四川省内江市威远中学校2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题（含解析）

威远中学 2026 届高三上第一次月考试题
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．复数 满足 ，则在复平面内， 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知命题 p： ， ；命题 q： ， ，则（ ）
A．p 和 q 都是真命题 B． 和 都是真命题 C．p 和 都是真命题 D． 和 q 都是真命题
3．已知 ， ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在 的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．6 D．12
6．某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：℃）满足函数关系 ，其中 k 为常数.若该食
品在 20℃的保鲜时间为 48 小时，则在 30℃的保鲜时间是（ ）
A．20 小时 B．24 小时 C．28 小时 D．32 小时
7．函数 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 个小题，每题 6 分，有多个选项，共 18 分）
9．设正实数 满足 ，则（ ）
A． 有最大值为 B． 有最小值为
C． 有最小值为 5 D． 有最大值为
10．下列结论正确的是（ ）
A．数据“3，6，2，9，6，5”的极差为 7 B．数据“3，6，2，9，6，5”的中位数为 5.5
C．将一组数据中的每一个数据都减去同一个常数后，标准差不变
D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好
11．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．若函数 存在两个零点 ，且 ，则
C．若 恒成立，则
D．当 时， 与 存在两条公切线
第Ⅱ卷 （非选择题 共 92 分）
三.填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，请把答案填在答题卡相应位置上.
12．设集合 ，则 .
13．已知实数 ， 满足 ，则 的值为 ．
14．已知函数 则函数 的零点个数为 ．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分 13 分）已知函数 在 处的切线方程为 ．
(1)求 a 的值；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
16．(本小题满分 15 分）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 n 项和.
17．(本小题满分 15 分）已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 .
(1)求 A；
(2)若 的周长为 9，面积为 ，求 a.
18.(本小题满分 17 分）甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点 ， 两点处进行套圈，已知甲在 ， 两点
的命中率均为 ，乙在 点的命中率为 ，在 点的命中率为 ，且他们每次套圈互不影响．
(1)若甲在 处套圈 3 次，求甲至多命中 1 次的概率；
(2)若甲和乙每人在 ， 两点各套圈一次，且在 点命中计 2 分，在 点命中计 3 分，未命中则计 0 分，设甲的得
分为 ，乙的得分为 ，写出 和 的分布列和期望；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的取值范围．
19.(本小题满分 17 分）已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 上的最值；
(2)若 ，对 ，求证： ；
(3)若 是函数 的极小值点，求 的取值范围
威远中学 2026 届高三上第一次月考试题数学答案
1．A【详解】由 可得 ，则 对应的点 位于第一象限.故选：A.
2．D【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，对于 而言，取 ，则
有 ，故 是真命题， 是假命题，综上， 和 都是真命题.故选：D.
3．B【详解】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ， ，所以
.
4．B【详解】由 .故选：B.
5．C【详解】由题设，二项式展开式为 ， ，所以 时，常数项为
6．B【详解】由题意得 ，即 ，其中 ，所以 ，当 时，
.
7．A【详解】易得 的定义域为 ，因为 ，所以 ，则 是
奇函数，关于原点对称，故 C，D 错误，令 ，解得 ，而当 时， ，故 B 错误.故选：A
8．D【详解】构造函数 ，则 ，令 ，则 ．令 ，
得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，因此 在
上单调递增，所以 ．令 x＝0.4，则 ，所以 ，即 a＜b．
构造函数 ，则 ，因此 在 上单调递减，所以
，令 x＝0.4，则 ，所以 ，所以 c＜a．故 b＞a＞c．
9．BC【详解】对于 A：由 ，当且仅当 时，等号成立，故 A 错误；对于 B：由
，当且仅当 时，等号成立，故 B 正确；对于 C：由
，又 ，当且仅当 时，等
号成立，所以 ，故 C 正确；对于 D：由 ，所以
，当且仅当 时，所以等号不成立，故 D 错误.故选：BC.
10．ABC【详解】对于 A，数据“3，6，2，9，6，5”的最大值、最小值分别为 9，2，则极差为 ，故 A 正确；
对于 B，将数据“3，6，2，9，6，5”从小到大排列后为 2，3，5，6，6，9，则中位数为 ，故 B 正确；
对于 C，设随机变量 满足 ，其中 是常数，所以 ，故 C 正确；对
于 D，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差，故 D 错误.故选：ABC.
11．ACD【详解】选项 A：当 时， ，当且仅当 时取等号，
又 ，当且仅当 时取等号， ，故 A 正确；选项 B： 存在两个零点
且 ， 与 的图象有两个交点，结合图象可知， ，即 ，故 B
错误；选项 C： 恒成立，又 与 在定义域内单调递增， 与
存在公共零点， 且 ，故 C 正确；选项 D：设曲线 的切点为
，则切线斜率为 ，∴切线方程为 ，即 ．
设曲线 的切点为 ， ，∴切线斜率为 ，切线方程为 ，
即 ．由题意得 ，解得 ，则 ，即
，设 ，则 ，设 ，则 ，则由
得 得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，则由零点存在性定理可知， 使得 ，即 ，又因为当 时， ，则
，则由 得 ； 得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递
增，则 ，
，则由零点存在性定理可知， 在 和 上分别存在一个零点，
则方程 存在两个根， 和 存在两条公切线，故 D 正确；故选：ACD．
12． 【详解】易知
13． 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
14．5【详解】方法一： 大致图象如下令
所以 式方程的一个根 ，再由图可知 式方程
的另一个根 ，当 时， 与 的图象有 2 个交点，所以 有
2 个实根，当 时， 与 的图象有 3 个交点，所以 有 3 个实根， 共有 5 个零点.
方法二：令 时， ，
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 在 有且仅有一个零点 ，其中 ，则 有且仅
有一个零点 ，其中 ． 时， 时， 在
单调递增， ， 在 有且仅有一个零点 ， ， 时，
结合函数图象可知 无解， 有两个根 因为 ，所以由
图象可得 与 的图象有 2 个交点，所以 有 2 个实根，当
时， 与 的图象有 3 个交点，所以 有 3 个实根， 共有 5
个零点.
15．【详解】（1） ，因在 处的切线方程为 ，则 ；
（2）由（1）， ，因 ，
，
，则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .
16．【详解】（1）因为 ,故 ，所以 即 故等比数列的公比
为 ，故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，所以数列 的前 n 项和
.
17．【详解】（1）在 中，由 及正弦定理得 ，则
，因此 ，而 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）及已知得 ，解得 ，由 ，得 ，
由余弦定理得 ，则 ，所以 .
18．【详解】（1）设“甲至多命中 1 次”为事件 ，则 ．故甲至多命中 1 次的概率为
．
（2）由题意知， ； ． ， ， ，
， ，
， ，
所以 的分布列为： 的分布列为：
0 2 3 5
0 2 3 5
所以 ， ．
（3）因为 ，所以 ，即 ，所以 的取值范围是 ．
19．【详解】（1）若 ，故当 时， 单调递减；当
时， 单调递增；而 ，故 在 上的最小值为 ，
最大值为 .
（2）法一：若 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，则 在 上单调递增，所
以 ，即 ，则 在 上单调递增，所以 ，即 ，则 在
上单调递增，所以 ，所以当 时， ，即 .
法二：若 ，故 在 上单调递增，所以当 时， ，
即 .令 ，则 ，故 在 上单调递
增，所以 ，即当 时， ，即 .
（3）由题意得， ， .当 时，不妨设 ，因为 ，故
在 上恒成立， 单调递增.又 ，所以当 时， ；当 时，
.又 ，则 ，当 时， ，即 在 上
单调递减；当 时， ，即 在 上单调递增，故 是函数 的极小值点.当 时，不
妨设 ，故存在 ，使得 ，且当 时， ，故 在 上单调递减，故当
时 ，故 在 上单调递减，故 不是函数 的极小值
点.综上，实数 的取值范围为