月考] 关于圆周运动,下列说法中正确的是 ( )
A.圆周运动可能是匀速运动
B.圆周运动可能是匀变速曲线运动
C.圆周运动一定是非匀变速运动
D.圆周运动加速度可能不变
2.[2024·深圳期中] 关于做匀速圆周运动的物体,下列说法正确的是 ( )
A.速度恒定不变
B.角速度恒定不变
C.加速度恒定不变
D.合力恒定不变
◆ 知识点二 描述圆周运动快慢的物理量及其关系
3.“南昌之星”摩天轮的转盘直径为153米,转一圈的时间大约是30分钟.乘客乘坐观光时,其线速度大约为 ( )
A.5.0 m/s
B.1.0 m/s
C.0.50 m/s
D.0.25 m/s
4.如图所示,电风扇工作时,叶片上a、b两点的线速度大小分别为va、vb,角速度分别为ωa、ωb,则下列关系正确的是( )
A.vaB.va=vb ,ωa=ωb
C.va>vb,ωa>ωb
D.va◆ 知识点三 涉及圆周运动的传动问题
5.(多选)[2024·广州中学月考] 如图所示为皮带传动装置,主动轮O1上有两个半径分别为R和r的轮,从动轮O2的轮半径为r',已知R=2r,R=r',设皮带不打滑,则 ( )
A.ωA∶ωB=1∶2
B.ωB∶ωC=3∶2
C.vA∶vB=1∶2
D.vB∶vC=1∶1
6.[2024·湖北襄阳五中月考] 盾构隧道掘进机,简称盾构机,是一种隧道掘进的专用工程机械,又被称作“工程机械之王”,是城市地铁建设、开山修路、打通隧道的利器.图为我国最新研制的“聚力一号”盾构机的刀盘,其直径达16 m,转速为5 r/min,下列说法正确的是 ( )
A.刀盘工作时的角速度为10π rad/s
B.刀盘边缘的线速度大小为π m/s
C.刀盘旋转的周期为12 s
D.刀盘工作时各刀片的线速度均相同
7.(多选)[2024·佛山期末] 汽车后备厢盖一般都配有可伸缩的液压杆,如图甲所示,其示意图如图乙所示,可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点,下端固定于箱内O'点,B也为后盖上一点,后盖可绕过O点的固定铰链转动.在合上后备厢盖的过程中 ( )
A.A点相对O'点做圆周运动
B.B点相对O点做圆周运动
C.A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等
D.A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等
8.(多选)[2024·深圳中学月考] 如图所示,半径为R=2 m的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动,A为圆盘边缘上一点,在O点的正上方将一个可视为质点的小球以4 m/s的速度水平抛出,半径OA方向恰好与该初速度的方向相同.若小球与圆盘只碰一次,且落在A点,则圆盘转动的角速度大小可能是 ( )
A.2π rad/s B.4π rad/s
C.6π rad/s D.8π rad/s
9.[2024·汕头金山中学月考] 明代出版的《天工开物》一书中记载:“其湖池不流水,或以牛力转盘,或聚数人踏转.”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示,翻车通过齿轮传动,将湖水翻入农田.已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑,B、C齿轮同轴,若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC,则 ( )
A.齿轮A的角速度比齿轮B的角速度小
B.齿轮A的角速度比齿轮C的角速度大
C.齿轮B、C边缘的线速度大小相等
D.齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度小
10.[2024·广东实验中学月考] 如图为车牌自动识别系统的直杆道闸,离地面高为1 m的细直杆可绕O点在竖直面内匀速转动.汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s,自动识别系统的反应时间为0.3 s;汽车可看成高1.6 m的长方体,其左侧面底边在aa'直线上,且O点到汽车左侧面的水平距离为0.6 m,要使汽车安全通过道闸,直杆转动的角速度至少为 ( )
A. rad/s B. rad/s
C. rad/s D. rad/s
11.[2024·长沙一中月考] 如图所示是皮带传动机构的示意图(A、B轮共轴).
(1)请分析:三个轮子边缘上哪些点可能具有相同大小的线速度 哪些点可能具有相等的角速度 三个轮子转速的关系又如何
(2)假设轮A与轮B的半径分别为0.4 m和0.2 m,轮C的半径为0.2 m.已知轮B每分钟转600转,计算每个轮子边缘上点的线速度大小和角速度大小.(共45张PPT)
第一节 匀速圆周运动
学习任务一 描述圆周运动快慢的物理量及其关系
学习任务二 描述圆周运动的物理量之间的关系
学习任务三 圆周运动的传动问题
素养提升
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 描述圆周运动快慢的物理量及其关系
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
1.线速度
(1) 线速度
① 定义：物体做圆周运动，在一段______的时间内，转过的弧长为，则与的______称为线速度，用表示，即.
② 意义：描述做圆周运动的物体______的快慢.
③ 标矢性：线速度是____量，方向沿着圆周该点的______方向.
很短
比值
运动
矢
切线
(2) 匀速圆周运动
①定义：如果做圆周运动的质点线速度的__________________，这种运动称为匀速圆周运动.
②性质：线速度的方向是时刻______的，所以是一种______运动，这里的“匀速”是指______不变.
③匀速圆周运动的线速度,其中表示质点通过的弧长，为通过这段弧长所用时间.
大小不随时间变化
变化
变速
速率
2.角速度
(1) 定义：物体做圆周运动，在一段______的时间内，半径转过的角度为 ，则 与的______，称为角速度，用符号 表示，即.
(2) 意义：描述物体绕圆心______的快慢.
(3) 单位：弧度每秒，符号是______.
(4) 物体做匀速圆周运动时，角速度______(填“不变”或“变化”)，此时角速度的大小 可以用质点所在半径转过的_______与所用时间之比来表示，即.
很短
比值
转动
不变
角度
3.周期
(1) 定义：做匀速圆周运动的质点，运动______所用的______称为周期，用符号表示.
(2) 单位：______.
一周
时间
秒
4.转速
(1) 定义：物体转过的圈数与所用时间______称为转速，用符号表示.
(2) 单位：________；或者转每分.
之比
转每秒
［物理观念］ 如图所示，后轮被架起来的自行车的大齿轮、小齿轮、后轮上的点都在做圆周运动，为了方便研究，我们取大齿轮上的、小齿轮上的、后轮上的三点比较.
(1) 从单位时间走过的轨迹长度考虑，___运动最快，______运动最慢.
(2) 从单位时间转过的角度考虑，______运动最快，___运动最慢.
、
、
例1 对于匀速圆周运动，下列说法不正确的是( )
C
A.做匀速圆周运动的物体处于非平衡状态
B.运动快慢可用线速度描述，也可用角速度描述
C.匀速圆周运动是匀速运动，因为其速率保持不变
D.做匀速圆周运动的物体所受合力不可能为0
[解析] 匀速圆周运动是曲线运动，物体有加速度，处于非平衡状态，故A正确；角速度和线速度都是描述做匀速圆周运动的物体运动快慢的物理量，故B正确；匀速圆周运动的过程中，线速度的大小不变，但方向改变，故不是匀速运动，物体所受合力不可能为0，故C错误，D正确.
变式1 (多选)[2024·中山一中月考] 如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中，带笔尖的脚做匀速圆周运动，则( )
AC
A.笔尖的角速度不变
B.笔尖的线速度不变
C.笔尖的转速不变
D.笔尖在相等的时间内通过的位移不变
[解析] 做匀速圆周运动的物体的角速度和转速是不变的，故选项A、C正确；线速度是矢量，笔尖的线速度大小不变，方向时刻改变，所以笔尖的线速度是变化的，故选项B错误；笔尖在相等时间内通过的路程相等，但通过的位移不一定相同，故选项D错误.
【要点总结】
1.圆周运动的性质：圆周运动一定是变速运动，一定具有加速度，做圆周运动的物体受的合力一定不为零.
2.匀速圆周运动的特点
学习任务二 描述圆周运动的物理量之间的关系
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
1.线速度与周期、转速的关系式：____.
2.角速度与周期、转速的关系式：___.
3.线速度与角速度的关系式：____.
(1)当一定时， 与成反比；
(2)当 一定时，与成正比.
例2 (多选)[2024·湛江一中月考] 、两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比，转过的角度之比，则下列说法正确的是( )
BC
A.它们的运动半径之比 B.它们的运动半径之比
C.它们的周期之比 D.它们的转速之比
[解析] A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为，即通过的弧长之比为，所以，在相同的时间内转过的角度之比，根据得，又，所以，选项A错误，B正确.根据知，，选项C正确.转速是单位时间内物体转过的圈数，即，所以，选项D错误.
变式2 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为，在相等时间里甲转过 角，乙转过 角，则它们的( )
A
A.角速度之比为 B.角速度之比为 C.线速度之比为 D.线速度之比为
[解析] 相同时间内甲转过 角，乙转过 角，根据角速度定义可知，选项A正确，B错误；由题意可知，根据公式，可知，选项C、D错误.
学习任务三 圆周运动的传动问题
［科学思维］
传动类型 图示 结论
同轴转动 _________________________________________________________________________________
皮带(链条)传动(无打滑现象) _________________________________________________________________________________________________
传动类型 图示 结论
齿轮传动 ____________________________________________________________________________________
续表
例3 [2024·广东实验中学月考] 如图所示的传动装置中，、两轮固定在一起绕同一轴转动，、两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是若皮带不打滑，则、、三轮边缘上、、三点的( )
A
A.角速度之比为 B.角速度之比为
C.线速度大小之比为 D.线速度大小之比为
[解析] 点和点是皮带传动边缘点，线速度大小相等，故，根据 ，有，点和点是同轴转动，角速度相等，故，则，故A正确，B错误；点和点是同轴转动，角速度相等，根据， 有，则，故C、D错误.
变式3 [2024·汕头金山中学月考] 如图所示是机械手表传动装置中相互啮合的两个齿轮.齿轮转动时，其边缘、两点线速度大小分别为和，角速度大小分别为和，则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 齿轮传动装置中，齿轮边缘的线速度大小相等，即.根据角速度与线速度的关系有，，由于则有.故A、B、C错误，D正确.
变式4 如图所示为一链条传动装置的示意图.已知主动轮是逆时针转动的,转速为,主动轮和从动轮的齿数之比为,以下说法中正确的是( )
B
A.从动轮是顺时针转动的 B.主动轮和从动轮边缘的线速度大小相等
C.主动轮和从动轮的角速度大小相等 D.从动轮的转速为
[解析] 主动轮逆时针转动,带动从动轮也逆时针转动,用链条传动,两轮边缘线速度大小相等,A错误,B正确;因为两轮的半径不同,根据 可知角速度大小不相等,C错误;由，，可得,D错误.
【要点总结】
解决传动问题的要点
(1)同轴转动：共轴转动物体上各点角速度相同.
(2)皮带传动和齿轮传动：皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.
涉及圆周运动的周期性问题
圆周运动具有周期性，该类问题常出现多解.有些题目会涉及圆周运动、平抛运动、匀速直线运动等不同运动形式,两种不同的运动规律间必然有一个物理量在起桥梁作用,从而把两种不同运动联系起来,这一个物理量常常是“时间”.
示例 如图所示,小球在光滑的半径为的圆形槽内做匀速圆周运动,当它运动到图中点时,在圆形槽中心点正上方处有一小球沿方向以某一初速度水平抛出,结果恰好在点与球相碰,求球做匀速圆周运动的周期的所有可能值.重力加速度为
[答案]
[解析] 两球能在点相碰,则球在球飞行时间内又回到点,即平抛运动的时间等于球转动周期的整数倍,所以
,解得.
变式5 [2024·惠州一中月考] 如图所示,水平放置的圆筒绕其中心对称轴匀速转动,转动的角速度,筒壁上处有一小圆孔,筒壁很薄,筒的半径.当圆筒由图示位置开始转动时,圆孔正上方某高度处有一小球由静止开始下落,已知圆孔的半径略大于小球的半径,若小球恰好落入圆筒小孔中,求高度.空气阻力不计,取
[答案]
[解析] 设小球做自由落体运动下落高度历时为,则
要使小球恰好落入小孔,圆筒的转动需满足
联立解得.
1.(多选)如图所示,皮带传动装置转动后,皮带不打滑,皮带轮上的、、三点的位置如图所示，则三点的线速度、角速度关系是( )
ACD
A., B., C., D.,
[解析] A、B两点在轮子的边缘上，它们的线速度大小相等，所以、C两点在同一轮上，所以,由知,.
2.(多选)图甲为磁带录音机的磁带盒,可简化为如图乙所示的传动模型.、为缠绕磁带的两个轮子,两轮的半径均为,在放音结束时,磁带全部绕到了轮上,磁带的外缘半径.现在进行倒带,使磁带绕到轮上.倒带时轮是主动轮,其角速度是恒定的,轮是从动轮,则在倒带的过程中，下列说法正确的是( )
BC
A.倒带开始时、两轮的角速度之比为 B.倒带结束时、两轮的角速度之比为
C.倒带过程中磁带的运动速度变大 D.倒带过程中磁带的运动速度不变
[解析] 由题意可知,在倒带开始时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径,而线速度相等，根据可知，倒带开始时A、B两轮的角速度之比为，选项A错误；在倒带结束时,磁带全部绕到了A轮上,磁带的外缘半径,而线速度相等,根据可知,倒带结束时A、B两轮的角速度之比为,B正确;在A轮转动的过程中,磁带外缘半径增大,角速度恒定,根据 可知,磁带的线速度增大,C正确,D错误.
3.如图所示的齿轮传动装置中,主动轮的齿数,从动轮的齿数,当主动轮以角速度 顺时针转动时,从动轮的运动情况是( )
B
A.顺时针转动,周期为 B.逆时针转动,周期为
C.顺时针转动,周期为 D.逆时针转动,周期为
[解析] 两轮间是齿轮传动，主动轮顺时针转动，则从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故.
4.如图所示,一位同学做飞镖游戏,已知圆盘的直径为,飞镖距圆盘的距离为,且对准圆盘上边缘的点水平抛出,初速度为,飞镖抛出的同时,圆盘绕垂直于圆盘过圆心的水平轴匀速转动,角速度为 .若飞镖恰好击中点,重力加速度为,则下列关系式正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 飞镖在水平方向上做匀速直线运动,到圆盘的时间为,此段时间内圆盘转过的角度为,联立可得,故选项C错误,B正确.平抛运动的两个分运动具有等时性,有,可得,,故选项A、D错误.
1.(匀速圆周运动的理解)(多选)质点做匀速圆周运动,则( )
BD
A.在任意相等的时间里,质点的位移都相等
B.在任意相等的时间里,质点通过的路程都相等
C.在任意相等的时间里,质点运动的平均速度都相同
D.在任意相等的时间里,连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
[解析] 如图所示,经时间,质点由A运动到B,再经时间,质点由B运动到C,由于线速度大小不变,根据线速度的定义可知,故相等时间内通过的路程相等,选项B正确;位移、大小相等,方向并不相同,则平均速度不同,选项A、C错误;由角速度的定义式,可得相同,选项D正确.
2.(线速度与角速度的关系)(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心与板垂直的轴转动时，板上、两点的( )
AD
A.角速度之比 B.角速度之比
C.线速度之比 D.线速度之比
[解析] 板上A、B两点绕同一转轴转动，角速度相同，选项A正确；转动半径之比，由可得线速度之比，选项D正确.
3.(生活中圆周运动的传动问题)[2024·广雅中学期中] 如图所示是自行车传动结构的示意图，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为、和.假设脚踏板的转速为，则该自行车前进的速度为 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 脚踏板的转速等于大齿轮的转速，为，则大齿轮边缘的线速度，由于大齿轮与小齿轮边缘线速度相同，则小齿轮边缘的线速度也为，又小齿轮和后轮同轴转动，角速度相等，则后轮边缘的线速度即自行车前进的速度为，故B正确.
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知识点一 匀速圆周运动的理解
1.[2024·天津一中月考] 关于圆周运动，下列说法中正确的是( )
C
A.圆周运动可能是匀速运动 B.圆周运动可能是匀变速曲线运动
C.圆周运动一定是非匀变速运动 D.圆周运动加速度可能不变
[解析] 圆周运动是曲线运动，因此合外力不等于零；圆周运动的加速度方向是在变化的，所以圆周运动一定是非匀变速运动，故C正确，A、B、D错误.
2.[2024·深圳期中] 关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
B
A.速度恒定不变 B.角速度恒定不变 C.加速度恒定不变 D.合力恒定不变
[解析] 做匀速圆周运动的物体速度的大小不变，方向不断变化，则速度不断变化，角速度恒定不变，加速度的大小不变，方向不断变化，则加速度不断变化，则合力不断变化，故只有B正确.
知识点二 描述圆周运动快慢的物理量及其关系
3.“南昌之星”摩天轮的转盘直径为153米，转一圈的时间大约是30分钟.乘客乘坐观光时，其线速度大约为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 乘客做圆周运动的半径，周期，根据匀速圆周运动各物理量间的关系可得，代入数据得，故D正确.
4.如图所示，电风扇工作时，叶片上、两点的线速度大小分别为、，角速度分别为、，则下列关系正确的是( )
D
A.， B. ，
C.， D.，
[解析] 电风扇上的、两点在同一扇叶上，属于共轴转动，具有相同的角
速度，所以，由于线速度，由图可知，所以，故D正确.
知识点三 涉及圆周运动的传动问题
5.(多选)[2024·广州中学月考] 如图所示为皮带传动装置,主动轮上有两个半径分别为和的轮,从动轮的轮半径为,已知,,设皮带不打滑,则( )
CD
A. B. C. D.
[解析] 由于A和B两点是共轴转动,故两点角速度相等,有,由角速度和线速度的关系式可得,故A错误,C正确;由于B点和C点由皮带传动,皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度大小相等,故,由可得,故B错误,D正确.
6.[2024·湖北襄阳五中月考] 盾构隧道掘进机，简称盾构机，是一种隧道掘进的专用工程机械，又被称作“工程机械之王”，是城市地铁建设、开山修路、打通隧道的利器.图为我国最新研制的“聚力一号”盾构机的刀盘，其直径达，转速为，下列说法正确的是( )
C
A.刀盘工作时的角速度为 B.刀盘边缘的线速度大小为
C.刀盘旋转的周期为 D.刀盘工作时各刀片的线速度均相同
[解析] 盾构机刀盘的转速为，根据角速度与转速的关系有，周期为，故A错误，C正确；盾构机刀盘的半径为，可知刀盘边缘的线速度大小约为，故B错误；因为各刀片转动是同轴转动，所以各刀片的角速度相等，而半径不同，根据 可知刀盘工作时各刀片的线速度不相同，故D错误.
7.(多选)[2024·佛山期末] 汽车后备厢盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图甲所示，其示意图如图乙所示，可伸缩液压杆上端固定于后盖上点，下端固定于箱内点，也为后盖上一点，后盖可绕过点的固定铰链转动.在合上后备厢盖的过程中( )
BD
A.点相对点做圆周运动
B.点相对点做圆周运动
C.点与点相对于点转动的线速度大小相等
D.点与点相对于点转动的角速度大小相等
[解析] 在合上后备厢盖的过程中，的长度是变化的，因此A点相对点不是做圆周运动，故A错误；在合上后备厢盖的过程中，A点与B点到点的距离不变，所以A点与B点都是绕点做圆周运动，故B正确；A点与B点在相同的时间内绕点转过的角度相同，即A点与B点相对于点转动的角速度相等，由于大于，根据 可知，B点相对于点转动的线速度大，故C错误，D正确.
8.(多选)[2024·深圳中学月考] 如图所示，半径为的水平圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，为圆盘边缘上一点，在点的正上方将一个可视为质点的小球以的速度水平抛出，半径方向恰好与该初速度的方向相同.若小球与圆盘只碰一次，且落在点，则圆盘转动的角速度大小可能是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 小球做平抛运动的时间，小球做平抛运动的时间和圆盘转动的时间相等，有，解得，当时，，当时，，故A、C错误，B、D正确.
9.[2024·汕头金山中学月考] 明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转.”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田.已知、齿轮啮合且齿轮之间不打滑，、齿轮同轴，若、、三齿轮半径的大小关系为，则( )
A
A.齿轮的角速度比齿轮的角速度小
B.齿轮的角速度比齿轮的角速度大
C.齿轮、边缘的线速度大小相等
D.齿轮边缘的线速度比齿轮边缘的线速度小
[解析] 由于齿轮之间不打滑，故齿轮A、B边缘的线速度大小相等，即，结合以及，可得，选项A正确；由于齿轮B、C同轴，角速度相等，即，结合，可得，选项B错误；由于，结合，可得，而，故，选项C、D错误.
10.[2024·广东实验中学月考] 如图为车牌自动识别系统的直杆道闸,离地面高为的细直杆可绕点在竖直面内匀速转动.汽车从自动识别线处到达直杆处的时间为,自动识别系统的反应时间为;汽车可看成高的长方体,其左侧面底边在直线上,且点到汽车左侧面的水平距离为,要使汽车安全通过道闸,直杆转动的角速度至少为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知,在的时间内,正上方直杆上的点至少要抬高,即直杆至少转过,则最小角速度,故选项D正确.
11.[2024·长沙一中月考] 如图所示是皮带传动机构的示意图(、轮共轴).
(1) 请分析：三个轮子边缘上哪些点可能具有相同大小的线速度？哪些点可能具有相等的角速度？三个轮子转速的关系又如何？
[答案] 见解析
[解析] 皮带不打滑的情况下，轮和轮边缘上的点具有相同大小的线速度；轮和轮上各点共轴转动，具有相等的角速度；轮和轮转速相等，轮转速最快，三个轮子转速满足
(2) 假设轮与轮的半径分别为和，轮的半径为.已知轮每分钟转600转，计算每个轮子边缘上点的线速度大小和角速度大小.
[答案] 见解析
[解析] 轮和轮的角速度为
轮和轮边缘上点的线速度大小为
轮边缘上点的线速度大小为
轮的角速度为
